第三章 标量衍射理论(二)
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第三章 标量衍射理论
U ( x, y, z) a exp( jk r )
a exp jk( x cos y cos z cos )
当平面波沿z轴正方向传播时
cos cos 0
U ( z ) a exp( j 2
cos 1
z , 2 ,3 波阵面
2u 1 2u c t
2 2
0
j 2 t
2
2 x
2
2 y
2
2 z 2
u( p, t ) U ( p)e
2 2
c
U ( p) k U ( p) 0
K
2
亥母霍兹方程
三、基尔霍夫积分定理 格林定理 若U(p)和G(p)是两个空间任意复数函数，S为包围体积V 的封闭曲面，U、G在S内和S上它们均单值连续，且一阶 和二阶偏导数单值连续，则有
U ( x, y ) t ( x, y )U ( x, y )
一、惠更斯—菲涅耳原理
1．惠更斯原理：波前上每一个面元都可以看作一个次级 扰动中心，它们产生球面子波，后一时 刻的波前位置是所有这些子波的包络面。
2．惠更斯—菲涅耳原理：波前上任何未受阻挡的点，都 可以看作一个次级波波源，其后空间任 一观察点的光振动是这些子波传播到该 点后叠加的结果。 菲涅耳发展了惠更斯原理，由定性走向了定量计算。
U0为后表面的光场
讨论：当孔用p点的点光源照明时的情况。 推导
r' • P'
n
P0
r • P
经过以上推导，当p近轴，r很大时，180，则有
1 exp( jkr ) 1 cos U ( p) U 0 ( p0 ) r 2 ds j 1 exp( jkr ) 1 cos U 0 ( x0 , y0 ) r 2 dx0dy0 j
傅立叶光学第三章总结
傅⽴叶光学第三章总结第三章标量衍射理论标量衍射理论是⼀种近似理论，所谓衍射就是指光波在传播的过程中波⾯受到限制时表现出来的现象。
由于我们⼀般遇到的问题都能满⾜标量衍射理论的两个条件（衍射孔径⽐波长⼤得多；不在太靠近孔径的地⽅观察衍射场），标量衍射理论给出的结果与实际⼗分相符。
第三章从基尔霍夫衍射理论和⾓谱理论出发讨论衍射问题，可以分别把它们看作是衍射的球⾯波理论和平⾯波理论。
这两种理论分别从空间域和频率域讨论衍射现象，在本质上是⼀致的。
根据衍射光波传播距离的长短实际衍射现象可分为两种：菲涅⽿衍射与夫琅⽲费衍射。
为了简化这两类衍射现象的计算，通常要做出不同程度的近似。
课本还给出了⼏种常见典型孔径的夫琅⽲费衍射图样。
对于具有周期性重复排列结构的衍射光栅可以利⽤列阵定理分析其衍射现象。
复振幅：定义P 点复振幅()()()j P U P a P e=，()a P 为P 点振幅，()j P e表⽰初相位。
球⾯波：()()00jkrjkr a U P e ra U P e r-== 发散球⾯波会聚球⾯波，2k πλ=在直⾓坐标系中，根据傍轴条件得到光源在()00,x y ，与其相距z 的xy 平⾯上的光场分布为：()()()()()()()()2200022000,exp exp 2,exp exp 2a kU x y jkz j x x y y z z a k U x y jkz j x x y y z z =-+-=---+-发散会聚平⾯波：()(),exp cos cos U x y a jk x y αβ=+平⾯波的空间频率cos cos x y f f αλβλ==基尔霍夫衍射理论：根据惠更斯⼦波原理发展⽽来,从空间域讨论衍射问题。
把孔径平⾯光场看作点光源的集合，观察平⾯上的场分布是它们所发出的带不同权重因⼦的球⾯⼦波的相⼲叠加。
球⾯⼦波在观察平⾯上的复振幅分布就是系统的脉冲响应。
菲涅⽿-基尔霍夫衍射公式：()()()01d jkre U P U P K S j rθλ∑=??由于这⾥的⼦波都是球⾯波，将光的传播看作⼀个线性系统。
第三章衍射详解
求在z>0半空间中的光波复振幅。
如孔径是在一无穷大的不透明屏幕 上开孔，则该孔径的透射函数为
t
(
x,
y)
=
⎧1, ⎨
⎩0,
(x, y)在Σ上; 其他.
更一般的情况是，在孔径内可以有位相改变，如在孔径内有透镜、棱 镜或透明薄膜等光学元件。这时，可定义复振幅透过率来表示孔径的
透射函数，它是紧靠孔径后的平面上的出射光场复振幅与入射光场的
第三章 衍射
1. 引言 2. 平面波角谱的衍射理论 3. 菲涅尔近似与夫琅和费近似 4. 焦点附近的光场分布 5. 无衍射光束—Bessel光束
1. 引言
惠更斯原理
惠更斯首先用光的波动说来解释衍射现象。惠更斯原理把光波的 传播看成是这样一种过程：光波扰动（波前）所到达的每一点都起着一 个次级波源（子波源）的作用，每一个次级波源发出次级球面波(子 波)，它向四面八方扩展，所有这些次级波的包络面便是新的波前。
因为孔径外的场为0，所以上式可以写为
∫ ∫ U (x, y, z) =
∞
2π z
−∞ dfxdf y
U
Σ
(
x0
,
y0
,
0)
exp(i
λ
1−
λ
2
f
2 x
−
λ
2
f
2 y
)
iexp{i2π[ fx (x − x0 ) + fy ( y − y0 )]}dx0dy0
以上用平面波角谱表示的衍射积分与惠更斯-菲涅尔原理的 基尔霍夫衍射积分公式是等价的。
基尔霍夫衍射积分定理
基尔霍夫理论的主要简化和近似是把光作为标量来处理，也就是 只考虑电磁场的一个横向分量的复振幅。并且假定任何别的有关分量可 以用同样的方式独立处理。而实际上电磁场矢量的各个分量是通过麦克 斯韦方程组联系在一起的，不能独立处理。研究表明，只要满足两个条 件（1）衍射孔径比波长大得多，（2）不要在太靠近孔径的地方观察衍 射场，则标量理论可以得到满意的结果。
如孔径是在一无穷大的不透明屏幕 上开孔，则该孔径的透射函数为
t
(
x,
y)
=
⎧1, ⎨
⎩0,
(x, y)在Σ上; 其他.
更一般的情况是，在孔径内可以有位相改变，如在孔径内有透镜、棱 镜或透明薄膜等光学元件。这时，可定义复振幅透过率来表示孔径的
透射函数，它是紧靠孔径后的平面上的出射光场复振幅与入射光场的
第三章 衍射
1. 引言 2. 平面波角谱的衍射理论 3. 菲涅尔近似与夫琅和费近似 4. 焦点附近的光场分布 5. 无衍射光束—Bessel光束
1. 引言
惠更斯原理
惠更斯首先用光的波动说来解释衍射现象。惠更斯原理把光波的 传播看成是这样一种过程：光波扰动（波前）所到达的每一点都起着一 个次级波源（子波源）的作用，每一个次级波源发出次级球面波(子 波)，它向四面八方扩展，所有这些次级波的包络面便是新的波前。
因为孔径外的场为0，所以上式可以写为
∫ ∫ U (x, y, z) =
∞
2π z
−∞ dfxdf y
U
Σ
(
x0
,
y0
,
0)
exp(i
λ
1−
λ
2
f
2 x
−
λ
2
f
2 y
)
iexp{i2π[ fx (x − x0 ) + fy ( y − y0 )]}dx0dy0
以上用平面波角谱表示的衍射积分与惠更斯-菲涅尔原理的 基尔霍夫衍射积分公式是等价的。
基尔霍夫衍射积分定理
基尔霍夫理论的主要简化和近似是把光作为标量来处理，也就是 只考虑电磁场的一个横向分量的复振幅。并且假定任何别的有关分量可 以用同样的方式独立处理。而实际上电磁场矢量的各个分量是通过麦克 斯韦方程组联系在一起的，不能独立处理。研究表明，只要满足两个条 件（1）衍射孔径比波长大得多，（2）不要在太靠近孔径的地方观察衍 射场，则标量理论可以得到满意的结果。
3.3 标量衍射的角谱理论
后来，菲涅耳补充了惠更斯原理，提出了惠更斯-菲涅尔耳原 理，波前上任何一个未受阻挡的点，都可以看作是一个次级子波源 （频率与原波相同），在其后空间任何一点处的光振动是这些子波 的相干叠加。
U0(x1,y1) 推广后的惠更斯-菲涅尔耳原理可以写作: x1
x
U
(P ) = U ( x , y ) e 0 1 1
也就是对于(x02+ y02)一切可能值中的最大值有
2 x0 y 0 max
2 2
(
)
2z
2
z
(x 2
1
2 0
y 0 max
2
)
满足 式的z值范围的衍射叫做夫琅和费衍射。显然夫琅和费衍射 是在菲涅耳衍射的基础上进一步近似所得的结果，其衍射公式为:
2 x0 y 0 max
夫琅和费衍射
U ( x, y , z ) =
exp ( jk z ) j z
k 2 2 exp j ( x y ) 2z
xx0 yy 0 U 0 ( x0 , y 0 ,0 ) exp jk dx0 dy 0 z
jkr
ds
dx dy
1 1
r
p y z
r
y1
上式在解决衍射问题中，在相当大的范围内是正确的，但它 是近似的.其中一个原因是没有考虑子波在不同方向上作用的差异。 实际上每一小面元ds对观察点的作用还与面元法线和面元到观察 点联线的夹角有关。对于普便的情况，菲涅尔提出必须引入体现 子波在不同方向上作用的因子倾斜因子 k (q )
夫琅和费衍射公式
菲涅耳衍射
U ( x, y ) =
第三章-标量衍射理论2-角谱及其传播
l
l
l
l
cos cos A( , , z)
l
l
称为xyz平面上复振幅分布的角谱, 表示不 同传播方向()的单色平面波的振幅(|A|) 和初位相(arg{A})
角谱是xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其空 间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
复振幅分布的角谱： 例
在x-y平面上, 光场复 振幅分布为余弦型: 可以分解为:
Angular Spectrum of Complex Amplitude Distribution
对在 z 处的x-y平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)作傅里叶变换: 称为x-y平面 A( f x , f y , z) U ( x, y, z) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dxdy 上复振幅分 布的频谱 其逆变换为：
2、平面波角谱的传播
角谱是传播距离 z 的函数
在孔径平面(x,y, 0)的光场U0(x, y , 0) :
U 0 ( x, y,0) A(
cos cos cos cos cos cos , ,0) exp[ j 2 ( x y)]d ( )d ( )
l
l
l
普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P)
光强分布: I = UU*
a0 jkr e 球面波的复振幅表示（三维空间）：U ( P ) r
(P(x,y,z)) 球面波的复振幅表示（x-y 平面）： y a0 k 2 (r 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) k z 2z
近代光学基础第三章标量衍射理论和傅里叶光学
)
cos
(n,
r01
)ds
（可见与公式一中仅倾斜因子不同）
U(P0)
A
i
eik
(
r01
r21
)
[
c
os(n
r01
)
c
os
(n
r21
)
]ds
r01r21
2
自洽（符合物理事实，能够恢复边界条件） 精度高，符合实验。
2019/8/16
U ( p0 )
2019/8/16
微粒学说：创始人牛顿。认为光是微粒流， 这些微粒从光源中飞出来，在均匀物质内 做等速直线运动，可以解释光的直线传播， 反射和折射。但不能解释衍射。
格里马尔迪实验向光学微粒学说提出挑战， 并最终形成了波动学论。
现代光学理论表明：光波的本质是粒子性和 波动性的统一。光是光子流，有动量，质 量等特性。
跟没有屏幕时完全相同；
2、在S1的位于屏幕的几何阴影区 内的那一部分上，场分布U及其导
数 Un恒为零。
2019/8/16
瑞利－索末菲衍射理论
思路1)，2)同基 （1894） 基本思想同基尓霍夫衍射理论
不同时为0
3)选择
G＋ (P1)
边界条件：
e jkr01 r01
＋
e jkr01 r01
2019/8/16
格林定理
格林定理是标量衍射理论的主要基础．若 U(p)和G(p)为空间位置的复函数，S为包围P 点的封闭曲面．只要U，G在S内和S上连续和 单值，存在一阶和二阶偏微商，则有
V
G 2U U 2G dV
标量衍射理论
其中 r xi yj zk 为空间点的位矢
上式可改写为：
U ( x, y, z ) a exp( jkz cos ) exp[( jk ( x cos y cos )] a exp( jkz 1 cos 2 cos 2 ) exp[( jk ( x cos y cos )] A exp[( jk ( x cos y cos )]
平面波的等相位线方程为： x cos y cos C 平面波的等相位线为一族平行线。它们 正是波面与x-y平面的交线。
7.空间频率
y T
0
t
时间周期信号，周期为T，则其频率为f=1/T。 其含义是单位时间内信号重复的次数 。
类比于时间频率，我们引入空间频率的概念 空间周期:相邻两条纹之 间的距离 d 空间频率：单位长度的 1 条纹数 f
§1. 光波的数字描述
一单色光场可表示为位置的复函数U(P)。 在自由空间传播的任何单色光扰动的复振 幅都必须满足亥姆霍兹方程：
( k )U ( P) 0
2 2
球面波和平面波都是波动方程的基本解 任何复杂的波都可以用球面波和平面波的 线性组合表示，也都是满足波动方程的解。
一、球面波
从点光源发出的光波，在各向同性介质中 传播时形成球形的波面，称为球面波。 球面波复振幅传播特点是： 1、振幅衰减；2、相位变化。 单色发散球面波的复振幅可以写做
a exp[ jk ( x cos y cos z cos )
U ( x, y, z ) a exp( jkz cos ) exp[( jk ( x cos y cos )] a exp( jkz 1 cos 2 cos 2 ) exp[( jk ( x cos y cos )] A exp[( jk ( x cos y cos )]
基尔霍夫衍射公式瑞利
t(x1, y1 )U (x1, y1 )
r
dx1dy1
考虑到 的影响
U ( p)
U (x1,
e jkr y1 ) r
K ( )dx1dy1
xy P dU(x,y)
惠更斯—菲涅耳原理存在的问题： ①由上式计算的光场复振幅比实际的落后/2；
②K()的形式不知道；
③两边的量纲不相等。
（2）( fx )2 ( fy )2 1 1 (f x )2 (f y )2 j (f x )2 (f y )2 1
exp
jk
z
1
(f x ) 2
(f y
)2
exp
kz
(f x ) 2 (f y ) 2 1
称为倏逝波，应用矢量理论讨论。
exp( jkr) U0 ( p0 ) r
K ( )ds
U (P)
1
j
U0
(
p0
)
exp( jkr) r
1
cos
2
ds
惠更斯—菲涅耳原理 基尔霍夫衍射公式
U (P) 1 j
U
0
(
p0
)
exp
( jkr) r
cos
ds
瑞利—索末菲衍射公式
三个衍射公式等价的条件为：
例：当用=632.8nm的光波照射衍射屏时
f max
1
1580 / mm
即衍射屏上频率在1580/mm以内的信息能传到观察屏上，大于它的则不能传递。
光线垂直照射时光栅的衍射方程为
d sin k
标量衍射理论-2
U0 (x0 , y0 ,0)
cosα cos β A0 , ,0 λ λ
xy
Uz ( x, y, z)
cosα cos β Az , , z λ λ
z
z=0
U 0 ( x0 , y0 ;0) = U z ( x, y; z ) =
∞ ∞
z=z
cos β cosα cos β cosα cos β cosα A0 , ;0 exp j 2π x0 + y0 d d ∫∞−∫∞ λ λ λ λ λ λ −
3.3 标量衍射的角谱理论
3.3-1单色平面波与线性平移不变系统的本征函数 单色平面波与线性平移不变系统的本征函数 在 z=0 平面上的复振幅分布为：
exp j 2π ( f x ⋅ x + f y ⋅ y ) = exp[ j 2π (ux + vy )]
[
]
cos β cosα = exp j 2π x+ y λ λ
3.2 基尔霍夫衍射理论
光波的传播过程就是光波衍射 衍射过程 衍射 矢 量 波 衍 射 理 论 假设与近似
(1)整个光波场内光矢量振动方向不 变，或只考虑光矢量的一个分量 (2)衍射屏的最小尺度远大于波长. (3)观测距离远大于波长． (4)折射率与光强无关.
标 量 波 衍 射 理 论
波动光学
信息光学 （基础)
∞ ∞
cos β cosα cos β cosα cos β cosα Az , ; z exp j 2π x+ y d d ∫∞−∫∞ λ λ λ λ λ λ −
cosα cos β A0 , ,0 λ λ
xy
Uz ( x, y, z)
cosα cos β Az , , z λ λ
z
z=0
U 0 ( x0 , y0 ;0) = U z ( x, y; z ) =
∞ ∞
z=z
cos β cosα cos β cosα cos β cosα A0 , ;0 exp j 2π x0 + y0 d d ∫∞−∫∞ λ λ λ λ λ λ −
3.3 标量衍射的角谱理论
3.3-1单色平面波与线性平移不变系统的本征函数 单色平面波与线性平移不变系统的本征函数 在 z=0 平面上的复振幅分布为：
exp j 2π ( f x ⋅ x + f y ⋅ y ) = exp[ j 2π (ux + vy )]
[
]
cos β cosα = exp j 2π x+ y λ λ
3.2 基尔霍夫衍射理论
光波的传播过程就是光波衍射 衍射过程 衍射 矢 量 波 衍 射 理 论 假设与近似
(1)整个光波场内光矢量振动方向不 变，或只考虑光矢量的一个分量 (2)衍射屏的最小尺度远大于波长. (3)观测距离远大于波长． (4)折射率与光强无关.
标 量 波 衍 射 理 论
波动光学
信息光学 （基础)
∞ ∞
cos β cosα cos β cosα cos β cosα Az , ; z exp j 2π x+ y d d ∫∞−∫∞ λ λ λ λ λ λ −
3.2标量衍射理论
2015/3/27
第三章 标量衍射理论
15
三、衍射理论五：简化为傅里叶变换
– 3. 6、二次位相因子的消除1：远场与富里叶变换
1 k U ( x, y ) exp( jkz) U ( x0 , y0 ) exp j ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 jz 2z
U ( x, y ) U ( x0 , y0 )h( x x0 , y y0 )dx0 dy0 h( x x0 , y y0 )
1 j r
e jkr
1 x x0 2 1 y y0 2 r z 2 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 z 1 ( ) ( ) 2 z 2 z h( x x0 , y y0 ) 1 k exp( jkz) exp j ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 jz 2z
– 3.4、菲涅耳衍射公式二次曲面近似的三种表示
（卷积、脉冲响应，FT）及其Matlab两种实现
– 3.5、菲涅耳变换：衍射可看做是输入受二次位相因子调制的FT – 3.6、二次位相因子的消除1：远场衍射或衍射的富里叶变换 及其Matlab实现 – 3.7、二次位相因子的消除2：光源作用的结果 – 3.8、二次位相因子的消除3：物体的自我调制成像
dx dy
0
0
1 k U ( x, y ) exp( jkz) exp j ( x 2 y 2 ) U ( x0 , y0 ) jz 2z k 2 exp j x0 y0 2z
2 exp j ( xx yy ) dx dy z
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空间频率的正负，仅表示平面波不同的传播方向 复振幅分布的空间频谱：
dxdy A f x , f y U x, y exp j 2 f x f y x y
复振幅分布的角谱：
cos cos cos cos A , x U x, y exp j 2
x y x y x
y
A0 f x , f y U x0 , y0 exp j 2 f x x0 f y y0 dx0dy0
A0 f x , f y e
jkz 1 f x f y
2
2
e
j 2 f x x f y y
传播距离z后
利用两者的关系， 确定整个光场的传播特性
cos cos cos cos A , , z exp j 2 x
观察平面
U x, y, z
cos cos y d d
A A0 exp jkz 1 cos2 cos2
传播效应为相移 倏逝波
A A0 exp kz cos2 cos2 1 A0e z
A A0
不沿z轴传播
思考：利用角谱理论证明光线传播的线性关系
3、衍射的角谱理论
cos cos cos cos 2 2 A , A , 0 exp jkz 1 cos cos
u P, t Re U P e j 2 t
不含时间的方程---亥姆赫兹方程
2
k 2 U P 0
2、基尔霍夫衍射理论
2.2 格林定理 U(P)和S(P)是两个任意复函数,S为包围空间某体积的封闭 曲面。若在S面内和面上， U(P)和S(P)均单值连续，且具有 单值连续一阶和二阶偏导数，则有
cos cos cos cos 2 2 A , A , 0 exp jkz 1 cos cos
cos2 cos2 1 cos2 cos2 1 cos2 cos2 1
这正是描述线性系统输入—输出关系的叠加积分；因此光 波的传播现象可以看作是一个线性系统！
2、基尔霍夫衍射理论
在旁轴近似下，K 1 ，脉冲响应函数简化为
2 2 exp jk z 2 x x0 y y0 1 e 1 h x, y; x0 , y0 2 2 j r j z 2 x x0 y y0 jkr
输出频谱
A f x , f y A0 f x , f y H f x , f y
输入频谱
传递函数
系统在频域的效应由传递函数表征：
H fx , f y A0 f x , f y A fx , f y
2 1 2 2 2 exp jkz 1 f f f f x y x y 2 0 其他
2
e
j 2 f x x x0 f y y y0
df x df y
傍轴近似：z远大于孔径和观察区域的最大线度，且 z
2 2 exp jk z 2 x x0 y y0 h x x0 , y y0 2 2 j z 2 x x0 y y0
1 j
U P0 K
exp jkr dS r
1 e jkr h P, P0 K j r
U P U P0 h P, P0 dS
若孔径在x0y0平面，而观察平面在xy平面，上式可进一步表示为
U x, y U x0 , y0 h x, y; x0 , y0 dx0 dy0
光波的传播现象可看作一个带宽有限的空间滤波器
3、衍射的角谱理论
角谱理论描述孔径平面上不同方向的平面波分量在传播距离z后，各自引 入与频率有关的相移，然后线性叠加，产生观察平面的场分布。
U x, y
df df j 2 f x f y A f , f exp
与基尔霍夫衍射 理论结论一致
U x, y Байду номын сангаас U x0 , y0 h x x0 , y y0 dx0dy0
2、基尔霍夫衍射理论
2.2 基尔霍夫衍射公式
exp jkr cos n , r -cos n , r exp jkr A U P dS j r 2 r
1 U P j
exp jkr U P0 K dS r
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《傅里叶光学》
第三章 标量衍射理论(二)
主讲教师：刘 毅
太原理工大学物理与光电工程学院
知识回顾
普遍的光振动的复振幅： 球面波的复振幅：
U P a P e j P
a0 jkr U ( P) e r
球面波的复振幅（xy 平面）：
——巴黎科学院,菲涅耳, 1818
exp jkr U P c U P0 K ds r
其中，U(P0)是波面上任意一点P0的复振幅，U(P)是光场中任一观察点P的复振幅， r是P0到P的距离，是P0P和过P0点的元波面法线n的夹角，K()是与有关的倾斜 因子，C为常数。
h x x0 , y y0
F
1
H f , f
x y
h x, y; x0 , y0 h x x0 , y y0
3、衍射的角谱理论
h x x0 , y y0 F 1 H f x , f y
2
e
jkz 1 f x f y
df x df y
H fx , f y
U x, y U x0 , y0 dx0 dy0
e
jkz 1 f x f y
2
2
e
j 2 f x x x0 f y y y0
df x df y
数学工具：亥姆赫兹方程+格林定理+边界假设条件
2、基尔霍夫衍射理论
2.1 亥姆赫兹方程 单色光波长中任意一点P的光振动u应满足标量波动方程
2 1 u 2 u 2 2 0 c t
2 2 2 2 2 拉普拉斯算子，在直角坐标系中 2 2 2 x y z 实扰动u(P,t)可以表示为
U ( x, y) A exp[jk ( x cos y cos )]
等相位线等间隔平行线
知识回顾
平面波的空间频率：
fx cos
fy
cos
平面波的复振幅 (xy 平面):
U x, y A exp j 2 f x f y x y
利用标量的波动方程，可以得到如下关系：
cos cos cos cos 2 2 A , A , 0 exp jkz 1 cos cos
这就是衍射的角谱理论公式，它给出了角谱传播的规律
3、衍射的角谱理论
1 U P 4
G U G n U n dS S
衍射场中任意点P的复振幅分布U(P)可以用包围该点的任意 封闭曲面S上各点扰动的边界值U和其偏导计算得出。
2、基尔霍夫衍射理论
2.4 基尔霍夫衍射公式 照明空间 有源空间
衍射屏
衍射空间 无源空间
孔径平面
U G U G G U U G dV n n V S
2 2
dS
表示S上每一点沿向外的法线方向上的偏导数 n
2、基尔霍夫衍射理论
2.3 亥姆霍兹和基尔霍夫积分定理 衍射理论要解决的问题：光场中任意一点P的复振幅能否用 光场中其它各点的复振幅表示出来？
光场分布 U (x,y)
U0(x0,y0)与U (x,y)的关系如何？——传播的问题 先找到相应的角谱A0 (fx, fy)和A(fx, fy)之间的关系——角谱的传播
角谱是复振幅分布的空间频谱, 其空间频率分量用传播矢 量的方向余弦表示
3、衍射的角谱理论
3.1 角谱的传播
孔径平面和观察平面上的光场都可以分别看作是许多不同方向传播的单 色平面波分量的线性组合，而每一个平面波分量的相对振幅和位相取决 于相应的角谱。
h x x0 , y y0
脉冲响应函数具有空 间不变的函数形式， 也就是说光波在衍射 孔径后的传播现象可 看作线性不变系统。 这为我们用线性不变 理论分析衍射现象提 供了依据。
3、衍射的角谱理论（平面波衍射理论）
3.1 角谱的传播
孔径平面（ z =0） P(x0,y0,0)
光场分布 U0(x0,y0) 观察平面（ z =z） P(x,y,z)
y dxdy
2、基尔霍夫衍射理论
2.1 惠更斯—菲涅耳原理
“波前上的每一个面元都可以看作是一个 次级扰动中心，它们能产生球面子波”， 并且，“后一时刻的波前的位置是所有这 些子波前的包络面。”
——《论光》,惠更斯 , 1690