第三章-标量衍射理论2-角谱及其传播
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第三章 标量衍射理论
U ( x, y, z) a exp( jk r )
a exp jk( x cos y cos z cos )
当平面波沿z轴正方向传播时
cos cos 0
U ( z ) a exp( j 2
cos 1
z , 2 ,3 波阵面
2u 1 2u c t
2 2
0
j 2 t
2
2 x
2
2 y
2
2 z 2
u( p, t ) U ( p)e
2 2
c
U ( p) k U ( p) 0
K
2
亥母霍兹方程
三、基尔霍夫积分定理 格林定理 若U(p)和G(p)是两个空间任意复数函数，S为包围体积V 的封闭曲面，U、G在S内和S上它们均单值连续，且一阶 和二阶偏导数单值连续，则有
U ( x, y ) t ( x, y )U ( x, y )
一、惠更斯—菲涅耳原理
1．惠更斯原理：波前上每一个面元都可以看作一个次级 扰动中心，它们产生球面子波，后一时 刻的波前位置是所有这些子波的包络面。
2．惠更斯—菲涅耳原理：波前上任何未受阻挡的点，都 可以看作一个次级波波源，其后空间任 一观察点的光振动是这些子波传播到该 点后叠加的结果。 菲涅耳发展了惠更斯原理，由定性走向了定量计算。
U0为后表面的光场
讨论：当孔用p点的点光源照明时的情况。 推导
r' • P'
n
P0
r • P
经过以上推导，当p近轴，r很大时，180，则有
1 exp( jkr ) 1 cos U ( p) U 0 ( p0 ) r 2 ds j 1 exp( jkr ) 1 cos U 0 ( x0 , y0 ) r 2 dx0dy0 j
信息光学-第3章 标量衍射理论
rz2 x x 0 2 y y 0 2 z1 x x 0 2z 2 y y 0 2
对上式进行二项式展开，并考虑徬轴近似，上式可进一步简化为：
rzxx02yy02
泰勒公式：f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a2整)z理(xpp-ta)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n!
此时，称A(cos/，cos/ )为xy平面上复振幅分布的角谱。 引入角谱概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义： (1)单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播的
单色平面波的叠加; (2) 在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位，它们
的值分别取决于角谱的模和幅角。
角谱如何求？就用傅里叶变换整理就ppt 行，注意坐标替换
整理ppt
试写出传播方向余弦为(cosα,0)的单色平面波在x-y平 面上的复振幅分布（用空间频率来描述）
(fxcos/, fy0)
U (x ,y )A ex p (j2 fxx )
整理ppt
k kx kz;
朝X正方向， fx cos/;
2）不能，波长应该是不会变长的
3）波长应该由时间域的频率 f 决定，即波形变 化的快慢，不是由空间频率决定的。波长=c/f。 也可由公式：X=波长/cosa得到。
1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
UP a0 ejkr
r
rzxx02yy02
2z
思考，公式中的近似 条件为何位相里面不 考虑成r=z
jk z x x02 y y02
U P ae aee 0
2z
0 jkz j2 k z x x02 y y02
对上式进行二项式展开，并考虑徬轴近似，上式可进一步简化为：
rzxx02yy02
泰勒公式：f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a2整)z理(xpp-ta)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n!
此时，称A(cos/，cos/ )为xy平面上复振幅分布的角谱。 引入角谱概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义： (1)单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播的
单色平面波的叠加; (2) 在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位，它们
的值分别取决于角谱的模和幅角。
角谱如何求？就用傅里叶变换整理就ppt 行，注意坐标替换
整理ppt
试写出传播方向余弦为(cosα,0)的单色平面波在x-y平 面上的复振幅分布（用空间频率来描述）
(fxcos/, fy0)
U (x ,y )A ex p (j2 fxx )
整理ppt
k kx kz;
朝X正方向， fx cos/;
2）不能，波长应该是不会变长的
3）波长应该由时间域的频率 f 决定，即波形变 化的快慢，不是由空间频率决定的。波长=c/f。 也可由公式：X=波长/cosa得到。
1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
UP a0 ejkr
r
rzxx02yy02
2z
思考，公式中的近似 条件为何位相里面不 考虑成r=z
jk z x x02 y y02
U P ae aee 0
2z
0 jkz j2 k z x x02 y y02
傅立叶光学
则，叠加积分式可表示 为： U 0 ( x 0 , y 0 ) = ∫∫ U ( x1 , y1 ) h ( x0 − x1 , y 0 − y1 ) dx1dy 1
−∞
§3.2 基尔霍夫衍射公式
5 光线传播的线性性质
则，叠加积分式可表示 为： U 0 ( x 0 , y 0 ) = ∫∫ U ( x1 , y1 ) h ( x0 − x1 , y 0 − y1 ) dx1dy 1
U ( P0 ) = 1 4π
∫∫ (G
S∑
∂U ∂G −U )dS ∂n ∂n
成立条件: 成立条件:孔径的线度比光波长大很多, 孔径的线度比光波长大很多,观察点离孔径较远
§3.2 基尔霍夫衍射理论
4.2 菲涅耳－基尔霍夫衍射公式
应用基尔霍夫条件有：
1 U ( P0 ) = 4π ∂U ∂G 1 ( G − U ) ds = ∫∫ ∂n ∂n 4π S∑
∂G ( p1 ) 1 eikR 当R很大时， = cos(n , R )(ik − ) =ikG R R ∂n
∫∫ (G
S2
∂U ∂G ∂U −U )ds = ∫∫ G ( − Uik ) R 2 d ω ∂n ∂n ∂n Ω
§3.2 基尔霍夫衍射理论
4.1 平面衍射屏的基尔霍夫衍射公式
若满足两个条件 1 索末菲辐射条件： R →∞ 满足索末菲辐射条件，则S2上积分为0，则
§3.2 基尔霍夫衍射理论
3 亥姆霍兹和基尔霍夫积分定理
基尔霍夫积分定理是解决衍射问题的重要公式。
1 U ( P0 ) = 4π
∂U ∂G 1 ( G − U ) ds = ∫∫ ∂n ∂n 4π S
eikr01 ∂U ∂ eikr01 [ −U ( )]ds ∫∫ r01 ∂n ∂n r01 S
第三章 标量衍射理论(二)
空间频率的正负，仅表示平面波不同的传播方向 复振幅分布的空间频谱：
dxdy A f x , f y U x, y exp j 2 f x f y x y
复振幅分布的角谱：
cos cos cos cos A , x U x, y exp j 2
x y x y x
y
A0 f x , f y U x0 , y0 exp j 2 f x x0 f y y0 dx0dy0
A0 f x , f y e
jkz 1 f x f y
2
2
e
j 2 f x x f y y
传播距离z后
利用两者的关系， 确定整个光场的传播特性
cos cos cos cos A , , z exp j 2 x
观察平面
U x, y, z
cos cos y d d
A A0 exp jkz 1 cos2 cos2
传播效应为相移 倏逝波
A A0 exp kz cos2 cos2 1 A0e z
A A0
不沿z轴传播
思考：利用角谱理论证明光线传播的线性关系
3、衍射的角谱理论
cos cos cos cos 2 2 A , A , 0 exp jkz 1 cos cos
u P, t Re U P e j 2 t
标量衍射理论
x0 2
y
y0 2
z 1
1 2
x x0 z
2
1 2
y y0 z
2
可以进一步简化得出：
r z x2 y2 xx0 yy0
2z
z
这一近似称为夫琅禾费近似或远场近似，在这一条 件下，脉冲响应可进一步简化为：
h(x0 ,
y0 ;
x,
y)
exp( jkz)
jz
exp
j
k 2z
y
y0 2
z
1
x x0 z
2
y y0 z
2 2
当
cos(n, r) 1时
x
z
x0
2
和
y
y0
2
都是小量
z
r
z
1
x
x0
2
2z
2
y
y0 2
x x0 2 y
8z4
y0 2
2
r
z2
x x0 2
y
y0 2
z 1
1 2
x x0 z
2
1 2
§2.2 从矢量理论到标量理论 光的电磁理论
介质中无自由电荷
麦
E 0
克 斯
H 0
韦 方 程
E H
t
组
H E
t
符号： E 电场强度
直角坐标系分量 (Ex , Ey , Ez )
H 磁场强度
直角坐标系分量 (H x , H y , H z )
E, H 都是位置（x,y,z）和时间 t 的函数
cos(n,
r
)
- cos(n, 2
r0
傅立叶光学第三章总结
傅⽴叶光学第三章总结第三章标量衍射理论标量衍射理论是⼀种近似理论，所谓衍射就是指光波在传播的过程中波⾯受到限制时表现出来的现象。
由于我们⼀般遇到的问题都能满⾜标量衍射理论的两个条件（衍射孔径⽐波长⼤得多；不在太靠近孔径的地⽅观察衍射场），标量衍射理论给出的结果与实际⼗分相符。
第三章从基尔霍夫衍射理论和⾓谱理论出发讨论衍射问题，可以分别把它们看作是衍射的球⾯波理论和平⾯波理论。
这两种理论分别从空间域和频率域讨论衍射现象，在本质上是⼀致的。
根据衍射光波传播距离的长短实际衍射现象可分为两种：菲涅⽿衍射与夫琅⽲费衍射。
为了简化这两类衍射现象的计算，通常要做出不同程度的近似。
课本还给出了⼏种常见典型孔径的夫琅⽲费衍射图样。
对于具有周期性重复排列结构的衍射光栅可以利⽤列阵定理分析其衍射现象。
复振幅：定义P 点复振幅()()()j P U P a P e=，()a P 为P 点振幅，()j P e表⽰初相位。
球⾯波：()()00jkrjkr a U P e ra U P e r-== 发散球⾯波会聚球⾯波，2k πλ=在直⾓坐标系中，根据傍轴条件得到光源在()00,x y ，与其相距z 的xy 平⾯上的光场分布为：()()()()()()()()2200022000,exp exp 2,exp exp 2a kU x y jkz j x x y y z z a k U x y jkz j x x y y z z =-+-=---+-发散会聚平⾯波：()(),exp cos cos U x y a jk x y αβ=+平⾯波的空间频率cos cos x y f f αλβλ==基尔霍夫衍射理论：根据惠更斯⼦波原理发展⽽来,从空间域讨论衍射问题。
把孔径平⾯光场看作点光源的集合，观察平⾯上的场分布是它们所发出的带不同权重因⼦的球⾯⼦波的相⼲叠加。
球⾯⼦波在观察平⾯上的复振幅分布就是系统的脉冲响应。
菲涅⽿-基尔霍夫衍射公式：()()()01d jkre U P U P K S j rθλ∑=??由于这⾥的⼦波都是球⾯波，将光的传播看作⼀个线性系统。
3.3 标量衍射的角谱理论
后来，菲涅耳补充了惠更斯原理，提出了惠更斯-菲涅尔耳原 理，波前上任何一个未受阻挡的点，都可以看作是一个次级子波源 （频率与原波相同），在其后空间任何一点处的光振动是这些子波 的相干叠加。
U0(x1,y1) 推广后的惠更斯-菲涅尔耳原理可以写作: x1
x
U
(P ) = U ( x , y ) e 0 1 1
也就是对于(x02+ y02)一切可能值中的最大值有
2 x0 y 0 max
2 2
(
)
2z
2
z
(x 2
1
2 0
y 0 max
2
)
满足 式的z值范围的衍射叫做夫琅和费衍射。显然夫琅和费衍射 是在菲涅耳衍射的基础上进一步近似所得的结果，其衍射公式为:
2 x0 y 0 max
夫琅和费衍射
U ( x, y , z ) =
exp ( jk z ) j z
k 2 2 exp j ( x y ) 2z
xx0 yy 0 U 0 ( x0 , y 0 ,0 ) exp jk dx0 dy 0 z
jkr
ds
dx dy
1 1
r
p y z
r
y1
上式在解决衍射问题中，在相当大的范围内是正确的，但它 是近似的.其中一个原因是没有考虑子波在不同方向上作用的差异。 实际上每一小面元ds对观察点的作用还与面元法线和面元到观察 点联线的夹角有关。对于普便的情况，菲涅尔提出必须引入体现 子波在不同方向上作用的因子倾斜因子 k (q )
夫琅和费衍射公式
菲涅耳衍射
U ( x, y ) =
标量衍射理论
其中 r xi yj zk 为空间点的位矢
上式可改写为：
U ( x, y, z ) a exp( jkz cos ) exp[( jk ( x cos y cos )] a exp( jkz 1 cos 2 cos 2 ) exp[( jk ( x cos y cos )] A exp[( jk ( x cos y cos )]
平面波的等相位线方程为： x cos y cos C 平面波的等相位线为一族平行线。它们 正是波面与x-y平面的交线。
7.空间频率
y T
0
t
时间周期信号，周期为T，则其频率为f=1/T。 其含义是单位时间内信号重复的次数 。
类比于时间频率，我们引入空间频率的概念 空间周期:相邻两条纹之 间的距离 d 空间频率：单位长度的 1 条纹数 f
§1. 光波的数字描述
一单色光场可表示为位置的复函数U(P)。 在自由空间传播的任何单色光扰动的复振 幅都必须满足亥姆霍兹方程：
( k )U ( P) 0
2 2
球面波和平面波都是波动方程的基本解 任何复杂的波都可以用球面波和平面波的 线性组合表示，也都是满足波动方程的解。
一、球面波
从点光源发出的光波，在各向同性介质中 传播时形成球形的波面，称为球面波。 球面波复振幅传播特点是： 1、振幅衰减；2、相位变化。 单色发散球面波的复振幅可以写做
a exp[ jk ( x cos y cos z cos )
U ( x, y, z ) a exp( jkz cos ) exp[( jk ( x cos y cos )] a exp( jkz 1 cos 2 cos 2 ) exp[( jk ( x cos y cos )] A exp[( jk ( x cos y cos )]
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cos cos A( , , z)
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称为xyz平面上复振幅分布的角谱, 表示不 同传播方向()的单色平面波的振幅(|A|) 和初位相(arg{A})
角谱是xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其空 间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
复振幅分布的角谱： 例
在x-y平面上, 光场复 振幅分布为余弦型: 可以分解为:
Angular Spectrum of Complex Amplitude Distribution
对在 z 处的x-y平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)作傅里叶变换: 称为x-y平面 A( f x , f y , z) U ( x, y, z) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dxdy 上复振幅分 布的频谱 其逆变换为：
2、平面波角谱的传播
角谱是传播距离 z 的函数
在孔径平面(x,y, 0)的光场U0(x, y , 0) :
U 0 ( x, y,0) A(
cos cos cos cos cos cos , ,0) exp[ j 2 ( x y)]d ( )d ( )
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普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P)
光强分布: I = UU*
a0 jkr e 球面波的复振幅表示（三维空间）：U ( P ) r
(P(x,y,z)) 球面波的复振幅表示（x-y 平面）： y a0 k 2 (r 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) k z 2z
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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代入亥姆霍兹方程 (2+k2)U(x,y,z)=0, 并交换积分和微分的顺序
cos cos cos cos cos cos ( k ) A l , l , z exp j 2 l x l y d l d l 0
2、平面波角谱的传播
角谱沿 z 传播遵循的规律
2 cos cos 4 A , , z 2 cos2 cos2 l l l
d 2 cos cos 2 cos cos , , z k A , , z 0 2 A l l l dz l
U ( x, y) A cos(2f 0 x)
A U ( x, y ) U ( x) [exp( j 2f 0 x) exp( j 2f 0 x)] 2
U(x,y)的空间频谱函数:
A A( f x , f y ) { A cos( 2f 0 x)} [ ( f x f 0 ) ( f x f 0 )] 2 U(x,y)的空间角谱函数: cos cos A( , ) A( f x , f y ) cos cos fx , fy l l l l
l
l
l
传播距离z后到达z=z平面, 光场变化为U(x,y,z),
U ( x, y, z) A(
cos cos cos cos cos cos , , z) exp[ j ( x y)]d ( )d ( )
l
l
l
l
l
l
cos cos cos cos A( , ,0) 变化为 A( 传播的效应体现为角谱由 . l , l , z) l l
l
l
z l fx l f y )
在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
1、复振幅分布的角谱
Hfx, fy
系统的
exp jkz lf x lf y A ( f x , f y )
A( f x , f y )
2 2 exp jkz 1 λf x λf y H fx, f y 传递函数: 0
孔径平面（ z =0） P(x,y,0)
光场分布 U0(x,y,0) 观察平面（ z =z） P(x,y,z) 光场分布 U (x,y,z)
z
U0(x,y,0)与U (x,y,z)的关系如何？——传播的问题 先找到相应的角谱A(fx, fy,0)和A(fx, fy,z)之间的关系——角谱的传播
角谱是xy平面上复振幅分布U(x,y)的空间频谱, 其空间 频率宗量用传播矢量的方向余弦表示 按角谱的观点: 孔径平面和观察平面上的光场, 均看成许多不同方 向传播的单色平面波分量的线性组合.每一平面波的相对振幅和位 相取决于相应的角谱
1 f f < 2 λ 其 他
2 x 2 y
2、平面波角谱的传播
传播现象作为线性空不变系统
2 2 exp jkz 1 λf x λf y H fx, f y 传递函数: 0
系统的
1 f f < 2 λ 其 他
2 x 2 y
fy 1/l fx
cos cos A cos cos A( , ) f0 f 0 l l 2 l l
复振幅分布的角谱
第一步: 写出屏的透过率函数 t(x,y): 第二步: 写出入射波的复振幅分布U0(x,y ,0)
单位振幅的单色平面波垂直入射照明, U0(x,y,0)=1 第三步: 写出紧靠屏后平面上的透射光场复振幅分布U (x,y , 0) U (x,y, 0)=U0(x,y, 0) t(x,y)= t(x,y)
fz ( 1 l fx l f y ) l
这样平面波的复振幅即平面波方程可以写为 : U ( x, y, z ) a exp[ j ( xf x yf y )]exp( j z l f x l f y )
U ( x, y,) exp( j
U ( x, y, z )
A( f
x
, f y , z ) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dfx df y
即: 把U(x,y,z)看作不同空间频率的一系列基元函数exp[j2(fxx+fyy)] 之和, 各分量的叠加权重是A(fx, fy,z). 物理上, exp[j2(fxx+fyy)] 代表传播方向余弦为cos=lfx, cos=lfy 的单色平面波在xy平面的复振幅分布, U(x,y,z)是不同平面波分量分 布的线性叠加.每个分量的相对振幅和初位相由频谱A(fx, fy,z)决定.
2、平面波角谱的传播
传播现象作为线性空不变系统
cos cos cos cos A , , z A , ,0 exp( jkz 1 cos2 cos2 ) l l l l cos α cos β fx , fy A f x , f y A0 f x , f y λ λ 系统的输出 系统的输入 表征系统频谱特性的传递函数 ：
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
1、复振幅分布的角谱
根据
l l 可将频谱函数A(fx, fy,z)用表示各平面波传播方向的角度为宗量：
fx
cos
;
fy
cos
cos cos cos cos A( , , z) U ( x, y, z) exp[ j 2 ( x y)]dxdy
U ( x, y) A exp[jk ( x cos y cos )]
光波的数学描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
要与光的时间频率严格区分开 空间是有形的, 比时间更具体,更直观. 空间频率的单位: cm-1, mm-1, 周/mm, 条数/mm 等 空间频率的正负:表示传播方向与x(或y)轴的夹角小于或大于90 在给定的座标系, 任意单色平面波有一组对应的fx和fy, 它仅决定于光波的波长和传播方向. 反之, 给定一组fx和fy, 对于给定波长的单色平面波就能 确定其传播方向cos =l fx cos =lfy 二维F.T.在光学上的意义: 在xy 平面上的复杂的复振幅分布可以分解为许多简单的周期 分布,即复杂的光振动可以分解成许多简单平面波的叠加.
0
把光波的传播现象看作一个带宽有限 的空间滤波器。在频率平面上的半径 为1/l的圆形区域内，传递函数的模为 1，对各频率分量的振幅没有影响。但 要引入与频率有关的相移。在这一圆 形区域外，传递函数为零。
g ( x, y) G( f x, f y ) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dfx df y
光波的数学描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
三个空间频率不能相互独立： l2 因此
2 2 2
fx l fy l fz 1
2 2 2 2 2
2
2 2
z 2
2
2 2 2 2 x y
对任何 x,y,z 均应成立, 故
2 cos cos 4 A , , z 2 cos2 cos2 l l l
d2 2 dz
cos cos 2 cos cos A , , z k A , , z 0 l l l l
d2 dz2
cos cos 2 cos cos A , , z k (1 cos2 cos2 ) A , , z 0 l l l l