第三章 标量衍射理论
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第三章 标量衍射理论
U ( x, y, z) a exp( jk r )
a exp jk( x cos y cos z cos )
当平面波沿z轴正方向传播时
cos cos 0
U ( z ) a exp( j 2
cos 1
z , 2 ,3 波阵面
2u 1 2u c t
2 2
0
j 2 t
2
2 x
2
2 y
2
2 z 2
u( p, t ) U ( p)e
2 2
c
U ( p) k U ( p) 0
K
2
亥母霍兹方程
三、基尔霍夫积分定理 格林定理 若U(p)和G(p)是两个空间任意复数函数，S为包围体积V 的封闭曲面，U、G在S内和S上它们均单值连续，且一阶 和二阶偏导数单值连续，则有
U ( x, y ) t ( x, y )U ( x, y )
一、惠更斯—菲涅耳原理
1．惠更斯原理：波前上每一个面元都可以看作一个次级 扰动中心，它们产生球面子波，后一时 刻的波前位置是所有这些子波的包络面。
2．惠更斯—菲涅耳原理：波前上任何未受阻挡的点，都 可以看作一个次级波波源，其后空间任 一观察点的光振动是这些子波传播到该 点后叠加的结果。 菲涅耳发展了惠更斯原理，由定性走向了定量计算。
U0为后表面的光场
讨论：当孔用p点的点光源照明时的情况。 推导
r' • P'
n
P0
r • P
经过以上推导，当p近轴，r很大时，180，则有
1 exp( jkr ) 1 cos U ( p) U 0 ( p0 ) r 2 ds j 1 exp( jkr ) 1 cos U 0 ( x0 , y0 ) r 2 dx0dy0 j
3第三章
2zr
3zr
光栅 g思g考g(:x此现象的应用?
菲涅耳衍射的例子——泰伯效应（自成像效应 ）
g(x
)
n
cn
exp(
j2
n d
x)
n 0,1,2...
G(
)
n
cn
(
n d
)
H ( ) exp( jz 2 ) exp( jkz)
G'( ) G( )H ( )
4 再应用菲涅耳衍射公式
输出面复振幅分布
或
本页后，还要讨 论什么？
照明光 束FT
•
物体振幅 透射系数 FT
输出面偏离后 焦面产生的附 加相位FT
典型讨论
0、一般变换关系式
1、轴上平行光照明，输入面在透镜前d处，输出面在透镜后焦面 准傅里叶变换关系
2、轴上平行光照明，输入面在透镜前焦面，输出面在透镜后焦面 傅里叶变换关系
利用瑞利一索末菲衍 射公式\亥姆霍兹方程
•
衍射过程的频谱分析 频谱传播的物理意义
•
频谱传播一段距离的效应,是使各空间频谱分量仅产生一个相位 变化,而振幅和传播方向保持不变。
在z轴方向的净能流为零。
产生衰逝波，表明衍射屏上高频信息（1/λ ）将不能传播到足 够远的衍射场中。
衍射过程的频谱分析 传播过程的传递函数
z 2md2
m 1,2,3,...
有
exp
jz(
n d
)2
1
G'( )
n
cn
(
n d
)
exp(
jkz)
第三章 标量衍射理论(二)
空间频率的正负，仅表示平面波不同的传播方向 复振幅分布的空间频谱：
dxdy A f x , f y U x, y exp j 2 f x f y x y
复振幅分布的角谱：
cos cos cos cos A , x U x, y exp j 2
x y x y x
y
A0 f x , f y U x0 , y0 exp j 2 f x x0 f y y0 dx0dy0
A0 f x , f y e
jkz 1 f x f y
2
2
e
j 2 f x x f y y
传播距离z后
利用两者的关系， 确定整个光场的传播特性
cos cos cos cos A , , z exp j 2 x
观察平面
U x, y, z
cos cos y d d
A A0 exp jkz 1 cos2 cos2
传播效应为相移 倏逝波
A A0 exp kz cos2 cos2 1 A0e z
A A0
不沿z轴传播
思考：利用角谱理论证明光线传播的线性关系
3、衍射的角谱理论
cos cos cos cos 2 2 A , A , 0 exp jkz 1 cos cos
u P, t Re U P e j 2 t
傅立叶光学第三章总结
傅⽴叶光学第三章总结第三章标量衍射理论标量衍射理论是⼀种近似理论，所谓衍射就是指光波在传播的过程中波⾯受到限制时表现出来的现象。
由于我们⼀般遇到的问题都能满⾜标量衍射理论的两个条件（衍射孔径⽐波长⼤得多；不在太靠近孔径的地⽅观察衍射场），标量衍射理论给出的结果与实际⼗分相符。
第三章从基尔霍夫衍射理论和⾓谱理论出发讨论衍射问题，可以分别把它们看作是衍射的球⾯波理论和平⾯波理论。
这两种理论分别从空间域和频率域讨论衍射现象，在本质上是⼀致的。
根据衍射光波传播距离的长短实际衍射现象可分为两种：菲涅⽿衍射与夫琅⽲费衍射。
为了简化这两类衍射现象的计算，通常要做出不同程度的近似。
课本还给出了⼏种常见典型孔径的夫琅⽲费衍射图样。
对于具有周期性重复排列结构的衍射光栅可以利⽤列阵定理分析其衍射现象。
复振幅：定义P 点复振幅()()()j P U P a P e=，()a P 为P 点振幅，()j P e表⽰初相位。
球⾯波：()()00jkrjkr a U P e ra U P e r-== 发散球⾯波会聚球⾯波，2k πλ=在直⾓坐标系中，根据傍轴条件得到光源在()00,x y ，与其相距z 的xy 平⾯上的光场分布为：()()()()()()()()2200022000,exp exp 2,exp exp 2a kU x y jkz j x x y y z z a k U x y jkz j x x y y z z =-+-=---+-发散会聚平⾯波：()(),exp cos cos U x y a jk x y αβ=+平⾯波的空间频率cos cos x y f f αλβλ==基尔霍夫衍射理论：根据惠更斯⼦波原理发展⽽来,从空间域讨论衍射问题。
把孔径平⾯光场看作点光源的集合，观察平⾯上的场分布是它们所发出的带不同权重因⼦的球⾯⼦波的相⼲叠加。
球⾯⼦波在观察平⾯上的复振幅分布就是系统的脉冲响应。
菲涅⽿-基尔霍夫衍射公式：()()()01d jkre U P U P K S j rθλ∑=??由于这⾥的⼦波都是球⾯波，将光的传播看作⼀个线性系统。
3.3 标量衍射的角谱理论
后来，菲涅耳补充了惠更斯原理，提出了惠更斯-菲涅尔耳原 理，波前上任何一个未受阻挡的点，都可以看作是一个次级子波源 （频率与原波相同），在其后空间任何一点处的光振动是这些子波 的相干叠加。
U0(x1,y1) 推广后的惠更斯-菲涅尔耳原理可以写作: x1
x
U
(P ) = U ( x , y ) e 0 1 1
也就是对于(x02+ y02)一切可能值中的最大值有
2 x0 y 0 max
2 2
(
)
2z
2
z
(x 2
1
2 0
y 0 max
2
)
满足 式的z值范围的衍射叫做夫琅和费衍射。显然夫琅和费衍射 是在菲涅耳衍射的基础上进一步近似所得的结果，其衍射公式为:
2 x0 y 0 max
夫琅和费衍射
U ( x, y , z ) =
exp ( jk z ) j z
k 2 2 exp j ( x y ) 2z
xx0 yy 0 U 0 ( x0 , y 0 ,0 ) exp jk dx0 dy 0 z
jkr
ds
dx dy
1 1
r
p y z
r
y1
上式在解决衍射问题中，在相当大的范围内是正确的，但它 是近似的.其中一个原因是没有考虑子波在不同方向上作用的差异。 实际上每一小面元ds对观察点的作用还与面元法线和面元到观察 点联线的夹角有关。对于普便的情况，菲涅尔提出必须引入体现 子波在不同方向上作用的因子倾斜因子 k (q )
夫琅和费衍射公式
菲涅耳衍射
U ( x, y ) =
第三章-标量衍射理论2-角谱及其传播
l
l
l
l
cos cos A( , , z)
l
l
称为xyz平面上复振幅分布的角谱, 表示不 同传播方向()的单色平面波的振幅(|A|) 和初位相(arg{A})
角谱是xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其空 间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
复振幅分布的角谱： 例
在x-y平面上, 光场复 振幅分布为余弦型: 可以分解为:
Angular Spectrum of Complex Amplitude Distribution
对在 z 处的x-y平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)作傅里叶变换: 称为x-y平面 A( f x , f y , z) U ( x, y, z) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dxdy 上复振幅分 布的频谱 其逆变换为：
2、平面波角谱的传播
角谱是传播距离 z 的函数
在孔径平面(x,y, 0)的光场U0(x, y , 0) :
U 0 ( x, y,0) A(
cos cos cos cos cos cos , ,0) exp[ j 2 ( x y)]d ( )d ( )
l
l
l
普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P)
光强分布: I = UU*
a0 jkr e 球面波的复振幅表示（三维空间）：U ( P ) r
(P(x,y,z)) 球面波的复振幅表示（x-y 平面）： y a0 k 2 (r 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) k z 2z
信息光学-----第3章 标量衍射的角谱理论
• 光的标量衍射理论的条件
（1）衍射孔径比波长大很多； （2）观察点离衍射孔不靠太近。 标量衍射理论是一种近似理论，当衍射场能量分布 与光的偏振状态密切相关时，标量衍射理论的发展历程
• 1665年格里马蒂首次报道和精确描述了衍射现象；
• 1678年惠更斯提出子波的假设； • 1804年托马斯杨认为在适当条件下，光与光干涉叠加 可以产生暗斑； • 1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理； • 1860年麦克斯韦认为光等同于一个电磁波；
光场随时间的变化e
-j2pnt：
n ~1014Hz n为常数，线性运算后不变
对于携带信息的光波，空间变化部分需要详细分析。 故引入复振幅U(P): jj(P)
U(P) = a(P) e
则 u(P,t)= e{ U(P) e -j2pnt }
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
U(P) = a(P) e jj(P)
在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足 亥姆霍兹方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分 布完善地描述单色光波场。
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
球面波：等相面为球面，且所有等相面有共同中心的波 点光源或会聚中心 设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为r,
fx
x
cosa, cosb 为波 矢的方向余弦
1 sin q y fy Y l
若波矢在 x-z 平面或 y-z 平面中, a b 又常用它 们的余角qx (qy)表示，故： 1 sin q 引入空间频率概念后， 单色平面波 在xy 平面的复振幅分布可以表示为
X
l
;
U ( x, y) A exp[j 2p ( f x x f y y)]
光学原理 第三章 标量衍射理论基础
+
ak 2
= a1 + ak (P点相长, 亮点) 22
当k为偶数时 :
Ak
=
a1 2
+ ⎜⎛ ⎝
a1 2
− a2
+
a3 2
⎟⎞ + ⎜⎛ ⎠⎝
a3 2
− a4
+
a5 2
⎟⎞ + L + ⎜⎛
⎠
⎝
ak −3 2
− ak−2
+
ak −1 2
⎟⎞ + ⎠
ak −1 2
−
ak
=
a1 2
+
ak −1 2
−
ak
4.若λ/a趋于零Æ衍射现象消失—几何光学是λ/a趋于零 的极限情况
• 格里马耳迪(F.M.Grimaldi)1665 年首先报道 和描述了衍射现象。他当时用来观察光衍射的 装置由光源发出的光照射到一个不透明的屏所 开的孔径上，在孔径后方用一个平面屏来观察 经孔径透射的光在它上面分布的情况。
• 按照几何光学的观点，在观察平面上影子与亮 区的交界处应该是轮廓分明的，然而实际的观 察表明有一部分光线进入了几何阴影的暗区， 同时在亮区中却出现了暗纹。索未菲将这种 “不能用反射或折射来解释的光线对直线光路 的任何偏离”的现象定义为衍射。
r0
+
3⋅
λ
2
L
Bk
P
=
r0
+
k
⋅
λ
2
B0
r0
C‘ 极点
P
对称轴， S的法线
相邻波面到观察点距离 均相差λ/2的环形带波 面称为半波带。
二、半波带性质
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1、光波的数学描述
（4）传播方向为任意情况，情况又如何？
如右图所示，等相位线是一组斜平行线。很 容易确定其沿x和y方向的空间频率为
1 cos
1 cos
fx X l , fy Y l
则xy平面上的复振幅分布可表示为
U x, y Aexp jk x cos y cos
U x, y Aexp j2 fxx fy y
r z (x x0 )2 ( y y0 )2 2z
一级近似 二级近似
对振幅中r 的可作一级近似. 但因为 k 很大, 对位相中的 r 须作二级近似
1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
U P a0 e jkr
r
r z x x0 2 y y0 2
2z
U
x,
y
g(x, y)
G(
f x,
f y ) exp[
j2
(
fxx
f y y)]dfxdf y
1、光波的数学描述
1.5 复振幅分布的空间频谱（角谱）
U x, y A fx, fy exp j2 fxx fy y dfxdfy
A fx, fy U x, yexp j2 fxx fy y dxdy
U x, y Aexp jkx cos
（2）等位相线方程为
xcos C
复振幅在xy平面周期分布的空间周期可以用位相相差2 的两相邻等位相线的间隔X表示。
1、光波的数学描述
kX cos 2
X 2 l k cos cos
空间频率即为空间周期的倒数，表示x方向单位长度内振
幅变化的周期数
fx
在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
要与光的时间频率严格区分开
空间比时间更具体,更直观,是有形的 空间频率的单位: cm-1, mm-1, 周/mm, 条数/mm 等 空间频率的正负:表示传播方向与x(或y)轴的夹角小于或大于90
其中，
（1）a 是常量振幅； （2）cos、cos、cos 为传播方向的 方向余弦，而且有
cos2 cos2 cos2 1
1、光波的数学描述
沿某一确定方向传播的平面波，在xy平面上的复振幅为：
U x, y, z a exp jkz cos exp jk x cos y cos
a0 z
exp
jkz exp
j
k 2z
x
x0
2
y
y0
2
常量位 随x, y变化的二次位相因子
相因子
球面波特征位相
xy 平面上等位相线方程为 : x x y y C
一簇同心圆，由中心向外愈来愈密集
1、光波的数学描述
(P(x,y,z)) y (r
k
会聚点S z 0 x
U
x,
y
a0 z
1、光波的数学描述
✓ A(x,y)也可用方向余弦表示
A
cos l
, cos l
U
x,
yexp
j2
cos l
x
cos l
y dxdy
A(cos/l，cos/ l)称为xy平面上复振幅分布的角谱。
✓ 引入角谱的概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义：
U
x,
y
A
cos l
, cos l
U
x,
y
a
exp
jkz
1
cos2
cos2
exp
jk
x
cos
y
cos
Aexp jk x cos y cos
等相位线： xcos y cos C 等间隔平行线
1、光波的数学描述
1.4 平面波的空间频率
首先研究传播矢量位于x0z平面的简单情况，此时cos=0,
（1）xy平面上复振幅分布为
1.1 单色光波场的复振幅表示 单色光波场中某点P(x,y,z)在t时刻的光振动u(x,y,z,t)可表示为
u P,t aPcos 2t P
振幅
频率 初位相
光场随时间的变化关系: 由频率表征. 严格单色光: 为常数
光场变化的时间周期为1/ .
光场随空间的变化关系体现在: (1) 空间各点的振幅可能不同 (2) 空间各点的初位相可能不同, 由传播引起.
cos l
f0
1、光波的数学描述（P117 3.1）
第一步: 写出入射波的复振幅分布U0(x,y) 单位振幅的单色平面波垂直入射照明, U0(x,y)=1
第二步: 写出屏的透过率函数 t(x,y):
第三步: 写出紧靠屏后平面上的透射光场复振幅分布U (x,y )
U (x,y)=U0(x,y) t(x,y)= t(x,y)
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《傅里叶光学》
第三章 标量衍射理论（一）
主讲教师：刘 丽
太原理工大学物理与光电工程学院
本章主要内容
一．光波的数学描述 二．基尔霍夫衍射理论（球面波理论） 三．衍射的角谱理论（平面波理论） 四．菲涅耳衍射 五．夫朗和费衍射 六．衍射的巴比涅原理 七．衍射光栅
1、光波的数学描述
r
表示观察点P(x,y,z)离开点光源的距离；
中心在原点:
r x2 y2 z2
若球面波中心在 S (x0, y0, z0):
r (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
1、光波的数学描述（特定平面的光场分布）
考察：点光源位于x0y0平面，与其相距z(z>0)的xy平面上的光场分布
U(x,y)看作频率不同的复指数分量的线性组合，各频率分量的 权重因子是A(x,y)
exp j2 fxx fy y
fx
cos l
fy
cos l
代表一个传播方向余弦为(cos =lx、cos= ly)的单色平面波。
因此复振幅分布也可以看作为不同方向传播的单色平面波分 量的线性叠加, A(x,y)则为复振幅分布U(x,y)的空间频谱。
求光场的角谱
U(x,y)的空间频谱函数:
A( fx , f y )
{Acos(2f0x)}
A 2
[
(
f
x
f0) (
fx
f0 )]
U(x,y)的空间角谱函数: cos cos
A(
l
,
l
)
A( fx ,
fy)
f
x
cos l
,
f
y
c
os l
A( c os l
,
cos l
)
A 2
cos l
f0
2 x0 3l
求其紧靠孔径透射光场的角谱
试计算其波长以及沿x、y、z方向的空间频率。
作业：单色平面波复振幅表达式为：
U
x,
y,
z
A
exp
j
1 x 14
2 y 14
3 14
z
求此波在传播方向的空间频率以及在x、y、z方 向的空间频率。
1、光波的数学描述
练习2：在x-y平面上, 光场复 振幅分布为余弦型:
U( x, y ) Acos( 2 f0x )
第四步: 求出U(x,y)的频谱A(fx, fy)
第五步: 利用
cos fx l ;
fy
c os l
将
A(fx,
fy)改写成角谱
1、光波的数学描述（P117 3.1）
作业：波长为λ的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面 上，在空间平面上有一个足够大的模板，其振幅透过率为
t( x0 )
1 2
1
cos
• 方便运算, 满足叠加原理
• 光强分布: I = UU*= |U(P)| 2
1、光波的数学描述
1.2 球面波 等相位面为球面, 且所有等相位面有共同中心的波
(P(x,y,z)) y (r
k
源点S
z
0 x k: 传播矢量
发散球面波
(P(x,y,z)) y (r
k
会聚点S z 0 x
会聚球面波
1、光波的数学描述
exp
jkz exp
j
k 2z
x
x0
2
y
y0
2
1、光波的数学描述
发散球面波
✓重要概念：波前
会聚球面波
1、光波的数学描述
1.3 平面波
平面波也是光波最简单的一种形式。 沿k方向传播的单色平面波，在光场中P(x,y,z)点产生的复振幅可以表示为：
U x, y, z a exp jk x cos y cos z cos
1 X
cos l
等相位线平行于y轴，则
fy
1 Y
0
此时，xy平面上的复振幅分布可表示为
U x, y Aexp j2 fx x
上式就是一个传播方向为(cos =lx、cos=0)的单色平面波 的复振幅表达式。
1、光波的数学描述 (3)空间频率为负数的情况
fx
1 X
cos l0Leabharlann fy1 Y0
空间频率的正负，仅表示平面波不同的传播方向
光场变化的空间周期为l.
1、光波的数学描述
将该波函数用复数表示，以便于简化运算
u P, t Re a P e j2tP
Re a P e jPe j2t
复数表示有利于 将时空变量分开
光场随时间的变化e -j2t不重要: 为常数,光场各点相同
对于携带信息的光波, 感兴趣的是其空间变化部分. 故引入复振幅U(P):