流体力学第4章

要求：画清楚图，标明断面，写清方程。
作业题
P126. 4.3、4.4
§4.5 动量方程及其应用
讨论运动的流体与固体边界的相互作用力。 质点系动量定理 dM d ( mu ) F dt dt
概念：
控制体 控制面 流体系统
1.控制体： （1）定义：流场中一确定区域 （2）特点：形状、位置不变，质点可变。
v2 sin
R p2 y
d22
4
sin v1
d12
水流对管壁作用力
Rx Rx
R y R y
R Rx R y
2
2
例题2：已知水枪喷嘴直径 d1=50mm,d2=20mm,流量 q=25m3/h。 求：1.喷嘴接头拉力； 2.射流对平板冲力。
提问：若使用U形管水银差压计，两断面测压管 水头差如何计算？
答案：
m ( 1)h
3.对气体使用伯努利方程
某轴流式风机直径D = 0.3 m， ρa=1.2 kg/m3，∆h = 0.15m , 求风机的风量？ 解：以过轴线水平面为基准 列1—1，2—2面方程
v1 v2 p1 a p2 a pi1 2 2 2 p1 pa ,v1 0, pi12 0
A2 A1
引入断面平均流速v
( 02v2Q2 01v1Q1 )dt Q( 02v2 01v1 )dt
β0—动量修正系数，β0=1.02-1.05，工程中取1
总流动量方程
1 ) F dt
实际流体沿流动方向，机械能总是减少的
四、实际总流的伯努利方程
公式推导：因为通过一个通道的流体总流是由许多 流束组成的。每个流束的流动参量都有差别，而对于总 流，希望利用平均参量来描述其流动特性。 缓变流—流线为近似平行直线的流动 急变流—流线间夹角较大、曲率半径较小。
缓变流特性
单位时间内微小流束上下游断面通过的总机械能
v1
1 3 3 2
v2
v3
z1
p1


1v1
2g
2
z2
2
p2


2 v2
2g
2
h f 12
2
z1
p1


1v1
2g
z3
p3


3v3
2g
h f 13
二、伯努利方程的应用例
1.毕托管
例题：在D=150mm的水管中，装一带水银差压计的毕托 管，测量管轴处的流速，管中水流均速v为管轴处流速u 的0.84倍，如果1、2两点很近，求水管流量。 解：列1、2两点伯努利方程
p1
p1
z2
y
z1
x
适用条件：①理想流体 ②稳定流动 ③质量力只受重 力 ④不可压流体 ⑤沿流线或微小流束。
方程表示流线上各点u, p, z 三者间关系； 方程可以推广到微小流束。
二、理想流体微小流束伯努利方程的意义 z — 位置水头； 单位重量流体 具有的位能 （m液柱） — 压力水头； 单位重量流体
水力特性：
z
p

C
B. 动能修正系数（解决流速不均的问题）
缓变流
急变流
缓变流
急变流 急变流 缓变流
缓变流 急变流 缓变流
急变流
缓变流和急变流
α—动能修正系数
实测α= 1.05~1.1 ，工程上取α≈ 1
hf — 单位重量流体的平均水头损失 （粘性内摩擦力引起）
实际流体总流的伯努利方程
总流伯努利方程意义与微小流束方程相 同，式中以均速替代实际流速，用系数修正
∑F —作用在控制体上的合外力（表面力与质量力之和）
Q(v2 x v1x ) Fx
坐标分量式
Q(v2 y v1 y ) Fy
教材4.5-5
Q(v2 z v1z ) Fz
等号左边意义为，单位时间内流出控制体的 动量减去流进的动量。
说明：
（1）在计算过程中只涉及控制面上的运动要素，而不必考虑控制 体内部的流动状态。


ρM g ρg

h
∆h ∆h h
umax 2 g
ρM g ρg

h
h
2 9.8 12.6 0.02
u1= umax
1 2
2.22m / s
v 0.84u max 0.84 2.22 1.87m / s
Q Av
0.15 2
M 22 M 11
dm2 u 2 dm1u1 dqdtu2 dqdtu1
2.dt时段内总流动量变化量
dM dqu2 dt dqu1dt A2 A1 dt u2 dq2 dt u1dq1
pa p2 w gh v2 2 a a
2
2
2
v2
2 w h
a
2 1000 9.8 0.15m 49.5m / s 1.2
4.虹吸管
求虹吸管出口流速和最高 点S处的压力 解:（1）以管出口面为基准， 列0-0,1-1面伯努利方程 1 1 pa v1 pa
1
d1
v1 p1
1
R d 2 R
2
2
v2
Rx′
解：1.取1-1，2-2面之间控制体，列伯努利方程
p1
pa v2 v1 0 0 2g 2g 2 2 2 p1
(v 2 v1 )
2
2
( p a 0)
d2 4 v2 [1 ( ) ] 2 2 d1 4q 2 d2 4 ( 2 ) [1 ( ) ] 2 d d1 1000 4 25/3600 2 0.02 4 ( ) [1 ( ) ] 2.38 105 （Pa） 2 π 0.02 2 0.05
s
0 H1 H2
0
z0 H 2 , p0 p1 pa , v0 0
（2）以液面为基准,列0-0,S-S 面方程
0
0
s s
H1 H2
1 S面真空度 v1
1
应用伯努利方程应注意的问题：
① 搞清使用条件； ② 方程中位置水头 z 是相对基准面而言； ③ 计算时，方程两边选用压力标准一致，单位 统一； ④ 动能修正系数取1 ； ⑤ 同一基准面上两点1、2两处含义不同，不可 混用； ⑥ 对于水罐、水池等，液面上速度近似为零。
4
1.87 0.033m 3 / s 33L / s
2.文丘里流量计的流量计算 设理想流体，hf=0 任选0—0基准面， 取1—1，2—2断面， 计算点取轴线上
∆h
由连续性方程
A1 v2 v1 A2
A1 2 v1 [( ) 1] 2 gh A2
2
流量
k h
k—流量系数
求解动量方程问题解题步骤
1.取控制体，两过流断面取在缓变流段； 2.标出控制体上外力：（1）断面上液体压力；
（2）固体边界的反作用力
3.恰当选取坐标系，动量、外力与坐标轴同向为正； 4.流出动量减去流进动量； 5.液体压强最好用相对压强。
动量方程应用
2
例1：已知一水平排水弯 管,直径为d1,d2,流速为 v1,v2,角度α,液体压力为 p1,p2。不计水头损失,求 水流对弯管壁作用力。
的压力能（m液柱）
— 速度水头；单位重量流体的动能（m液柱）
— 测压管水头； 单位重量流体 的势能
H—总水头； 单位重量流体的总机械能
沿流线伯努利方程又称微小流束的伯努利方程 理想流体总水头线为水平线，表明机械能守恒
三、实际流体微小流束的伯努利方程
实际流体 μ≠ 0
1.方程
hf
hf — 损失水头； 单位重量流体在1，2两断面间流动时损失的机械能
第4章
流体动力学基础
本章研究流体在运动状态下，作用在流体 上外力与运动之间的关系，其方法是根据物理
学与理论力学中的能量守恒和动量守恒定律，
建立流体运动的动力学方程。
§4.2 理想流体的运动微分方程
理想流体：μ= 0 （即无粘性流体） 取微小六面体，x 方向受力分析 1、表面力 dz
p dx p x 2 z dy
p2 d2 α
y x
1
v2
2
p1 v1
1
R
d1
Rx Ry′
Ry
Rx′ R′
解：取断面1-1，2-2及管壁为控制面列方程 x 方向 F Q(v v )
x 2x 1x
p1
d1
4
2
p2
d 2
4
2
cos Rx v1
d 2 2
4 cos v1
d1 2
4
(v 2 cos v1 )
§4.3 伯努利方程
一、理想流体的伯努利方程 欧拉运动方程积分条件 1.定常不可压缩流动 2.沿流线积分 3.流体仅在重力场中
将欧拉方程各式改造相加：
(1)✕dx+(2)✕dy+(3)✕dz:
得到下式
由积分条件 1.
dp( x, y, x)
由积分条件 2.
沿流线（即沿迹线）积分
等号右端为
y
p
p dx p x 2
dx x
F质
2、质量力 Xρdx dy dz
由牛顿第二运动定律
∑Ｆx＝m ax
同除以ρdx dy dz（六面体质量）
欧拉运动微分方程
公式说明： （1）物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与表 面力之代数和等于加速度。 （2）适用条件： ① 理想流体：无粘性、无能量消耗。 ② 可压缩、不可压缩流体 ③ 稳定流、不稳定流 （3）ux＝uy＝uz=0时，得Euler平衡微分方程 （4）方程可解性 四个未知数ux，uy，uz，p，三个方程加一个连续性方 程：可解。