高一数学1.3.1正弦函数的图像与性质学案2
正弦函数的图象和性质教案
第一章：正弦函数的定义与基本概念1.1 引入正弦函数讲解正弦函数的定义：在直角三角形中，正弦函数是角的对边与斜边的比值。
强调正弦函数的单位：弧度制。
1.2 分析正弦函数的性质周期性：正弦函数周期为2π。
奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)。
1.3 举例说明正弦函数的应用利用正弦函数计算角度对应的弧度值。
应用正弦函数解决实际问题，如测量角度等。
第二章：正弦函数的图象2.1 绘制正弦函数的基本图象利用计算器或绘图软件，绘制y = sin(x)的图象。
观察并描述正弦函数的波形特点，如波动、振幅、周期等。
2.2 分析正弦函数图象的性质周期性：正弦函数图象每隔2π重复一次。
奇偶性：正弦函数图象关于原点对称。
振幅：正弦函数图象的最大值为1，最小值为-1。
2.3 绘制正弦函数的相位图利用计算器或绘图软件，绘制不同相位角的正弦函数图象。
分析相位对正弦函数图象的影响。
3.1 分析正弦函数的单调性证明正弦函数在区间[0, π]上单调递增。
证明正弦函数在区间[π, 2π]上单调递减。
3.2 研究正弦函数的极值求解正弦函数的极大值和极小值。
分析极值出现的条件。
3.3 探讨正弦函数的奇偶性证明正弦函数是奇函数。
探讨正弦函数的偶函数性质。
第四章：正弦函数的应用4.1 正弦函数在物理中的应用介绍正弦函数在振动、波动等物理现象中的应用。
举例说明正弦函数在电磁学中的应用。
4.2 正弦函数在工程中的应用探讨正弦函数在信号处理、通信工程等领域的应用。
举例说明正弦函数在声学、光学等工程领域的应用。
4.3 正弦函数在其他领域的应用介绍正弦函数在音乐、艺术等领域的应用。
探讨正弦函数在其他科学领域的应用。
第五章：正弦函数的综合应用5.1 求解正弦函数的方程求解方程sin(x) = a，其中a为给定的数值。
介绍解正弦方程的方法和技巧。
5.2 利用正弦函数解决实际问题举例说明利用正弦函数解决测量、导航等实际问题。
介绍正弦函数在数据分析、图像处理等领域的应用。
高中数学正弦函数的图像和性质—学案
1.3《正弦函数的图像和性质》 导学案 2015/3/20命制：徐 庆 班级 姓名导学目标:1．掌握正弦函数图象的画法．2．理解并熟练掌握用“五点法”作出正弦函数简图的方法，并利用正弦函数图象掌握单调 性、最值等有关结论。
3．通过学习正弦函数图象的画法培养分析问题、解决问题的能力．重点与难点:五点法画正弦函数的图象、理解正弦函数y=sinx 的性质．课前自主练习：分别画出一、二、三、四象限角的正弦线xyxyxyx y探索新知：一、研究正弦函数 的图像 方法1. 描点法:基本步骤： ⑴列表 ⑵描点 ⑶连线 x6π 3π 2π 32π 65π π 67π 34π 23π 35π 611π2π y=sinx方法2. 三角函数线法 :第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n (这里12n =)等份.第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π,…，2π的正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数 y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．---2π23πxyπ2π11----[]π2,0,sin∈=x x y _ - 1_1_ x _ 11_x _10 _x _8_x _7_x _5_x _4_ x_ 3_ x _2_x _1 _ M _ 5_ M _ 4_ M _ 2_ M _ 1_ P _ 11_ P_ 10_ P_9_ P_8_ P_7_ P _5_ P _4_ P _3_ P _2_ P _1_ P __ P _6 _ o' _x _9_ O_y _x思考一，在精度要求不高的情况下，如何画出y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象？正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：思考二，如何画出y=sinx ，x ∈R 的图象？知识升华：根据上图y=sinx ，x ∈R 的图象，可以得到正弦函数y=sinx ，x ∈R 的以下重要结论：8．最值情况：①当且仅当x ＝ 时，取得最大值 ； ②当且仅当x ＝ 时，取得最小值 ．1. 定义域:2. 值域：3. 奇偶性:5.单调性:单调递增区间: 单调递减区间:6.对称中心:π7. 对称轴方程:4. (最小正) 周期:x典例剖析：例1.比较下列各组数的大小例2. “五点法” 画出函数y =1+sin x ，x ∈[0, 2π]的简图oo 200sin 10sin 与巩固练习1．比较大小： ⎪⎭⎫⎝⎛5sin π⎪⎭⎫⎝⎛3sin π2、“五点法” 画出函数y=2sinx 在一个周期内的简图课堂小结：课后作业：1、课本p43,练习1、2、32、“五点法” 画出函数y=sin2x 在一个周期内的简图3、“五点法” 画出函数y =sin （x + 3）在一个周期内 的简图：。
正弦函数的图像与性质教案
正弦函数的图像与性质教案教学目标：1. 了解正弦函数的定义和图像特点。
2. 掌握正弦函数的周期性和对称性。
3. 理解正弦函数的增减性和奇偶性。
4. 能够应用正弦函数的性质解决实际问题。
教学内容：第一章：正弦函数的定义与图像1.1 正弦函数的定义1.2 正弦函数的图像第二章：正弦函数的周期性2.1 周期性的定义2.2 周期性的图像表现第三章：正弦函数的对称性3.1 对称性的定义3.2 对称性的图像表现第四章：正弦函数的增减性4.1 增减性的定义4.2 增减性的图像表现第五章：正弦函数的奇偶性5.1 奇偶性的定义5.2 奇偶性的图像表现教学步骤：第一章：正弦函数的定义与图像1.1 正弦函数的定义1. 引入正弦函数的概念，让学生回顾三角函数的定义。
2. 解释正弦函数的定义，即在直角坐标系中，正弦函数表示对边与斜边的比值。
1.2 正弦函数的图像1. 利用计算机软件或板书，绘制正弦函数的图像。
2. 解释正弦函数图像的波动特点，如周期性和振幅。
第二章：正弦函数的周期性2.1 周期性的定义1. 引入周期性的概念，让学生理解周期函数的定义。
2. 解释正弦函数的周期性，即每隔一个周期，函数值重复出现。
2.2 周期性的图像表现1. 利用计算机软件或板书，展示正弦函数周期性的图像。
2. 引导学生观察图像，理解周期性的特点。
第三章：正弦函数的对称性3.1 对称性的定义1. 引入对称性的概念，让学生理解对称函数的定义。
2. 解释正弦函数的对称性，即函数图像关于y轴对称。
3.2 对称性的图像表现1. 利用计算机软件或板书，展示正弦函数对称性的图像。
2. 引导学生观察图像，理解对称性的特点。
第四章：正弦函数的增减性4.1 增减性的定义1. 引入增减性的概念，让学生理解函数的增减性质。
2. 解释正弦函数的增减性，即在一定区间内，函数值的增减规律。
4.2 增减性的图像表现1. 利用计算机软件或板书，展示正弦函数增减性的图像。
2. 引导学生观察图像，理解增减性的特点。
中学数学正弦函数的图象和性质教案
中学数学正弦函数的图象和性质教案中学数学正弦函数的图像和性质教案一、引言正弦函数是数学中重要的一类周期函数，它在物理、工程等领域有着广泛的应用。
本教案将介绍正弦函数的图像和性质，通过图像展示和数学表达，帮助学生深入理解正弦函数的特点和应用。
二、图像展示正弦函数的图像是一条连续的波形，具有周期性。
我们首先通过计算和绘制来展示正弦函数的图像。
1. 定义正弦函数正弦函数记作y = sin(x)，其中x为自变量，y为函数值。
正弦函数的定义域为全体实数，值域为闭区间[-1, 1]。
为了方便，我们先以角度作为自变量，再将其转换为弧度。
2. 绘制正弦函数的图像我们选取适当的自变量取值范围，例如：-2π ≤ x ≤ 2π。
3. 绘制坐标系在平面直角坐标系中，绘制x轴和y轴，并标出刻度和坐标点。
4. 计算函数值根据正弦函数的性质，计算各个自变量对应的函数值。
例如，计算x = π/2时的函数值为sin(π/2) = 1。
5. 绘制图像连接各个坐标点，绘制正弦函数的图像。
注意保证图像的连续性。
三、正弦函数的性质了解正弦函数的特点及性质，对我们进一步的应用和理解具有重要意义。
1. 周期性正弦函数是一个周期函数，其最小正周期为2π。
即对于任意实数x，有sin(x+2π) = sin(x)。
2. 对称性正弦函数是奇函数，具有中心对称性。
即对于任意实数x，有sin(-x) = -sin(x)。
3. 函数值范围正弦函数的值域为闭区间[-1, 1]，即对于任意实数x， -1 ≤ sin(x) ≤ 1。
4. 单调性正弦函数在区间[-π/2, π/2]上递增，在区间[π/2, 3π/2]上递减。
即在一个最小正周期内，正弦函数先增后减，且在关于x轴的中心对称位置取得最值。
5. 零点正弦函数有无数个零点，其中一个重要的零点是x = 0。
对于一般情况，sin(x) = 0的解是x = kπ（k为整数）。
四、练习题为了加深学生对正弦函数图像和性质的理解，我们给出以下练习题。
正弦函数的图象和性质教案
正弦函数的图象和性质教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解正弦函数的定义和图象特点；（2）掌握正弦函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性；（3）能够运用正弦函数的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察正弦函数的图象，探索其性质；（2）运用数形结合的方法，理解正弦函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性；（3）培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对正弦函数图象和性质的兴趣；（2）培养学生积极参与数学探索的精神；（3）提高学生对数学美的感受，培养审美情趣。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）正弦函数的定义和图象特点；（2）正弦函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性；（3）运用正弦函数的性质解决实际问题。
2. 教学难点：（1）正弦函数的周期性和对称性的理解与应用；（2）运用数形结合的方法，探索正弦函数的性质。
三、教学准备1. 教具：黑板、粉笔、投影仪、正弦函数图象和性质的课件。
2. 学具：笔记本、尺子、圆规、三角板。
四、教学过程1. 导入：（1）复习已知函数的图象和性质，如一次函数、二次函数、反比例函数；（2）提问：正弦函数的图象和性质是什么？2. 新课讲解：（1）讲解正弦函数的定义和图象特点；（2）引导学生观察正弦函数的图象，探索其单调性、奇偶性、周期性和对称性；（3）运用数形结合的方法，讲解正弦函数的性质。
3. 课堂练习：（1）让学生独立完成教材中的相关练习题；（2）挑选学生上黑板演示和解说正弦函数的性质。
五、课后作业1. 完成教材中的课后练习题；2. 结合生活实际，寻找正弦函数的应用实例，下节课分享。
教学反思：本节课通过观察正弦函数的图象，引导学生探索其性质，培养了学生的数形结合思想。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的数学素养。
结合实际生活中的例子，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
六、教学活动设计1. 小组讨论：让学生分组讨论正弦函数在不同区间的单调性，奇偶性，以及如何判断这些性质。
1.3.1正弦函数图像和性质-教学设计-崔鹏-人大附中
《正弦函数图象及其性质》教学设计学校：人大附中姓名：崔鹏学科：数学年级：高一1.3.1 正弦函数图象及其性质中国人民大学附属中学崔鹏●指导思想与理论依据本教学设计力图以《高中数学课程标准》为依据，以“师生互动教学”为指导，以教师主导、学生主体为理念，以信息技术融入学科结合动手操作教学为手段，以课堂为依托来实现教学目标．《高中数学课程标准》指导下的新教材将突破以知识块为主线，而以基本的数学思想方法为主线来选择和安排教学内容，强调数的意识、空间观念、优化思想、统计思想、方程与函数思想、估计意识、推理意识和应用意识，强调从运算意义出发进行思考和教学，强调密切联系学生的生活．目的是让学生通过基础知识和基本技能的学习，学会从数学的角度提出问题、理解问题，能综合应用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识．学生学习，尤其是新授课教与学应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程．认真听讲、积极思考、动手实践，自主探索、合作交流都是学习数学的重要方式．因此，本节课采用小组合作是学生喜闻乐见的形式，让学生从小组合作探究开始进入学习，可以让学生在合作的过程体验学习的快乐，旨在为学生提供对新知识的认识角度，结合生活实际解决教学难点，从而启发学生的创新性思维．●教学背景分析内容分析本节内容是高中数学人教B版教材《必修四》第一章第三节第一课时内容．三角函数是高中数学范围内学生接触的最后一类基本初等函数，而正弦函数是其中最具代表性的函数．学生通过必修一的学习，已经初步掌握了研究函数的一种基本方法，即通过图象研究函数的性质，通过简单的函数性质修正函数的图象．学情分析在本节课前，学生已经接触了弧度制、任意角三角函数定义、同角三角函数基本关系式和诱导公式等知识，并通过三角函数线初次体会了三角函数“形”的概念，那么，建立正弦函数与其自变量之间的映射关系并抽象为函数图象是本节课的难点．教学方法（1）通过正弦线的变化趋势，让学生建立直观的函数变化趋势，初步总结归纳出正弦函数性质；（2）通过描点，帮助学生建立角的弧度值到坐标轴的对应关系，以实物教具的方式，让学生动手将弧长转化为数；（3）通过描点、分析、实物帮助作图到五点法，使学生逐步深入地了解正弦函数的图象形状，养成五点作图的习惯，并通过练习落实；（4）本节课将以多媒体、实物教具辅助教学的手段，通过小组合作、归纳探究、展示评价的方式展开，培养学生的自主思考能力和动手实操能力．●教学目标与重点、难点设计教学目标1．知识目标：理解正弦函数的性质，能正确使用“五点法”、“几何法”作出正弦函数的图象；2、过程目标：通过研究三角函数的性质和图象，进一步体会研究函数的基本方法，学会通过函数的性质作出函数草图，通过函数图象推演函数的性质的过程；3、情感目标：通过图象的学习，培养由局部到整体，具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃．教学重点：正弦函数的性质与图象；教学难点：理解弧度值与x轴上的点的对应；● 教学过程与教学资源设计 教学过程： 一、复习回顾我们已经学习了任意角的三角函数以及三角函数线的内容，并且定义了正弦函数，y=sinx ，x ∈R ．三角函数是我们高中范围内学习的最后一种函数．我们已经有了一些研究函数的基本方法． 【提问1】根据这些经验，我们应该从哪几个方面研究正弦函数？ →定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，最值，图象等． 本节课我们将研究正弦函数的图象和性质．二、课堂活动【活动1】学生结合已有的经验，小组活动研究正弦函数的图象和性质．【提问2】你是怎样作出这个图象的？为什么可以这样作图？【提问3】你作出的图象是正弦函数图象吗？为什么图象是这样的形状？有没有使图象更精确的做法？→材料：一个圆形纸片（半径为1的圆），两根软绳，一把直尺．【提问4】在什么点拐弯，另外一边是什么样的？图中有哪些关键点？这些关键点对我们作图有什么帮助？【设计意图】五点作图法，五个点分别为：3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22ππππ-． 【提问5】结合图象，你能得出正弦函数的哪些性质？ 【设计意图】培养学生根据图象获取函数性质的能力．【活动2】分小组展示，每组总结得出一条正弦函数的性质，其他组补充，教师点评． 【提问1】你是怎样得到这些性质呢？这些性质可以帮助我们作出正弦函数图象吗？ 【设计意图】培养学生根据性质作图的习惯．【活动1】学生分小组展示正弦函数的性质并讲明道理，并根据性质作出正弦函数的图象．其他组补充，教师点评．【提问2】要想得到正弦函数的图象，除了性质以外，我们还需要借助哪些条件？你有比较用1号绳量取弧长用2准确的作图方法吗？【活动2】两名学生演示作图方法，并解释该方法的原理．方法归纳：作图时，可以从0度开始量取单位圆上的一段弧长，即为对应的角度，再量取弧的终端到x 轴的线段数量，即为正弦值，利用线的长度分别得到一点的两个坐标即可．【提问3】图中有哪些关键点？这些关键点对我们作出正弦函数的草图有什么帮助？ 【活动3】试作出正弦函数的图象． 【设计意图】明确正弦函数图象的形状后，为了简化作图方式，在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数的简图．只要这五个点描出后，图象在[0,2π]上的形状就基本确定了．三、课堂总结本节课我们作出了正弦函数的图象，并根据图象总结得到了正弦函数的重要性质．（本节课我们通过对正弦函数的定义和正弦线得到了正弦函数的性质，并根据性质作出了正弦函数的图象）．这是研究函数的基本方法．后面的学习，我们将继续深入研究正弦函数的性质和图象．学习效果评价设计1、根据课上的讨论，完成下面的表格． 正弦函数的性质正弦函数还具有周期性，这通过其图象不难发现．你知道如何定义函数的“周期”吗？用1号绳量取弧长用22、用五点法在同一坐标系内作出函数y = sin x ，y=2sin x 和y = sin x 在[-2π，2π]上的图象；3、用五点法在同一坐标系内作出函数y = sin x ，y=2sin x 和y = sin x 在[-2π，2π]上的图象；4、用五点法在同一坐标系内作出函数y = sin x ，y=|sin x|和y =sin|x |在[-2π，2π]上的图象；【设计意图】本节课的重点是正弦函数的图象和性质，但是考虑到学生经过探究得到正弦函数图象之后可以很容易根据图象得到正弦函数的性质，因此在设置课堂练习和课后习题时，一方面落实“五点作图法”，并辅以简单的图象变换，另一方面引导学生总结归纳正弦函数的性质．教学设计特色说明与教学反思本节课围绕正弦函数的图象和性质展开．根据学生的思维过程，可以通过几何法或描点法先作出函数图象再归纳总结性质，也可以根据三角函数线的变化规律先探究函数性质，再作出图象．不管是从哪个角度，都希望向学生渗透函数性质和图象的依存关系，这也是数形结合的重要意义所在．根据“形”，即三角函数图象得到三角函数的性质后，可以进一步指导学生根据性质作出正弦函数图象．如利用周期性，将正弦函数图象的研究范围缩小到[-π，π]，利用奇偶性，将范围进一步缩小到[0，π]，利用对称性，将范围进一步缩小到[0，2]，这样我们可以只研究锐角的三角函数值，这大大降低了研究正弦函数的难度．在教学环节中，教师的个别指导和小组展示评价是本节课是否能够达到教学目标的关键，也是甄别学生是否能从小组合作和自主探究中体会新知识的研究方法，尤其是和生活衔接非常紧密的三角函数的研究方法，而后将本部分内容自然地镶嵌到一般函数的研究方法中，从而启发学生的学习和探究过程．板书设计：。
第一章 1.3.1正弦函数的图象与性质(二)
本 课 时 栏 目 开 关
填一填·知识要点、记下疑难点
1.3.1（二）
1． 正弦曲线
本 课 时 栏 目 开 关
从函数图象看，正弦函数 y＝sin x 的图象关于 原点 对称； 从诱导公式看，sin (－x)＝ －sin x 对一切 x∈R 恒成立． 所以说，正弦函数是 R 上的 奇 函数．
填一填·知识要点、记下疑难点
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3．判断下列函数的奇偶性： 1－sin x (1)f(x)＝xsin(π＋x)；(2)f(x)＝ . 1＋sin x
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 2 求下列函数的周期． 3 2 (1)y＝cos 2π－3x； 1 π (2)y＝sin－2x＋3.
2 2π 解 (1)y＝－sin 3x，T＝ 2 ＝3π. 3
1 π 2π 1 sin x－ ，T＝ × ＝2π. (2)y＝ 3 1 2 2
∵f(x)的最小正周期是 π， 5π 5π π ∴f 3 ＝f 3 －2π＝f－3. 解 ∵f(x)是 R 上的偶函数， π π 5π π 3 3 － ＝f ＝sin ＝ ＝ ∴f 3 3 3 2 .∴f 3 2 .
研一研·问题探究、课堂更高效
例 2 求下列函数的周期． π (1)y＝sin2x＋3 (x∈R)； (2)y＝|sin 2x| (x∈R)．
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1.3.1（二）
解
(1)方法一
π 令 z＝2x＋3，
∵x∈R，∴z∈R，函数 f(x)＝sin z 的最小正周期是 2π， 就是说变量 z 只要且至少要增加到 z＋2π， 函数 f(x)＝sin z(z∈R)的值才能重复取得， π π 而 z＋2π＝2x＋3＋2π＝2(x＋π)＋3，所以自变量 x 只要且至少 π 要增加到 x＋π， 函数值才能重复取得， 从而函数 f(x)＝sin2x＋3 (x∈R)的周期是 π.
正弦函数的性质(二)导学案
正弦函数的性质（二）导学案高一数学组赵飞(一)导学目标1．知识与技能（1）通过正弦函数的图像进一步研究和理解正弦函数的性质。
（2）能够灵活应用正弦函数的性质解决相关问题。
2．过程与方法通过数形结合研究正弦函数的性质，增强学生自主学习、解决问题的能力，并归纳出解决问题的通解通法。
3．情感态度与价值观通过自主探究与合作交流激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位。
通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，2810πππ-<-<-<[,]2ππ(1)定义域:R (2) 值域为[-1,1]max 2k 12x k Z y =+∈=π当π（）时，；(3)期周性: T 2π＝ (4)正弦函数的单调性：增区间为(5)∈R)是奇函数 (6)对称性：正弦函数图像关于点 中心对称：关于直线 对称二、问题探究正弦函数性质的简单应用例1、 比较下列各组正弦值的大小：分析： 利用正弦函数的不同区间上的单调性进行比较。
解： （1）因为并且f(x)=sinx 在 上是增函数，所以(2)因为并且f(x)=sinx 在 上是减函数，所以 (),0k π,2x k k Z ππ=+∈(1)sin()sin()810ππ--与57(2)sin sin 88ππ与,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦sin()sin()810ππ-<-57288ππππ<<<min 212x k k Z y =-+∈=-π当π（）时，.26x π+例2、求函数 在x 取何值时取到最大值？在x 取何值时取到最小值？ 分析：关键点：把看作一个整体。
解： 在处到达最大值1。
即，当时， 达到最大值1。
在 处达到最小值-1。
即当 时达到最小值-1。
例３、求下列函数的定义域和值域：解（1）(2)：定义域为函数的值域为 例4、 求函数)321sin(2π+=x y的单调递增区间；思考：你能求函数sin()32xyπ=- 的单调递增区间吗？答案：三、课堂小结57sin sin 88ππ>()sin(2)6f x x π=+()sin(2)6f x x π=+2262x k πππ+=+()6x k k z ππ=+∈()sin(2)6f x x π=+2262x k πππ+=-+()3x k k z ππ=-+∈1(1)1sin y x=+(2)y =2,2x x k k z ππ⎧⎫≠-+∈⎨⎬⎩⎭定义域为12y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭函数的值域为[]0,1.1.正弦函数的性质及其应用2.题型归纳:求复合函数的定义域、值域、单调区间及正弦函数单调性的应用（比较大小）. 3、数形结合与整体代换的思想。
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辽宁省农村实验中学高一数学《1.3.1 正弦函数的图像与性质》学案（2）
一、学习目标
重点：正弦型函数的图象特征与性质．
难点：y＝A sin(ωx＋φ)与y＝sin x之间的图象变换规律及正弦型函数的单调区间等性质．
二、知识归纳
1．正弦型函数y=Asin(ωx＋φ)( A>0,ω>0)周期T= ，频率f= ,初相，
相位，振幅，值域
2.三角函数的图象变换
(1)y＝A sin x(A>0)的图象可由y＝sin x图象上各点的横坐标不变，纵坐标 (A>1)或
(0<A<1)到原来的倍得到．
(2)y＝sin(x＋φ)的图象可由y＝sin x图象上各点向(φ>0)或向 (φ<0)平行移动|φ|个单位长度而得到．
（3）y＝sinωx) 的图象可由y＝sin x图象如何变换得到？
（4）y＝A sin(ωx＋φ) 的图象可由y＝sin x图象如何变换得到？
三、例题讲解：
例 1. 函数y＝a sin x＋b的最大值为2，最小值为－1，则a＝________，b＝________.
例2 下图所示为函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的一段，试确定函数y＝A sin(ωx＋φ)的解析式．
变式1．如图所示为函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，其中A>0，ω>0，求该函数的解析式．
变式2：(2009·海南、宁夏)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.
例3.方程x ＝sin x 在x ∈[－π，π]上实根的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
例4．已知函数f (x )＝3sin(x 2＋π6)＋3 (1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
(2)求f (x )的单调递减区间、对称轴、值域；
（3）求出使f (x )取最大值时x 的取值集合．
变式．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π6
)＋a ＋1(其中a 为常数)．(1)求f (x )的单调区间； (2)若x ∈[0，π2
]时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求出使f (x )取最大值时x 的取值集合．
课后习题：
一选择
1．函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25
x ＋π6的最小正周期是( ) A.25π B.52π C ．5π D.π6
2．下列表示最值是12，周期是6π的三角函数的表达式是( ) A ．y ＝12sin(x 3＋π6) B ．y ＝12sin(3x ＋π6) C ．y ＝2sin(x 3－π6) D ．y ＝12sin(x ＋π6
) 3．下列四个函数中，最小正周期是π且图象关于x ＝π3
对称的是( ) A ．y ＝sin(x 2＋π6) B ．y ＝sin(2x ＋π6) C ．y ＝s in(2x －π3
) D ．y ＝sin(2x －π6
) 4．函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋32π的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于x ＝π2
对称 5． 函数y ＝5sin(2x ＋π6
)的图象，经过下列平移变换，就可得到函数y ＝5sin2x 的图象( ) A ．向右平移π6 B ．向左平移π6 C ．向右平移π12 D ．向左平移π12
6． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为( )
A ．y ＝2sin(2x ＋2π3)
B ．y ＝2sin(2x ＋π3
) C ．y ＝2sin(x 2－π3) D ．y ＝2sin(2x －π3
) 7．为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( ) A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13
倍(纵坐标不变) B ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13
倍(纵坐标不变) C ．向左平移π6
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) D ．向右平移π6
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 二、填空题
8．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最大值为3，最小正周期是2π7，初相是π6
，则这个函数的解析式为________．
9．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意的实数x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3的值为 _3或－3____． 10．函数f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是________ ①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π12，5π12内是增函
数；④由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C . 三、解答题
13．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8
. (1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．
14．已知函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b (a ≠0)的定义域为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域为[－5,1]，求常数a 、b 的值．。