专题：线段中点的有关计算
平面直角坐标系内线段中点公式
平面直角坐标系内线段中点公式
平面直角坐标系内线段中点公式是指在平面直角坐标系中，求一条线段的中点坐标的公式。
这个公式是非常重要的，因为在很多数学和物理问题中，需要求出线段的中点坐标，以便进行进一步的计算和分析。
线段中点公式的推导非常简单，假设有一条线段AB，其两个端点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则线段的中点坐标为((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
这个公式的推导可以通过平面直角坐标系中的几何图形来理解。
在平面直角坐标系中，线段AB可以看作是由两个点A和B组成的，这两个点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)。
线段的中点C可以看作是由点A和点B的坐标平均值得到的，即C的横坐标为(x1+x2)/2，纵坐标为(y1+y2)/2。
这个公式的推导非常简单，但是它的应用却非常广泛。
线段中点公式可以用于求解平面直角坐标系中的各种问题，例如求解两个点之间的距离、求解线段的长度、求解线段的斜率等等。
在物理学中，线段中点公式也经常被用于求解物体的质心坐标，以及求解物体的运动轨迹等问题。
线段中点公式是平面直角坐标系中非常重要的一个公式，它可以用于求解各种数学和物理问题。
在学习数学和物理的过程中，我们应
该认真掌握这个公式，并且学会灵活运用它来解决各种问题。
线段的中点公式
线段的中点公式
线段中点公式：
1. 什么是线段中点公式：线段中点公式是一个用于计算线段中点的数学公式。
它可以帮助我们划分线段并找出中点的位置，从而方便的进行测量和计算。
2. 线段中点公式的推导：线段中点公式可以从几何定理推导得出，其结果可以用如下公式表示：中点=(a+b)/2 其中a、b分别为线段两点的坐标。
3. 线段中点公式的应用：线段中点公式可以帮助我们在等腰三角形、矩形、正方形等多边形中找出中心点；还可以用来求满足有限线段方程式的（x，y）坐标解法。
4. 线段中点公式的优点：使用线段中点公式后，可以轻松找到线段两端的平均位置，使得我们在计算数据时节省很多时间，也降低了复杂计算的失误。
5. 线段中点公式的缺点：由于线段只能在坐标系上定义，所以线段的中点也只能在坐标系上定义，而不能根据点的大小来定义。
此外，由
于公式本身只能处理数字，所以只能处理数据，无法处理实地测量过程中出现的精确点。
计算直角坐标系中的线段长度和中点坐标
计算直角坐标系中的线段长度和中点坐标在直角坐标系中，我们经常需要计算线段长度和中点坐标，这是一项基本的几何计算。
本文将介绍如何通过直角坐标系的坐标来计算线段的长度以及找到线段的中点坐标。
1. 线段长度的计算
在线段AB两点的直角坐标系坐标分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以利用两点间距离公式来计算线段AB的长度。
根据勾股定理，线段AB的长度d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]。
例如，如果我们要计算线段AB，其中A(3, 4)和B(6, 8)，我们可以使用上述公式计算出线段AB的长度：
d = √[(6 - 3)^2 + (8 - 4)^2]
= √[3^2 + 4^2]
= √[9 + 16]
= √25
= 5
因此，线段AB的长度为5。
2. 中点坐标的计算
中点是指线段的中心位置，可以通过线段两个端点的坐标来计算。
设线段AB的两个端点为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则中点的坐标为
M[(x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2]。
举个例子，如果我们要找到线段AB的中点，其中A(3, 4)和B(6, 8)，我们可以使用上述公式计算出中点的坐标：
M = [((3 + 6) / 2), ((4 + 8) / 2)]
= [(9 / 2), (12 / 2)]
= [(9 / 2), 6]
因此，线段AB的中点坐标为M(4.5, 6)。
综上所述，通过直角坐标系中的坐标，我们可以轻松计算出线段的
长度和中点坐标。
这些计算对于解决几何问题和分析几何形状非常有
帮助。
巧用线段中点(或分点)的有关计算
(2)几秒后，恰好有OA:OB＝1:2? 设运动时间为t s. ①B与A相遇前：12－4t＝2(t＋3)，即t＝1； ②B与A相遇后：4t－12＝2(t＋3)，即t＝9. 答：1 s或9 s后，恰好有OA:OB＝1:2.
度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
如图所示．
MN＝
1 2
b
cm.理由如下：
因为点M，N分别是AC，BC的中点，
所以MC＝
1 2
AC，NC＝
1 2
BC，
所以MN＝MC－NC＝ 1 AC－ 1 BC
2
2
＝
1 2
(AC－BC)＝
1 2
b
cm.
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题型3 与线段中点有关的操作题
3． (1)如图，已知点C在线段AB上，线段AB＝12，点M，
因为M为AB的中点，
所以MB＝
1 2
AB＝
1 2
×20＝10(cm)．
因为N为BC的中点，
所以BN＝
1 2
BC＝
12×8＝4(cm)．
所以MN＝MB－BN＝10－4＝6(cm)．
②当点C在线段AB的延长线上时，如图②所示．
因为M为AB的中点，
所以MB＝
1 2
AB＝
1 2
×20＝10(cm)．
因为N为BC的中点，
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题型1 与线段分点有关的计算(设参法)
4．如图，B，C两点把线段AD分成2:4:3三部分，M是 AD的中点，CD＝6 cm，求线段MC的长．
解：设AB＝2k cm，
则BC＝4k cm，CD＝3k cm，AD＝2k＋4k＋3k＝9k(cm)．
北师大专题17 线段中点或角的计数问题含答案
专题17 线段中点或角的计数问题一、线段中点问题1. 如图，点C为线段AB上一点，AC=8cm，CB=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若AC+BC=acm，其他条件不变，直接写出线段MN的长为．【答案】（1）7cm；（2）12a cm．【解析】【分析】（1）根据线段中点的性质（可得CM（CN的长（根据线段的和差（可得答案（（2）根据线段中点的性质（可得CM（CN的长（根据线段的和差（可得答案（【详解】（1（∵点M（N分别是AC（BC的中点（AC=8（CB=6（∴CM=12AC=12×8=4（CN=12BC=12×6=3（∴MN=CM+CN=4+3=7cm（（2（∵点M（N分别是AC（BC的中点（∴CM=12AC（CN=12BC（∴MN=CM+CN=1 2AC+12BC=12（AC+BC（=12AB=12a（cm（（故答案为12a cm（【点睛】本题考查了两点间的距离（连接两点间的线段的长度叫两点间的距离（2. 画线段MN=3㎝，在线段MN上取一点Q，使MQ=NQ，延长线段MN至点A，使AN=MN；延长线段NM至点B，使BN=3BM，根据所画图形计算：（1）线段BM的长度；（2）线段AN的长度；（3）试说明Q是哪些线段的中点？图中共有多少条线段？它们分别是？【答案】（1）1.5㎝；（2）1.5㎝；（3）由图可知，BM=MQ=NQ=NA所以Q既是线段MN的中点，也是线段AB的中点．图中共有10条线段，它们分别是：BM、BQ、BN、BA、MQ、MN、MA、QN、QA、NA.【解析】【分析】先根据题意画出几何图形（1）根据BN=3BM可得到MN=2BM，而MN=3cm，即可得到线段BM的长；（2）根据AN=12MN即可得到线段AN的长；（3）由（1）与（2）得到BM=MQ=NQ=NA，即QB=QA，QM=QN，则点Q是线段MN的中点，也是线段AB的中点；图形中共有BM、BQ、BN、BA、MQ、MN、MA、QN、QA、NA10条线段．【详解】如图所示：（1）（MN=3cm，BN=3BM，（BM=12MN=12×3=1.5（cm ）；（2）（MN=3cm，AN=12 MN（AN=1.5cm；（3）由图可知，BM=MQ=NQ=NA，（QB=QA，QM=QN，（点Q既是线段MN的中点，也是线段AB的中点；图中共有10条线段，它们分别是：BM、BQ、BN、BA、MQ、MN、MA、QN、QA、NA．【点睛】本题考查了两点间的距离、射线与线段的定义，解题的关键是熟记两点间的距离的定义：两点的连线段的长叫两点间的距离．二、线段分点问题3. 如图，B，C两点把线段AD分成2∶4∶3的三部分，M是线段AD的中点，CD ＝6 cm，求线段MC的长．【答案】3cm【解析】【分析】设AB=2x，BC=4x，CD=3x，再根据CD=6cm求出x的值，故可得出线段AD的长度，再根据M是AD的中点可求出MD的长，由MC=MD-CD即可得出结论．【详解】解：∵B，C两点把线段AD分成2：4：3三部分，∴设AB=2x，BC=4x，CD=3x，∵CD=6cm，即3x=6cm，解得x=2cm，∴AD=2x+4x+3x=9x=9×2=18cm，∵M是AD的中点，∴MD=12AD=12×18=9cm，∴MC=MD-CD=9-6=3cm．【点睛】本题考查的是两点间的距离，在解答此类问题时要注意各线段之间的和、差及倍数关系．4. A，B两点在数轴上的位置如图所示，O为原点，现A，B两点分别以1个单位长度/秒的速度同时向左运动．（1）几秒后，原点恰好在A，B两点正中间？（2）几秒后，恰好有OA：OB=1：2.【答案】（1）95（1.8）秒；（2）1或9秒.【解析】【分析】（1）根据原点恰好在两点正中间，分别表示出原点两旁的长度求出即可；（2）利用①B与A相遇前，②B与A相遇后分别表示出线段长度得出等式即可．【详解】（1）设运动时间为x秒，根据题意得出：x+3=12-4x，解得：x=1.8，答：1.8秒后，原点恰好在两点正中间；（2）设运动时间为x秒，分两种情况：①B与A相遇前：12-4x=2（x+3），解得：x=1，②B与A相遇后：4x-12=2（x+3），解得：x=9，答：1秒或9秒后，恰好有OA：OB=1：2．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论得出是解题关键．三、线段条数的计数问题5. 先阅读文字，再解答问题．如图，在一条直线上取两点，可以得到1条线段，在一条直线上取三点可以得到3条线段，其中以A 1为端点的向右的线段有2条，以A 2为端点的向右的线段有1条，所以共有2＋1＝3(条)．(1)在一条直线上取四个点，以A 1为端点的向右的线段有______条，以A 2为端点的向右的线段有______条，以A 3为端点的向右的线段有______条，共有______＋______＋______＝______(条)．(2)在一条直线上取五个点，以A 1为端点的向右的线段有______条，以A 2为端点的向右的线段有________条，以A 3为端点的向右的线段有________条，以A 4为端点的向右的线段有______条，共有________＋________＋________＋________＝______(条)．(3)在一条直线上取n 个点(n≥2)，共有________条线段．(4)乘火车从A 站出发，沿途经过5个车站方可到达B 站，那么A ，B 两站之间最多有多少种不同的票价？需要安排多少种不同的车票？(只考虑硬座情况) 【答案】（1）3；2；1；3；2；1；6；（2）4；3；2；1；4；3；2；1；10；（3）(1)2n n -；（4）21种；42种 【解析】【分析】（1）分别找出以A 1，A 2，A 3为端点向右的线段数，再求和即可得到结论； （2）分别找出以A 1，A 2，A 3，A 4为端点向右的线段数，再求和即可得到结论； （3）由前面的规律可看出，当直线上有n 个点时，线段总数为(1)2n n -； （4）画出图形，结合图形，表示出线段的条数，就可以知道车票的种数，从而可得结论．【详解】解：(1)在一条直线上取四个点，如图以A 1为端点的向右的线段有12A A ，13A A ，41A A 共3条，以A 2为端点的向右的线段有23A A ，24A A 共2条，以A 3为端点的向右的线段有34A A ，1条，共有3＋2＋1＝6(条)．(2)在一条直线上取五个点，如图，以A 1为端点的向右的线段有12A A ，13A A ，41A A ，15A A 共4条，以A 2为端点的向右的线段有23A A ，24A A ，25A A 共3条，以A 3为端点的向右的线段有34A A ，35A A ，共2条，以A 4为端点的向右的线段有45A A ，1条，共有4＋3＋2＋1＝10(条)．(3)在一条直线上取n 个点(n≥2)，共有(1)2n n -条线段． (4)从A 站出发，沿途经过5个车站到达B 站，类似于一条直线上有7个点，如图，此时共有线段7(71)2⨯-＝21(条)，即A ，B 两站之间最多有21种不同的票价．因为来往两站的车票起点与终点不同，所以A ，B 两站之间需要安排21×2＝42(种)不同的车票．【点睛】此题主要考查学生数线段条数及规律型题的掌握情况，找到线段条数与直线上点的个数之间的联系，是解题的关键．四、平面内直线相交所得交点与平面的计数问题6. 为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图．列表如下：(1)当直线条数为5时，最多有________个交点，可写成和的形式为________；把平面最多分成______部分，可写成和的形式为________．(2)当直线条数为10时，最多有________个交点，把平面最多分成________部分． (3)当直线条数为n 时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？ 【答案】(1)10；1＋2＋3＋4；16；1＋1＋2＋3＋4＋5 (2)45；56；（3）(1)2n n -；n(n 1)12+⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）两条直线只有一个交点，第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1+2， 第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1+2+3， 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1+2+3+4， 可得，n 条直线两两相交，最多有(1)2n n -个交点（n 为正整数，且n≥2）． 一条直线把平面分成2部分，两条直线把平面分成2+2=4部分，三条直线把平面分成2+2+3=7部分，四条直线把平面分成2+2+3+4=11部分，五条直线把平面分成2+2+3+4+5=16部分，即n 条直线把平面分成2+2+3+4+5+…=1+1+2+3+…+n=1+(+1)2n n 部分 （2）代入（1）中的规律可得结果； （3）由（1）可得结论．【详解】解：（1）两条直线只有一个交点，第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1+2，第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1+2+3=4(41)2⨯-=6， 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1+2+3+45(51)=2⨯-=10，∴可得，n 条直线两两相交，最多有(1)2n n -个交点（n 为正整数，且n≥2）． 一条直线把平面分成2部分， 两条直线把平面分成2+2=4部分，三条直线把平面分成2+2+3=7部分， 四条直线把平面分成2+2+3+4=11部分， 五条直线把平面分成2+2+3+4+5=16部分，∴n 条直线把平面分成2+2+3+4+5+…=1+1+2+3+…+n=[1+(+1)2n n ]部分 （2）当n=10时，最多有10(101)=452⨯-个交点，把平面最多分成1+10(10+1)=562⨯部分． （3）当直线条数为n 时， 最多有1＋2＋3＋…＋(n －1)＝(1)2n n -个交点； 把平面最多分成1＋1＋2＋3＋…＋n ＝(1)12n n +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦部分． 【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交有(1)2n n -个交点．本题体现了由“特殊到一般再到特殊”的思维过程，有利于培养同学们的探究意识．五、关于角的个数的计数问题7. 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，如图，如果过角的顶点A ，(1)在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？ (2)在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？ (3)在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？ (4)在角的内部作n 条射线，那么图中一共有几个角？【答案】（1）3；（2）6；（3）10；（4）(1)(2)2n n ++【解析】【分析】（1）根据图形判断即可；（2）根据图形可判断出在（1）的基础上再增加一条射线，则增加3个角，进行计算即可；（3）根据图形判断在（2）的基础上再增加一条射线，则增加4个角，进行计算即可；（4）根据前面结论进行总结即可．【详解】解：（1）如题图①，已知∠BAC ，如果在其内部作一条射线，显然这条射线就会和∠BAC 的两条边都组成一个角，这样一共就有1＋2＝3(个)角； （2）题图①中有1＋2＝3(个)角，如果再在题图①的角的内部增加一条射线，即为题图②，显然这条射线就会和图中的三条射线再组成三个角，则题图②中一共有1＋2＋3＝6(个)角；（3）如题图③，在角的内部作三条射线，即在题图②中再增加一条射线，同样这条射线就会和图中的四条射线再组成四个角，即题图③中一共有1＋2＋3＋4＝10(个)角；（4）由（1）、（2）、（3）可知：在角的内部作一条射线，一共有1＋2＝3(个)角， 在角的内部作两条射线，一共有1＋2＋3＝6(个)角， 在角的内部作三条射线，一共有1＋2＋3＋4＝10(个)角，所以如果在一个角的内部作n 条射线，则图中一共有1＋2＋3＋…＋n ＋(n ＋1)＝(1)(2)2n n ++ (个)角．【点睛】本题考查了角的计数，通过观察，正确归纳总结出规律是解题关键．。
专题 几何中与中点有关的那些事
专题几何中与中点有关的那些事一、知识点综述中点是几何中的一个重要概念，体现了对称、和谐之美，是中考的核心考察对象之一，在命题中占着重要的一席之地.主要有：①三角形的中线（三角形的中线将三角形面积一分为二）；三角形重心将三角形中线分成1:2两份.②等腰三角形三线合一（等腰三角形底边的中线、高、顶角平分线共线）；③线段垂直平分线（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）；④斜中定理（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）；⑤三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）；⑥平行四边形对角线性质（平行四边形对角线互相平分）；⑦四边形的中点四边形（形状与对角线关系有关）.二、基本图形图形条件结论CD中△ACB的中线S1=S2△ABC是直角三角形，D、E、F分别是各边的中点四边形DFCE是矩形EF=CD图形条件结论D是△ABC边AB的中点，连接CD，CD=AD=BD∠ACB=90°平行四边形ABCD对角线交于点OO是AC和BD的中点DE∥BC，DE=12BCD、E分别是AB、AC的中点D、E分别是AB、AC的中点DE∥BC，DE=12BCE、F、G、H是各边中点AC⊥BD四边形EFGH是矩形AC=BD四边形EFGH是菱形AC⊥BD且AC=BD四边形EFGH是正方形延长AB至F，使AF=AB△ABC≌△AFD四边形BC FD是平行四边形三、典型例题分析下面我们就一些典型例题讲述这类题目的做题思路及方法.例题1. 如图-1，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=70°，则∠DGF的度数为．图-1例题2. 如图-2，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，连接CD、BE相交于点O.求证：OC=2OD，OB=2OE.图-2例题3. 如图-3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，猜一猜MN与BD 的位置关系，并证明你的结论.图-3例题4. 如图-4,在△ABC中,AD是边BC上的高,CE是边AB边上的中线,点G是CE的中点,DG⊥CE,点G为垂足．（1）求证：DC=BE；（2）若∠AEC=75°，求∠BCE的度数．图-4例题5. 若任意四边形ABCD 各边中点分别是E 、F 、G 、H ，若对角线AC 、BD 的长都为30 cm ，则四边形EFGH的周长是例题6. 如图-6,已知在四边形ABCD 中,AD =BC ,E 、F 分别是DC 、AB 边的中点,FE 的延长线分别与AD 、BC 的延长线交于H 、G 点．求证：∠AHF =∠BGF ．图-6例题7. 如图-7，在四边形ABCD 中，∠A =90°，AB =33，AD =3，点M ，N 分别在边AB ，BC 上，点E ，F 分别为MN ，DN 的中点，连接EF ，则EF 长度的最大值为 ．图-7例题8. 如图-8所示，已知△ABC 中，D 是BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E 点，若AB ＝12，AC ＝16，求ED ．CBADE图-8例题9. 如图-9，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以A C 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠CAB ＝45°. （1）求∠ECD 的度数；（2）求证：DE平分∠FDC.图-9例题10. 如图-10所示，在△ABC中，点D在边AC的中点上，DB＝BC，E是CD的中点，F是AB的中点，（1）求证：EF＝12 AB．（2）当∠C＝60°时，BC、AB与AC满足怎么样的关系？图-10例题答案例题1. 如图-1，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=70°，则∠DGF的度数为．图-1【答案】55°.【解析】延长AD、EF相交于点H，如图所示∵F是CD的中点，∴CF=DF，由菱形性质知：AD∥BC，∴∠H=∠CEF，可证得：△CEF≌△DHF，∴EF=FH，∵EG⊥AD，∴GF=FH，∴∠DGF=∠H，∵四边形ABCD是菱形，∴∠C=∠A=70°，∵E、F分别是BC、CD的中点，∴CE=CF，在△CEF中，∠CEF=（180°﹣70°）÷2=55°，∴∠DGF=∠H=∠CEF=55°．故答案为：55°．例题2. 如图-2，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，连接CD、BE相交于点O. 求证：OC=2OD，OB=2OE.图-2【答案】见解析.【解析】此题有多种证明方法，这里以其中三种加以证明.证明方法①：连接DE，如图.∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE：BC=1:2，∴OD:OC=OE: OB=DE: BC=1:2,即：OC=2OD，OB=2OE.证明方法②：连接DE，取OB、OC的中点F、G，连接FG，如图所示.∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE =12 BC，同理可证：FG∥BC，FG =12 BC，所以△DOE≌△GOF，∴OD=OG，OE=OF，即：OC=2OD，OB=2OE.证明方法③：连接OA，如图.由上面证明可知：DE∥BC所以S2+S5=S4+S5,所以S2=S4，而S1=S2，S3=S4，所以S1=S2=S3=S4，所以S△AOC=2S△AOD，所以OC=2OD，同理，OB=2OE.例题3. 如图-3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，猜一猜MN与BD 的位置关系，并证明你的结论.图-3【答案】见解析.【解析】解：MN⊥BD，理由如下：连接BM，DM，如图所示.因为∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，所以BM是Rt△ABC斜边上的中线，所以BM=12AC，同理DM=12AC.所以BM=DM.又因为N是BD的中点，所以MN⊥BD（三线合一）.例题4. 如图-4,在△ABC中,AD是边BC上的高,CE是边AB边上的中线,点G是CE的中点,DG⊥CE,点G 为垂足．（1）求证：DC=BE；（2）若∠AEC=75°，求∠BCE的度数．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵G是CE的中点，DG⊥CE，∴DG是CE的垂直平分线，∴DE=DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，∴DE=BE=12 AB，∴DC=BE；（2）∵DE=DC，∴∠DEC =∠BCE ，∴∠EDB =∠DEC +∠BCE =2∠BCE ， ∵DE =BE ， ∴∠B =∠EDB ， ∴∠B =2∠BCE ， ∴∠AEC =3∠BCE =75°， 则∠BCE =25°．例题5. 若任意四边形ABCD 各边中点分别是E 、F 、G 、H ，若对角线AC 、BD 的长都为30 cm ，则四边形EFGH 的周长是【答案】60cm .【解析】根据基本图形，可知：四边形EFGH 的形状为菱形， 依据中位线定理，可得：EF =0.5×30=15cm ， 所以四边形EFGH 的周长为：4×EF =60cm . 故答案为：60cm .题6. 如图-6,已知在四边形ABCD 中,AD =BC ,E 、F 分别是DC 、AB 边的中点,FE 的延长线分别与AD 、BC 的延长线交于H 、G 点．求证：∠AHF =∠BGF ．图-6【答案】见解析.【解析】证明：连接AC ，取AC 的中点M ，连接ME 、MF . 如图.H DCAB E M G∵M是AC的中点，E是DC的中点，∴ME是△ACD的中位线，∴AD =2ME, PE∥AH，∴∠MEF＝∠AHF，同理可证：BC =2MF, ∠MFE＝∠BGF，∵AD＝BC，∴ME＝MF，∴∠MFE＝∠MEF，∴∠AHF＝∠BGF.例题7. 如图-7，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=33，AD=3，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，则EF长度的最大值为．图-7【答案】3.【解析】解：∵E，F分别为MN，DN的中点，∴EF是△NDM的中位线，∴EF=12 DM，即DM取最大值时，EF的长度最大，很明显，当M与B重合时，DM最大，根据勾股定理，得DM最大值为：DB=6.∴EF的最大值为3. 故答案为：3.例题8. 如图-8所示，已知△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝12，AC＝16，求ED．C B AD E图-8【答案】2.【解析】解：延长BE 交AC 于点F , 如图. C BD EF因为AE ⊥BE ，所以∠A EB =∠AEF =90°，因为AE 平分∠BAC ，所以∠BAE =∠FAE ，又AE =AE ，所以△ABE ≌△AFE ,所以BE =EF ，即E 是BF 的中点，因为D 是BC 的中点，所以DE 是△BCF 的中位线，因为AB ＝12，AC ＝16， 所以CF =4，DE = 12CF =2.故答案为：2.例题9. 如图-9，在△ABC 中，AB ＝A C ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠CAB ＝45°.（1）求∠ECD 的度数；（2）求证：DE 平分∠FDC .图-9 【答案】见解析.【解析】解：（1）∵AB＝AC，∠CAB＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°．∵Rt△ADC中，∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝45°，AD＝DC，∴∠ECD＝∠ACB+∠ACD＝112.5°；(2)证明：∵E、F分别是BC、AC的中点，∴FE＝12AB，FE∥AB，∴∠EFC＝∠BAC＝45°，∠FEC＝∠B＝67.5°．∵F是AC的中点，∠ADC＝90°，AD＝DC，∴FD＝12AC，DF⊥AC，∠FDC＝45°，∵AB＝AC，∴FE＝FD，∴∠FDE＝∠FED＝12（180°﹣∠EFD）＝12（180°﹣135°）＝22.5°，∴∠FDE＝12∠FDC，∴DE平分∠FDC.例题10. 如图-10所示，在△ABC中，点D在边AC的中点上，DB＝BC，E是CD的中点，F是AB的中点，（1）求证：EF＝12 AB．（2）当∠C＝60°时，BC、AB与AC满足怎么样的关系？图-10 【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接BE，∵在△BCD中，DB＝BC，E是CD的中点，∴BE⊥CD，∵F是AB的中点，∴在Rt△ABE中，EF是斜边AB上的中线，∴EF＝12 AB；（2）结论：BC2+AB2＝AC2理由：∵BC＝BD，∠C＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴CD＝BD，∵CD＝AD，∴DB＝DC＝DA，∴∠CBA＝90°∴BC2+AB2＝AC2。
线段的中点问题专项训练(30道)
线段的中点问题专项训练（30道）【题型1 单个中点问题】1．如图，已知DB＝2，AC＝10，点D为线段AC的中点，求线段BC的长度．2．如图，C是线段AB上的一点，N是线段BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求AN的长．3．如图，点C为线段AB上一点，点D为BC的中点，且AB＝12，AC＝4CD．（1）求AC的长；（2）若点E在直线AB上，且AE＝3，求DE的长．4．如图，延长线段AB到C，使BC＝3AB，点D是线段BC的中点，如果CD＝9cm，那么线段AC的长度是多少？5．如图，已知AD=12DB，E是BC的中点，BE=15AC＝2cm．（1）求BC的长；（2）求DE的长．6．如图，点C是线段AB的中点，点D在线段AB上，若CD＝2，AD=32BD，求AB的长．7．如图，M为线段AB的中点，点C在线段BM上且CM：CB＝1：2．若AB＝12，求线段AC的长．8．如图，已知点C、D在线段AB上，点D是AB中点，AC=13AB，CD＝2．求线段AB长．9．如图，已知C、D两点将线段AB分成2：3：4三段，点E是BD的中点，点F是线段CD上一点，且CF＝2DF，EF＝12cm，求AB的长．10．已知线段AB上有两点C、D，使得AC：CD：DB＝1：2：3，M是线段AC的中点，点N是线段AB上的点，且满足DN=14DB，AB＝24．求MN的长．11．如图，线段AC＝6cm，线段AB＝21cm，M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，求MN的长．12．如图，已知线段AB＝3cm，延长线段AB到C，使BC＝2AB，延长线段BA到D，使AD：AC＝4：3，点M是BD的中点，求线段BD和AM的长度．13．已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，（1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度：（2）如图2，若BD=14AB=13CD，E为线段AB的中点，EC＝12cm，求线段AC的长度．【题型2 无关联型双中点问题】14．如图，点C在线段AB上，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点．①若AC＝8，BC＝3，求DE；①若DE＝5，求AB．15．如图，点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝8cm，BC＝12cm，CD＝6cm．（1）求BM的长；（2）求AN的长．16．如图，线段AD＝20cm，线段AC＝BD＝14cm，E、F分别是线段AB、CD的中点，求线段EF的长．17．如图，已知线段AB上有两点C，D，且AC：CD：DB＝2：3：4，点E，F分别为AC，DB的中点，EF＝48cm．求AB的长．18．如图，点C，D在线段AB上，且满足CD=14AD=16BC，点E、F分别为线段AC，BD的中点，如果EF＝10cm，求线段AB的长度．19．如图，点C为线段AB上一点，点M、N分别是线段AC、BC的中点．回答下列问题：（1）试判断线段AB与MN的关系为；（2）若点P是线段AB的中点，AC＝6cm，CP＝2cm，求线段PN的长．20．如图，C为线段AB上一点．AB＝m，BC＝n，M，N分别为AC，BC的中点．（1）若m＝8，n＝2，求MN的长；（2）若m＝3n，求CNMN的值．21．如图，C、D是线段AB上两点，已知AC：CD：DB＝1：2：3，M、N分别为AC、DB 的中点，且AB＝12cm，（1）求线段CD的长；（2）求线段MN的长．【题型3 关联型双中点问题】22．如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点，若AB ＝15，CE＝4.5，求出线段AD的长度．23．如图，线段AB＝20cm，线段AB上有一点C，BC：AC＝1：4，点D是线段AB的中点，点E是线段AC的中点．（1）求线段AC的长度；（2）求线段DE的长度．24．如图，线段AB＝8cm，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．（1）AC＝3cm，求线段CM、NM的长；（2）若线段AC＝m，线段BC＝n，求MN的长度（m＜n用含m，n的代数式表示）．25．如图，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段CB 上的一点，点E 是线段DB 的中点，AB ＝20，EB ＝3． （1）求线段DB 的长． （2）求线段CD 的长．26．如图，线段AB ＝8，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段BC 的中点． （1）求线段AD 的长；（2）若在线段AB 上有一点E ，CE =14BC ，求AE 的长．【题型4 两个以上中点问题】27．如图，O 是AC 的中点，M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，试判断MN 与OC 的大小关系．28．如图，线段AB ＝6cm ，点C 是AB 的中点，点D 是BC 的中点，E 是AD 的中点．（1）求线段AE 的长； （2）求线段EC 的长．29．已知线段AB ＝20，M 是线段AB 的中点，P 是线段AB 上任意一点，N 是线段PB 的中点．（1）当P 是线段AM 中点时，求线段NB 的长； （2）当线段MP ＝1时，求线段NB 的长；（3）若点P 在线段BA 的延长线上，求线段P A 与线段MN 的数量关系．30．如图，C 为线段AB 上一点，D 为AC 的中点，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点． （1）若AC ＝4，BC ＝6，求CF 的长； （2）若AB ＝16CF ，求AC CB的值．。
类比归纳专题：有关中点的证明与计算
∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE， ∴EO＋ON＋CN＝BM＋OM＋OD， ∴3OE＝3OM，即OE＝OM. 又∵DM＝2OM，EN＝2OE， ∴DM＝EN，∴四边形EDNM是矩形．
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RJ·八年级数学下册
类比归纳专题： 有关中点的证明与计算
——遇中点，定思路，一击即中
◆类型一 直角三角形中，已知斜边中点构造斜 边上的中线
1．如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON) 上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地 面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离
(B) A.变小 B.不变 C.变大 D.无法判断
的中点，若AB＝10，CD＝8，求MN的取值范围．
解：如图，取BD的中点P，连接PM，PN.
∵M是AD的中点，∴PM是△ABD的中位线，
∴PM＝ 1 AB＝5.
2
同理可得PN＝ 1 CD＝4. 2
在△PMN中，PM－PN＜MN＜PM＋PN， ∴1＜MN＜9.
5 ． (2018·武 汉 中 考 ) 如 图 ， 在 △ABC 中 ， ∠ACB ＝ 60° ， AC ＝ 1 ， D 是 边 AB 的 中 点 ， E 是 边 BC 上 一 点．若DE平分△ABC的周长，求DE的长． [提示：延长BC至F，使CF＝AC]
解：如图，延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作 CN⊥AM于N. ∵DE平分△ABC的周长， ∴CE＋AC＝EB， ∴CE＋CM＝EB，即ME＝EB. 又∵AD＝DB，∴DE＝ AM，DE∥AM. ∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝120°.
∵CM＝CA，∴∠ACN＝60°，AN＝MN，
∴CN＝ 1AC＝ 1，∴AN＝ 3 ，
线段的中点和分点公式
线段的中点和分点公式线段是指由两个端点所确定的一段直线。
在数学中，我们经常需要计算线段的中点和分点的坐标。
本文将介绍线段的中点和分点的计算公式，并且给出一些实际的应用例子。
1. 线段的中点公式线段的中点即为线段的中间点，离两个端点的距离相等。
如果我们已知线段的两个端点的坐标，可以使用下面的公式来计算线段的中点的坐标：中点的横坐标 = (端点1的横坐标 + 端点2的横坐标) / 2中点的纵坐标 = (端点1的纵坐标 + 端点2的纵坐标) / 2例如，假设线段的端点1为A(x1, y1)、端点2为B(x2, y2)，我们可以使用上述公式来计算线段AB的中点的坐标。
这个中点的坐标可以表示为M((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
2. 线段的分点公式线段的分点指的是线段上的任意一点，它将线段分成两个小线段。
如果我们已知线段的两个端点的坐标以及分点离端点1的距离比例（即所占线段总长度的比例），可以使用下面的公式来计算分点的坐标：分点的横坐标 = 端点1的横坐标 + (端点2的横坐标 - 端点1的横坐标) * 比例分点的纵坐标 = 端点1的纵坐标 + (端点2的纵坐标 - 端点1的纵坐标) * 比例例如，假设线段的端点1为A(x1, y1)、端点2为B(x2, y2)，我们可以使用上述公式来计算线段AB上距离端点1长度比例为k的分点的坐标。
这个分点的坐标可以表示为P(x1 + (x2 - x1) * k, y1 + (y2 - y1) * k)。
3. 应用例子线段的中点和分点公式在几何学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些例子：- 几何图形中的对称轴：对称轴是指一个几何图形的中心线，在轴上的任意一点到图形两侧的距离相等。
我们可以使用线段的中点公式来计算对称轴的坐标。
- 物体运动的中点和分点：在物理学中，我们经常需要计算物体在一段时间内的平均位置。
我们可以使用线段的中点公式来计算物体在两个时间点的中点位置，并使用线段的分点公式来计算物体在不同时间点的分点位置。
利用直角坐标系计算线段的中点坐标
利用直角坐标系计算线段的中点坐标在直角坐标系中，如果已知线段的两个端点坐标，我们可以利用中点公式来计算线段的中点坐标。
中点公式表示为：
中点坐标 = [(x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2]
其中，(x₁, y₁)表示线段的一个端点坐标，(x₂, y₂)表示线段的另一个端点坐标。
举例来说，假设有一条线段AB，其中A的坐标为(2, 3)，B的坐标为(6, 9)。
我们可以利用中点公式来计算线段AB的中点坐标。
中点坐标 = [(2 + 6) / 2, (3 + 9) / 2]
= [8 / 2, 12 / 2]
= [4, 6]
因此，线段AB的中点坐标为(4, 6)。
利用直角坐标系计算线段的中点坐标非常简单，只需要将线段的两个端点的横坐标和纵坐标分别相加，然后除以2，即可得到中点的横坐标和纵坐标。
这个公式适用于任意两个点之间的线段。
在实际应用中，计算线段的中点坐标可以帮助我们确定线段的中心位置，并方便我们进行进一步的计算和分析。
同时，通过计算线段的中点坐标，我们也可以简单地检验线段的对称性。
总结起来，利用直角坐标系计算线段的中点坐标可以采用中点公式：中点坐标 = [(x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2]。
通过这个公式，我们可以轻
松计算出线段的中点坐标，从而进行进一步的分析和运算。
希望本文对你有所帮助，如有疑问请随时提出。
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教学设计——
专题：线段中点的有关计算
一、教学目标：
1、通过专题的学习，对典型的题目讲解，使学生熟练掌握线段中点的有关计算；
2、通过题型由易到难的设置，使学生掌握此类题目的解决方法和解题思路，提高分析问题、解决问题的能力。
二、重点难点
重点：线段中点的计算方法,解题思路和常规解法的梳理是难点。
二、教学过程：
（一）温故知新：
若M是线段AB中点，你可以得到哪些结论？
（二）线段型：一个中点
1、如图,M是线段AB的中点
（1）若AB=10cm，求AM的长；（2）若AM=3cm, 求AB的长. （三）线段型：两个中点
2、如图,C是线段AB的一点M、N分别；是AC、BC的中点
（1）若AB=10cm，AC=6cm，求MN的长；
（2）若AB=10cm，求MN的长;
（3）若AB=a，那么MN的长呢？
（四）线段延长线型：一个中点
3、如图,C是线段AB延长线上的一点，M是AC的中点，若AB=6cm，BC=4cm, 求BM的长；
变式：如果M是BC的中点,求AM的长。
（五）线段延长线型：两个中点
4、如图,C是线段AB延长线一点，M、N分别是AC、BC的中点（1）若AB=10cm，BC=4cm，求MN的长
（2）若AB=10cm，求MN的长;
（3）若AB=a，那么MN的长呢？
（六）归纳总结
知识方面：
AB是线段，C是线段AB的一点
线段型：一个中点：
线段型：两个中点
AB是线段，C是线段AB延长线上的一点
线段延长线型：一个中点
线段延长线型：两个中点
数学思想：转化的思想
教师寄语：数学充满着生命力，细心观察，善于思考，积极探索，你一定会有更大的发现！祝同学们学习进步！。