专训1 巧用线段中点的有关计算
2023学年浙江七年级数学上学期专题训练专题01数形思想之与线段有关的动点问题(解析版)
专题01数形思想之与线段有关的动点问题专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．（2021·河南）线段15AB =，点P 从点A 开始向点B 以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从点B 开始向点A 以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，当2AP PQ =时，t 的值为________． 【答案】307或6 【分析】根据时间与速度可以分别表示出AP 、BQ ，结合2AP PQ =分别从相遇前和相遇后，利用线段的和差关系计算出t 的值． 【详解】解：此题可分为两种情况进行讨论： ①如图1，点P 、Q 相遇前，由题意得AP ＝t ，BQ ＝2t ，PQ ＝AB －AP －BQ ， 当2AP PQ =时，t ＝2(15－t －2t)， 解得t ＝307； ①如图2，点P 、Q 相遇后，由题意得AP ＝t ，BQ ＝2t ，PQ ＝AP ＋BQ －AB ， 当2AP PQ =时，t ＝2(t ＋2t －15)， 解得t ＝6． 综上所述：t 的值为307或6． 故答案为：307或6． 【点睛】此题考查了与线段有关的动点问题，正确理解题意，利用线段的和差关系列出方程是解题的关键．2．（2021·全国）如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）；（2）如图2，已知AB＝15cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t（s），当t＝__s时，Q为A，P 的“巧点”．【答案】是7.5或45 7【分析】（1）根据“巧点”的定义即可求解；（2）设A点为数轴原点，作数轴，设运动时间为t秒；t最大＝7.5，A：0，P：0+2t＝2t，Q：15﹣t，分①Q为AP中点；①AQ＝2PQ；①PQ＝2AQ；进行讨论求解即可．【详解】解：（1）若线段中点为C点，AB＝2AC，所以中点是这条线段“巧点”（2）设A点为数轴原点，作数轴，设运动时间为t秒；t最大＝7.5，A：0，P：0+2t＝2t，Q：15﹣t，①Q为AP中点，20152tt+-=，①t＝7.5；①AQ＝2PQ，AQ＝15﹣t﹣0＝15﹣t，PQ＝2t﹣（15﹣t）＝3t﹣15，①AQ＝2PQ，①15﹣t＝2（3t﹣15），①457t=；①PQ＝2AQ，得3t﹣15＝2（15﹣t），①t＝9>7.5（舍去）．综上所述：t＝7.5或457．故答案为：（1）是；（2）7.5或457．【点睛】本题主要考查两点间的距离及一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．二、解答题3．（2021·江苏七年级期末）（新知理解）如图①，点M 在线段AB 上，图中共有三条线段AB 、AM 和BM ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M 是线段AB 的“奇点”． （1）线段的中点______这条线段的“奇点”（填“是”或“不是”） （初步应用）（2）如图①，若18CD cm =，点N 是线段CD 的奇点，则______CN cm =； （解决问题）（3）如图①，已知15AB cm =动点P 从点A 出发，以1/cm s 速度沿AB 向点B 匀速移动：点Q 从点B 出发，以2/m s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t ，请直接写出t 为何值时，A 、P 、Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的奇点？【答案】（1）是；（2）6或9或12；（3）3t =或307或154或458或457或6 【分析】（1）根据“奇点”的定义即可求解；（2）分①当N 为中点时, ②当N 为CD 的三等分点，且N 靠近C 点时，③当N 为CD 的三等分点，且N 靠近D 点时，进行讨论求解即可；（3）分①由题意可知A 不可能为P 、Q 两点的巧点，此情况排除；②当P 为A 、Q 的巧点时；③当Q 为A 、P 的巧点时；进行讨论求解即可． 【详解】（1）一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称这个点为该线段的“奇点”， ∴线段的中点是这条线段的“奇点”，（2）18CD =，点N 是线段CD 的奇点， ∴可分三种情况，①当N 为中点时，11892CN =⨯=,②当N 为CD 的三等分点，且N 靠近C 点时，11863CN =⨯=,③当N 为CD 的三等分点，且N 靠近D 点时，218123CN =⨯=（3）15AB =,t ∴秒后，(),15207.5AP t AQ t t ==-≤≤，①由题意可知A 不可能为P 、Q 两点的巧点，此情况排除； ②当P 为A 、Q 的巧点时，有三种情况；1）点P 为AQ 中点时，则12AP AQ =，即()11522t t =-，解得：154t s = 2）点P 为AQ 三等分点，且点P 靠近点A 时，则13AP AQ =,即()11523t t =-，解得：3t s = 3）点P 为AQ 三等分点，且点P 靠近点Q 时,则23AP AQ =，即()21523t t =-，解得：307t s = ③当Q 为A 、P 的巧点时，有三种情况；1）点Q 为AP 中点时，则12AQ AP =，即1522tt -=，解得：6t s =2）点Q 为AP 三等分点，且点Q 靠近点A 时，则13AQ AP =,即1523t t -=，解得：457t s = 3）点Q 为AP 三等分点，且点Q 靠近点P 时,则23AQ AP =，即21523t t -=，解得：458t s = 【点睛】考查了两点间的距离,一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．4．（2021·河南七年级期末）（背景知识）数轴上A 、B 两点在对应的数为a ，b ，则A 、B 两点之间的距离定义为：AB b a =-．（问题情境）已知点A 、B 、O 在数轴上表示的数分别为-4、10和0，点M 、N 分别从O 、B 出发，同时向左匀速运动，点M 的速度是每秒1个单位长度，点N 的速度是每秒3个单位长度，设运动的时间为t 秒（0t >）． （1）填空：①OA = OB = ；①用含t 的式子表示：AM = ；AN = ； （2）当t 为何值时，恰好有2AN AM =； （3）求410t t -++的最小值．【答案】（1）①4，10；①4t -，143t -；（2）6或225；（3）14 【分析】（1）①由题意可直接进行求解；①由题意可得点M 在数轴表示的数为-t ，点N 在数轴表示的数为10-3t ，然后根据数轴上的两点距离可求解；（2）由（1）可分点M 在点A 的右边、点M 在点A 的左边和点M 、N 都在点A 的左边，然后列方程求解即可；（3）由410t t -++可看作是t 到10-和4的距离，进而可分当10t <-时，当104t -≤≤时和当4t >时，然后进行求解比较即可． 【详解】解：（1）①由点A 、B 、O 在数轴上表示的数分别为-4、10和0，可得：404,10010OA OB =--==-=， 故答案为4，10；①由点M 、N 分别从O 、B 出发，同时向左匀速运动，点M 的速度是每秒1个单位长度，点N 的速度是每秒3个单位长度，设运动的时间为t 秒，可得点M 、N 的运动路程分别为：t ，3t ；①点M 在数轴表示的数为-t ，点N 在数轴表示的数为10-3t ， ①4,143AM t AN t =-=-， 故答案为4t -，143t -；（2）由（1）可得：当点N 追上点M 时，则有()3110t -=，解得：5t =，①①当点M 在点A 的右边时，即04t <<，则有()14324t t -=-，解得：6t =（不符合题意，舍去）；①当点M 在点A 的左边时，即4t >，则有()14324t t -=-，225t =＞4，符合题意； ①当点N 追上点M 后，即5t >，点M 、N 都在点A 的左边，则有()31424t t -=-，解得：6t =＞5，符合题意； 综上所述：当2AN AM =时，225t =或6t =； （3）由410t t -++可看作是t 到10-和4的距离，则有： 当10t <-时，41041026t t t t t -++=---=--无最小值；当104t -≤≤时，41041014t t t t -++=-++=， 当4t >时，41041026t t t t t -++=-++=+，无最小值， 综上所述：当当104t -≤≤时，有最小值，最小值为14． 【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离、一元一次方程的解法及线段的和差关系，熟练掌握数轴上的两点距离、一元一次方程的解法及线段的和差关系是解题的关键．5．（2021·湖南七年级期末）如图，直线l 上有A ，B 两点，AB =18cm ，点O 是线段AB 上的一点，OA =2OB ．（1）OA = _______cm ，OB =________cm ．（2）若点C 是线段AB 上一点（点C 不与A ，B 重合），且AC =CO +CB ，求CO 的长； （3）若动点P ，Q 分别从A ，B 同时出发，向右运动，点P 的速度为3cm /s ，点Q 的速度为2cm /s ，当点P 与点Q 重合时，P ，Q 两点停止运动．设运动时间为t (s)，求当t 为何值时，2OP －OQ =6(cm)？【答案】（1）12，6；（2）2cm ；（3）1.5s 或9s 【分析】（1）由于AB ＝18cm ，点O 是线段AB 上的一点，OA ＝2OB ，则OA ＋OB ＝3OB ＝AB ＝18cm ，依此即可求解；（2）根据点C 是线段AB 上一点（点C 不与A ，B 重合），分两种情况：①点C 在线段OA 上时；①点C 在线段OB 上时，根据AC ＝CO ＋CB 即可求解；（3）根据题意分三种情况讨论：①点P 在AO 之间时，即0≤t ＜4时，①点P 在OB 之间时，即4≤t ＜6时，①点P 在AB 延长线上时，即6≤t ≤18时，分情况讨论求解即可． 【详解】解（1）①AB=18， OA =2OB ①2OB+OB=18， ①OB=6，OA=12 故答案为：12，6； （2）分两种情况讨论： ①如图，点C 在线段OA 上时， ①AC =CO +CB ， ①AC = CO +（CO +OB ）， ①AO －CO = CO +（CO +OB ） ①3CO=AO －OB ， OC =()112623⨯-=；①如图，点C 在线段OB 上时， ①AC =CO +CB ，①AC = CO +（OB － CO ）， 即AO +CO = CO +（OB － CO ）①CO= OB －AO =－6不符合题意，舍掉， 综上所述，CO 的长是2； （3）由题意分三种情况讨论： ①点P 在AO 之间时，即0≤t ＜4时， 得()()2123626t t --+=，解得t =1.5； ①点P 在OB 之间时，即4≤t ＜6时， 得()()2312626t t --+=，解得t =9（舍去） ①点P 在AB 延长线上时，即6≤t ≤18时， 得()()2312626t t --+=，解得t =9． 综上所述，当t 为1.5s 或者9s 时，2OP －OQ =6(cm )． 【点睛】本题考查了线段和差的计算，一元一次方程的应用，直线上的动点问题，解题的关键是找出等量关系列出方程，注意分情况讨论．6．（2021·湖北七年级期末）已知：如图，在数轴上点A 表示数a ，点B 表示数b ，AB 表示A 点和B 点之间的距离，且a ，b 满足()2230a b a +++=．（1）求A ，B 两点之间的距离；（2）若在数轴上存在一点C ，且2AC BC =，求点C 表示的数；（3）一小球甲在数轴上从点A 处以1个单位/秒的速度向右运动，同时另一小球乙从点B 处以7个单位/秒的速度向左运动，当甲乙两小球开始运动时，立即在点P 和点B 处各放一块挡板，其中点P 所表示的数为1-，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t （秒），问：t 为何值时，甲、乙两小球之间的距离为4．【答案】（1）8；（2）点C 表示的数为103或14；（3）t 为12s 或32s 时，甲、乙两小球之间的距离为4． 【分析】（1）由()2230a b a +++=可得2,6a b =-=，进而问题可求解；（2）由题意易得点C 在点A 的右侧，可分当点C 在线段AB 上和在线段AB 外，进而根据线段的和差关系可进行列方程求解；（3）由题意得：=1V 甲个单位/秒，=7V 乙个单位/秒，则有它们相遇的时间为1s ，进而可分①当它们未碰到挡板P ，即01t <<，①当它们碰到挡板P 后，即1t >，然后根据题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）①()2230a b a +++=， ①20,30a b a +=+=， ①2,6a b =-=，①A 、B 两点之间的距离为()628AB =--=，（2）由2AC BC =得点C 在点A 的右侧，设点C 表示的数为x ，即AC=x+2，则有： ①当点C 在线段AB 上，则BC=6-x ， ①()226x x +=-，解得：103x =， ①当点C 在线段AB 外，则BC=x -6， ①()226x x +=-，解得：14x =，综上所述：当2AC BC =时，点C 表示的数为103或14；（3）由题意得：=1V 甲个单位/秒，=7V 乙个单位/秒， ①它们相遇的时间为：()178t +=，解得：=1t ， ①它们同时碰到挡板P ，当它们之间的距离为4时，则有： ①当它们未碰到挡板P ，即01t <<，①478t t ++=，解得：1=2t ，①当它们碰到挡板P 后，即1t >， ①1774t t -+-=，解得：32t =，综上所述：当t 为12s 或32s 时，甲、乙两小球之间的距离为4．【点睛】本题主要考查数轴上两点的距离、一元一次方程的应用及线段的和差关系，熟练掌握数轴上两点的距离、一元一次方程的应用及线段的和差关系是解题的关键．7．（2021·河南七年级期末）如图1，M ，N 是直线l 上的两个点，且10MN =．线段AB （A 在B 的左侧）可以在直线l 上左右移动．已知5AB =，点C 是AN 的中点．（1）如图2，当B 与N 重合时，AM = ，BC = ；（2）在图2的基础上，将线段AB 沿直线MN 向左移动(05)a a <<个单位长度得到图3．①若3a =，求AM 和BC 的长； ①若2BC =，则a 的值是 ．（3）在图2的基础上，将线段AB 沿直线MN 向右移动0b b >（）个单位长度．请直接写出AM 与BC 之间的数量关系 ．【答案】（1）5，2.5；（2）①AM =2，BC =1；①1；（3）AM=2BC ． 【分析】（1）当B 与N 重合时，AM=MN -NA=5,由点C 是()AN AB 的中点．由5AB =，可得AC=BC=1AB=2.52；（2）①由线段AB 沿直线MN 向左移动(05)a a <<个单位长度,可得BN=3a =可求AM =MN -AN =2，由点C 是AN 的中点．NC=AC=1AN=42，可求BC ；①由2BC =，()1522BC CN BN a a =-=+-=解方程即可； （3）又线段AB 沿直线MN 向由移动0b b >（）个单位长度,BN=b ，可得AN= 5-b ，可求AM =MN -AN=5+b ，由点C 是AN 的中点．可求NC=AC=()15-2b ，可求BC =CN+BN=()15+2b 即可． 【详解】解：（1）当B 与N 重合时，AM=MN -NA=MN -BA=10-5=5， ①点C 是AN 的中点． ①点C 是AB 的中点， ①5AB =，①AC=BC=11AB=5=2.522⨯，故答案为：5，2.5；（2）①①线段AB 沿直线MN 向左移动(05)a a <<个单位长度， ①3a =， ①BN=3a =，①AN=AB+BN=5+a =8，①AM =MN -AN=MN -（AB+BN ）=10-（5+3）=2， ①点C 是AN 的中点．①NC=AC=11AN=8=422⨯，BC =CN -BN=4-3=1；①①2BC =，()115222BC CN BN AN BN a a =-=-=+-=， 即()1522a a +-=， 524a a +-=，a =1，故答案为：１；（3）①线段AB 沿直线MN 向由移动0b b >（）个单位长度， ①BN=b ，①AN=AB -BN=5-b ，①AM =MN -AN= 10-（5-b ）=5+b ， ①点C 是AN 的中点． ①NC=AC=()11AN=5-22b ，①BC =CN+BN=()()1155+22b b b -+=， ①AM=2BC ．故答案为：AM=2BC ．【点睛】本题考查与线段有关的动点与动线问题，掌握线段的中点定义，会根据线段和差列方程，理解线段和差是解题关键．8．（2021·贵州）如图，在数轴上点A ，点B ，点C 表示的数分别为2,1,6.-（1）线段AB 的长度为 个单位长度，线段AC 的长度为 个单位长度．（2）点P 是数轴上的一个动点，从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿数轴的正方向运动，运动时间为t 秒(018)≤≤． 用含t 的代数式表示：点P 在数轴上表示的数为 线段BP 的长为 个单位长度；（3）点M ，点N 都是数轴上的动点，点M 从A 点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点N 从点C 出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动．设点,M N 同时出发，运动时间为x 秒当点,M N 两点间的距离为13个单位长度时，求x 的值，并直接写出此时点M 在数轴上表示的数．【答案】（1）3；8；（2）-2+t ；（3-t ）或（t -3）；（3）10．【分析】（1）根据两点间的距离公式可求线段AB的长度，线段AC的长度；（2）由题意，先求出点P表示的数，再根据路程=速度×时间求出点P运动的路程，再分点P在点B的左边和右边两种情况求解；（3）根据等量关系点M、N两点间的距离为3个单位长度列出方程求解即可．【详解】解：（1）线段AB的长度为1-（-2）=3个单位长度，线段AC的长度为6-（-2）=8个单位长度；（2）根据题意，点P在数轴上表示的数为：-2+t；线段BP的长为：当t≤3时，BP=3-t；当t＞3时，BP=t-3，（3）依题意有：4x+3x-8=13，解得：x=3．此时点M在数轴上表示的数是：-2+4×3=10．故答案为：（1）3；8；（2）-2+t；（3-t）或（t-3）．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．9．（2021·广东七年级期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6（1）求线段AB的长；（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．【答案】（1）8；（2）见解析；MN的长度不会发生改变，线段MN＝4．【分析】（1）数轴上两点之间的距离等于较大数与较小数的差；（2）根据中点的意义，利用线段的和差可得出答案．【详解】解：（1）AB＝|﹣2﹣6|＝8，答：AB的长为8；（2）MN的长度不会发生改变，线段MN＝4，理由如下：如图，因为M为PA的中点，N为PB的中点，所以MA＝MP＝12PA，NP＝NB＝12PB，所以MN＝NP﹣MP＝12PB﹣12PA＝12（PB﹣PA）＝12AB＝12×8＝4．【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上线段中点的意义，熟练掌握两点间距离计算方法，灵活运用中点的意义是解题的关键．10．（2021·全国）如图，射线OM上有A、B、C三点，满足OA＝40cm，AB＝30cm，BC＝20cm．点P从点O出发，沿OM方向以2cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．（1）当点P与点Q都同时运动到线段AB的中点时，求点Q的运动速度；（2）当P A＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点Q的运动速度；（3）自点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求OB APEF的值．【答案】（1）点Q的运动速度为1411cm/s；（2）点Q的运动速度为1110cm/s或116cm/s；（3）2【分析】（1）设经过ts，点P与点Q都同时运动到线段AB的中点，根据线段中点的定义得到BQ＝15cm，求得CQ＝35cm，于是得到结论；（2）设Q的速度为v，经过ts后，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，点O对应数轴上的0，点A 对应数轴上的40，点B 对应数轴上的70，点C 对应数轴上的90，点P 对应数轴上的2t ，点Q 对应数轴上的90﹣vt ，根据题意列出方程即可求出v 的值； （3）设经过ts 时，点P 在AB 之间，点O 对应数轴上的0，点A 对应数轴上的40，点B 对应数轴上的70，点C 对应数轴上的90，点P 对应数轴上的2t ，由于OP 和AB 的中点E ，F ，所以点E 对应数轴上的t ，点F 对应数轴上的55，从而可知EF ＝55﹣t ，AP ＝2t ﹣40，OB ＝70，代入原式即可求出答案． 【详解】解：（1）①AB ＝30cm ，1152AP BQ AB cm ∴===， ①CQ ＝BC +BQ ＝35cm ，设经过ts ，点P 与点Q 都同时运动到线段AB 的中点， ①OP ＝OA +P A ＝40+15＝55（cm ）， ①t ＝552（s ）， ①点Q 的运动速度＝35÷552＝1411（cm /s ）； 答：点Q 的运动速度为1411cm /s ； （2）设Q 的速度为v ，经过ts 后，点Q 运动到的位置恰好是线段OB 的中点，点O 对应数轴上的0，点A 对应数轴上的40，点B 对应数轴上的70，点C 对应数轴上的90， ①点P 对应数轴上的2t ，点Q 对应数轴上的90﹣vt ， ①点Q 运动到的位置恰好是线段OB 的中点， ①702＝90﹣vt ， ①vt ＝55， ①2PB ＝P A ，①2|2t ﹣70|＝|2t ﹣40|， ①解得：t ＝50或t ＝30， 当t ＝50s 时， 此时v ＝1110， 而点Q 到达O 点所需要时间为90011s >50s ， 当t ＝30时， 此时v ＝116，而点Q 到达O 点所需要的时间为54011>30s ， 综上所述，当v ＝1110或v ＝116cm /s ； （3）设经过ts 时，点P 在AB 之间，点O 对应数轴上的0，点A 对应数轴上的40，点B 对应数轴上的70，点C 对应数轴上的90，①点P 对应数轴上的2t ， ①OP 和AB 的中点E ，F ，①点E 对应数轴上的t ，点F 对应数轴上的55， ①EF ＝55﹣t ，AP ＝2t ﹣40，OB ＝70， ①原式＝70(240)55t t---＝2．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，数形结合列出方程是解题的关键．11．（2021·全国七年级专题练习）A ，B 两地相距a 千米，C 地在AB 的延长线上，且3BC a =千米，D 是A 、C 两地的中点．（1）求AD 长（结果用含a 的代数式表示）． （2）若90BD =千米，求a 的值．（3）甲、乙两车分别从A 、D 两地同时出发，都沿着直线AC 匀速去C 地，经4小时甲追上乙．当甲追上乙后甲马上原路返回，甲返回行驶1小时时发现甲车距D 地50千米，已知600a =千米，求乙车行驶的平均速度【答案】（1）2=3AD a 千米；（2）270a =千米；（3）乙车平均速度为50km/h 或503km/h 【分析】（1）由题意易得43AC a =千米，进而根据点D 是A 、C 的中点可求解； （2）由（1）23AD a =千米，则有2133BD a a a =-=千米，然后由BD=90千米可求解；（3）由题意易得22600=40033AD a ==⨯km ，11600=20033BC a ==⨯km ，进而可得1小时内甲比乙多行驶100km ，设乙速度为xkm/h ，则甲速度为（x ＋100）km/h ，然后可得甲距离A 为()()()41001003300x x x +-+=+km ，则可分①甲在D 地左50km ，①甲在D 地右50km ，最后列方程进行求解即可． 【详解】解：（1）AB a =千米，3BC a=千米，43AC a ∴=千米，D 是A 、C 两地的中点，1223AD AC a ∴==千米； （2）由（1）23AD a =千米，BD AB AD =-， 2133BD a a a ∴=-=千米，90BD =千米， 1=903a ∴ =270a ∴（3）600a =，22600=40033AD a ∴==⨯km ，11600=20033BC a ==⨯km ，由题甲、乙之间相距400km ，4小时后甲追上乙，∴1小时内甲比乙多行驶100km ，∴设乙速度为xkm/h ，则甲速度为（x ＋100）km/h ，由题知，甲返回行驶了1h ，∴甲距离A 为()()()41001003300x x x +-+=+km ，甲车距D 地50km ，∴甲可能在D 地左50km 或右50km ，①甲在D 地左50km ，此时甲距离A 为5040050=350AD -=-，3300350x +=，解得：503x =， ①甲在D 地右50km ，此时甲距离A 为5040050=450AD +=+，3300450x +=，解得：50x =，综上所述：乙车平均速度为50km/h 或503km/h ． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及线段的和差关系，熟练掌握一元一次方程的应用及线段的和差关系是解题的关键．12．（2021·石家庄市第二十八中学）已知A，B是数轴上两点，点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位．（1）点A表示的数是：；点B表示的数是：．（2）A，B两点间的距离是个单位，线段AB中点表示的数是．（3）现有一只电子蚂蚁P从点B出发以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发以4个单位/秒的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C表示的数．【答案】（1）-20，100．（2）120，40；（3）28．【分析】（1）根据点的位置确定符号和值即可；（2）用两个点表示的数相减即可，求出中点到A的距离，再求中点表示的数；（3）求出相遇的时间，再求出C点与A的距离，即可求出C点表示的数．【详解】解：（1）①点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位，①点A表示的数是：-20；点B表示的数是：100．故答案为：-20，100．（2）A，B两点间的距离是100-（-20）=120；线段AB中点到A的距离是120÷2=60，线段AB中点表示的数为-20+60=40；故答案为：120，40；（3）两只电子蚂蚁在数轴上相遇的时间为120÷（4+6）=12（秒）点C距A的距离为12×4=48，点C表示的数为-20+48=28．【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，解题关键是理解数轴上点表示的数的意义，会求两点间的距离．13．（2021·江苏七年级期末）如图1，线段AB＝20cm．（1）点P沿线段AB自A点向B点以2cm/s的速度运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以3cm/s的速度运动，几秒后，P，Q两点相遇？（2）如图2，AO＝PO＝2cm，①POQ＝60°，现点P绕着点O以30°/s的速度顺时针旋转一周后停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，若点P，Q两点也能相遇，求点Q运动的速度．【答案】（1）4秒；（2）8cm/s或52cm/s【分析】（1）根据点P，Q的运动路程之和为20建立方程求解即可得出结论；（2）要点P，Q相遇，只能点P运动到线段AB上，判断出点P旋转的角度，进而求出点P的运动时间，即可得出结论．【详解】解：（1）设t秒后，P，Q两点相遇，根据题意知，（2+3）t＝20，解得，t＝4秒，答：4秒后，P，Q两点相遇．（2）①①POQ＝60°，①点P绕着点O旋转60°或240°刚好在线段AB，当点P绕着点O旋转60°时，点P和点Q相遇，①点P的旋转了60°÷30°＝2秒，则（20﹣4）÷2＝8cm/s，当点P绕着点O旋转240°时，点P和点Q相遇，①点P的旋转了240°÷30°＝8秒，则20÷8＝52cm/s，即：点Q的速度为8cm/s或52cm/s．【点睛】本题主要考查角的和差关系及一元一次方程的应用，熟练掌握角的和差关系及一元一次方程的应用是解题的关键．14．（2021·陕西七年级期末）如图，已知线段24AB=，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（0t>），点M为AP的中点．（1）当3t =时，求线段MB 的长度； （2）当t 为何值时，点P 恰好是MB 的中点？ （3）当t 为何值时，2AM PB =？【答案】（1）当3t =时，21MB =；（2）当8t =；点P 恰好是MB 的中点；（3）485t =或16t =，2AM PB =． 【分析】（1）如图：当t =3时，先求出AP ,然后再求出AM ,最后根据MB =AB -AM 求解即可； （2）先求出AM =MP =t ，再说明MP PB t ==，然后由3324AB AM t ===即可求得t ； （3）分P 在线段AB 上和P 在线段AB 延长线上两种情况解答即可． 【详解】解：（1）当3t =时，326AP =⨯=. ①点M 为AP 的中点，①116322AM AP ==⨯=， ①24321MB AB AM =-=-=. （2）①点M 为AP 的中点， ①11222AM MP AP t t ===⨯=. ①点P 是MB 的中点， ①MP PB t ==， ①3324AB AM t ===， ①8t =；（3）当点P 在线段AB 上时，AM t =，242PB AB AP t =-=-，①()2242t t =-， 解得485t =. 当P 在线段AB 的延长线上时，AM t =，224PB AP AB t =-=-，①()2224t t =-， 解得16t =. ①485t =或16t =． 【点睛】本题属于直线上的动点问题，主要考查了中点的定义、线段的和差等知识点，正确画出图形并表示出相应线段的长以及掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．15．（2021·福建七年级期末）（1）如图：若点C 在线段AB 上，线段AC ＝10cm ，BC ＝6cm ，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，求线段MN 的长度；（2）若点C 在线段BA 的延长线上，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，设BC ﹣AC ＝a ，请根据题意画出图形，并求MN 的长度（用含a 的式子表示）；（3）在（1）的条件下，动点P 、Q 分别从A 、B 两端同时出发，点P 以2cm /s 的速度沿AB 向右运动，终点为B ，点Q 以1cm /s 的速度沿AB 向左运动，终点为A ，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，CP ：CQ ＝1：2？【答案】（1）线段MN 的长度是8cm ；（2）MN ＝12a ，理由见解析；（3）当运动143或265时，CP ：CQ ＝1：2 【分析】（1）根据题意结合图形得出MN ＝12（AC +BC ），即可得出答案；（2）直接根据题意画出图形，进而利用MN ＝NC ﹣MC ＝1()2BC AC -求出即可；（3）根据动点P 、Q 的运动方向和速度用含t 的式子表示出CP 和CQ，再列方程可得结论． 【详解】解：（1）①线段AC ＝10cm ，BC ＝6cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点， ①12MC AC =，12NC BC =， ①MN 1122MC NC AC BC =+=+ ＝12（AC +BC ）＝12×16＝8（cm ）； 答：线段MN 的长度是8cm ； （2）如图：MN ＝12a ．理由如下：①点M 、N 分别是AC 、BC 的中点， ①MC ＝12AC ，NC ＝12BC ， ①BC ﹣AC ＝a ，①MN ＝NC ﹣MC ＝12BC ﹣12AC ＝1()2BC AC -＝12a ．（3）①点P 以2cm /s 的速度沿AB 向右运动，点Q 以1cm /s 的速度沿AB 向左运动， 而AC ＝10cm ，BC ＝6cm ，CP ：CQ ＝1：2 ①2CP CQ = ， 可分为三种情况讨论：当点C 在点P 右侧，点Q 的左侧时，有05t <≤ ，此时102CP t =- ，6CQ t =- ,则2(102)6t t -=- ，解得：143t = ； 当点C 在点P 、Q 的左侧时，有56t <≤ ，此时210CP t =-，6CQ t =-，则2(210)6t t -=-，解得：265t = ； 当点C 在点P 的左侧，Q 的右侧时，有68t <≤ ，此时210CP t =-，6CQ t =-，则2(210)6t t -=-，解得：143t =，舍去， 综上所述，当运动143 或265时，CP ：CQ ＝1：2． 【点睛】本题考查线段的计算，中点的定义，利用两点之间的距离和中点的定义分情况讨论列出一元一次方程是解题的关键．16．（2021·天津七年级期末）如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．（1）则OA＝cm，OB＝cm；（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点A、B重合），且满足AC＝CO+CB，求CO 的长；（3）若动点P从点A出发，动点Q从点B同时出发，都向右运动，点P的速度为2cm/s．点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s）（其中t≥0）．①若把直线l看作以O为原点，向右为正方向的一条数轴，则t（s）后，P点所到的点表示的数为；此时，Q点所到的点表示的数为．（用含t的代数式表示）①求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）．【答案】（1）8，4；（2）43cm；（3）①﹣8+2t，4+t；①1.6或8．【分析】（1）由于AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB，则OA+OB＝3OB＝AB＝12cm，依此即可求解；（2）根据图形可知，点C是线段AO上的一点，可设C点所表示的实数为x，分两种情况：①点C在线段OA上时；①点C在线段OB上时，根据AC＝CO+CB，列出方程求解即可；（3）①根据路程＝速度×时间即可求解；①分两种情况：0＜t＜4（P在O的左侧）；4≤t≤12（P在O的右侧）；进行讨论求解即可．【详解】解：（1）①AB＝12cm，OA＝2OB，①OA+OB＝3OB＝AB＝12（cm），解得OB＝4，OA＝2OB＝8（cm）．故答案为：8，4；（2）设C点所表示的实数为x，分两种情况：①点C在线段OA上时，①AC＝CO+CB，①8+x＝﹣x+4﹣x，3x ＝﹣4，解得x ＝﹣43；①点C 在线段OB 上时， ①AC ＝CO +CB ， ①8+x ＝4，解得x ＝﹣4（不符合题意，舍）．故CO 的长是43cm ；（3）①t （s ）后，P 点所到的点表示的数为﹣8+2t ；此时，Q 点所到的点表示的数为4+t ． 故答案为：﹣8+2t ，4+t ； ①0＜t ＜4（P 在O 的左侧），OP ＝0﹣（﹣8+2t ）＝8﹣2t ，OQ ＝4+t ，2OP ﹣OQ ＝4，则 2（8﹣2t ）﹣（4+t ）＝4， 解得t ＝1.6；4≤t ≤12（P 在O 的右侧），OP ＝﹣8+2t ﹣0＝﹣8+2t ，OQ ＝4+t ，2OP ﹣OQ ＝4，则 2（2t ﹣8）﹣（4+t ）＝4， 解得t ＝8．综上所述，t ＝1.6或8时，2OP ﹣OQ ＝4cm ． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点的距离，数轴上点的表示，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．17．（2021·辽宁七年级期末）如图，数轴上点A 在原点左侧，点B 在原点右侧，且2OA OB =，动点P ､Q 分别从A ､B 两点同时出发，都向右运动，点P 的速度为每秒2个单位长度，点Q 的速度为每秒1个单位长度，当点P 与点Q 重合时，P ，Q 两点停止运动．设运动时间为t 秒．（1）若点A 表示的数为12-，则点B 表示的数为________，线段AB 中点表示的数为___________；（2）在（1）的条件下，若122OP OQ AB -=，求t 的值； （3）当点P 在线段AO 上运动时，若AP BP OP -=，请探究线段OP 与线段AB 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）6；-3；（2）95或13；（3）3AB OP =或9AB OP =，见解析【分析】（1）由点A 表示的数为12-，AO ＝2OB 可知，可求出OB ，AB 长，从而得出结论； （2）分两种情况：点P 在原点的左侧和右侧时，OP 表示的代数式不同，OQ ＝6+t ，分别代入2OP ﹣OQ ＝9列式即可求出t 的值；（3））设线段OB 的长为b ，则2,3OA b AB b == ，分两种情况去绝对值，求出t 的值，即可解决问题． 【详解】（1）①点A 表示的数为12-，AO ＝2OB ， ①AO ＝12，OB ＝6， ①AB ＝18，①线段AB 中点表示的数为3． 故答案是：6；﹣3；（2）当P ､Q 相遇时，()()1262118t =+÷-=（秒），①1118,18922t AB ≤=⨯=．当点P 在AO 上时，122,6OP t OQ t =-=+，①29OP OQ -=，①()()2122169t --+=，95t =，符合； 当点P 在原点O 右侧时，212,6OP t OQ t =-=+， ①29OP OQ -=，()()221269t t --+=， 13t =，符合．综上所述，若29OP OQ -=，t 的值为95或13.（3）设线段OB 的长为b ，则2,3OA b AB b ==． ①点P 在线段AO 上运动，①2,22AP t OP b t ==-．32BP AB AP b t =-=-． 若AP BP <，则AP BP BP AP -=-， ①BP AP OP -=，①()32222b t t b t --=-，解得12t b =．①222OP b t b b b =-=-=， 又①3AB b =， ①3AB OP =；若AP BP >，则AP BP AP BP -=-， ①AP BP OP -=， ①()23222t b t b t --=-，解得56t b =．①5122233OP b t b b b =-=-=．①3AB b =． ①9AB OP =．综上所述，线段OP 与线段AB 之间的数量关系为3AB OP =或9AB OP =． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．18．（2021·安徽七年级期末）如图，点,A B 在数轴上分别表示有理数,a b ，且,a b 满足2|2|(5)0a b ++-=．（1）点A 表示的数是___________，点B 表示的数是____________．（2）若动点P 从点A 出发以每秒3个单位长度向右运动，动点Q 从点B 出发以每秒1个单位长度向点A 运动，到达A 点即停止运动,P Q 两点同时出发，且Q 点停止运动时，P 也随之停止运动，求经过多少秒时，,P Q 第一次相距3个单位长度？（3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为t 秒，若AP 的中点为,M BQ 的中点为N ，当t 为何值时，3BM AN PB +=？ 【答案】（1）﹣2，5；（2）1秒；（3）1秒或3511秒． 【分析】。
专训巧用线段中点的有关计算 优质 公开课精品课件
专训1
巧用线段中点的 有关计算
利用线段的中点可以得到线段相等或有倍 数关系的等式来辅助计算，由相等的线段去判
断中点时，点必须在线段上才能成立．
训练角度
类型1
1
线段中点问题
与线段中点有关的计算
1．如图，点C在线段AB上，AC＝8 cm，CB＝6 cm，
点M，N分别是AC，BC的中点．
(1)求线段MN的长．
解： 因为点M，N分别是AC，BC的中点，
1 1 所以CM＝ AC＝ ×8＝4(cm)， 2 2 1 1 CN＝ BC＝ ×6＝3(cm)， 2 2 所以MN＝CM＋CN＝4＋3＝7(cm)；
(2)若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝a cm， 其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说
类型2
线段分点与方程的结合
4．A，B两点在数轴上的位置如图所示，O为原点， 现A，B两点分别以1个单位长度/秒、4个单位长 度/秒的速度同时向左运动．
(1)几秒后，原点恰好在A，B两点正中间？
解：设x秒后，原点恰好在A，B两点正中间． 依题意得x＋3＝12－4x，解得x＝1.8. 答：1.8秒后，原点恰好在A，B两点正中间．
明理 2 1 1 同(1)可得CM＝ AC，CN＝ BC， 2 2 1 1 所以MN＝CM＋CN＝ AC＋ BC 2 2 1 1 ＝ (AC＋BC)＝ a cm. 2 2
(1)根据“点M，N分别是AC，BC的中点”， 点拨：
先求出MC、CN的长度，再利用MN＝CM＋ CN即可求出MN的长度；(2)与(1)同理，先用 AC、BC表示出MC、CN，MN的长度就等于 AC与BC长度和的一半．
(2)几秒后，恰好有OA∶OB＝1∶2? 解： 设t秒后，恰好有OA∶OB＝1∶2. ①B与A相遇前：12－4t＝2(t＋3)，即t＝1； ②B与A相遇后：4t－12＝2(t＋3)，即t＝9. 答：1秒或9秒后，恰好有OA∶OB＝1∶2．
线段中点计算方法
线段中点计算方法线段是数学中的基本概念之一，它由两个端点所确定。
在几何学和计算机图形学中，我们经常需要计算线段的中点。
线段的中点是指线段上离两个端点距离相等的点，它对于各种应用非常重要。
本文将介绍几种常见的线段中点计算方法。
一、坐标平均法最简单直接的计算线段中点的方法是使用坐标平均法。
假设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则线段的中点C的坐标可以通过以下公式计算得出：Cx = (x1 + x2) / 2Cy = (y1 + y2) / 2这种方法非常直观和易于理解，适用于简单的线段计算。
然而，它存在一个问题，即在计算过程中可能会产生小数。
如果需要得到整数坐标的中点，可以使用取整操作或四舍五入来获得最接近的整数坐标。
二、向量法向量法是一种更加高级和灵活的计算线段中点的方法。
它利用向量的性质来求解中点坐标。
假设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则线段的中点C 的坐标可以通过以下公式计算得出：Cx = (x1 + x2) / 2Cy = (y1 + y2) / 2这里的公式与坐标平均法相同，但是向量法的思路更加抽象和高级。
我们可以将线段AB看作是从原点O出发的向量OA和向量OB的和，而中点C则是向量OA和向量OB的平均值。
通过这种思路，我们可以将线段中点的计算推广到更复杂的情况，例如三维空间中的线段。
三、参数方程法参数方程法是一种更加灵活和通用的计算线段中点的方法。
它利用线段上的点可以由参数t表示的性质来求解中点坐标。
假设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则线段的中点C的坐标可以通过以下参数方程计算得出：Cx = x1 + (x2 - x1) * tCy = y1 + (y2 - y1) * t其中，t是一个介于0和1之间的参数。
当t取0时，C的坐标就是A的坐标；当t取1时，C的坐标就是B的坐标；当t取0.5时，C的坐标就是线段的中点。
北师大版七年级数学上册典中点第4章专训一：线段或角的计数问题
专训一：线段或角的计数问题名师点金：1.几何计数问题应用宽泛，解决方法是“有序数数法”，数数时要做到不重复、不遗漏．2．解决这种问题要用到分类议论思想及从特别到一般的思想．3．回首前方线段、直线的计数公式，比较这些计数公式的差别与联系．线段条数的计数问题1．先阅读文字，再解答问题．(第 1题)如图，在一条直线上取两点，能够获得此中以 A 1为端点的向右的线段有 2 条，以1 条线段，在一条直线上取三点可获得3 条线段， A 2为端点的向右的线段有 1 条，因此共有 2＋ 1＝ 3(条 )．(1)在一条直线上取四个点，以 A 1为端点的向右的线段有______条，以 A 2为端点的向右的线段有________________________________________________________________________ 条，以 A 3为端点的向右的线段有 ______条，共有 ______＋ ______＋ ______＝ ______(条 )；(2)在一条直线上取五个点，以 A 1为端点的向右的线段有______条，以 A 2为端点的向右的线段有 ________条，以 A 3为端点的向右的线段有________条，以 A 4为端点的向右的线段有 ______条，共有 ______＋ ______＋ ______＋ ______＝ ______( 条)；(3)在一条直线上取n 个点 (n ≥ 2)，共有 ________条线段．(4)乘火车从 A 站出发，沿路过过 5 个车站方可抵达 B 站，那么 A ， B 两站之间最多有多少种不一样的票价？需要安排多少种不一样的车票？平面内直线订交所得交点与平面的计数问题2．为了研究同一平面内的几条直线订交最多能产生多少个交点，能把平面最多分红几部分，我们从最简单的情况下手，以下图．(第2题)列表以下：直线条数最多交点个数平面最多分红部分数102214337(1)当直线条数为 5 时，最多有 ________个交点，可写成和的形式为________ ；把平面最多分红 ________部分，可写成和的形式为________；(2)当直线条数为10 时，最多有 ________个交点，把平面最多分红________部分；(3)当直线条数为n 时，最多有多少个交点？把平面最多分红多少部分？对于角的个数的计数问题3．有公共端点的两条射线构成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的极点，如图，假如过角的极点 A ：(1)在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？(2)在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？(3)在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？(4)在角的内部作n 条射线，那么图中一共有几个角？(第3题)专训一1．解：(1)3；2；1；3；2；1；6(2)4； 3； 2；1； 4； 3；2； 1； 10(3)n（ n－ 1）2(4)从 A 站出发，沿路过过 5 个车站抵达 B 站，近似于一条直线上有7 个点，此时共有线段7×（7－1）＝ 21(条 )，即 A ， B 两站之间最多有21 种不一样的票价．由于来往两站的车2票起点与终点不一样，因此 A ， B 两站之间需要安排21×2＝ 42(种)不一样的车票．2．解：(1)10；1＋2＋3＋4；16；1＋1＋2＋3＋4＋5(2)45； 56 (3)当直线条数为 n 时，最多有 1＋ 2＋3＋＋ (n－1) ＝n（n－1）(个 )交点；2把平面最多分红 1＋ 1＋ 2＋ 3＋＋n＝n（n＋1）＋ 1部分．23．解：(1)如题图①，已知∠BAC，假如在其内部作一条射线，明显这条射线就会和∠BAC 的两条边都构成一个角，这样一共就有1＋ 2＝ 3(个 )角．(2)题图①中有1＋ 2＝3(个 )角，假如再在题图①的角的内部增添一条射线，即为题图②，明显这条射线就会和图中的三条射线再构成三个角，即题图②中一共有1＋2＋ 3＝ 6(个 )角．(3)如题图③，在角的内部作三条射线，即在题图②中再增添一条射线，相同这条射线就会和图中的四条射线再构成四个角，即题图③中一共有1＋ 2＋ 3＋ 4＝ 10(个 )角．(4)综上所述，假如在一个角的内部作n 条射线，则图中一共有1＋ 2＋ 3＋＋n＋(n＋（ n＋ 1）（ n＋ 2）1)＝2(个 )角．。
巧用线段中点(或分点)的有关计算
(2)几秒后，恰好有OA:OB＝1:2? 设运动时间为t s. ①B与A相遇前：12－4t＝2(t＋3)，即t＝1； ②B与A相遇后：4t－12＝2(t＋3)，即t＝9. 答：1 s或9 s后，恰好有OA:OB＝1:2.
度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
如图所示．
MN＝
1 2
b
cm.理由如下：
因为点M，N分别是AC，BC的中点，
所以MC＝
1 2
AC，NC＝
1 2
BC，
所以MN＝MC－NC＝ 1 AC－ 1 BC
2
2
＝
1 2
(AC－BC)＝
1 2
b
cm.
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题型3 与线段中点有关的操作题
3． (1)如图，已知点C在线段AB上，线段AB＝12，点M，
因为M为AB的中点，
所以MB＝
1 2
AB＝
1 2
×20＝10(cm)．
因为N为BC的中点，
所以BN＝
1 2
BC＝
12×8＝4(cm)．
所以MN＝MB－BN＝10－4＝6(cm)．
②当点C在线段AB的延长线上时，如图②所示．
因为M为AB的中点，
所以MB＝
1 2
AB＝
1 2
×20＝10(cm)．
因为N为BC的中点，
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题型1 与线段分点有关的计算(设参法)
4．如图，B，C两点把线段AD分成2:4:3三部分，M是 AD的中点，CD＝6 cm，求线段MC的长．
解：设AB＝2k cm，
则BC＝4k cm，CD＝3k cm，AD＝2k＋4k＋3k＝9k(cm)．
(完整版)线段中点问题
线段中点线段中点是几何中比较重要的一个概念。
我们可以用文字语言、符号语言和图形语言三种语言来刻画线段中点。
要解决有关线段中点的问题，关键是要能够正确地找到点是哪条线段的中点，然后按照线段中点的概念进行解决。
例1、已知线段AB 的长度为a ，点C 是线段AB 上的任意一点，M 为AC 中点，N 为BC的中点，求MN 的长。
例2.已知，线段AB=10cm ，直线AB 上有一点C ，且BC=4cm ，M 是线段AC 的中点，求线段AM 的长。
根据题意画图计算，写出推理过程。
练习1：点C 在线段AB 上，AC=8cm ，CB=6cm ，点M 、N 分别是线段AC 、BC 的中点.(1)求MN 的长;(2)若点C 为线段AB 上任意一点，k CB AC ，其他条件不变，则MN 的长度为多少？练习2：已知，线段AB=10cm ，C 是线段AB 上一点，AC=3cm ，M 是AB 中点，N 是AC 的中点，求线段MN 的长。
练习3：已知，线段AB=x ，C 是直线AB 上一点，且BC=)(x y y ，M 、N 分别是AB 和CB 中点，求MN 的长。
练习4：如图，已知B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 中点，N 是CD 中点，若.,b BC a MN 求AD.练习5：如图，已知线段AB 和CD 的公共部分,4131CD AB BD线段AB ，CD 的中点E 、F 的距离是12cm ，求AB ，CD 的长。
练习6：如图，C 是线段AB 上一点，D 是线段CB 的中点。
已知图中所有线段的长度之和为23cm ，线段AC 的长度与线段CB 的长度都是正整数，求线段AC 的长度是多少厘米？练习7：在数轴上有两个点A 和B ，A 在原点左侧到原点的距离为6，B 在原点右侧到原点的距离为4，M ，N 分别是线段AO 和BO 的中点，写出A 和B 表示的数；求线段MN 的长度。
角的计算学号______姓名_______1、已知∠1和∠2互为余角，∠2和∠3互为补角，且∠1=63度，∠3=______.2、已知∠A 和∠B 互为补角，并且∠B 的一半比∠A 小30度，则∠A=______；∠B=______。
巧用中点解题
巧用中点解题
中点是指一条线段的正中间点，是几何中一个非常重要的概念。
在解题中，我们可以巧妙地运用中点，从而更加简单地解决问题。
1. 计算线段长度
如果我们已知线段的一个端点和中点，那么就可以轻松地计算出整个线段长度。
我们只需要将已知端点和中点之间的距离乘以2，即可得到整个线段长度。
2. 判断三角形是否等腰
如果我们已知一个三角形的两个角平分线的交点是三角形的中点，那么就可以判断这个三角形是否等腰。
因为在等腰三角形中，两个角平分线相交于三角形的中点。
3. 判断四边形是否为平行四边形
如果一个四边形的对角线的交点是这个四边形的中点，那么就可以判断这个四边形是否为平行四边形。
因为在平行四边形中，对角线互相平分。
4. 计算向量中点
如果我们已知一个向量的起点和终点，那么就可以计算出这个向量的中点。
我们只需要将向量的起点和终点坐标分别相加，再除以2，即可得到向量的中点坐标。
通过巧妙地运用中点，我们可以更加简单地解决一些几何问题和向量计算问题。
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专题4.2 比较线段的长短【十大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题4.2 比较线段的长短【十大题型】【北师大版】【题型1 线段中点的有关计算】 (1)【题型2 线段的和差】 (4)【题型3 线段的数量关系】 (8)【题型4 简单线段的长短比较】 (11)【题型5 两点间的距离】 (15)【题型6 线段n等分点的有关计算】 (18)【题型8 线段中的动点问题】 (26)【题型9 尺规作线段】 (31)【题型10 线段中的对折问题】 (33)【知识点比较线段的长短】（1）两点的所有连线中，线段最短。
简称：两点之间，线段最短。
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
（2）线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.【题型1线段中点的有关计算】【例1】（2023春·山东烟台·七年级统考期中）已知线段AB=12cm，点C为直线AB上一点，且AC=4cm，点D为线段BC的中点，则线段AD的长为（ ）A．4cm B．8cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm【答案】D【分析】分两种情况考虑：点C在线段AB上，点C以线段BA的延长线上；利用中点的意义及线段的和差关系即可求得线段AD的长．【详解】①当点C在线段AB上时，如图则BC=AB−AC=12−4=8(cm)∵点D为线段BC的中点BC=4cm∴CD=12∴AD=AC+CD=4+4=8(cm)②点C以线段BA的延长线上时，如图则BC=AB+AC=12+4=16(cm)∵点D为线段BC的中点BC=8cm∴CD=12∴AD=CD−AC=8−4=4(cm)综上所述，AD的长为4cm或8cm故选：D【点睛】本题考查了中点的含义、线段的和差运算，注意分类讨论．【变式1-1】（2023秋·福建三明·七年级统考期中）如图，C是AB的中点，点D，E分别在AC，BC上，且AD+BE=8，AE+BD=12，则CB的长为．【答案】5【分析】由线段和差关系可求DE，AB，由中点的性质可求解．【详解】解：∵AD+BE+DE=AB，AE+BD−DE=AB，∴8+DE=AB，12−DE=AB，∴DE=2，AB=10，∵C是AB的中点，∴CB=1AB=5．2故答案为：5．【点睛】本题考查了线段和差与中点的性质和应用，熟练掌握线段和差倍分的计算是解题的关键．【变式1-2】（2023秋·山东德州·七年级统考期末）如图，已知点C为线段AB上一点，AC=12cm，CB=8 cm，D、E分别是AC、AB的中点．求：(1)求AD 的长度；(2)求DE 的长度；(3)若M 在直线AB 上，且MB =6cm ，求AM 的长度．【答案】(1)6cm (2)4cm (3)26cm 或14cm【分析】（1）直接根据D 是AC 的中点可得答案；（2）先求出AB 的长，然后根据E 是AB 的中点求出AE ，做好应AE−AD 即为DE 的长；（3）分M 在点B 的右侧、M 在点B 的左侧两种情况进行计算即可．【详解】（1）解：由线段中点的性质AD =12AC =12×12=6cm ；（2）由线段的和差，得AB =AC +BC =12+8=20cm ，由线段中点的性质，得AE =12AB =12×20=10cm ，由线段的和差，得DE =AE−AD =10−6=4cm ；（3）当M 在点B 的右侧时，AM =AB +MB =20+6=26cm ，当M 在点B 的左侧时，AM =AB−MB =20−6=14cm ，∴AM 的长度为26cm 或14cm ．【点睛】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键．【变式1-3】（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M 在线段AN 的延长线上，且线段MN =10，第一次操作：分别取线段AM 和AN 的中点M 1、N 1；第二次操作：分别取线段AM 1和AN 1的中点M 2，N 2；第三次操作：分别取线段AM 2和AN 2的中点M 3，N 3；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M 1N 1+M 2N 2+⋅⋅⋅+M 2023N 2023=（ ）A ．10+522022B ．10+522023C ．10−522022D ．10−522023【答案】C【分析】根据MN =10，M 1、N 1分别为AM 、AN 的中点，求出M 1N 1的长度，再由M 1N 1的长度求出M 2N 2的长度，找到M n N n 的规律即可求出M 1N 1+M 2N 2+⋅⋅⋅+M 2023N 2023的值．【详解】解：∵MN =10，M 1、N 1分别为AM 、AN 的中点，∴M 1N 1=AM 1−AN 1=12AM−12AN =12(AM−AN )=12MN =12×10=5，∵M 2、N 2分别为AM 1、A N 1的中点，∴M 2N 2=AM 2−AN 2=12AM 1−12AN 1=12(AM 1−AN 1)=12M 1N 1=12×5=52，∵M 3、N 3分别为AM 2、A N 2的中点，∴M 3N 3=AM 3−AN 3=12AM 2−12AN 2=12(AM 2−AN 2)=12M 2N 2=12×52=522，……由此可得：M n N n =52n−1，∴M 1N 1+M 2N 2+⋯+M 2023N 2023=5+52+522+⋯+522022=10×+122+⋯=10×1−=10−522022，故选C ．【点睛】本题考查线段中点的有关计算，有理数的简便运算，相对较难，根据题意找出规律是解题的关键．【题型2 线段的和差】【例2】（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C 、D 是线段AB 上两点，M 、N 分别是线段AD 、BC 的中点，下列结论：①若AD =BM ，则AB =3BD ；②若AC =BD ，则AM =BN ；③AC−BD =2(MC−DN )；④2MN =AB−CN ．其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．③④C ．①②④D ．①②③④【答案】A【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形逐一进行分析即可．【详解】解：如图， ∵M 、N 分别是线段AD 、BC 的中点，∴AM =MD =12AD ，CN =BN =12BC ，∵AD =BM ，∴AD =MD +BD ， ∴AD =12AD +BD ， ∴AD =2BD ，∴AD +BD =2BD +BD =3BD ，即AB =3BD ，故①符合题意； ∵AC =BD ， ∴AD =BC ， ∴12AD =12BC ，∴AM =BN ，故②符合题意；∵AC−BD =AD−CD−BD =AD−(CD +BD )=AD−BC ，∴AC−BD =2MD−2CN =2(MD−CN )=2(MC +CD−CD−DN )=2(MC−DN ) ，故③符合题意； ∵2MN =2MC +2CN ，MC =MD−CD ，∴2MN =2(MD−CD )+2CN =2(MD +CN−CD )， ∵MD =12AD ，CN =12BC ，∴2MN =+12BC−CD=AD−CD +BC−CD =AC +BD=AB−CD ，故④不符合题意， 故选：A ．【点睛】本题考查了线段的和差运算，能够利用中点的性质及线段的和差关系求解一些线段之间的关系是解本题的关键．【变式2-1】（2023春·山东济南·七年级校考阶段练习）两根木条，一根长10cm ，另一根长8cm ，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为 cm ．【答案】1或9【分析】设AC =8cm ，AB =10cm ，根据题意分两种情况：①如图1，两根木条如图放置，有一端重合，根据点E 是AC 的中点，点D 是AB 的中点，可得AE =12AC =12×8=4，AD =12AB =12×10=5，再由ED =AE +AD 即可得出答案；②如图2，两根木条如图放置，有一端重合，根据点E 是AC 的中点，点D 是AB 的中点，可得AE =12AC =12×8=4，AD =12AB =12×10=5，再由ED =AD−AE 即可得出答案．【详解】解：设AC =8cm ，AB =10cm ，根据题意，①如图1，∵点E 是AC 的中点，点D 是AB 的中点，∴AE =12AC =12×8=4，AD =12AB =12×10=5，∴ED =AE +AD =4+5=9(cm)；②如图2，∵点E 是AC 的中点，点D 是AB 的中点，∴AE =12AC =12×8=4，AD =12AB =12×10=5，∴ED =AD−AE =5−4=1(cm)．综上所述，两根木条的中点之间的距离为1cm 或9cm ．故答案为：1或9．【点睛】本题主要考查两点间的距离及线段的和差，中点的定义，本题运用了分类讨论和数形结合的思想方法．熟练掌握两点的距离及线段和差的计算方法是解题的关键．【变式2-2】（2023秋·江苏南京·七年级校考期末）如图，C 为线段AD 上一点，点B 为CD 的中点，且AD =26cm ，BC =6cm ．(1)图中共有 条线段？(2)求AC 的长．(3)若点E 在直线AD 上，且EA =8cm ，求BE 的长．【答案】(1)6(2)14cm (3)12cm 或28cm【分析】（1）根据两点确定一条线段进行求解即可；（2）先根据线段中点的定义求出CD=12cm，则AC=AD−CD=14cm；（3）分当点E在线段AD上时，当点E在线段DA的延长线上时，两种情况求出CE的长即可得到答案．【详解】（1）解：由题意得，图中的线段有：AC，BC，BD，AB，CD，AD一共6条，故答案为：6；（2）解：∵BC=6cm，点B为CD的中点，∴CD=2BC=12cm，∵AD=26cm，∴AC=AD−CD=14cm；（3）解：如图1所示，当点E在线段AD上时，∵AC=14cm，AE=8cm，∴CE=AC−AE=6cm，∵BC=6cm，∴BE=BC+CE=12cm；解：如图2所示，当点E在线段DA的延长线上时，∵AC=14cm，AE=8cm，∴CE=AC+AE=22cm，∵BC=6cm，∴BE=BC+CE=28cm；综上所述，BE的长为12cm或28cm．【点睛】本题主要考查了线段的和差计算，与线段中点有关的线段计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．【变式2-3】（2023秋·安徽合肥·七年级合肥市第四十五中学校考期末）已知B、C在线段AD上．(1)如图，图中共有条线段，AD＝＋－；(2)如图，若AB:BD=2:5．AC:CD=4:1．且BC=18，求AD的长度．【答案】(1)6；AC,BD,BC (2)AD =35【分析】（1）根据线段的定义可求出线段的数量；根据线段的和差可可解决与AD 有关的数量关系；（2）设AD =x ，表示出AB 、AC ，根据BC =18列方程求解即可．【详解】（1）图中线段有：AB,AC,AD,BC,BD,CD 共6条；AD =AC +BD−BC ．故答案为：6；AC,BD,BC ．（2）设AD =x因为AB ：BD ＝2：5，AC ：CD ＝4：1所以AB =252BD =27x ，AC =441BD =45x 因为AC−AB =BC ，BC =18所以45x−27x =18解得x =35所以AD =35．【点睛】本题考查了线段的定义，线段的和差，以及一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键．【题型3 线段的数量关系】【例3】（2023秋·江西九江·七年级统考期末）已知点M 是线段AB 上一点，若AM =14AB ，点N 是直线AB 上的一动点，且AN−BN =MN ，则MNAB = ．【答案】1或12【分析】分两种情况：当点N 在线段AB 上，当点N 在线段AB 的延长线上，然后分别进行计算即可解答．【详解】解：分两种情况：当点N 在线段AB 上，如图：∵AN−BN =MN ，AN−AM =MN ，∴BN =AM ，∵AM =14AB ，∴BN=14AB，∴MN=AB−AM−BN=12AB，∴MNAB =12；当点N在线段AB的延长线上，如图：∵AN−BN=MN，AN−BN=AB，∴AB=MN，∴MNAB=1，综上所述：MNAB 的值为1或12，故答案为：1或12．【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况进行计算是解题的关键．【变式3-1】（2023秋·江苏·七年级期末）如图，C、D是线段AB上两点，且CD=3AD−2BC，则AC与BD 的关系是（）A．AC=BD B．2AC=BD C．3AC=2BD D．4AC=3BD【答案】C【分析】先分别表示出AC和BD，即可求出两者的关系．【详解】解：∵AC=AD-CD=AD-3AD+2BC=2BC-2AD=2(BC-AD)，BD=BC-CD=BC-3AD+2BC=3BC-3AD=3(BC-AD)，∴AC BD =2(BC−AD)3(BC−AD)=23，∴3AC=2BD，故选：C．【点睛】本题考查线段的计算，熟练掌握线段的和差是解题的关键．【变式3-2】（2023春·上海·七年级专题练习）如图，已知点C为线段AB的中点，D为CB上一点，下列关系表示错误的是（ ）A．CD＝AC﹣DB B．BD+AC＝2BC﹣CDC．2CD＝2AD﹣AB D．AB﹣CD＝AC﹣BD【答案】D【分析】根据图形可以明确线段之间的关系，对线段CD、BD、AD进行和、差转化，即可发现错误选项．【详解】解：∵C是线段AB的中点，∴AC＝BC，AB＝2BC＝2AC，AB﹣BD＝AC﹣BD；∴CD＝BC﹣BD＝12∵BD+AC＝AB﹣CD＝2BC﹣CD；∵CD＝AD﹣AC，∴2CD＝2AD﹣2AC＝2AD﹣AB；∴选项A、B、C均正确．而答案D中，AB﹣CD＝AC+BD；∴答案D错误符合题意．故选：D．【点睛】本题考查线段的和差，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．【变式3-3】（2023春·浙江·七年级期中）如图1，AB是一条拉直的细绳，C,D两点在AB上，且AC:BC=2:3，AD:BD=3:7．则（1）CD:AD=；（2）若将点C固定，将AC折向BC，使得AC落在BC上（如图2），再从点D处剪断，使细绳分成三段，分成的三段细绳的长度由小到大之比为．【答案】1∶3 2∶3∶5【分析】（1）根据题意AC:BC =2:3，可得AC:AB =2:5，AC =25AB ；根据AD:BD =3:7，可得AD:AB =3:10，AD =310AB ；CD =AC−AD =110AB ，CD:AD 就是110AB:310AB ，计算求出答案即可．（2）设对折后点D 关于C 点对称处为D ′，被剪断两处分别是点D 和D ′，剪开的三段细绳依次是AD 、DD ′、D ′B ，根据对折性质DD ′=2DC ，D ′B =CB−CD ′，把AD 、DD ′、D ′B 的长度写成关于AB 的值，比较大小后代入计算即可．【详解】解：（1）∵AC:BC =2:3，AC +CB =AB ，∴AC:AB =2:(2+3)=2:5，∴AC =25AB ；∵AD:BD =3:7，AD +DB =AB ，∴AD:AB =3:(3+7)=3:10，∴AD =310AB ；∵CD =AC−AD =25AB−310AB =110AB ，∴CD:AD =110AB:310AB =1:3．（2）设对折后点D 关于C 点对称处为D ′，被剪断两处分别是点D 和D ′，剪开的三段细绳依次是AD 、DD ′、D ′B ，∵根据上题，AD =310AB ；DD ′=2DC =2×110AB =15AB ；D ′B =CB−CD ′=CB−CD =35AB−110AB =12AB ；∴DD ′<AD <D ′B ．∴DD ′:AD:D ′B =15AB:310AB:12AB =2:3:5．故答案为：（1）1∶3（2）2∶3∶5．【点睛】本题考查了线段的和与差，根据比值，将每一段的长度表示成总长度的几分之几，用代数的方法代入计算是解题关键．【题型4 简单线段的长短比较】【例4】（2023春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，小明从家到学校分别有①、②、③三条路可走：①为折线段ABCDEFG ，②为折线段AIG ，③为折线段AJHG ．三条路的长依次为a 、b 、c ，则（ ）A．a＞b＞c B．a＝b＞c C．a＞c＞b D．a＝b＜c【答案】B【详解】观察图形,可知:①②相等,③最短,a、b、c的大小关系是:a=b>c.故选B.【点睛】本题考查线段长短的度量、比较, 根据平移的性质,两点间线段距离最短,认真观察图形,可知①②都是相当于走直角线,故①②相等,③走的是两点间的线段,最短.【变式4-1】（2023秋·七年级课时练习）如图，已知三角形ABC，下列比较线段AC和AB长短的方法中，可行的有（）①用直尺度量出AB和AC的长度；②用圆规将线段AB叠放到线段AC上，观察点B的位置；③沿点A折叠，使AB和AC重合，观察点B的位置．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【分析】①用直尺度量出AB和AC的长度，比较长度；②用圆规将线段AB叠放到线段AC上，若点B在线段AC 上，AB<AC；若点B与点C重合，AB=AC；若点B在AC的延长线上，AB>AC；③沿点A折叠，使AB和AC 重合，若点B在线段AC上，AB<AC；若点B与点C重合，AB=AC；若点B在AC的延长线上，AB>AC．【详解】比较线段AC和AB长短的方法有：①用直尺度量出AB和AC的长度，比较长度；②用圆规将线段AB叠放到线段AC上，观察点B的位置，若点B在线段AC上，AB<AC；若点B与点C重合，AB=AC；若点B在AC的延长线上，AB>AC；③沿点A折叠，使AB和AC重合，观察点B的位置，若点B在线段AC上，AB<AC；若点B与点C重合，AB=AC；若点B在AC的延长线上，AB>AC．共3个方法．故选：D ．【点睛】本题主要考查了比较三角形两边长短的方法，熟练掌握度量法，叠合法，是解决问题的关键，其中叠合法包括叠放法，折叠法．【变式4-2】（2023秋·云南楚雄·七年级统考期末）如图，B ，C 在线段AD 上，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，(1)图中以C 为端点的线段共有______条.(2)若AB =CD ，①比较线段的长短：AC ______BD ；AN ______DM （填：“>”、“=”或“<”）②若AD =21，AB:BC =2:3，求MN 的长度.【答案】(1)5(2)①=；=；②15【分析】（1）除C 点外还有5个端点，即以C 为端点的线段有5条；（2）①根据题意有AM =MB =12AB ，CN =ND =12CD ，即有AB +BC =CD +BC ，AM =MB =CN =ND ，即有AC =BD ，AD−ND =AD−AM ，问题随之得解；②设AB =2x ，BC =3x ，则CD =2x ，依题意，得2x +3x +2x =21，即可得AB =6，BC =9，CD =6，根据①：AM =MB =12AB ，CN =ND =12CD ，即可求解．【详解】（1）∵除C 点外还有5个端点，∴以C 为端点的线段有5条，故答案为：5；（2）①∵M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，∴AM =MB =12AB ，CN =ND =12CD ，∵AB =CD ，∴AB +BC =CD +BC ，AM =MB =CN =ND ，∴AC =BD ，AD−ND =AD−AM ，∴AN =DM ，故答案为：＝，＝；②设AB =2x ，BC =3x ，则CD =2x ，依题意，得2x +3x +2x =21，解得x =3，故AB =6，BC =9，CD =6，∵根据①：AM =MB =12AB ，CN =ND =12CD ，∴MN =BM +BC +CN =3+9+3=15．【点睛】本题考查了有关线段中点的计算，一元一次方程的应用等知识，理清各线段的关系，是解答本题的关键．【变式4-3】（2023秋·浙江杭州·七年级统考期末）如图，已知直线AB ，射线AC ，线段BC ．(1)用无刻度的直尺和圆规作图：延长BC 到点D ，使CD =AC ，连接AD ．(2)比较AB +AD 与BC +AC 的大小，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AB +AD >BC +AC ，见解析【分析】（1）根据题意，作出图形即可；（2）利用两点之间线段最短以及线段的和差，求解即可．【详解】（1）解：如图；（2）解：根据两点之间线段最短可判断AB +AD >BD ．即AB +AD >BC +CD∵CD =AC∴AB+AD＞BC+AC【点睛】此题考查了尺规作图－线段，以及两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．【题型5 两点间的距离】【例5】（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）如图，在线段MN上有P、Q两点，PQ长度为2cm，MN长为整数，则以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和可能为（）A．19cm B．20cm C．21cm D．22cm【答案】B【分析】根据题意可知，所有线段的长度之和是MP+MQ+MN+PQ+PN+QN，然后根据PQ=2cm，线段MN的长度是一个正整数，可以解答本题．【详解】解：由题意可得，图中以M、P、Q、N这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：MP+MQ+MN+PQ+PN+QN (MP+PQ+QN)+(MQ+PN)+MN=MN+MN+PQ+MN=3MN+PQ∴以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多2，∴以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和可能为20．故选B．【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【变式5-1】（2023秋·江西吉安·七年级校考期末）在同一直线上有A,B,C,D不重合的四个点，AB=8,BC=3,CD=5，则AD的长为．【答案】6或10或16【分析】由于没有图形，故A,B,C,D四点相对位置不确定，分：点C在B的左侧、右侧，点D在C的左侧、右侧等，不同情况画图分别求解即可．【详解】解：I．当点C在B的右侧，点D在C的左侧时，如图：∵AB=8，BC=3，CD=5，∴AD =AB +BC−CD =8+3−5=6，II ．当点C 在B 的右侧，点D 在C 的右侧时，如图：∴AD =AB +BC−CD =8+3+5=16，III ．当点C 在B 的左侧，点D 在C 的左侧时，如图：∴AD =AB−BC−CD =8−3−5=0，点A 、D 重合，不合题意，IV ．当点C 在B 的左侧，点D 在C 的右侧时，如图：∴AD =AB−BC +CD =8−3+5=10，点A 、D 重合，不合题意，综上所述：AD 的长为6或10或16故答案为：6或10或16．【点睛】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是根据点的不同位置进行分类讨论、利用线段之间的和差关系得到AD 的长度．【变式5-2】（2023秋·福建福州·七年级统考期末）互不重合的A 、B 、C 三点在同一直线上，已知AB =2a,AC =a +6,BC =3a +1，则这三点的位置关系是（ ）A ．点A 在B 、C 两点之间B ．点B 在A 、C 两点之间C ．点C 在A 、B 两点之间D ．无法确定【答案】B【分析】根据题意得a ≥0，若点A 在B 、C 两点之间，则AB +AC =BC ，此时无解，若点B 在A 、C 两点之间，则BC +AB =AC ，解得a =54，若点C 在A 、B 两点之间，则BC +AC =AB ，解得a =−72，综上，即可得．【详解】解：∵AB =2a,AC =a +6,BC =3a +1，∴a ≥0，A 、若点A 在B 、C 两点之间，则AB+AC=BC，2a+a+6=3a+1，此时无解，故选项A情况不存在；B、若点B在A、C两点之间，则BC+AB=AC，3a+1+2a=a+6，a=54，故选项B情况存在；C、若点C在A、B两点之间，则BC+AC=AB，3a+1+a+6=2a，a=−72，故C情况不存在；故选：B．【点睛】本题考查了两点间的距离，整式的加减，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，分类讨论．【变式5-3】（2023秋·辽宁大连·七年级统考期末）如图，A、B、C、D、E是直线l上的点，线段AB=12 cm，点D、E分别是线段AC、BC的中点．(1)求线段DE的长；(2)若BC=4cm，点O在直线AB上，AO=5cm，求线段OE的长；(3)若BC=m cm，点O在直线AB上，AO=n cm，请直接写出线段OE的长 cm．（用含m、n的式子表示）【答案】(1)6cm(2)5cm或15cm(3)(n+12−m2)或(12−n−m2)或(n−12+m2)cm【分析】（1）根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论；（2）根据线段的和差关系即可得到结论；（3）根据线段的和差关系即可得到结论．【详解】（1）∵点D 、E 分别是线段AC 、BC 的中点，∴DC =AD =12AC ，BE =CE =12BC ，∴DE =DC +CE =12AC +12BC =12AB =12×12=6cm ；（2）∵E 为BC 的中点，∴BE =CE =12BC =2cm ，当点O 在点A 的左边时，OE =OA +AE =OA +AB−BE =5+12−2=15cm ；当点O 在点A 的右侧时，OE =AE−OA =AB−BE−OA =12−2−5=5cm ；（3）∵BC =m cm ，∴BE =CE =12BC =m 2，当点O 在点A 的左边时，OE =OA +AE =OA +AB−BE =(n +12−m 2)cm ；当点O 在点A 的右侧在E 的左侧时，OE =AE−OA =AB−BE−OA =(12−n−m 2)cm ，当点O 在E 的右侧时，OE =BE−AB +OA =(n−12+m 2)cm ，综上所述，线段OE 的长为(n +12−m 2)或(12−n−m 2)或(n−12+m 2)cm ；故答案为： (n +12−m 2)或(12−n−m 2)或(n−12+m 2)cm ．【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．【题型6 线段n 等分点的有关计算】【例6】（2023·全国·七年级假期作业）如图，将一根绳子对折以后用线段AB 表示，点P 是AB 的四等分点，现从P 处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中的一段长为30cm ，则这条绳子的原长为 cm ．【答案】40或80或120或240．【分析】分AP =13PB ，PB =13AP 这两种情况，结合图形就所得三段绳子其中一段长度为30cm ，再分类讨论求解可得．【详解】解：①如图1，当AP =13PB 时，此时剪开的三段分别为AP 、PP′、A′P′，若AP=A′P′=30cm ，则PB=P′B=3PA=90cm ，此时AA′=AP+PP′+A′P′=30+180+30=240（cm ）；若PP′=30cm ，则PB=P′B=15cm ，AP=A′P′=13PB=5cm ，此时AA′=5+30+5=40（cm ）；②如图2，当PB =13AP 时，此时剪开的三段分别为AP 、PP′、A′P′，若AP=A′P′=30cm ，则PB=P′B=13AP=10cm ，此时AA′=AP+PP′+A′P′=30+20+30=80（cm ）；若PP′=30cm ，则PB=P′B=15cm ，AP=A′P′=3PB=45cm ，此时AA′=AP+PP′+A′P′=45+30+45=120（cm ）；综上，这条绳子的原长为40或80或120或240cm ，故答案为：40或80或120或240．【点睛】本题考查线段的和差．熟练掌握线段等分点的性质和线段的和差计算及分类讨论思想的运用是解题的关键．【变式6-1】（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）如图B 、C 两点把线段AD 分成2:3:4的三部分，M 是AD 的中点，CD =8，求MC 的长．【答案】MC =1【分析】设AB =2x ，得CD =4x ，BC =3x ，AD =9x ，再根据CD =8，求出x 的值，故可得出线段AD 的长度，再根据M 是AD 的中点可求出MD 的长，由MC =MD−CD 即可得出结论．【详解】解：设AB =2x ，∵AB ∶BC ∶CD =2∶3∶4，∴CD =4x ，BC =3x ，AD =(2+3+4)x =9x ，∵CD =8，∴x=2，∴AD=9x=18，∵M是AD的中点，∴MD=12AD，∴MC=MD−CD=12AD−CD=12×18−8=1．【点睛】本题考查的是线段的和差运算，中点的含义，在解答此类问题时要注意各线段之间的和、差及倍数关系．【变式6-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，线段AB和线段CD的公共部分是线段BD，点E、F分别是AB、CD的中点，若BF:DE=5:2，BC−EF=3，AE=6，则AC的长为．【答案】26【分析】由图，可求CF−BE=3，由BE=AE=6，得DF=CF=3+BE=9，于是9−DB6−DB =52，得DB=4，进而求得AC=AB+CD−DB=26．【详解】解：∵BC−EF=3，BC，EF有一段公共边BF，∴CF−BE=3，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE=AE=6，∴DF=CF=3+BE=3+6=9，∵BF=9−DB，DE=6−DB，BF:DE=5:2，∴9−DB6−DB =52，∴DB=4，∴AC=AB+CD−DB=6×2+9×2−4=26．故答案为：26．【点睛】本题考查根据直线上线段间的数量关系计算线段长度，由直线上点之间的位置关系确定线段间的数量关系是解题的关键．【变式6-3】（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：如图1，点C 在线段AB 上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点．若AB =6，AC =2，求MN 的长．(1)根据题意，小明求得MN =______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN 的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设AB =a ，C 是线段AB 上任意一点（不与点A ，B 重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．①如图1，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN =______．②如图2，M ，N 分别是AC ，BC 的三等分点，即AM =13AC ，BN =13BC ，求MN 的长．③若M ，N 分别是AC ，BC 的n (n ≥2)等分点，即AM =1n AC ，BN =1n BC ，则MN =______．【答案】(1)3(2)①12a ；②23a ；③n−1n a【分析】（1）由AB =6，AC =2，得BC =AB−AC =4，根据M ，N 分别是AC ，BC 的中点，即得CM = 12 AC =1，CN = 12 BC =2，故MN =CM +CN =3；（2）①由M ，N 分别是AC ，BC 的中点，知CM = 12 AC ，CN = 12 BC ，即得MN = 12 AC + 12 BC = 12 AB ，故MN = 12 a ；②由AM = 13 AC ，BN = 13 BC ，知CM = 23 AC ，CN = 23 BC ，即得MN =CM +CN = 23 AC + 23 BC = 23 AB ，故MN = 23 a ；③由AM = 1n AC ，BN = 1n BC ，知CM =n−1n AC ，CN = n−1n BC ，即得MN =CM +CN = n−1n AC + n−1n BC = n−1n AB ，故MN = n−1n a ．【详解】（1）解：∵AB=6，AC=2，∴BC=AB−AC=4，∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=12AC=1，CN=12BC=2，∴MN=CM+CN=3；故答案为：3；（2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=12AC，CN=12BC，∴MN=12AC+12BC=12AB，∵AB=a，∴MN=12a；故答案为：12a；②∵AM=13AC，BN=13BC，∴CM=23AC，CN=23BC，∴MN=CM+CN=23AC+23BC=23AB，∵AB=a，∴MN=23a；③∵AM=1n AC，BN=1nBC，∴CM=n−1n AC，CN=n−1nBC，∴MN=CM+CN=n−1n AC+n−1nBC=n−1nAB，∵AB=a，∴MN=n−1na，故答案为：n−1na．【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．【题型7与线段的长短比较有关的应用】【例7】（2023春·北京海淀·七年级首都师范大学附属中学校考开学考试）如图，在公路MN两侧分别有A1，A2，⋯，A7七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”，由以上几个描述①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置在B点与C点之间任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长短无关．其中，正确的是．【答案】①③【分析】根据最优化问题，即可判断出正确答案．【详解】解；如图，因为A、D、E点各有一个工厂相连，B，C，各有两个工厂相连，把工厂看作“人”．可简化为“A，B，C，D，E处分别站着1，2，2，1，1个人（如图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”把人尽量靠拢，显然把人聚到B、C最合适，靠拢完的结果变成了B=4，C=3，最好是移动3个人而不要移动4个人．所以车站设在C点，且与各段小公路的长度无关．故答案为：①③．【点睛】此题属于最优化问题，做这类题要做到规划合理，也就是要考虑到省时省力．【变式7-1】（2023春·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考开学考试）如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ）A．点A B．点B C．A，B之间D．B，C之间【答案】A【分析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝4500（米），②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝4500+5m＞4500，⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞4500．∴该停靠点的位置应设在点A；故选A．【点睛】此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．【变式7-2】（2023春·浙江宁波·七年级校考开学考试）一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k（k=1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米．A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼米处．【答案】150【详解】假设车站距离1号楼x米，然后运用绝对值表示出总共的距离，继而分段讨论x的取值去掉绝对值，根据数的大小即可得出答案．解：假设车站距离1号楼x米，则总距离S=|x|+2|x-50|+3|x-100|+4|x-150|+5|x-200|，①当0≤x≤50时，S=2000-13x，最小值为1350；②当50≤x≤100时，S=1800-9x，最小值为900；②当100≤x≤150时，S=1200-3x ，最小值为750（此时x=150）；当150≤x≤200时，S=5x ，最小值为750（此时x=150）．∴综上，当车站距离1号楼150米时，总距离最小，为750米．故答案为150．【变式7-3】（2023秋·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）在一条直线上有依次排列的n (n >1)台机床在工作，我们需要设置零件供应站P ，使这n 台机床到供应站P 的距离总和最小．要解决这个问题，先要分析比较简单的情形：如果直线上只有2台机床A 1，A 2时，很明显供应站P 设在A 1和A 2之间的任何地方都行，距离之和等于A 1到A 2的距离；如果直线上有3台机床A 1、A 2、A 3，供应站P 应设在中间一台机床A 2处最合适，距离之和恰好为A 1到A 3的距离；如果在直线上4台机床，供应站P 应设在第2台与第3台之间的任何地方；如果直线上有5台机床，供应站P 应设在第3台的地方；(1)阅读递推：如果在直线上有7台机床，供应站P 应设在（ ）处．A ．第3台B ．第3台和第4台之间C ．第4台D ．第4台和第5台之间(2)问题解决：在同一条直线上，如果有n 台机床，供应站P 应设在什么位置？(3)问题转化：在数轴上找一点P ，其表示的有理数为x ．当x =_______时，代数式|x−1|+|x−2|+|x−3|+⋯+|x−99|取到最小值，此时最小值为___________．【答案】(1)C(2)当n 为奇数时，供应站P 应设在第n 12台的位置；当n 为偶数时，供应站P 应设在第n 2台第1台之间的任何位置(3)50，2450【分析】（1）从所给材料中找出规律即可求解；（2）分n 为奇数和n 为偶数两种情况，找出规律即可求解；（3）根据绝对值的几何意义和连续整数的和的计算公式即可求解．【详解】（1）解：根据题意可知：直线上有3台机床，供应站P应设在中间一台机床A2处最合适，直线上有5台机床，供应站P应设在中间一台机床A3处最合适，以此类推，如果在直线上有7台机床，供应站P应设在中间一台机床A4处最合适，故选C；（2）解：由题意知：台的位置；当n为奇数时，供应站P应设在第n12台和第1台之间的任何位置；当n为偶数时，供应站P应设在第n2（3）解：1到99最中间的数为：(1+99)÷2=50，应用（2）中结论可知，当x=50时，代数式|x−1|+|x−2|+|x−3|+⋯+|x−99|取到最小值，|50−1|+|50−2|+|50−3|+⋯+|50−99|=49+48+47+⋯+2+1+0+1+2+⋯+48+49=(1+49)×49=2450，即当x=50时，代数式|x−1|+|x−2|+|x−3|+⋯+|x−99|取到最小值，最小值为2450．【点睛】本题考查绝对值的几何意义、数轴上两点间的距离、有理数的混合运算等，解题的关键是掌握从特殊到一般和分类讨论的方法．【题型8线段中的动点问题】【例8】．（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB=14厘米，点C在线段AB上，且BC=3厘米．点P、点Q是直线AB上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过秒时线段PQ的长为6厘米．【答案】3或9或1【分析】分四种情况：（1）点P、Q都向右运动；（2）点P、Q都向左运动；（3）点P向左运动，点Q 向右运动；（4）点P向右运动，点Q向左运动；求出经过多少秒时线段PQ的长为6厘米即可．【详解】解：（1）点P、Q都向右运动时，(6−3)÷(2−1)=3÷1。
线段的中点问题专项训练(30道)
线段的中点问题专项训练（30道）【题型1 单个中点问题】1．如图，已知DB＝2，AC＝10，点D为线段AC的中点，求线段BC的长度．2．如图，C是线段AB上的一点，N是线段BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求AN的长．3．如图，点C为线段AB上一点，点D为BC的中点，且AB＝12，AC＝4CD．（1）求AC的长；（2）若点E在直线AB上，且AE＝3，求DE的长．4．如图，延长线段AB到C，使BC＝3AB，点D是线段BC的中点，如果CD＝9cm，那么线段AC的长度是多少？5．如图，已知AD=12DB，E是BC的中点，BE=15AC＝2cm．（1）求BC的长；（2）求DE的长．6．如图，点C是线段AB的中点，点D在线段AB上，若CD＝2，AD=32BD，求AB的长．7．如图，M为线段AB的中点，点C在线段BM上且CM：CB＝1：2．若AB＝12，求线段AC的长．8．如图，已知点C、D在线段AB上，点D是AB中点，AC=13AB，CD＝2．求线段AB长．9．如图，已知C、D两点将线段AB分成2：3：4三段，点E是BD的中点，点F是线段CD上一点，且CF＝2DF，EF＝12cm，求AB的长．10．已知线段AB上有两点C、D，使得AC：CD：DB＝1：2：3，M是线段AC的中点，点N是线段AB上的点，且满足DN=14DB，AB＝24．求MN的长．11．如图，线段AC＝6cm，线段AB＝21cm，M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，求MN的长．12．如图，已知线段AB＝3cm，延长线段AB到C，使BC＝2AB，延长线段BA到D，使AD：AC＝4：3，点M是BD的中点，求线段BD和AM的长度．13．已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，（1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度：（2）如图2，若BD=14AB=13CD，E为线段AB的中点，EC＝12cm，求线段AC的长度．【题型2 无关联型双中点问题】14．如图，点C在线段AB上，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点．①若AC＝8，BC＝3，求DE；①若DE＝5，求AB．15．如图，点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝8cm，BC＝12cm，CD＝6cm．（1）求BM的长；（2）求AN的长．16．如图，线段AD＝20cm，线段AC＝BD＝14cm，E、F分别是线段AB、CD的中点，求线段EF的长．17．如图，已知线段AB上有两点C，D，且AC：CD：DB＝2：3：4，点E，F分别为AC，DB的中点，EF＝48cm．求AB的长．18．如图，点C，D在线段AB上，且满足CD=14AD=16BC，点E、F分别为线段AC，BD的中点，如果EF＝10cm，求线段AB的长度．19．如图，点C为线段AB上一点，点M、N分别是线段AC、BC的中点．回答下列问题：（1）试判断线段AB与MN的关系为；（2）若点P是线段AB的中点，AC＝6cm，CP＝2cm，求线段PN的长．20．如图，C为线段AB上一点．AB＝m，BC＝n，M，N分别为AC，BC的中点．（1）若m＝8，n＝2，求MN的长；（2）若m＝3n，求CNMN的值．21．如图，C、D是线段AB上两点，已知AC：CD：DB＝1：2：3，M、N分别为AC、DB 的中点，且AB＝12cm，（1）求线段CD的长；（2）求线段MN的长．【题型3 关联型双中点问题】22．如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点，若AB ＝15，CE＝4.5，求出线段AD的长度．23．如图，线段AB＝20cm，线段AB上有一点C，BC：AC＝1：4，点D是线段AB的中点，点E是线段AC的中点．（1）求线段AC的长度；（2）求线段DE的长度．24．如图，线段AB＝8cm，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．（1）AC＝3cm，求线段CM、NM的长；（2）若线段AC＝m，线段BC＝n，求MN的长度（m＜n用含m，n的代数式表示）．25．如图，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段CB 上的一点，点E 是线段DB 的中点，AB ＝20，EB ＝3． （1）求线段DB 的长． （2）求线段CD 的长．26．如图，线段AB ＝8，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段BC 的中点． （1）求线段AD 的长；（2）若在线段AB 上有一点E ，CE =14BC ，求AE 的长．【题型4 两个以上中点问题】27．如图，O 是AC 的中点，M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，试判断MN 与OC 的大小关系．28．如图，线段AB ＝6cm ，点C 是AB 的中点，点D 是BC 的中点，E 是AD 的中点．（1）求线段AE 的长； （2）求线段EC 的长．29．已知线段AB ＝20，M 是线段AB 的中点，P 是线段AB 上任意一点，N 是线段PB 的中点．（1）当P 是线段AM 中点时，求线段NB 的长； （2）当线段MP ＝1时，求线段NB 的长；（3）若点P 在线段BA 的延长线上，求线段P A 与线段MN 的数量关系．30．如图，C 为线段AB 上一点，D 为AC 的中点，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点． （1）若AC ＝4，BC ＝6，求CF 的长； （2）若AB ＝16CF ，求AC CB的值．。
线段的计算专题训练(王老师整理)
（1）当电子蚂蚁走到BC的中点D处时，它离A,B两处的距离之和是多少？
（2）这只电子蚂蚁甲由D点走到BA的中点E处时，需要几秒钟？
（3）当电子蚂蚁甲从E点返回时，另一只电子蚂蚁乙同时从点C出发，向左移动，速度为秒3个单位长度，如果两只电子蚂蚁相遇时离B点5个单位长度，求B点的坐标
3、如图，已知AB=20，C为AB的中点，D为CB上一点，E为BD的中点，且EB=3，求CD的长。
4、如图，C、D、E将线段分成2：3：4：5四部分，M、P、Q、N分别是线段AC、CD、DE、EB的中点，且MN=21，求PQ的长。
5、如图，延长线段AB到C，使BC=2AB，若AC=6cm，且AD=DB，
2、已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。
⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。若不存在，请说明理由？
⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？
三、动态问题
1、如图，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB=14.
(1)若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度。
(2)若点P在直线AB上，使说明线段MN的长度与点P在AB上的位置无关
(3)如图，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：
① 的值不变；② 的值不变。请选择一个正确的结论并其值。
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专训1 巧用线段中点的有关计算
名师点金：利用线段的中点可以得到线段相等或有倍数关系的等式来辅助计算，由相等的线段去判断中点时，点必须在线段上才能成立．
线段中点问题
类型1 与线段中点有关的计算
1．如图，点C 在线段AB 上，AC ＝8 cm ，CB ＝6 cm ，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点．
(1)求线段MN 的长．
(2)若C 为线段AB 上任一点，满足AC ＋CB ＝a cm ，其他条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由．
(第1题)
类型2 与线段中点有关的说明题
2．画线段MN ＝2 cm ，在线段MN 上取一点Q ，使MQ ＝NQ ；延长线段MN 到点A ，
使AN ＝12
MN ；延长线段NM 到点B ，使BN ＝3BM. (1)求线段BM 的长；
(2)求线段AN 的长；
(3)试说明点Q 是哪些线段的中点．
线段分点问题
类型1与线段分点有关的计算(设参法)
3．如图，B，C两点把线段AD分成2∶4∶3三部分，M是AD的中点，CD＝6 cm，求线段MC的长．
(第3题)
类型2线段分点与方程的结合
4．A，B两点在数轴上的位置如图所示，O为原点，现A，B两点分别以1个单位长度/秒、4个单位长度/秒的速度同时向左运动．【导学号：11972070】
(1)几秒后，原点恰好在A，B两点正中间？
(2)几秒后，恰好有OA∶OB＝1∶2?
(第4题)
答案
1．解：(1)因为点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，
所以CM ＝12AC ＝12×8＝4(cm )，CN ＝12BC ＝12
×6＝3(cm )， 所以MN ＝CM ＋CN ＝4＋3＝7(cm )；
(2)MN ＝12
a cm .理由如下： 同(1)可得CM ＝12AC ，CN ＝12
BC ， 所以MN ＝CM ＋CN ＝12AC ＋12BC ＝12(AC ＋BC)＝12
a cm . 点拨：(1)根据“点M ，N 分别是AC ，BC 的中点”，先求出MC 、CN 的长度，再利用MN ＝CM ＋CN 即可求出MN 的长度；(2)与(1)同理，先用AC 、BC 表示出MC 、CN ，MN 的长度就等于AC 与BC 长度和的一半．
2．解：如图：
(第2题)
(1)因为BN ＝3BM ，所以BM ＝12
MN. 因为MN ＝2 cm ，所以BM ＝12
×2＝1(cm )． (2)因为AN ＝12
MN ，MN ＝2 cm ，所以AN ＝1 cm . (3)因为MN ＝2 cm ，MQ ＝NQ ，所以MQ ＝NQ ＝1 cm .
所以BQ ＝BM ＋MQ ＝1＋1＝2(cm )，
AQ ＝AN ＋NQ ＝2 cm .所以BQ ＝QA.
所以Q 是MN 的中点，也是AB 的中点．
3．解：设AB ＝2k cm ，则BC ＝4k cm ，CD ＝3k cm ，AD ＝2k ＋4k ＋3k ＝9k(cm )．因为
CD ＝6 cm ，即3k ＝6，所以k ＝2，则AD ＝18 cm .又因为M 是AD 的中点，所以MD ＝12
AD ＝12
×18＝9(cm )．所以MC ＝MD －CD ＝9－6＝3(cm )． 4．解：(1)设x 秒后，原点恰好在A ，B 两点正中间．依题意得x ＋3＝12－4x ，解得x ＝1.8.
答：1.8秒后，原点恰好在A ，B 两点正中间．
(2)设t 秒后，恰好有OA ∶OB ＝1∶2.
①B 与A 相遇前：12－4t ＝2(t ＋3)，即t ＝1；
②B 与A 相遇后：4t －12＝2(t ＋3)，即t ＝9.
答：1秒或9秒后，恰好有OA ∶OB ＝1∶2.。