算术平方根(公开课)
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鲁教版七年级上册初中数学《平方根》公开课课件
3.理解算术平方根的非负性；
4.经历从平方运算到求算术平方根的演变过程, 体会二者的互逆关
系，培养逆向思维.
初识概念
已知正方形的边长，我们会求它的面积.
反之如果已知正方形的面积，你会求它的边长吗？
研读概念
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a ,
那么这个正数x叫做a的算术平方根.
记为： 读作“根号”；
=9
实战演练
例2 自由下落物体的高度h（米）与下落时间t(秒)的关系为
h=4.9t2，有一铁球从19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地
面需要多长时间 ？
问题解决
根据图形填空：
x,y,z,w分别了哪些知识？提升了哪些能力？
在探索知识的过程中，你积累了哪些经验？
（3）0的算术平方根是0；
(
（4）0.01是0.1的算术平方根；(
（5）-9的算术平方根是3；
√
)
×)
(× )
领悟意义
请说出下列各式的意义,并求值.
81
25
121
- 0.01
思考： 81 的算术平方根是___________.
思维碰撞
12 =1
(−1)2 =1
22 =2
(−2)2 =2
92
(−9)2 =9
布置作业
必做题：P91 随堂练习 第2题；
选做题：P92 习题4.3 第4题.
规定：0的算术平方根是0,即 = .
符号之美
例1 求下列各数的算术平方根：
9
49
6
17
（1） 121
；（2）
；（3）
；（4）
10
1
14
900
算术平方根公开课优质课教学设计一等奖及点评 (2)
《6.1.1算术平方根》教学设计人教版《义务教育教科书·数学》（七年级下册第六章实数）一、内容和内容解析本节内容是《义务教育课程标准实验教科书——数学》（人教版）七年级下册第六章《实数》第一节第一课时的知识，主要介绍算术平方根的概念、表示方法和求法，以及用夹逼法估计2的大致范围。
教材的地位和作用：第一，教科书先介绍算术平方根，让学生看到算术平方根与实际的联系，在学习算术平方根的基础上再学习平方根。
算术平方根与之前学的平方运算存在互逆关系，也是下节课学习平方根的前提，具有承上启下的作用。
第二，2是历史上人们发现的第一个无理数，引发了数学危机，也促使数系从有理数扩充到无理数。
教科书采用夹逼的方法，利用2的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小，进而给出2是无限不循环小数的结论，并指3，等也是无限不循环小数，为后面学习无理数概念打下基础。
第三，会用出5根号表示非负数的算术平方根，了解算术平方根的非负性，为以后学习二次根式做出了铺垫，提供知识积累。
对本节课教学有利因素是：七年级学生会做加减乘除以及乘方运算了，但还是会发现一些生活中常见的数学问题（比如知道正方形面积求边长这一类的问题）没办法用这些计算方法解决，内心渴望新的计算方法出现，本节课的学习将实现他们内心的期盼。
本节课教学不利因素是：第一、乘方运算是已知底数和指数，求幂，开方运算是已知幂和指数，求底数。
因为涉及到三个量的关系，与学过的互逆运算（加法和减法、乘法和除法）相比关系更为复杂，造成学生理解的困难。
第二、对一个正数，开平方运算可以得到一正一负两个平方根，正的那个叫算术平方根。
而教科书是从解决实际问题的需要出发，把算术平方根的学习放在平方根前面。
对算术平方根是非负的理解，学生会有些困难。
第三，对于可以表示成有理数的平方的数，由于它们的算术平方根都是有理数，所以学生容易把握这些算术平方根的大小。
但是对于像2这样不能表示成一个有理数的平方的数，它的算术平方根到底有多大，对学生来说是一个新问题。
算术平方根课件
直接开平法
对于形如a^(1/2)的算术平方根， 可以直接开平方得到结果。
迭代法
通过不断逼近的方式求得算术平方 根的值。
算术平方根的运算性质
非负性
有序性
算术平方根的结果总是非负的，即对 于任意实数a，其算术平方根√a≥0。
对于任意两个实数a和b（a≥0，b≥0 ），如果a≥b，那么√a≥√b。
唯一性
进行因式分解或化简。
几何学
在几何学中，算术平方根用于计 算图形的边长、面积和体积等， 例如，求圆的半径、矩形的宽或
长等。
数学分析
在数学分析中，算术平方根用于 研究函数的单调性、极值和积分
等。
算术平方根在物理中的应用
力学
在力学中，算术平方根用于计算速度、加速度和力的关系，例如 ，根据牛顿第二定律计算物体的加速度。
在此添加您的文本16字
题目：计算 $sqrt{25}$。
在此添加您的文本16字
答案：5
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解析：同样根据算术平方根的定义，$sqrt{25}$ 的解为 5 。
进阶练习题
题目：计算 $sqrt{16}$。
解析：进阶题目需要理解平方根的性质，$sqrt{16}$ 的 解为 4。 答案：9
电磁学
在电磁学中，算术平方根用于计算与电场、磁场相关的物理量，例 如，计算带电粒子的洛伦兹力。
热学
在热学中，算术平方根用于计算热量、温度和压力等物理量的关系 ，例如，计算热容和热传导系数。
算术平方根在日常生活中的应用
1 2 3
建筑学
在建筑学中，算术平方根用于计算建筑物的横梁 、立柱和地基等结构的尺寸和强度。
03
答案
约等于 1.73205（四舍五入到小数点后五位 ）
优秀公开课教学课件精选平方根
例如，因为3和-3的平方都等于9，我们就 说3和-3是9的平方根。 也可以说:9的平方根是±3.
议一议
平方根与算术平方根有什么异同？
平方根与算术平方根的联系与区别：
联系
（1）具有包含关系:平方根包含算术平方根，算术平方 根是平方根的一种。
（2） 存在条件相同：平方根和算术平方根都具有非负 性
（3） 0的平方根和算术平方根都是0。
（1） x 2 2； （2） 4x2 25 0
注 意：
正数a的算术平方根可以用√ a表示， 正数a的负的平方根可以用符号“-√ a”表示， 正数a的平方根可以用符号“±√ a”表示，读
作“正．负根号a”。 （例如±√9= ±3， ±√25= ±5）
符号“±√ a ” 只有a≧0时有意义， a≦时无意 义。
人教版七年级数学下册第六章第一节第三课时
学习目标： （1）了解平方根的概念；掌握平方根的特征． （2）能利用开平方与平方互为逆运算的关系，
求某些非负数的平方根．
学习重点：平方根的概念．
如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
由于 3 2 =9，
所以这个数是3或-3.
3是前面学习过的9的算术平方根， 那么3和-3叫做9的什么？让我们
一起来研究这个内容。
比一比——看谁最聪明？
如图，求左圈和右圈中的“？”表示的数：
x
x2
8 -8
？64
3
4
-3
4
-1111
？ ？
0.6 ？
-0.6 ？
0
？ ？
没有
？ ？
9 ？ 16
121 0.36
0 -4
定y=义0
一般的，如果一个数X的平方等于a， 即X2 = a，那么这个数X叫做a的平方根 （也叫做二次方根）．记作± a，其中 a叫做被开方数。
议一议
平方根与算术平方根有什么异同？
平方根与算术平方根的联系与区别：
联系
（1）具有包含关系:平方根包含算术平方根，算术平方 根是平方根的一种。
（2） 存在条件相同：平方根和算术平方根都具有非负 性
（3） 0的平方根和算术平方根都是0。
（1） x 2 2； （2） 4x2 25 0
注 意：
正数a的算术平方根可以用√ a表示， 正数a的负的平方根可以用符号“-√ a”表示， 正数a的平方根可以用符号“±√ a”表示，读
作“正．负根号a”。 （例如±√9= ±3， ±√25= ±5）
符号“±√ a ” 只有a≧0时有意义， a≦时无意 义。
人教版七年级数学下册第六章第一节第三课时
学习目标： （1）了解平方根的概念；掌握平方根的特征． （2）能利用开平方与平方互为逆运算的关系，
求某些非负数的平方根．
学习重点：平方根的概念．
如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
由于 3 2 =9，
所以这个数是3或-3.
3是前面学习过的9的算术平方根， 那么3和-3叫做9的什么？让我们
一起来研究这个内容。
比一比——看谁最聪明？
如图，求左圈和右圈中的“？”表示的数：
x
x2
8 -8
？64
3
4
-3
4
-1111
？ ？
0.6 ？
-0.6 ？
0
？ ？
没有
？ ？
9 ？ 16
121 0.36
0 -4
定y=义0
一般的，如果一个数X的平方等于a， 即X2 = a，那么这个数X叫做a的平方根 （也叫做二次方根）．记作± a，其中 a叫做被开方数。
算术平方根-公开课
则有： a x
试一试
例1.求下列各数的算术平方根:
解: (1) 因为 102 =100，所以100的算术平方根为10， 即 100 =10.
12 1、 试一试：你能根据等式： 2 =144说出144
的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．
144的算术平方根是12，即 144 ＝12
2、 想一想：下列式子表示什么 意义？你能求出 它们的值吗？
所以 81的算术平方根是 3。
（2）（25）2 25
提示：不要等于-25
(3) 2 1 9 3 4 42
提示：带分数化为假分数
3.已知 a 1 b 1 0，求a2017 (a b)2018的值.
4.已知 1-3a与 b 27互相反，求ab的算平方根.
探究规律
49
132
16
0.0009
81
49表示49的算术平方根， 49＝7
温1馨3提2表示示：13求（2值或时16，9）先的按算照术算平术方平根方, 根1的32意 1义3 ，写
出算术平方根的表达式，然后按照算术平方根的记法
写出16对表应示的值16．的例如算术平方根， 16＝ 4
81 81
81 9
0.0009 表示0.0009的算术平方根， 0.0009＝0.03
x 2
y3
z4
2x 3y z 4 9 4 1
1.求下列各式的值：
（1） 1
；（2）
9 25
；（3） 42
；（4） 0 ．
解：（1） 1 1 ；
（2） 9 3 ；
25 5
（3） 42 4 ；
（4） 0 0 ．
2.求下列各数的算术平方根:
试一试
例1.求下列各数的算术平方根:
解: (1) 因为 102 =100，所以100的算术平方根为10， 即 100 =10.
12 1、 试一试：你能根据等式： 2 =144说出144
的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．
144的算术平方根是12，即 144 ＝12
2、 想一想：下列式子表示什么 意义？你能求出 它们的值吗？
所以 81的算术平方根是 3。
（2）（25）2 25
提示：不要等于-25
(3) 2 1 9 3 4 42
提示：带分数化为假分数
3.已知 a 1 b 1 0，求a2017 (a b)2018的值.
4.已知 1-3a与 b 27互相反，求ab的算平方根.
探究规律
49
132
16
0.0009
81
49表示49的算术平方根， 49＝7
温1馨3提2表示示：13求（2值或时16，9）先的按算照术算平术方平根方, 根1的32意 1义3 ，写
出算术平方根的表达式，然后按照算术平方根的记法
写出16对表应示的值16．的例如算术平方根， 16＝ 4
81 81
81 9
0.0009 表示0.0009的算术平方根， 0.0009＝0.03
x 2
y3
z4
2x 3y z 4 9 4 1
1.求下列各式的值：
（1） 1
；（2）
9 25
；（3） 42
；（4） 0 ．
解：（1） 1 1 ；
（2） 9 3 ；
25 5
（3） 42 4 ；
（4） 0 0 ．
2.求下列各数的算术平方根:
6.1平方根第一课时课件(新人教版七数下)公开课
,所以5是25的算术平方
根规，定即：0的算术．平方根是0
3．例题解析 例1 求下列各数的算术平方根：
（解1：）（1 0 10 ）；因（为2）4 9 ；（3）0.0001 ．
所以100的算6 4 术平方根是10 ．
即
10．2 100
100=10
例题解析 例1 求下列各数的算术平方根：
（解1：）（1 0 20 ）；因（为2）64
9
解：1（1）
2 5；
42
0
1 1
（2） 9 3 ；
25 5
（3）
；
42 4
（4）
．
00
4．提出问题
被开方数的大小与对应的算术平 方根的大小之间有什么关系呢？
-4有算术平方根吗？什么数才有 算术平方根？
5．巩固解析 下列各式是否有意义，为什么？
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） 4 ． 4
4
16 36 2 5
4
6
2
5
（2）你能指都出是它已们知的一共个同正特数点的吗？ 平方，求这个正数.
2．总一结般概地念，如果一个正数 的平方等于 ，
即
，那么这个正数x 叫做 的a 算术
平x方2 根a． 的算术平方根x记为 a ，读作
“根号 a ”, 叫做被开方数．a
aa
52 25
例如，由25于 5
0.00010.01
练习 １、求下列各数的算术平方根 :
(1)144
(2)
8 1 (3) 0.16
121
解：（1）因为122=144.
(4) 62 (5) (-3)2
所以144的算术平方根是12.
即
144
公开课算术平方根ppt课件
取多少？ 5分米
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
小欧还要准备一些面积如下的正方形画布， 请你帮他把这些正方形的边长都算出来：
正方形 1
9
16
36
4/25
面积
dm2
正方形 1
3
4
6
2/5
边长dm
概念引入 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 象5 =2 25, 那么5叫做25的算术平方
4、若m的算术平方根是3，则m= 9 。
5、16的算术平方根是x，那么x的算术平方根
是2 。
6、一个整数的算术平方根a，则比这个整数大6的数
是 a2+6 。
7、若 x22 ，则2x+5的算术平方根
是3
。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
我们已学过了有理数的加法、减法、乘法、除法、 乘方这五种运算。
在这五种运算中哪些是逆运算呢? ★加法与减法互为逆运算； ★乘法与除法互为逆运算； ★那么乘方与谁互为逆运算呢？
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
思维拓展
(1)要做一个面积为2平方米的正方形桌面, 它的边长为多少?
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
小欧还要准备一些面积如下的正方形画布， 请你帮他把这些正方形的边长都算出来：
正方形 1
9
16
36
4/25
面积
dm2
正方形 1
3
4
6
2/5
边长dm
概念引入 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 象5 =2 25, 那么5叫做25的算术平方
4、若m的算术平方根是3，则m= 9 。
5、16的算术平方根是x，那么x的算术平方根
是2 。
6、一个整数的算术平方根a，则比这个整数大6的数
是 a2+6 。
7、若 x22 ，则2x+5的算术平方根
是3
。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
我们已学过了有理数的加法、减法、乘法、除法、 乘方这五种运算。
在这五种运算中哪些是逆运算呢? ★加法与减法互为逆运算； ★乘法与除法互为逆运算； ★那么乘方与谁互为逆运算呢？
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
思维拓展
(1)要做一个面积为2平方米的正方形桌面, 它的边长为多少?
人教版七年级下册数学公开课《平方根PPT课件》
练习计算平方根
THANKS
在生活中，我们经常需要估算物体的尺寸，例如房间的面积、桌子的面积等，平方根可以用来计算这些面积。
估算物体尺寸
解决几何问题
在几何学中，平方根可以用来计算直角三角形的斜边长度、圆的半径等。
求解代数方程
在代数中，平方根可以用来求解一元二次方程等。
物理计算
在化学中，平方根可以用来计算化学反应的平衡常数、溶解度等。
情感态度与价值观
平方根的基本概念
根号形式表示法
我们也可以用根号形式来表示平方根，即将被开方数置于根号内。例如，√4可以表示为4^(1/2)。
代数表示法
在代数中，我们通常用符号√来表示平方根，并在数字上方画一条横线来表示开方。例如，√4表示4的平方根。
二次根式表示法
如果一个数的平方等于a，则这个数可以表示为a^(1/2)。例如，2是4的平方根，可以表示为2=√4或2=4^(1/2)。
汇报人：可编辑
2023-12-23
01
课程名称：《平方根ppt课件》
适用年级：七年级下册
学科领域：数学
课程性质：公开课
01
03
04掌握平方根的概ຫໍສະໝຸດ 、性质和运算方法。知识与技能
通过观察、思考和实际操作，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
过程与方法
培养学生对数学的兴趣和热爱，树立正确的数学观念和科学精神。
当我们使用分数指数法来表示平方根时，我们将其读作“根号”。例如，√4可以读作“根号4”。
分数指数法读法
对于一些常见的平方根，我们可以直接将其读出。例如，√2可以读作“根号2”，√3可以读作“根号3”。
直接读法
03
总结词：理解平方根加法运算的规则和步骤
THANKS
在生活中，我们经常需要估算物体的尺寸，例如房间的面积、桌子的面积等，平方根可以用来计算这些面积。
估算物体尺寸
解决几何问题
在几何学中，平方根可以用来计算直角三角形的斜边长度、圆的半径等。
求解代数方程
在代数中，平方根可以用来求解一元二次方程等。
物理计算
在化学中，平方根可以用来计算化学反应的平衡常数、溶解度等。
情感态度与价值观
平方根的基本概念
根号形式表示法
我们也可以用根号形式来表示平方根，即将被开方数置于根号内。例如，√4可以表示为4^(1/2)。
代数表示法
在代数中，我们通常用符号√来表示平方根，并在数字上方画一条横线来表示开方。例如，√4表示4的平方根。
二次根式表示法
如果一个数的平方等于a，则这个数可以表示为a^(1/2)。例如，2是4的平方根，可以表示为2=√4或2=4^(1/2)。
汇报人：可编辑
2023-12-23
01
课程名称：《平方根ppt课件》
适用年级：七年级下册
学科领域：数学
课程性质：公开课
01
03
04掌握平方根的概ຫໍສະໝຸດ 、性质和运算方法。知识与技能
通过观察、思考和实际操作，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
过程与方法
培养学生对数学的兴趣和热爱，树立正确的数学观念和科学精神。
当我们使用分数指数法来表示平方根时，我们将其读作“根号”。例如，√4可以读作“根号4”。
分数指数法读法
对于一些常见的平方根，我们可以直接将其读出。例如，√2可以读作“根号2”，√3可以读作“根号3”。
直接读法
03
总结词：理解平方根加法运算的规则和步骤
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一、情景导入
问题1 学校要举行美术作品比赛,小明准 备用边长分别为2,3,5的正方形画布作画, 它们的面积各是多少呢？
边长
2
面积
4
3
5
9
25
问题2 小明要做一个面积为4的正方形 画布,它的边长是多少呢？要做一个面积 为9或25的画布呢？
面积
4
边长
2
9
25
3
5
因为2的平方等于4,所以面积为4的正方形 的边长为2；同理,面积为9的正方形的边 长为3,面积为25的正方形的边长为5.
4
9
算术平
方根
解：（1）62 36 36 6；
（2）
1 2
2
1 4
1 1； 42
（3）32 9 9 3；
（4）0.012 0.0001 0.0001 0.01；
（5）
2
3 3
3是3的算术平方根；
（6）1
7 9
（1）正数的算术平方根是正数；
（2）0的算术平方根是0；
双重非负性 a 0, a
0.
（3）负数没有算术平方根.
算术平方根的求法
把一个非负数写成一个非负数平方的形式,即
a 0 a
2
a
a是a的算术平方根.
三、随堂练习
正数a 36 1 9 0.0001 3 1 7
4 3
2
16 9 16
9
16 4 . 93
四、课堂小结
1.算术平方根的概念 2.算术平方根的性质 3.注意事项 带分数要先化成假分数 ，再求算术平方根；
小数能开得尽方直接计 算算术平方根，如不能 ，先化成分数再计算 .
五、作业布置
课后习题1、2.
感谢各位领导、老师的莅临,欢迎指正！Βιβλιοθήκη x2a
a 0 x 0.
问题5 那么负数究竟有没有算术平方根呢？
即是否存在正数x,使得 x2 aa 0？
如果问题5的答案是肯定的,那么这与有理数 的乘法法则相矛盾,因此负数没有算术平方根 （初中阶段研究的数的范围是实数,在这里不 深入探讨复数的情形）.
算术平方根的性质
思考：如何判断折叠出的阴影部分的面 积是2平方厘米？
每个小方格的面积是1,每半个方格的面积 就是1/2,那么4个这样的半个方格合起来 就是2平方厘米.
活动2 既然已经折出了面积为2平方厘米 的正方形,那么同学们能不能用尺子度量一 下边长x等于多少呢？
问题4 该怎样精确表示出x的值呢？即 x2=2（x>0）,如何表示出x？
算术平方根的定义 如果一个正数 x 的平
方等于 a,即 x2 ax 0 ,那么这个正数 x 就
叫做 a 的算术平方根,记作x a ,读作“根 号a”,a叫做“被开方数”.
规定：0的算术平方根等于0,即 0 0.
符号语言
x2 ax 0，a 0 x a;
可以看出：问题1是已知边长求面积,问 题2是已知面积求边长.那么问题1和问题 2有什么关系呢？
二者互为逆运算,即乘方运算和开方运算互为逆运算.
二、探究新知
问题3 已知正方形的面积S＝2,求边长x.
思考：问题2和问题3都是已知面积求边长 的问题.在问题3中求边长x时遇到了什么 困难？
活动1 既然直接求不出边长x的值,可以先 来解决这样一个问题：能不能在边长为2 厘米的方格纸中折出面积为2平方厘米的 正方形呢？
算术平方根
（第1课时）
学习目标
[知识与技能] 了解引入根号的必然性与算术平方根的意义,会简 单计算一些非负数的算术平方根. [过程与方法] 通过学习算术平方根,初步建立起数感和符号感, 发展抽象思维. [情感态度价值观] 通过探究培养学习兴趣和提高动手操作能力. [教学重点] 理解算术平方根的意义. [教学难点] 根号的引入及算术平方根的求法.