质点动力学

第2章 质点动力学 (Particle Dynamics)
§2.1 惯性定律 惯性系
1.惯性定律
自由质点(孤立质点)：不受任何其他物体作用的 质点。 牛顿第一定律：自由质点永远保持静止或匀速 直线运动的状态。 惯性(Inertia)：物体保持其原有运动状态的性质。 牛顿第一定律又称为惯性定律(Law of Inertia) 。
F F dt p ' p 2： F F dt p ' p
1：
t'
t' t t' 1 12 1 t 2 21 2
F1
1
F2
2
1 2
F12 F21
F F dt p
t 1 2
总
' p总
§2.5 冲量 动量定理
合外力的冲量等于系统总动量的增量。推广：
§2.5 冲量 动量定理
应用条件： 1)孤立系统； 2)系统所受外力互相抵消； 3)外力远小于相互作用的内力； 4)若合外力在某方向的分量为零，则系统总动 量在该方向的分量守恒。
§2.5 冲量 动量定理 EX2-4 一静止的原子核衰变时辐射出一个电子和一个中微子后 成为一个新原子核。已知电子和中微子的运动方向相互垂直， 且电子的动量为1.22×10-22kg•m/s，中微子的动量为6.4×1023kg•m/s。求新原子核反冲动量的大小和方向。 解：根据动量守恒： pe
mg
由第一式
v0 sin v sin
§2.5 冲量 动量定理 代入第二式：
mv0 sin ( f y mg )t cos mv0 cos sin mv0 (sin cos cos sin ) sin mv0 mv0 sin( ) sin sin
称m1、m2…称为质点1、2…的质量。而质点0的 质量m0=1。
在上例中，k= m2 / m1 ，即：
m1v1 m2 v2
§2.2 质量 动量 动量守恒定律
由此可见，两质点相互作用时，m大，v 小。 结论：m大的物体，较难改变运动状态。质量反 映了运动状态改变的难易程度，反映了质点惯性 大小，称为惯性质量。 以上关于质量的定义由奥地利物理学家马赫提出 的，称为质量的操作定义。国际单位制(SI制)中 质量的单位为kg。 地球表面的物体所受的重力P = mg，这里的m由 万有引力定律定义，称为引力质量。 精确的实验表明：同一物体的惯性质量和引力 质量至少在10-11的精度下是相等的。
这一对力称为作用力与反作用力。
§2.3 牛顿第二定律和第三定律
3.牛顿定律的应用
直角坐标系
dv x d2x Fx ma x m m 2 dt dt 2 dv d F ma m y m y y y dt dt 2 v2 Fn ma n m R F ma m dv t t dt
M m v ' v1 u v1 M
v1
L
v2
已知条件：
M x1 v1dt L 0 M m T m x2 v2 dt L 0 M m
T
L v ' dt
0
T
x1
x2
§2.4 力学单位制 量纲
1.力学单位制(System of Units)
物理量=数值+单位 选取一些物理量作为基本量，基本量所对应的单 位为基本单位，其它物理量为导出量，其对应单 位为导出单位。这样的单位体制称为单位制。
v 0
v mg

dv b t dt 0 mg m v b
y
§2.3 牛顿第二定律和第三定律 得：
mg mg b ln(v ) ln( ) t vT b b m
o
v
即：
b t mg m v 1 e b mg t 时,v vT b
解：地面为S系，车为S’系， 向右为x轴正方向。设人相对 地面(S系)的速度为v1，车相对 地面(S系)的速度为v2。在水平 方向上系统动量守恒，有：
1
v2
L
mv1 Mv2 0
S’系相对于S系的速度
x1
x2
u v2 mv1 / M
§2.5 冲量 动量定理
人相对于车(S’系)的速度
1.牛顿第二定律
Δt时间内两质点动量变化有：
p1 p2
p1 p2 t t
Δt 0
dp1 dp2 dt dt
质点动量的改变来源于质点之间的相互作用，这 个相互作用称为力(Force)。定义：
dp F dt
单位：N，kg•m/s2
→动力学方程
§2.3 牛顿第二定律和第三定律
§2.2 质量 动量 动量守恒定律
2.动量(Momentum)
定义
p mv
px mvx p y mv y
单位：kg•m/s
pz mvz 惯性定律：自由质点永远以恒定的动量运动。
3.动量守恒定律
质点 m
t t t v v'
则
v v ' v p m v
t
t'
动量 p 的变化与两个因素 F , t 有关
§2.5 冲量 动量定理
在碰撞中，物体间的相互作用 F 力的作用时间很短，称为冲击 力。冲击力的函数关系较复杂， 常用平均冲击力来表示物体间 F 相互作用的效果。
I p F t t
0
t
§2.5 冲量 动量定理 EX2-3 小球质量m=200g，以v0=8m/s的速度沿与地面法线成 α=30°角的方向射向光滑地面，然后与法线成β=60°角的方 向弹起。设碰撞时间Δt = 0.01s，地面水平，求小球给地面的 平均冲力。 f y 解一：建立如图所示的坐标系，由动量定 v0 α v 理(分量式)， β o x方向 f x t mv sin mv0 sin 0 x y方向 ( f y mg )t mv cos mv0 cos
2.惯性系(Inertia Reference Frame)
惯性定律并不是在任何参照系中都是成立的。
§2.1 惯性定律 惯性系
惯性参照系：惯性定律能成立的参照系，简称 为惯性系，否则称为非惯性系。 相对于惯性系作匀速直线运动的任何其他参照 系也都是惯性系。 地球不是一个严格的惯性系，但是当所讨论问题 涉及的空间范围不太大、时间不太长时，地球可 看作一个近似程度相当高的惯性系。
§2.2 质量 动量 动量守恒定律
1.惯性质量(Inertia Mass)
两个质点，与外界无相互作用， 仅相互间有相互作用。一般而言， 它们的轨道为曲线，如图所示。 t时刻，质点1在A处，速度为 v1。 t时刻，质点2在B处，速度为 v 2。
A' A
v1 ' v1
2
v2 '
B'
v2
B
1
' t+Δt时刻，质点1在A’处，速度为 v1 。

t'
t
F外dt p总
→质点系的动量定理 质点系所受的合外力等于系 统总动量对时间的变化率。
dp总 F外 dt
§2.5 冲量 动量定理
3.质点系的动量守恒定律
若F外 Fi外 0
i
p pi 恒矢量
i
→质点系的动量守恒定律
px pix 常量 i 分量式 p y piy 常量 i pz piz 常量 i
基本量： 长度(L)、质量(M)、时间(T) 基本单位： 米(m)、 千克(kg)、 秒(s) MKS制(SI制)
§2.4 力学单位制 量纲
已有的导出量：
ds v dt dv a dt f ma p mv I F t
m/s m/s
2
N , kg m / s kg m / s
2
N s, kg m / s
§2.5 冲量 动量定理
I p ' p p
动量定理(Theorem of Momentum)：在一段 时间内，质点动量的改变量，等于在这段时间内外 力作用在该质点上的冲量。
I x Fx dt px
分量式
t'
I y Fy dt py
t
t t'
I z Fz dt pz
§2.4 力学单位制 量纲
2.量纲(Dimension)
作用在该质点上的力等于该质点动量的瞬时变 化率。
dp d (mv ) dv F m ma →牛顿第二定律 dt dt dt
2.牛顿第三定律
dp1 dp2 dt dt
F1 F2
牛顿第三定律：当两个质点相互作用时，作用 在一个质点上的力，与作用在另一个质点上的 力大小相等，方向相反。
t
vT 称为收尾速度
§2.5 冲量 动量定理
1.质点的动量定理
由牛顿第二定律(力的定义)
两边积分
dp F Fdt dp dt

t'
t
Fdt dp p ' p
p
p'
I
t'
t
Fdt 力F 在Δt时间内作用于质点的冲量。
单位：N •s，kg•m/s
冲量是力的时间积累效果，使质点的动量发生改变。
p pe pN 0
p p 1.36 10
2 2 e
pN
22
pe , tg p
kg m / s p


pN
§2.5 冲量 动量定理
EX2-5 一质量为M的板车在光滑的水平面上，车长L，车上一 质量为m的人从车右端走到车左端。求对于地面，人、车分 别前进了多少？ v