多个样本均数比较的方差分析-55页文档资料
第四章 多个样本均数比较的方差分析(研究生)1
MS
10.72
F
24.93
P
<0.01
组间（处理组间） 32.16
组内（误差）
总变异
49.94
82.10
116
119
0.430
18
3）确定P值并作出推断结论
以分子的自由度ν 分母的自由度ν
组间
=3为ν 1，
组内
=116为ν 2， ，P ＜0.01。
查方差分析用F界值表，F0.0计的方差分析基本相同， 主要区别在于：F值计算的方差分析表 （ANOVA table）不同。变异来源从组内 变异中分解出单位组变异与误差变异。
25
例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验， 比较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤的抑瘤效果， 先将15只染有肉瘤小白鼠按体重大小配成5 个区组，每个区组内3只小白鼠随机接受三 种抗癌药物（具体分配方法见例4-3），以 肉瘤的重量为指标，实验结果见表4-9。问 三种不同药物的抑瘤效果有无差别？
编号 1 2 随机数 22 17 秩次 5 4 分配组 A A A组 B组 C组 D组 1 7 3 5 2 9 4 6 3 68 15 C 11 13 12 8 4 65 14 C 15 16 14 10 5 81 16 D 17 19 18 20
21
6 7 95 23 20 6 D B
8 9 92 35 19 8 D B
i 1 j 1 g ni
7
三种“变异”之间的关系
SS总 = SS组间 + SS组内 ，
ν总 =ν组间 +ν组内
组内变异 SS 组内：随机误差 组间变异 SS 组间：随机误差+处理因素
均方(mean square，MS)
第四章 多个样本均数比较的方差分析
X i ， ni :第 i 个实验组的样本均数和样本例数 X 0 ， n0 :对照组的样本均数和样本例数
MS误差 误差均方
检验界值：p707-708附表5(1)\5(2 )。
Dunnett- t 检验与两样本均数比较 t 检验
两样本均数差值的标准误 合并方差 VS 误差均方
自由度ν
ν=n1+n2－2 VS ν误差
组的低密度脂蛋白含量总体均数不等
α=0.05
n 根据例 4-2，X 2.4g =2.72，X 0 =3.43， 2.4g = n0 =30，
MS 误差 =0.43，
误差
=116
骣 ç1 = 0.43? ç ç30 桫 1÷ ÷ =0.17 30 ÷
SX
iX j
2.72 - 3.43 LSD-t = = =-4.18 0.17
次均不犯Ⅰ类错误的概率为 (1- 0.05) ，
总的检验水准变为 1- (1- 0.05) = 0.26 。
6
6
一、LSD-t 检验
（least significant difference）
适用范围：一对或几对在专业上有特 殊意义的样本均数间的比较。
检验统计量LSD-t
LSD - t = Xi - X j SX i Xj
的抑瘤效果两两之间是否有差别？
H0：μi=μj 任两对比较组的总体均数相等 H1：μi ≠μj 任两对比较组的总体均数不相等 α=0.05
将三个样本均数由小到大排列，并编组次：
均数(g) 0.314
组别 C药
0.434
B药
0.614
A药
组次
例数
1
5
误差
2
5
多个样本均数比较的方差分析总结
多个样本均数比较的方差分析方差分析的基本思想：目的：推断多个总体均数是否有差别，也可用于两个。
方法：方差分析，即多个样本均数比较的F 检验。
基本思想：根据资料设计的类型及研究目的，可将总变异分解为两个或多个部分，每个部分的变异可由某因素的作用来解释。
通过比较可能由某因素所致的变异与随机误差，即可了解该因素对测定结果有无影响。
应用条件：总体——正态且方差相等，样本——独立、随机完全随机设计资料的方差分析表变异来源 自由度 SS MS F 总变异 N －1 211i n g ij i j X C ==-∑∑组 间 g －1 211()i n ij g j i i X C n ==-∑∑ SS ν组间组间 MS MS 组间组内 组 内 N －g SS SS -总组间 SS ν组内组内Xij ：第i 个处理组第j 个观察结果SS 总，总变异：离均差平方和(sum of squares of deviations from mean ，SS )表示，即各测量值Xij 与总均数差值的平方和。
SS 组间，组间变异：各组均数与总均数的离均差平方和。
SS 组内,组内变异：组内各测量值Xij 与其所在组的均数的差值的平方和表示，表示随机误差的影响。
MS 均方差，均方(mean square ，MS )检验统计量F如果各样本μ全相等，F 值应接近于1；如果不全相等，F 值将明显大于1；用F 界值（单侧界值）确定P 值。
一、完全随机设计统计分析方法选择1. 对于正态分布且方差齐同的资料，常采用完全随机设计的单因素方差分析(one-way ANOV A)或成组资料的 t 检验（g =2）；2. 对于非正态分布或方差不齐的资料，可进行数据变换或采用Wilcoxon 秩和检验。
H 0： H 1：4个试验组总体均数不全相等方差分析的结果：拒绝H 0，接受H 1，不能说明各组总体均数间两两都有差别。
如果要分析哪些两组间有差别，可进行多个均数间的多重比较。
6 多样本均数比较_方差分析
(3) 区组间变异：由不同区组作用和随机误差产生的变异， 记为SS区组. (4) 误差变异：完全由随机误差产生变异，记为SS误差。 对总离均差平方和及其自由度的分解，有:
SS总 SS处理 SS区组 SS误差
总 处理 区组 误差
45
表 随机区组设计资料的方差分析表
变异来源 总变异 处理间 区组间 误 自由度
31
常用的多重比较的方法:
LSD DUNNETT (‘a1’) DUNCAN BON SNK REGWQ
LSD –t 检验 (最小显著差法)
Dunnett- t 检验 Duncan检验 (新复极差法) Bonferroni法 SNK法
REGWQ法
32
SAS示例
6.1 某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗效，
16
若组间变异明显大于组内变异, 则不能认为组间变 异仅反映随机误差的大小, 处理因素也在起作用。根 据计算出的检验统计量F值, 查界值表得到相应的P 值, 按所取检验水准α作出统计推断结论。 检验统计量F值服从F分布。
F<Fα,(ν组间, ν组内),则P > α, 不拒绝H0, 还不能认 为各样本所来自的总体均数不同;
34
SAS示例
35
SAS示例
36
SAS示例
37
SAS示例
38
SAS示例
39
SAS示例
40
ANOVA过程
过程格式
Proc
anova 选项; Class 变量表; Model 依变量＝效应表/选项; Means 效应表/选项; Run;
41
三 二因素随机区组试验资料的 方差分析
2. 双因素及多因素试验方差分析
多个样本均数比较的方差分析p。
ni
g
? g (
X )2 ij
? ? SS组间 ? ni ( X i ? X )2 ?
i?1
i?1
j?1
ni
?C
5
3．组内变异 在同一处理组中，虽然每 个受试对象接受的处理相同，但测量值仍各 不相同，变异称为组内变异（误差）。组内 变异用组内各测量值与其所在组的均数的差 值的平方和表示，表示随机误差的影响。
2032 ?
11
=234.194
SS组内 = 466.427—234.194=232.233
24
4. 列方差分析表
来源 总 组间 组内
表7 方差分析表 SS d f MS 466.727 10 234.194 1 234.194 232.233 9 25.804
F 9.076
25
5. 查表作结论
? ? SS组内 =
k
? ni ?
( xij
?
xi
)
2
? ?
= 0.54
? i?1 j?1
?
7
总变异的分解
组间变异 组内变异
总变异
8
一般，组间变异大于或等于组内变异
F
?
组间变异 组内变异
?
MS组间 MS组内
其中： MS组间 ? SS组间 / df组间 MS组内 ? SS组内 / df组内
9
理论上，如果处理因素无统计学意义， F ＝１。 如果F >>１，说明处理因素有统 计学意义。
例 为观察中成药青黛明矾片对急性黄疸 性肝炎退黄效果，以单用输液保肝的病人作 对照进行了观察。
急性黄疸性肝炎病人的退黄天数
中药组
对照组
5
第四章多个样本均数比较的方差分析
第四章多个样本均数比较的方差分析方差分析的基本思想是通过比较各组或处理的均值差异与各组内的个体间差异来判断是否存在显著差异。
在进行方差分析之前，需要满足一些前提条件，如对总体的抽样是简单随机抽样、各样本之间是独立的等。
这些前提条件的满足保证了方差分析的可靠性。
多个样本的方差分析是通过计算组间离差平方和（SSTr）、组内离差平方和（SSE）和总离差平方和（SST）来比较各组或处理之间的差异。
计算公式为：SSTr = Σni(x̄i - x̄)²SSE = ΣΣ(xij - x̄i)²SST=SSTr+SSE其中，n是每组或处理的样本个数，ni是第i组或处理的样本个数，x̄i是第i组或处理的样本均值，x̄是全部样本的均值，xij是第i组或处理的第j个样本值。
通过计算SSTr和SSE，可以得到均方值（MS）：MStr = SSTr / (r - 1)MSE=SSE/(N-r)其中，r是组或处理的个数，N是总样本个数。
接下来，需要计算F值，用于判断各组或处理均值是否有显著差异：F = MStr / MSE根据F值和自由度，可以查找F表来确定是否存在显著差异。
如果F 计算值大于F临界值，则拒绝原假设，表示均值之间存在显著差异。
方差分析还可以进行多重比较，用于确定具体哪些组或处理之间存在显著差异。
常用的多重比较方法有Tukey的HSD（最大均值差异）和Bonferroni方法。
方差分析的优点是可以同时比较多个样本的均值差异，具有较好的统计效应。
然而，方差分析也存在一些限制，如对正态性和方差齐性的要求较高。
总之，多个样本均数比较的方差分析是一种常用的统计方法，在科学研究和实验设计中得到广泛应用。
它可以帮助研究人员确定不同处理或组之间的差异，为决策提供支持。
多组均数间比较的方差分析
方差分析的适用条件
条件
方差分析要求数据满足正态分布、独立性和方差齐性。如 果数据不满足这些条件，可能需要采用其他统计方法。
正态分布
各组数据应来自正态分布的总体，这是方差分析的前提假 设。
独立性
各组数据应相互独立，即不同组的观测值之间没有关联性 。
方差齐性
各组内部的变异应相似，即各组的方差应无显著差异。
目的和意义
目的
确定多个独立样本的均数是否存在显 著差异，从而判断不同处理或分组对 结果的影响。
意义
为科学研究提供了一种有效的统计分 析方法，有助于揭示不同处理或分组 间的差异，为进一步的研究提供依据 。
02
方差分析的基本概念
方差分析的定义
定义
方差分析（ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两个或多个组均数的差异，同时考虑各组内部的变异。
数据分组
根据实验分组情况，将数据整理成 各个组别的表格或图表，以便后续 分析。
方差分析过程与结果解读
方差分析的前提条
件
满足独立性、正态性和方差齐性 等前提条件，以保证分析结果的 准确性和可靠性。
方差分析过程
使用统计软件进行方差分析，包 括计算自由度、F值、P值等，并 判断各组间是否存在显著差异。
结果解读
方差齐性检验方法
采用Levene检验、Bartlett检验等方法对数据 进行方差齐性检验。
方差齐性检验结果解读
根据检验结果判断数据是否满足方差分析的前提条件。
方差分析的统计方法
方差分析的基本思想
通过比较不同组数据的均值差异，判断各因素对实验结果的影响 程度。
方差分析的常用统计量
包括自由度、离均差的平方和、均方等。
03
多个样本均数比较的方差分析
多个样本均数比较的方差分析多个样本均数比较的方差分析指的是一种统计方法，用于对多个样本的均数进行比较。
它可以帮助我们确定是否有显著的差异存在于不同样本的均数之间。
在进行方差分析时，我们通常将样本分为不同的组，然后通过比较组均数的差异来确定它们之间是否存在显著差异。
方差分析是基于方差的假设检验方法。
通过方差分析，我们可以计算组内和组间的方差，然后通过比较这些方差之间的差异来判断它们之间是否有显著差异。
如果方差之间的差异足够大，则可以得出结论：不同样本的均数之间存在显著差异。
在进行方差分析时，需要满足以下假设：1.观察数据是独立且来自正态分布的。
2.不同样本的方差相等。
方差分析可以通过计算F统计量来进行。
F统计量是组间均方与组内均方的比值。
组间均方是由组间方差得出的，而组内均方是由组内方差得出的。
F统计量越大，表示组间差异越大，也就意味着不同样本的均数之间存在显著差异的可能性越大。
进行方差分析之前，我们首先需要进行方差齐性检验。
这可以通过Levene检验或Bartlett检验来完成。
方差齐性检验的目的是验证不同样本的方差是否相等。
如果方差齐性假设未被满足，则意味着方差之间的差异不可忽略，我们需要使用更为复杂的方法来处理比较。
一旦我们确认了方差齐性假设，我们就可以进行方差分析了。
在方差分析中，可以使用ANOVA（Analysis of Variance）表，它可以帮助我们计算组间平方和、组内平方和、总平方和和相应的均方值。
随后，我们可以使用F分布表或统计软件来确定F统计量所对应的显著性水平。
如果F统计量非常小，那么我们可以得出结论：不同样本的均数之间不存在显著差异。
而如果F统计量超过了给定的临界值，那么我们可以得出结论：不同样本的均数之间存在显著差异。
需要注意的是，方差分析只能告诉我们是否存在显著差异，却不能告诉我们哪些均数之间具体存在差异。
如果方差分析的结果是显著的，我们需要进一步使用事后多重比较方法（如Tukey's HSD test）来确定具体存在差异的样本均数对。
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• 计算出统计量F，查F界值表得对应的P值，并与
进行比较，以确定是否为小概率事件
方差分析
F值、P值与结论的关系
• F 分布是一种偏态分布，F 分布有两个自由度，即
组间自由度 组内Nk 及组内自由度 组间 k 1
又分别称为分子自由度
1 和分母自由度
。
2
• 由于方差分析是通过计算F 统计量来进行统计检验，
所以方差分析又可以叫作F 检验。
方差分析
• 综上即是整个方差分析的基本思想，即方差 分析就是根据资料设计的不同类型，将总变 异按照变异的不同来源，分解为两个或多个 部分，总自由度也分解为两个或多个部分， 每个部分的变异可由某因素的作用来解释， 通过比较可能由某因素所致的变异与随机误 差（比如组内变异），计算F 统计量，并通 过查F 界值表确定P 值，从而了解该因素是 否对测定结果有影响。
的差异是否具有统计学意义，从而判断不同 时期进行切痂是否对肝ATP含量有影响。
方差分析
方差分析的基本思想
• 根据变异的来源，将全部观察值总的离均差平方 和及自由度分解为两个或多个部分，除随机误差 外，其余每个部分的变异可由某些特定因素的作 用加以解释。
• 通过比较不同来源变异的方差（也叫均方MS），
方差分析 analysis of variance (ANOVA)
• 英国统计学家 R.A.Fisher
• 1928年首先提出的 统计分析方法
方差分析
主要内容
• 方差分析的基本思想和应用条件 • 完全随机设计的单因素方差分析 • 随机区组/配伍组设计资料的方差分析 • 多个均数间的两两比较
方差分析
方差分析
A组
B组
C组
合计
7.76 6.67 11.14 14.16 10.85 8.81
7.71 11.73 11.6 6.94 8.58 8.22
Xij 8.43 5.78 11.42 13.01 7.19 9.95
8.47 6.61 13.85 14.18 9.36 11.26
10.3 6.97 13.53 17.72 9.59 8.68
S
2 组间
SS组间
组间
S
2 组内
SS组内
组内
均方
MS组间
SS组间
组间
MS组内
SS组内
组内
方差分析
构造统计量F:
FMS组间SS组间组间 MS组内 SS组内组内
• 若用T表示处理效应，用E表示随机误差，那么有
F MS组间 T E MS组内 E
• 若H0成立即μ1= μ2 = μ3 ，则MS组间/MS组内应该
∑X2。
方差分析
② 计算C C(X)2 N
式中N为各组样本含量之和 本例C=300 .472/30=3009.4074 ③ 计算总的变异及总的自由度
k n i
S总 S (xijx)2 x2C ,总 N 1
i 1j 1
S总 S 32 .2 4 1 32 0 .40 0 2 9 7.8 3 40 226
ni
10
Xi
8.04
Ti
80.43
Qi
676.32
10 12.76 127.55 1696.96
10 9.25 92.49 868.93
30 N
10.02 X
300.47 ( X )
3242.21 ( X2)
方差分析
分析资料的基本情况
• 实验设计:完全随机设计 • 处理因素：不同时期进行切痂 • 因素水平：24h切痂、96h切痂、对照 • 观测指标：ATP含量 • 目的：通过比较不同处理组肝ATP含量之间
0.05 2.分析资料的变异
标准差: S
2
xx
方差:
S2
2
xx
ni 1
ni 1
方差分析
x x2
S2
ni 1
• 可以看出分子就是离均差平方和（用SS表示），而 分母就是自由度。这样方差计算式就可以写成：
2
xx
S2
ni 1
SS
• 离均差平方和是可以分解的，对于总离均差平方和 有:
i1 j1
因此 :
k ni
2 k ni
2
ss总
xijxi
xix
SS组内
i1j1
i1j1 方差分析
SS组间
• 即：
SS总SS组 间SS组 内
• 而总自由度 总 也可以分解成 组 间 和 组 内。 且有:
总 N 1 k 1 N k 组 间 组 内
方差分析
方差
借助F分布做出统计推断，从而判断某因素对观
察指标有无影响。
方差分析
• 推广:用A表示研究因素，用Ai表示它的第i个水平 数，那上面的例子可以一般化以便推广：
方差分析
目的：分析A因素的i个水平的处理效应是否 有差异
具体分析步骤：
1.建立假设检验
H 0:123...k
H 1:各 组 均 数 不 全 相 等
方差分析
方差分析的应用条件
➢ 各样本是相互独立的随机样本 ➢ 各样本来自正态分布 ➢ 各样本所来自的总体方差相等，即
方差齐同。
方差分析
完全随机设计的单因素方差分析 (one-way ANOVA)
方差分析
一、完全随机设计 是将受试对象随机地分配到各个处理组中 进行实验的一种实验设计 特点是简单易行，统计分析简单，各组例 数可以不等，但要求实验单位有较好的同 质性
方差分析
二、方差分析步骤
例11-2（续例11-1） 1、建立假设、确定显著性水准 α H0 ：μ1=μ2=μ3(三组大鼠肝脏的ATP含量值无差别 ) H1：μ1,μ2,μ3不全相等(三组大鼠肝脏的ATP含量值有
差别 )
α=0.05 2、计算检验统计量F值 ① 计算各组的 X i 、 ∑Xi、 ∑X2i及总的 X、∑X 和
• 例11-1 为了解烫伤后不同时期切痂对肝脏 三磷酸腺苷（ATP）含量的影响，将30只 雄性大鼠随机分为3组，每组10只；A组为 烫伤对照组，B组为24小时切痂组，C组为 96小时切痂组。全部动物统一在烫伤后168 小时处死，并测定其肝脏的ATP含量，结 果如下表，问不同时期切痂对ATP含量有 无影响？
对总离均差平方和 s s 总 进行分解：
k ni
2
ss总
xij x
i1 j1
k ni
2
xij
xi
xi
x
i1 j1
k ni
2 k ni
2
k ni
xij xi
xi x 2
xij xi xi x
i1 j1
i1 j1
i1 j1
k ni
其中交叉项 ：2
xij xi xi x 0