样本平均数的方差的推导
样本方差的计算
样本方差的计算样本方差是描述一个样本数据离散程度的统计量，其计算过程包括多个步骤。
在计算样本方差时，需要了解一些基本的统计概念，例如平均数、离差、方差等。
本文将从以下几个方面进行讲解和解释。
1. 离差的概念离差是指每个测量值和平均数之间的差异。
在样本方差的计算中，需要对每个测量值和平均数之间的差异进行量化，以便进行方差计算。
离差的计算公式如下：离差 = 观测值 - 平均数例如，对于一个包含5个测量值的样本数据，如下所示：2, 4, 6, 8, 10平均数为：(2+4+6+8+10)/5 = 6对每个测量值和平均数之间的差异进行计算，如下所示：2 - 6 = -44 - 6 = -26 - 6 = 08 - 6 = 210 - 6 = 4因此，这组数据的离差为：-4, -2, 0, 2, 4。
2. 方差的概念方差是反映数据分散程度的一个统计量，是每个离差平方的平均数。
在样本方差的计算中，需要计算每个离差平方和的平均数，得到方差值。
方差的计算公式如下：方差= Σ（观测值 - 平均数）² / (n -1)其中，Σ表示求和符号，n表示样本数量。
在上面的例子中，样本数量n为5。
如果我们使用上面的数据，将每个离差平方计算出来，如下所示：(-4)² = 16(-2)² = 40² = 02² = 44² = 16将每个离差平方加起来，得到28。
然后将28除以(n-1)，得到：28/(5-1) = 7因此，这组数据的样本方差为7。
3. 标准差的概念标准差是方差的平方根，用于衡量数据分散情况的一种统计指标。
标准差越大，表示数据越分散；反之，标准差越小，表示数据越集中。
在实际应用中，标准差通常比方差更容易理解和解释。
标准差的计算公式如下：标准差= √方差在上面的例子中，样本方差为7，因此标准差为√7 ≈ 2.65。
需要注意的是，样本方差的计算方法与总体方差的计算方法略有不同。
平均数 极差 方差
方差：s^2=(1/n)[(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2
]其中,x_表示样本的平均数,n表示样本的数量,xn表示个体,而s^2就表示方差.
极差=最大标志值—最小标志值
R=Xmax-Xmin（其中,Xmax为最大值,Xmin为最小值）
方差——
方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。
极差——
定义：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。
（1）极差是刻画数据离散程度的最简单的统计量，计算简单，易于理解，但它受极端值的影响较大。
（2）极差只是利用了一组数据两端的信息，能够反映数据的波动范围，不能衡量每个数据的变化情况。
例题：求下列一组数据的极差、方差和标准差（小数点后保留两位）：50，55，96，98,65，100，70，90，85，100
分析：由于标准差是方差的变形所以一般情况下先求方差
解：极差为100-50=50
平均数为=（50+55+96+98+65+100+70+90+85+100）=80.9
方差为：s2=334.69标准差为：
s=[(50-80.9)2+(55-80.9)2+……+(100-80.9)2]=18.29。
初二数学知识点归纳：方差
初二数学知识点归纳：方差方差的计算、知识点归纳方差在考试中考察不是很难，记住基本公式往里带就能解答正确，但是方差的概念让不少同学为此很是头痛。
那方差到底是什么，怎样计算呢，下面小编就为大家整理一些题型和解题方法技巧。
一、概念和公式方差的概念与计算公式，例1两人的5次测验成绩如下：X：50，100，100，60，50E=72;y：73，70，75，72，70E=72。
平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。
推导另一种计算公式得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。
其中，分别为离散型和连续型计算公式。
称为标准差或均方差，方差描述波动程度。
基本定义：设X是一个随机变量，若E{[X-E]2}存在，则称E{[X-E]2}为X的方差，记为D,Var或DX。
即D=E{[X-E]2}称为方差，而σ=D0.5称为标准差。
即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。
方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。
若X的取值比较集中，则方差D较小,若X 的取值比较分散，则方差D较大。
因此，D是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。
当数据分布比较分散时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大;当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。
因此方差越大，数据的波动越大;方差越小，数据的波动就越小二、计算方法和原理若x1,x2,x3......xn的平均数为m则方差方差公式方差公式例1两人的5次测验成绩如下：X：50，100，100，60，50E=72;y：73，70，75，72，70E=72。
平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。
方差与平均数的变化规律公式
方差与平均数的变化规律公式
方差与平均数并没实质的联系，当然一般来说计算方差时要用到平均数（现多称作期望）。
比较稳定性，与平均数是没有关系的，只与方差有关，方差越大，稳定性越差。
方差越小，稳定性越高。
整组数据集体加上一个数字a，那么平均值为原值加上a，方差不变，集体乘以一个数字a，那么平均值为原值乘以a，方乘以a²，所以这里得到平均数、方差、标准差。
方差的变化规律
样本同时乘以或除以一个数，方差乘以或除以该数的平方，平均数乘以或除以这个数，标准差乘以或除以这个数。
样本同时加上或减去一个数，方差不变，平均数加上或减去这个数，标准差不变。
样本同时乘以一个数a，然后在加上一个数b，方差乘以a的平方，平均数加上b，标准差乘以a。
样本均值方差
样本均值是指在统计学中，用来代表一组数据的平均值的统计量。
它可以用来简单地描述数据的特征，并且在许多情况下可以作为数据的代表。
样本方差是指一组数据中各数据与其样本平均数之差的平方值的平均数。
它可以用来衡量一组数据的离散程度，即数据的分散程度。
在计算样本均值和样本方差时，需要使用样本数据中的数值。
在计算样本均值时，需要将所有数据的值相加，然后除以样本数据的数量得到平均数。
在计算样本方差时，需要将每个数据值与样本均值的差的平方相加，然后除以样本数据的数量减一得到方差。
样本均值和样本方差是统计学中常用的两个统计量，它们可以用来帮助我们了解数据的特征，并进行数据分析和建模。
样本方差，和总体方差同样是对离散程度的估计，但是两者之间存在着一定的区别。
由于统计学引入了自由度的概念，所以通常情况下我们计算样本方差时会把n 调整为n −1 。
因为对于两两独立的样本来说，评价它们的离散情况，我们最少需要两个样本参与计算，这就导致我们不能使用n 来作为方差均值的分母，而只能用n −1 。
样本均值的方差
样本均值的方差
答案参考：
样本均值的方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。
在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
方差是衡量源数据和期望值相差的度量。
样本均值：
样本方差与总体方差的关系公式是样本方差等于总体方差除以n，总体方差的计算公式分母是n，样本方差的计算公式分母是n-1，抽取样本的目的是推算出总体的信息。
先求出总体各单位变量值与其算术平均数的离差的平方，然后再对此变量取平均数，就叫做样本方差。
样本方差用来表示一列数的变异程度，样本均值又叫样本均数，即为样本的均值。
第5章 用样本推断总体 5.1 总体平均数与方差的估计
做一做
种菜能手李大叔种植了一批 株数
新品种的黄瓜，为了考察这 20
20 18
种黄瓜的生长情况，李大叔 15
15
10
抽查了部分黄瓜株上长出的 10
5
黄瓜根数，得到右面的条形 图，请估计这个新品种黄瓜 0 10 13 14 15 黄瓜根数
平均每株结多少根黄瓜.
解： x 10 10 15 13 20 14 18 15 16.25
变式：抽查某商场10月份7天的营业额(单位：万元)， 结果如下：
3.0，3.1，2.9，3.0，3.4，3.2，3.5. 试估计这个商场10月份的营业额(精确到0.01万元).
解：这7天营业额的平均数为：
x 3.0+3.1+2.9+3.0+3.4+3.2+3.5 3.157 7
10月份的营业额为：3.16×31＝97.87万元.
例1：某单位共有280位员工参加了社会公益捐款活动， 从中任意抽取了12位员工的捐款数额，记录如下：
捐款数额/元 员工人数
0 3 456 2 9 28 16 5
估计该单位的捐款总额. x= 30 2+50 5+80 3+100 2 =62.5(元) 12 捐款总金额约为：62.5 280=17500(元)
例2：老王家的鱼塘中放养了某种鱼1500条，若干年
后，准备打捞出售，为了估计鱼塘中这种鱼的总质
量，
平均每条鱼的 质量/千克
2.8
第2次
20
3.0
第3次
10
2.5
（1）鱼塘中这种鱼平均每条重约多少千克？
x= 15 2.8+20 3.0+10 2.5 =2.82(kg) 15 20 10
方差和平均数的变化规律
方差和平均数的变化规律一、引言方差和平均数是统计学中两个重要的概念，它们用于描述一组数据的变化情况。
在实际应用中，我们常常需要了解数据的方差和平均数的变化规律，以便更好地理解数据的特征和趋势。
本文将从以下几个方面探讨方差和平均数的变化规律。
二、方差和平均数的定义1. 方差方差是一组数据离散程度的度量，它表示每个数据与这组数据的平均值之间的偏离程度。
具体地说，方差等于每个数据与平均值之差的平方和除以数据个数减1。
2. 平均数平均数是一组数据集中趋势的度量，它表示这组数据所有值之和除以数据个数。
三、影响方差和平均数变化规律的因素1. 数据分布情况如果一组数据分布较为集中，则其方差较小；反之，如果一组数据分布较为分散，则其方差较大。
而对于平均数来说，如果一组数据存在极端值，则会显著影响其计算结果。
2. 样本容量大小样本容量大小也会影响方差和平均数的变化规律。
当样本容量较小时，方差和平均数的计算结果可能会受到随机误差的影响而不够准确；而当样本容量较大时，方差和平均数的计算结果则更加可靠。
四、方差和平均数的变化规律1. 方差的变化规律在一组数据分布相对稳定的情况下，随着数据个数的增加，方差通常会逐渐减小。
这是因为随着数据个数增加，每个数据与平均值之间的偏离程度也会逐渐减小，从而使得方差减小。
2. 平均数的变化规律在一组数据分布相对稳定的情况下，随着数据个数的增加，平均数通常会趋向于稳定。
这是因为随着数据个数增加，每个数据对于总和的贡献也会逐渐减小，从而使得平均值越来越接近总体真实值。
五、实例分析为了更好地理解方差和平均数的变化规律，在这里我们以某公司员工年龄为例进行实例分析。
假设该公司有100名员工，其年龄分别为20岁至60岁之间的随机整数。
我们可以通过计算样本方差和平均数的变化来观察其规律。
1. 方差的变化在该例子中，我们随机抽取了不同数量的员工年龄进行计算，得到如下结果：数据个数 | 方差--------|--------10 | 123.3320 | 142.6330 | 137.1040 | 129.5950 | 124.2260 | 119.6870 | 116.0980 | 112.5690 | 109.73100 | 107.48从上表可以看出，随着数据个数的增加，方差逐渐减小。
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样本平均数的方差的推导：
假定从任意分布的总体中抽选出一个相互独立的样本
1,,n x x ，则有
22
(),i
i x X E x X σσ== 即每一个样本单位都是与总体同分布的。
在此基础上，
证明样本平均数以总体平均数为期望值。
[]121212()()
1
()1
()()()1
()n
n n x x x E x E n
E x x x n
E x E x E x n X X X X n +++==+++=+++=+++=
接着，再以此为基础，推导样本平均数的方差。
在此，需要注意方差的计算公式为：
22
(())
X
E X E X σ=-
以下需要反复使用这一定义：
22
2
122
122
2122222
122222
122(())()1(())1
()()()1()()()()()1()()()()()1x n
n n n i j i j n i j i j E x E x x x x E X n
E x x x nX n E x X x X x X n E x X x X x X x X x X n E x X E x X E x X E x X x X n σ≠≠=-++
+=-=
+++-⎡⎤=-+-++-⎣
⎦⎡⎤=-+-++-+--⎢⎥⎣⎦
⎡⎤=-+-++-+--⎢⎥⎣⎦=∑∑∑∑222n n n
σσ⋅=
在证明中，一个关键的步骤是()()0i j i j
E x X x X ≠--=∑，其原
因在于这一项事实上是i x 与j x 的协方差。
由于任意两个样本都是相互独立的，因此其协方差均为0。
如果采用的是无放回的抽样，则样本间具有相关性，协方差小于0。
此时样本均值的方差为22
1
X x
N n
n
N σσ-=
⋅
-
样本方差的期望：
证明了样本平均数的方差公式后，我们可以来分析一下样本方差的情况。
先构造一个统计量为2
1
()
n
i
i x x S n
=-'=
∑，我们来求它的期望。
根据方差的简捷计算公式：()2
2
2X
X X n
σ
=
-∑，可得
()22211()()()i i E S E x nx E x nE x n n
'⎡⎤=
-=-⎣⎦∑∑
其中，同样运用简捷计算公式，可以得到：
22222
()(())i
i x i X E x E x X σσ=+=+； 2
2
22
2()(())X
x
E x E x X n
σσ=+=
+
原式化为
2
22
2222
221()()()()()
1X X X
X
X E S n X n X n n X X n
n n
σσσσσ⎡⎤'=+-+⎢⎥
⎣⎦
=+-+-=
等式的两端同除以右侧的系数项，得到
2
()1X
n E S n σ'=- 令2
2
1
1
()
()
11
1
n
n
i
i
i i x x x x n n S S n n n
n ==--'=
=⋅=
---∑∑
则有2
()X E S σ=。