2.示范教案(1.1.1 正弦定理)

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(完整)1.1.1正弦定理(用)

（1）在△ABC中，已知 A=30°，B=120°，b=12。
解三角形.
C 30o, a c 4 3
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.
例2：在ABC中，a= 3,b 2, B 450,求A,C,c
解：
sin A a sin B
3 2 2
3
b
2
2
Q a b, A B,且00 A 1800 A 600 或A 1200
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
(3) a b c sin A sin B sin C

abc
k(k 0)
sin A sin B sinC
或a k sin A，b k sin B，c k sinC （k 0）.
(1)当A 600,C 1800 ( A B) 75（0 三角形中大边对大角）
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2 (2)当A 1200,C 1800 ( A B) 150
c bsin C 2 6 2 6 2

k,由
正
弦
定理，
得
a ksinA,b ksinB,c ksinC
代入已知条件，得：
sinA

sinB
sinC
cosA cosB cosC
即 tanA tanB tanC
又A,B,C (0,π),A B C, 从而ΔABC为正三角形。
3．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若b＝acos C，试判断△ABC的形状．

教学设计1：1.1.1 正弦定理（一）

知识链接问题2. 在一个三角形中，三个内角有怎样的数量关系？三条边有怎样的数量关系？回答2. 三角形的内角和等于；任意两边之和大于第三边(任意两边只差小于第三边).问题3.在一个三角形中，边与角有怎样的数量关系？回答3.大边对大角（或大角对大边）.教学过程设计教学环节教师活动学生活动(二)新知探究问题1. 我们能否把“大角对大边”的关系通过等式准确地量化呢？讨论、分析：由于涉及到边长和夹角，联想到用三角函数或向量解决该问题.分析：在直角三角形中，边之间的比就是锐角的三角函数值，为此我们首先在直角三角形中通过三角函数探究这种关系.探究：如下图，在Rt ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，则由三角函数定义得sin A=，sin B=，sin C=.于是，c===．在老师的引导下，填空并结合探究问题找出等式关系.问题2.这个优美的等式关系对等边三角形无疑也成立，那么对于任意的三角形，该等式关系是否任然成立呢？讨论、分析，确定分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论.当三角形为锐角三角形时，设为边上的高，如图.则在内，由勾股定理得在内，由勾股定理得，所以，即.同理，由边上的高可得.综上，在锐角三角形内等式成立.在锐角三角形内尝试推导上述等式关系.对于钝角三角形内的情况，请同学们独立完成. 独立完成钝角三角形内等式关系的推导.教学过程设计教学环节教师活动学生活动(二)问题3.还有其他方法可以证明该等式吗？能否用三角形的外接圆证明：.分组讨论，展示成果.新知探究PPT课件给出完整的证明过程.证明：作三角形 ABC的外接圆O（如下图1），过点B作圆O的直径BD，连接AD（如下图2）.由圆的性质知，.∴()同理，∴对比自己的证明过程，体会差异，完善步骤.(三)获取新知正弦定理：在任意三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.在导学案中完成知识填空.理解定理：（1）①实际上是三个等式：，，．②同一三角形中，边的比等于其对角正弦值的比：，，．（2）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两个角及一边可以求其他边，如；②已知三角形的任意两条边与其中一边的对角可以求另一边对角的正弦值，如；分析、总结自己对该定理的理解.教学过程设计教学环节教师活动学生活动(四)典例突破【引入概念】一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做________________. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作_________________．题型一. 两角任一边例1. 已知中，AB＝6，A＝30°，B＝120︒，解此三角形．【解析】∵A＝30°，B＝120︒∴C＝180°-30°-120°=30°∴由正弦定理得，∴C＝30°，，变式1. 在中，已知B=45º，C=60º，a=12cm，解此三角形．【答案】同学甲板书例1的解题过程；同学乙板书例2的解题过程.其他同学在导学案上解答.………………同学们点评甲同学的解答.………………完成变式1.同学们点评乙同学的解答.………………完成变式2.题型二. 两边一对角例2. 已知中，a =15，b =10，A＝60°，则( )A．B．C．D．【解析】由正弦定理得.变式2：在中，若，则_____.【解析】由正弦定理得∵∴又∴或问题4. 上述两个题型有什么不同？谈谈你的理解. 通过对比，分析并总结两题型的特点：“两角任一边”的解是唯一的；“两边一对角”的解不具有唯一性，最后要根据条件检验根的合理性.教学过程设计教学环节教师活动学生活动(五)知识拓展在初中我们学习了两个三角形全等的条件：角角边，角边角，边角边，边边边.也就是说这四个条件中的每一个都能唯一确定一个三角形，其中“角角边”与“角边角”就是“两角任一边”的题型，正弦定理则从量化的角度说明了这两个三角形全等的条件.结合例2和变式，你能否用正弦定理解释“为什么两个三角形全等的条件中没有‘边边角’” ？答：“边边角”即“两边一对角”的题型，从例2及其变式可知，这种题型的可能有两种解答，即“两边一对角”不能唯一确定三角形，因而不是三角形全等的条件.分组讨论，展示成果.。

教学设计6：1.1.1 正弦定理

1.1.1 正弦定理教学目标：1.掌握正弦定理及基本应用．(重点)2.会判断三角形的形状．(难点)3.能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、易混点)教学知识梳理1．正弦定理2．解三角形(1)一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素．(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．思考：利用正弦定理解三角形需要哪些条件？[提示] 需要两角及一边或两边及其一边的对角．教学检测1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦定理不适用于钝角三角形．( )(2)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立．( )(3)在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则三角形是等腰三角形．( )【解析】(1)×.正弦定理适用于任意三角形．(2)√.由正弦定理知a sin A ＝b sin B，即b sin A ＝a sin B . (3)√.由正弦定理可知a sin A ＝b sin B，即a ＝b ，所以三角形为等腰三角形．【答案】(1)× (2)√ (3)√2．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________.【答案】23 【解析】由正弦定理得：32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝32·sin 45°sin 60°＝2 3.3．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C ＝________. 【答案】π2【解析】由正弦定理得：3sin π3＝3sin B ，所以sin B ＝12. 又a >b ，所以∠A >∠B ，所以∠B ＝π6，所以∠C ＝π－⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝π2.4．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －c sin C＝________. 【答案】0 【解析】由于a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，所以2a sin A －b sin B －c sin C ＝⎝⎛⎭⎫a sin A －b sin B ＋ ⎝⎛⎭⎫a sin A －c sin C ＝0. 类型1已知两角及一边解三角形例1.已知△ABC ，根据下列条件，解三角形：(1)a ＝20，∠A ＝30°，∠C ＝45°；(2)a ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝75°.[解] (1)∵∠A ＝30°，∠C ＝45°；∴B ＝180°－(∠A ＋∠C )＝105°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝20sin 105°sin 30°＝40sin(45°＋60°)＝10(6＋2)； c ＝a sin C sin A ＝20sin 45°sin 30°＝202， ∴∠B ＝105°，b ＝10(6＋2)，c ＝20 2.(2)∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝180°－(60°＋75°)＝45°，由正弦定理b sin B ＝a sin A，得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46，由正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)． ∴∠A ＝45°，b ＝46，c ＝4(3＋1)．[规律方法] 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角.(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边.[跟踪训练]1．在△ABC 中，a ＝5，∠B ＝45°，∠C ＝105°，求边c .[解] 由三角形内角和定理知∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·sin 60°＋45°sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)．类型2已知两边及一边的对角解三角形例2.在△ABC 中，分别根据下列条件解三角形：(1)a ＝1，b ＝3，∠A ＝30°；(2)a ＝3，b ＝1，∠B ＝120°.[解] (1)根据正弦定理，sin B ＝b sin A a ＝3sin 30°1＝32. ∵b >a ，∴∠B >∠A ＝30°，∴∠B ＝60°或120°.当∠B ＝60°时，∠C ＝180°－(∠A ＋∠B )＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴c ＝b sin C sin B ＝3sin 60°＝2；当∠B ＝120°时，∠C ＝180°－(∠A ＋∠B )＝180°－(30°＋120°)＝30°＝∠A ，∴c ＝a ＝1.(2)根据正弦定理，sin A ＝a sin B b ＝3sin 120°1＝32>1.因为sin A ≤1.所以A 不存在，即无解．[规律方法] 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.[跟踪训练]2．已知△ABC ，根据下列条件，解三角形：(1)a ＝2，c ＝6，∠C ＝π3； (2)a ＝2，c ＝6，∠A ＝π4. [解] (1)∵a sin A ＝c sin C， ∴sin A ＝a sin C c ＝22. ∵c >a ，∴∠C >∠A .∴∠A ＝π4. ∴∠B ＝5π12，b ＝c sin B sin C＝6·sin 5π12sin π3＝3＋1.(2)∵a sin A ＝c sin C ， ∴sin C ＝c sin A a ＝32. 又∵a <c ，∴∠C ＝π3或2π3. 当∠C ＝π3时，∠B ＝5π12，b ＝a sin B sin A＝3＋1. 当∠C ＝2π3时，∠B ＝π12，b ＝a sin B sin A＝3－1.] 类型3利用正弦定理判断三角形的形状例3.在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．[思路探究] ①∠A ＝π－(∠B ＋∠C )，②边角转化，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R.[解] 法一：在△ABC 中，根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2，即a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°，∴∠B ＋∠C ＝90°，由sin A ＝2sin B cos C ，得sin 90°＝2sin B cos(90°－B )，∴sin 2B ＝12. ∵∠B 是锐角，∴sin B ＝22， ∴∠B ＝45°，∠C ＝45°，∴△ABC 是等腰直角三角形．法二：在△ABC 中，根据正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R(R 为△ABC 外接圆的半径)． ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°.∵∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )，sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C .∴sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0.∴∠B －∠C ＝0，即∠B ＝∠C .∴△ABC 是等腰直角三角形．[规律方法] 依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用∠A ＋∠B ＋∠C ＝π这个结论.在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.[跟踪训练]3．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状.[解] 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B， ∴a b ＝sin A sin B ，∴a 2b 2＝sin 2A sin 2B. 又∵a 2tan B ＝b 2tan A ，∴a 2b 2＝tan A tan B ， ∴tan A tan B ＝sin 2 A sin 2 B， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B .∴2∠A ＝2∠B 或2∠A ＋2∠B ＝π，即∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．当堂达标1．在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则∠A 与∠B 的大小关系为( )A ．∠A ＞∠BB ．∠A ＜∠BC ．∠A ≥∠BD ．∠A ，∠B 的大小关系不能确定【答案】A【解析】因为a sin A ＝b sin B ，所以a b ＝sin A sin B. 因为在△ABC 中，sin A >0，sin B >0，sin A ＞sin B ，所以a b ＝sin A sin B>1，所以a >b ，由a ＞b 知∠A ＞∠B .2．在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．不等边三角形【答案】B【解析】由正弦定理知c ＝2R sin C ，a ＝2R sin A ，故sin C ＝2sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin A cos B ＝cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，所以∠A ＝∠B .故△ABC 为等腰三角形．3．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°，∠B ＝60°，则BC ＝_____.【答案】3－3【解析】利用正弦定理BC sin A ＝AB sin C，而∠C ＝180°－(∠A ＋∠B )＝75°，故BC ＝AB sin A sin C ＝3sin 45°sin 75°＝3－ 3. 4．已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，∠A 、∠B 为两内角，试判断这个三角形的形状．[解] 设方程的两根为x 1、x 2，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B ， ∴b cos A ＝a cos B .由正弦定理得2R sin B cos A ＝2R sin A cos B (R 为△ABC 外接圆的半径)， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0.∵∠A 、∠B 为△ABC 的内角，∴0<∠A <π，0<∠B <π，－π<∠A －∠B <π，∴∠A －∠B ＝0，即∠A ＝∠B .故△ABC 为等腰三角形．。

《正弦定理》教案(含答案)

《正弦定理》教案（含答案）章节一：正弦定理的引入教学目标：1. 让学生理解正弦定理的概念和意义。

2. 让学生掌握正弦定理的数学表达式。

3. 让学生了解正弦定理的应用场景。

教学内容：1. 引入正弦定理的背景和意义。

2. 介绍正弦定理的数学表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

3. 解释正弦定理的证明过程。

教学活动：1. 通过实际例子引入正弦定理的概念。

2. 引导学生推导正弦定理的数学表达式。

3. 让学生进行小组讨论，探索正弦定理的应用场景。

练习题：1. 解释正弦定理的概念。

2. 给出一个三角形，让学生计算其各边的比例。

章节二：正弦定理的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在三角形中的应用。

2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。

教学内容：1. 介绍正弦定理在三角形中的应用方法。

2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。

教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在三角形中的应用方法。

2. 让学生进行小组讨论，探讨正弦定理在实际问题中的应用。

练习题：1. 使用正弦定理计算一个三角形的面积。

2. 给出一个实际问题，让学生应用正弦定理解决问题。

章节三：正弦定理的证明教学目标：1. 让学生理解正弦定理的证明过程。

2. 让学生掌握正弦定理的证明方法。

教学内容：1. 介绍正弦定理的证明过程。

2. 解释正弦定理的证明方法。

教学活动：1. 通过几何图形的分析，引导学生推导正弦定理的证明过程。

2. 让学生进行小组讨论，理解正弦定理的证明方法。

练习题：1. 解释正弦定理的证明过程。

2. 给出一个三角形，让学生使用正弦定理进行证明。

章节四：正弦定理在实际问题中的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在实际问题中的应用。

2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。

教学内容：1. 介绍正弦定理在实际问题中的应用方法。

2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。

教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在实际问题中的应用方法。

高中数学必修5新教学案：1.1.1正弦定理

必修5 1.1.1 正弦定理（学案）【知识要点】1．正弦定理2．正弦定理的变形【学习要求】1．理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形． 2．通过应用提高分析问题、解决问题的能力．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 1 页～第 4 页）1. 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1）（1）在RT ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，依据正弦函数定义得：c = .（2）在锐角ABC ∆中，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数定义得：sin aA= . （3）在钝角ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，过点A 作AE 垂直于BC 交BC 于E 点，AE = .,即sin sin c bC B=; 同理可得：sin a C = ，故.sin sin sin a b cA B C==2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A as i n= = . 结合提示完成以下几种方法，帮助大家开拓一下眼界！法一：（等面积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21==. 两边同除以abc 21即得：Aasin = = .法二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ, ∴==R CD 2 . 同理2R = ＝ . 可将正弦定理推广为：A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j垂直于AC ，由 AB= + .两边同乘以单位向量j 得j •AB= .即j •AC +j •CB =j •AB .∴ = . ∴A c C a sin sin = . ∴Aasin = . 同理，若过C 作j垂直于CB 得：C c sin = ∴A a sin =B b sin =Ccsin . 3. 定理及其变形：（1）sinA:sinB:sinC=______； (2)A a sin =B b sin =C csin =CB A c b a sin sin sin ++++= ； a=______,；b=______ ；c=_______；(4)sinA=_______；sinB=________；sinC=________. 4.思考：观察公式特点，思考正弦定理可以解决的问题：（1）；（2）．5. 时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况：有三种，我们分情况给予讨论（1）当A 为锐角（2）当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论：如果sin B>l ，则问题无解；如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．【基础练习】1．在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) ． ()A 2R ()B R ()C 4R ()D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2.在ABC ∆中，已知08,60,75a B C ===，则b 等于（）．()A ()B ()C ()D 32.33.(2008年北京) 已知ABC ∆中， 060a b B ===，则A 等于（）．()A 0135 ()B 090 ()C 045 ()D 030.4. 在△ABC 中，sinA ＞sinB 则角 A ，B 的大小关系为： .5. 在ABC ∆中，a:b:c=1:3:5,CA BA sin sin sin sin 2+-的值为___ __.【典型例题】例1 已知在,0.32,8.81,9.420===∆B A c ABC 中，解三角形.【变式练习】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆例2 （1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，已知===∆（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【变式练习】在,28,40,200cm b A cm a ABC ===∆中，解三角形（角度精确到01）.例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A=120 (2)a =9,b=l0,A= 60 (3)c=50,b=72,C= 135例4 已知△ABC 中，bsin B=csin c ，且试判断三角形的形状．例5 已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积.1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( ) ．（A ）acos C= ccos A （B ）bsinC= csin A （C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ．2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=150，则这个三角形解的情况是 ( ) ．（A ）有一个解（B ）有两个解（C ）无解（D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A=60,a=3，b=1，则c 等于( ) ．（A ） 1 （B ） 2 （C ）3-1 （D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( ) ．（A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6．二、填空题5．在△ABC 中，A= 45，B=60，则ba ba +-=______ _ ． 6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B=45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为__ __． 7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+60，则A=____ ．三、解答题8．在C a b B A cm c ABC ,,56,34,200和求中，===∆9．在△ABC 中，若a=23,A=30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？10.已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．1.（2007年北京）△ABC 中，若,1,150,31tan 0===BC C A ，则=AB ．2.（2007年全国）在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,xB =，周长为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域；（2）求)(x f y =的最大值.必修5 1.1.1 正弦定理（教案）【教学目标】1．理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形． 2．通过应用提高分析问题、解决问题的能力．【重点】理解正弦定理的及应用．【难点】正弦定理的熟练变形运用．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 1 页～第 4 页）2. 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1）在RT ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，依据正弦函数定义得：.sin sin sin a b cc A B C=== （2）在锐角ABC ∆中，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数定义得：.sin sin sin a b cA B C== （3）在钝角ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，过点A 作AE 垂直于BC 交BC 于E 点，sin sin()AE AB B AC C π==-,即sin sin c bC B=; 同理可得：sin sin a b C B =，故.sin sin sin a b cA B C==2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a s i n =B b sin =Cc sin 了解以下几种方法帮助大家开拓一下眼界！法一：（等积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21==. 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin .法二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴==R CD 2DaA a sin sin =.同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R . 可将正弦定理推广为：A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j垂直于AC ，由 AB =AC +CB.两边同乘以单位向量j 得j •(AC+CB )=j •AB .则j •AC +j •CB =j •AB .∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=| j |•|AB|cos(90︒-A) .∴A c C a sin sin = . ∴A a sin =Ccsin . 同理，若过C 作j垂直于CB 得：C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin .3. 定理及其变形：（1）sinA:sinB:sinC=__::a b c ____； (2)A a sin =B b sin =C csin =CB A c b a sin sin sin ++++= 2R ；a=__2sin R A ____,；b=_2sin R B _____ ；c=_2sin R C ______；sinA=__2a R _____；sinB=___2b R _____；sinC=____2c R____. 4.思考：观察公式特点，思考正弦定理可以解决的问题：（1）_已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和两角． 5. 时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况：有三种，我们分情况给予讨论（3）当A 为锐角（4）当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论：如果sin B>l ，则问题无解；如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．【基础练习】 1．在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( A ) ． ()A 2R ()B R ()C 4R ()D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2.在ABC ∆中，已知08,60,75a B C ===，则b 等于（ C ）．()A ()B ()C ()D 32.33.(2008年北京) 已知ABC ∆中， 060a b B ===，则A 等于（ C ）．()A 0135 ()B 090 ()C 045 ()D 030.4. 在△ABC 中，sinA ＞sinB 则角 A ，B 的大小关系为： A>B .5. 在ABC ∆中，a:b:c=1:3:5,C A B A sin sin sin sin 2+-的值为___16-__.【典型例题】例1 已知在,0.32,8.81,9.420===∆B A c ABC 中，解三角形.【审题要津】已知两角A,B ，据三角形内角和求得第三角C ，即知两角和任意一边，由正弦定理求解三角形.解：根据三角形内角和定理，02.66180=--=B A C .根据正弦定理, )(1.800.32sin 8.81sin 9.42sin sin 00cm A B a b ≈==. 根据正弦定理, )(1.740.32sin 2.66sin 9.42sin sin 0cm A C a c ≈==. 【方法总结】已知两角和任意一边，求解三角形时，注意结合三角形的内角和定理求出已知边的对角；应用正弦定理时注意边与角的对应性.【变式练习】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆解：根据三角形内角和定理，0105180=--=C A B .根据正弦定理, ))(26(530sin 105sin 10sin sin 0cm C B c b +===.根据正弦定理, )(21030sin 45sin 10sin sin 0cm C A c a ===. 例2 （1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，已知===∆（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【审题要津】已知两边和其中一边的对角，由正弦定理先求对角，再求第三角.解：(1)根据正弦定理, ,21360sin 1sin sin 0===b B c CB C b c <∴< .300=∴C根据三角形内角和定理，090180=--=B C A .(2) 根据正弦定理, ,23245sin 6sin sin 0===aAc C060=∴>∴>C B C b c 或0120=C .当060=C 时，根据三角形内角和定理，;7518000=--=A C B 当0120=C 时，根据三角形内角和定理，.1518000=--=A C B【方法总结】应用正弦定理时注意边与角的对应性;注意由C sin 求角C 时，讨论角C 为锐角或钝角的情况.【变式练习】在,28,40,200cm b A cm a ABC ===∆中，解三角形（角度精确到01）.解：根据正弦定理, .8999.02040sin 28sin sin 0≈==a A b B 因为,18000<<B 所以,640≈B 或.1160≈B（1）当064≈B 时，076180=--=B A C ，)cm (3040sin 76sin 20sin sin 0≈==A C a c . (2) 当0116≈B 时，024180=--=B A C ，).cm (1340sin 24sin 20sin sin 0≈==A C a c 例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A=120(2)a =9,b=l0,A=60 (4)c=50,b=72,C=135【审题要津】已知两边及其中一边的对角的三角形不一定确定，在上述例题中通过求解可以判定解的个数，还可以通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角等三角形有关性质进行判断，也可利用数形结合的办法不求解就能判定三角形解的个数．解：（1）因为A= 120是钝角，且a=5>b=4 ，所以此三角形只有一解．（2）b a A b A b <<∴<==sin ,97535sin ，由图可知该三角形有两解．（3）因为C=135，c=50 <b=72,所以如下图知此三角形无解．【方法总结】时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况：有三种，我们分情况给予讨论（5）当A 为锐角（6）当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论：如果sin B>l ，则问题无解；如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．例4 已知△ABC 中，bsin B=csin c ，且试判断三角形的形状．【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理能进行边与角的转化，这里条件中有角也有边，转化为相同的形式便于进一步探究.解：根据正弦定理将C B A 222sin sin sin +=可化为222c b a +=，由勾股定理逆定理得△ABC 为直角三角形，且.900=∠A 又因为,sin sin C B c b =所以bsin B=csin c 可化为,b c c b =即c b c b ==即,22，故该三角形为等腰直角三角形．【方法总结】三角形的形状常有等腰、等边、直角等特殊的三角形，判定中将角化为边或将边化为角是常用的思路．例4 已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积. 【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理反映了三角形的边与对角的正弦的比值的关系，这里给出角B,C 的正切，利用同角的基本关系式进行转化. 解：.552cos ,55sin ,20,21tan ==∴<∠<=B B B B π 又.55cos ,552sin ,2,2tan -==∴<∠<-=C C C C ππ.53sin cos cos sin )sin(sin =+=+=∴C B C B C B A .53sin sin ,sin sin b B A b a B b A a ==∴= ,15525321sin 212=∙∙==∴∆b C ab S ABC 解得,315=b 于是.3=a 又由正弦定理知： ,3152sin sin ==A C a c 外接圆的直径.635,335sin 2=∴==R A a R 故△ABC 外接圆的面积为.12252ππ==R S 【方法总结】学习本节时要综合运用同角三角函数关系式，正弦定理和三角形的面积公式进行计算，加强知识间的联系.1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( D ) ．（A ）acos C= ccos A （B ）bsinC= csin A（C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ．2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=150，则这个三角形解的情况是 ( C ) ．（A ）有一个解（B ）有两个解（C ）无解（D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A= 60,a=3，b=1，则c 等于(B ) ．（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3-1 （D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( B ) ．（A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6．二、填空题5．在△ABC 中，A= 45，B= 60，则b a b a +-=______562-_ ． 6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B= 45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为__222<<x __．7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+60，则A=__33__ ．三、解答题8．在C a b B A cm c ABC ,,56,34,2000和求中，===∆解：根据三角形内角和定理，0090180=--=B A C . 根据正弦定理, )(56sin 2090sin 56sin 20sin sin 00cm C B c b ===. 根据正弦定理, )(34sin 2090sin 34sin 20sin sin 000cm C A c a ===. 9．在△ABC 中，若a=23,A= 30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？解：由上图知：当,30sin ,sin b a b b a A b <<<<即该三角形有两解，故3432<=或该三角形有一解，故32034<<=b b 或时，该三角形有两解．当,sin a A b >即,34>b 该三角形有两解．10.已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．解：设方程的两根为,,21x x 由韦达定理得,cos ,cos 2121B b x x A b x x ==+由题意得,cos cos B a A b =由正弦定理得,cos sin 2cos sin 2B A R A B R =在△ABC 中，,,0,0ππππ<-<-<<<<B A B A,0=-∴B A 故△ABC 为等腰三角形.1.（2007年北京）△ABC 中，若,1,150,31tan 0===BC C A ，则AB 210 ． 2.（2007年全国）在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,x B =，周长为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域；（2）求)(x f y =的最大值.解：(1) △ABC 的内角和π=++CB A , 由3π=A ，0,0>>C B 得320π<<B . 应用正弦定理得,sin 4sin sin x B ABC AC =∙= ).32sin(4sin sin x C A BC AB -=∙=π 因为,BC AB AC y ++= 所以)320(32)32sin(4sin 4ππ<<+-+=x x x y .（2）因为32)32sin(4sin 4+-+=x x y π ),6566(32)6sin(34ππππ<+<+-=x x 所以，当26ππ=+x ，即3π=x 时，取得最大值.36。

《1.1 正弦定理》教学案2

1.1正弦定理第1课时《正弦定理(1)》教学案●三维目标1.知识与技能(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程；(2)能解决一些简单的三角形度量问题(会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题)，能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；(3)通过三角函数､正弦定理､向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一；(4)在问题解决中，培养学生的自主学习和自主探索能力.2.过程与方法让学生从已有的几何知识出发，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察､推导､比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作.3.情感､态度与价值观(1)培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；(2)培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数､正弦定理､向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.●重点､难点重点:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，证明正弦定理并简单应用.难点:正弦定理的探索和证明及其基本应用.为了突出重点，突破难点，一要抓住学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想､积极探索以及及时地鼓励，使他们知难而进；二要抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给以适当的提示和指导；三要抓住学生的能力线，联系方法与技能，使学生较易证明正弦定理.●教学建议本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系，与判定三角形的全等也有密切联系.建议对本节的教学应注意四点:①要把探索､学习的主动权放给学生；②在探索的过程中，学生思维受阻时，要适时地加以引导；③留给学生足够的思考探索时间与空间，分组探究，合作学习；④充分运用现代化教学手段，通过多媒体展示，直观地探索正弦定理的内容.(对应学生用书第1页)1.在△ABC中，若A=90°，B=30°，C=60°，三角所对边分别为a，b，c，则asin A，bsin B，csin C有何关系？若A=90°，B=C=45°呢？请以大家所用的一副三角板为例，进行探究.【提示】通过探究，不难发现asin A=bsin B=csin C.2.在△ABC中，A>B与sin A>sin B等价吗？【提示】等价.因为在△ABC中，A>B⇔a>b，由正弦定理，a=2Rsin A，b=2Rsin B，∴a>b⇔2Rsin A>2Rsin B⇔sin A>sin B.(1)已知两角与任一边，求其他两边和一角.(2)已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角从而进一步求出其他的边和角.(对应学生用书第1页)例【思路探究】△ABC中已知两角和其中一角的对边，利用内角和定理先求出另一角，再由正弦定理求解其它两边.【自主解答】∵A+B+C=180°，∴C=180°-(45°+30°)=105°.根据正弦定理得b=asin Bsin A=2sin 30°sin45 °=2×1222=2，c=asin Csin A=2sin 105°sin 45°=2sin 75°sin 45°=2×6＋2422=3+1，故C=105°，b=2，c=3+1.规律方法1.三角形内角和等于180°，这一结论经常作为解三角形的隐含条件，本例中正是应用这个定理求角C.2.解决已知两角一边类型的解题方法是:(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.变式训练在△ABC中，a=5，B=45°，C=105°，求角A及边b，c.【解】∵A+B+C=180°，∴A=180°-(45°+105°)=30°.由正弦定理，csin 105°=5sin 30°，∴c =10 sin 105°=10 sin (45°+60°)=522(1+3)， ∵b sin 45°=5sin 30°，∴b =52，故A =30°，b =52，c =522(1+3).【思路探究】 △ABC 中已知两边及其中一边的对角，由正弦定理先求出另一边对角的正弦，然后再求解其它边和角.【自主解答】根据正弦定理得 sin A =asin B b =3sin 45°2=32， ∵b <a ，∴B <A ，∴A =60°或120°. ①当A =60°时，C =180°-(60°+45°)=75°， ∴c =bsin C sin B =2sin 75°sin 45° =2sin (45°+30°)=6＋22. ②当A =120°时，C =180°-(A +B )=15°，∴c =bsin C sin B =2sin 15°sin 45°=2sin (45°-30°)=6－22， ∴A =60°，C =75°，c =6＋22或A =120°，C =15°，c =6－22.规律方法1.本例中，应用正弦定理求出sin A =32，不要错误认为A =60°，而忽略掉A =120°. 2.已知两边及其中一边的对角，解三角形时，常涉及到解的不定性问题，要注意分类讨论，但有时也可根据“大边对大角”的原则进行取舍，避免分类讨论而导致增解.互动探究若将例2中“a =3”，改为“a =1”，其他条件不变，应如何求解？【解】根据正弦定理得sin A =asin B b =1×sin 45°2=12， ∵b >a ，∴B >A ，∴A <45°，∴A =30°. 当A =30°时，C =180°-(45°+30°)=105°，∴c =bsin C sin B =2sin 105°sin 45°=2sin (60°+45°)=6＋22.例3 (2013·黄冈高二检测)不解三角形判断下列三角形解的个数. (1)a =5，b =4，A =120°； (2)a =7，b =14，A =150°； (3)a =9，b =10，A =60°； (4)a =1，b =2，A =30°.【思路探究】根据已知条件画图，依据高和图形判断解的个数. 【自主解答】 (1)如图(1)，∵A 为钝角，且a >b ，∴三角形有一解.图(1) 图(2)(2)如图(2)，∵A 为钝角，且a <b ，∴无解.(3)如图(3)，∵h =bsin A =53，而53<9<10，∴三角形有两解.图(3) 图(4)(4)如图(4)，∵h =bsin A =1，∴a =h ，∴三角形有一解.规律方法1.不解三角形判断解的个数时要注意已知角是锐角，还是直角与钝角，判别的步骤不尽相同.当A 为钝角或直角时，只须比较已知边长a ，b ；当A 为锐角时，除了比较a ，b 大小关系外，还须比较a 与AB 边上的高h 的大小关系.2.已知两边一对角，判断三角形的个数，不必死记硬背，机械套用，只须数形结合，即可较易得到答案.变式训练不解三角形，判断下列三角形解的个数. (1)a =7，b =14，A =30°， (2)a =30，b =25，A =150°， (3)a =7，b =9，A =45°.【解】 (1)∵h =bsin A =14×12=7，∴a =h ，∴三角形有一解. (2)∵A >90°，且a >b ，∴三角形有一解. (3)∵h =bsin A =922，∴h <a <b ， ∴三角形有两解.易错易误辨析(对应学生用书第3页) 解三角形时增解或漏解而致误典例在△ABC 中，(1)已知a =23，b =6，A =30°，求B ； (2)已知a =23，b =2，A =60°，求B . 【错解】 (1)由正弦定理得sin B =bsin A a =6×sin 30°23=32，∴B =60°. (2)由正弦定理得sin B =bsin A a =2×sin 60°23=12， ∴B =30°或150°.【错因分析】 (1)漏解.∵sin B =32，a <b ，∴30°<B <180°，∴B =60°或120°.∴三角形有两解.(2)增解.由sin B =12，0°<B <180°，得B =30°或150°.∵b <a ，∴B <A .∴B =150°舍去.【防范措施】利用大边对大角，对已知角与所求角进行分析，若所求角为大边所对的角，一般有两种情形；若所求角为小边所对的角，一般有一种情形，即为锐角.【正解】 (1)由正弦定理得 sin B =bsin A a =6×sin 30°23=32. ∵a =23<6=b ，且0°<B <180°， ∴30°<B <180°，∴B =60°或120°.(2)由正弦定理得sin B =bsin A a =2×sin 60°23=12. ∵0°<B <180°，∴B =30°或150°. 又b <a ，∴B <A .∴B =150°不合题意，应舍去.∴B=30°.1.基础知识:(1)正弦定理；(2)解三角形的两种类型:①已知两角和任一边，解三角形；②已知两边和其中一边的对角，解三角形.2.基本技能:(1)利用正弦定理解两类三角形；(2)不解三角形，判断三角形的个数.3.思想方法:(1)数形结合；(2)分类讨论.当堂双基达标(对应学生用书第3页)1.在△ABC中，一定成立的有________.(填序号)①asin A=bsin B；②acos A=bcos B；③asin B=bsin A；④acos B=bcos A.【解析】由正弦定理知，asin B=bsin A.【答案】③2.已知△ABC中，a=4，b=43，A=30°，则B=______________.【解析】由正弦定理4sin 30°=43sin B，∴sin B=3 2，∵b>a，∴B>A，∴B=60°或120°.【答案】60°或120°3.在△ABC中，若B=2A，a∶b=1∶3，则A=________. 【解析】∵a∶b=1∶3，∴sin A∶sin B=1∶ 3.∴sin A∶sin2A=1∶3，∴cos A=32，∴A=30°.【答案】30°4.在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为多少？【解】由B=135°知，边b最大，又由内角和定理知A=30°，∴bsin B=asin A，∴bsin 135°=5sin 30°，∴b=5 2.课后知能检测(对应学生用书第79页)一､填空题1.△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c且a=3，A=60°，C=45°，则c=____ __.【解析】∵asin A=csin C，∴332=c22，∴c= 2.【答案】 22.(2013·扬州高二检测)在△ABC中，已知A=75°，B=45°，c=32，则b=________.【解析】∵A=75°，B=45°，∴C=60°，∴bsin 45°=32sin 60°，∴b=2 3.【答案】2 33.在△ABC中，A∶B∶C=4∶1∶1，则a∶b∶c=________.【解析】由已知得A=120°，B=C=30°，∴a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=3∶1∶1.【答案】3∶1∶14.(2013·韶关高二检测)已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=2，b =3，B=60°，那么A等于________.【解析】∵2sin A=3sin 60°，∴sin A=22，∵a<b，∴A<B，∴A=45°. 【答案】45°5.在△ABC 中，B =45°，C =60°，c =1，则最短边的长为________. 【解析】 A =75°，∴B 为最小角，∴b 为最短边， ∴由c sin C =b sin B 得b =63. 【答案】 636.(2013·石家庄高二检测)在△ABC 中，若b =5，B =π4，tan A =2，则sin A =________；a =________.【解析】由tan A =2得sin A =2cos A .又sin 2A +cos 2A =1得sin A =255.又∵b =5，B =π4，根据正弦定理a sin A =bsin B ， a =bsin A sin B =2522=210.【答案】 255；2107.(2013·广州高二检测)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =2，b =3，则sin A＋=________. 【解析】 sin A＋=sin A sin B =a b =23.【答案】 238.若满足条件C =60°，AB =3，BC =a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是________. 【解析】因为△ABC 有两个，应满足条件BC sin C <AB <BC ，即asin 60°<3<a ，解得3<a <2，所以a 的取值范围是(3，2).【答案】 (3，2) 二､解答题9.根据下列条件，解△ABC ； (1)已知b =4，c =8，B =30°，求C ､A ､a ； (2)已知B =45°，C =75°，b =2，求a ､c ､A .【解】 (1)由正弦定理得sin C =csin B b =8sin 30°4=1. ∵30°<C <150°，∴C =90°，从而A =180°-(B +C )=60°，a =c 2－b 2=4 3.(2)∵A +B +C =180°，∴A =180°-(B +C )=180°-(75°+45°)=60°.又∵a sin A =b sin B ，∴a =bsin A sin B =2×sin 60°sin 45°=6，同理，c =bsin C sin B =sin 75°sin 45°×2=3+1.10.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a =1，b =3，A +C =2B ，求sin C .【解】由A +C =2B 及A +B +C =180°，知B =60°，由正弦定理，1sin A =3s in 60°，∴sin A =12.由a <b ，知A a 知B >A .∴B =60°或120°.(1)当B =60°时，C =180°-A -B=180°-30°-60°=90°.在Rt △ABC 中，C =90°，a =23，b =6，c =43，∴ac =23×43=24.(2)当B =120°时，C =180°-A -B =180°-30°-120°=30°，∴A =C ，则有a =c =2 3. ∴ac =23×23=12.教师备课资源备选例题在△ABC 中，已知b =2，c =1，B =45°，求a ､A ､C .【思路探究】先根据正弦定理求角C ，再根据内角和定理求角A ，最后根据正弦定理求边a .【自主解答】由正弦定理得，sin C =csin B b =1×222=12.由c b ，C =π4且有tan A tan B =6，试求a ，b .【解】 ∵tan (A +B )=tan A ＋tan B1－tan Atan B ，∴tan A +tan B =tan (A +B )(1-tan A tan B )=-tan C (1-tan A tan B )=-tan π4(1-6)=5.又∵tan A tan B =6，且a >b ，∴tan A >tan B .由⎩⎪⎨⎪⎧ tan A ＋tan B ＝5，tan Atan B ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ tan A ＝3，tan B ＝2.而⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜A ＜π2，0＜B ＜π2， ∴sin A =31010，sin B =255.由正弦定理得a =csin A sin C =22×3101022=6105， b =csin B sin C =22×25522=855. 拓展正弦定理的其他几种证明方法证法一:(等积法)在任意△ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c .先分别作出三边上的高AD､B E ､C F ，垂足分别为D ､E ､F ，则AD =csin B ，B E =asin C ，C F =bsin A ，∴S △ABC =12absin C =12acsin B =12bcsin A ，每项同除以12abc ，即得a sin A =b sin B =csin C .证法二:(外接圆法)在任意△ABC 中，设BC =a ，AC=b ，AB =c .作△ABC 的外接圆O .如图所示，设外接圆的半径为R ，连结C O 并延长，交圆O 于点D ，连结BD .∵∠A =∠D ，∴a sin A =asin D =2R .同理b sin ∠ABC =2R ，c sin ∠ACB =2R .∴a sin A =b sin ∠ABC =csin ∠ACB =2R .。

教学设计7：1.1.1 正弦定理

1.1.1 正弦定理知识梳理1．正弦定理在三角形中，各边与它所对角的正弦的比值相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 2．扩充的正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . 3．正弦定理的变形a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .a ＝2R sin A .b ＝2R sin B .c ＝2R sin C .4．正弦定理解决的两个问题(1)已知两角和一边，求另两边和一角；(2)已知两边和一边的对角，求另两角和一边．5．面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A . 小问题·大思维1．课本是以锐角三角形为例给出的正弦定理，直角三角形和钝角三角形适合吗？[提示] a sin A ＝b sin B ＝c sin C 适用于任意三角形． 2．在△ABC 中，根据正弦定理，你认为，a >b ，A >B ，sin A >sin B 之间有什么关系？[提示] 在△ABC 中，由“大边对大角”可知，若a >b ，则A >B ，反之亦成立．由a sin A ＝b sin B，A ，B ∈(0，π)可知a >b ⇔sin A >sin B ．因此，在△ABC 中，a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B . 考察点一已知两角及一边解三角形例1.在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c .[解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°，由正弦定理b sin B ＝a sin A，得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46，由a sin A ＝c sin C，得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．规律小结已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角．(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．[注意] 若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．变式训练1．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，求b ，c .解：∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3. 即b ＝4，c ＝2＋2 3. 考察点二已知两边及其中一边的对角解三角形例2.在△ABC 中，已知下列条件解三角形．(1)a ＝2，b ＝2，A ＝30°；(2)a ＝2，b ＝2，A ＝45°；(3)a ＝5，b ＝2，B ＝120°.[解] (1)由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a， ∴sin B ＝2sin 30°2＝22， ∵a A ＝30°，∴B 为锐角或钝角，∴B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，C ＝180°－(A ＋B )＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝2sin 105°sin 30°＝3＋1；当B ＝135°时，C ＝180°－(A ＋B )＝15°，∴c ＝a sin C sin A ＝2sin 15°sin 30°＝3－1. ∴B ＝45°，C ＝105°，c ＝3＋1，或B ＝135°，C ＝15°，c ＝3－1.(2)由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 45°2＝2×222＝12， ∵a ＞b ，∴A ＞B ，∴B 必为锐角．∴B ＝30°，∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝2sin 105°sin 45°＝2×6＋2422＝3＋1， ∴B ＝30°，C ＝105°，c ＝3＋1.(3)由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝5sin 120°2 ＝534>1， ∴A 不存在．故此题无解．规律小结已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况加以讨论．已知a ，b ，A 解三角形时我们也可以从图形角度加以讨论：(1)当A 为锐角时，(2)当A 为直角或钝角时，变式训练2．已知在△ABC 中，A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形．解：由正弦定理得a sin A ＝c sin C，即sin C ＝62sin 45°＝62×22＝32，因为A ＝45°，c >a ，所以C ＝60°或120°，所以B ＝180°－60°－45°＝75°或B ＝180°－120°－45°＝15°.又因为b ＝a sin B sin A，所以b ＝3＋1或3－1. 所以C ＝60°，B ＝75°，b ＝3＋1或C ＝120°，B ＝15°，b ＝3－1.例3.在△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．[解] 由S ＝12ab sin C 得153＝12×603×sin C ， ∴sin C ＝12，∴C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故B ＝C ＝30°.∴A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝b sin B， ∴b ＝215.故边b 的长为215.规律小结对于此类问题，一般用公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形的考察点三三角形的面积公式与正弦定理的应用面积公式进行求解．变式训练3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S . 解：cos B ＝2cos 2B 2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45. 所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87. [随堂体验落实]1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( )A.3＋1B ．23＋1C ．26D ．2＋23【解析】由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得4sin 45°＝b sin 60°， ∴b ＝2 6.【答案】C2．已知△ABC 中，AB ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．9B ．18C ．93D ．183【解析】∵C ＝180°－30°－120°＝30°，∴AB ＝BC ＝6，∴S ＝12×6×6×sin 120°＝9 3. 【答案】C3．在△ABC 中，A ＝30°，a ＝3，b ＝2，则这个三角形有( )A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定【解析】∵b <a ，A ＝30°，∴B <30°，故三角形有一解．【答案】A4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝________.【解析】由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以sin A ＝3sin B sin A ，故sin B ＝33. 【答案】33 5．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．解：a ＝23，b ＝6，a b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.。

教学设计2：1.1.1 正弦定理

1.1.1正弦定理【教学目的】1.探究并证明正弦定理，了解数学理论的发现发展过程；2.理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形。

【教学重点】正弦定理的证明和解三角形【教学难点】正弦定理的证明【教学过程】一．定理引入：三角形中的边角关系：A+B+C=π;A>B 则a >b ;a +b >c ;直角三角形中A+B=90°;勾股定理;c a A =sin ,c b B =sin ,1sin =C C c B b A a sin sin sin ==⇒ 在非直角三角形ABC 中有这样的关系吗?几何画板验证二．定理证明：方法1,转化为直角三角形中的边角关系方法2,面积公式法方法3,外接圆法方法4,向量法三、定理的内容：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 Cc B b A a sin sin sin == 1︒它适合于任何三角形。

2︒可以证明比值为2R （2R 为△ABC 外接圆直径）3 ︒ 每个等式可视为一个方程：知三求一四．定理应用：正弦定理可以解决三角形中两类问题：①已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角; ②已知两角和一边，求另一角和其他边。

160,45,1.A C c a ===例：已知：，求解：由正弦定理得：001sin60sin 452a a =∴= 五、练习：P 4 1，2六、思考题： 1.在△ABC 中,(b +c ):(c +a ):(a +b )=4:5:6,则=C B A sin :sin :sin 7:5:32.在△ABC 中,A:B:C=4:1:1,则a :b :c = ( D )A 4:1:1B 2:1:1 C2:1:1 D 3:1:1 七、作业：P10 1，2。

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1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理从容说课本章内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．教学重点1.正弦定理的概念；2.正弦定理的证明及其基本应用．教学难点1.正弦定理的探索和证明；2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．教具准备直角三角板一个三维目标一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．二、过程与方法1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；3.进行定理基本应用的实践操作．三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．教学过程导入新课师如右图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动．师思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？生显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大．师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系．如右图，在Rt △ABC 中，设BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有c a =sin A ，c b =sin B ，又sin C =1=c c ,则c simCc B b A a ===sin sin .从而在直角三角形ABC 中，simCcB b A a ==sin sin . 推进新课[合作探究]师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图，当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =A sin B =B sin A ,则B b A a sin sin =，同理，可得BbC c sin sin =.从而C c B b A a s i ns i n s i n ==.（当△ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即CcB b A a sin sin sin ==师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作△ABC 的外接圆，在△ABC 中,令BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明CcB b A a sin sin sin ==这一关系．师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在△ABC 中,已知BC =A ,AC =B ,AB =C ,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sin C =sin B′=RcB C 2sin sin ='=∴R Cc2sin =同理,可得RBbR A a 2sin ,2sin ==∴R CcB b A a 2sin sin sin ===这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式CcB b A a sin sin sin ==点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫 [知识拓展师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢生向量的数量积的定义式A ·B =|A ||B |C osθ,其中θ为两向量的夹角师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢生可以通过三角函数的诱导公式sinθ=Co s(90°-θ)进行转化师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j 的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j 垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得=+而添加垂直于的单位向量j 是关键,为了产生j 与、、CB 的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,也就在情理之中了师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用向量法证明过程(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于,则j 与的夹角为-A ,j与的夹角为90°-C由向量的加法原则可得=+为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到j j ∙=+∙)(由分配律可得j j ∙=∙+∴|j|Co s90°Co s(90°-C )=|j|Co s(90°-A∴A sin C =C sin A ∴Cc A a sin sin =另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与AB 的夹角为90°+B ,可得BbC c sin sin =(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与的夹角为90°-C ,j与的夹角为90°-B∴CcB b A a sin sin sin ==(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为A -90°,j 与的夹角为90°-C由=+,得j·=j·即A ·Co s(90°-C )=C ·Co s(A -∴A sin C =C sin A∴CcA a sin sin =另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与夹角为90°+B .同理,可得C cB b sin sin =∴Cc B b simA a sin sin ==（形式1）综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用[教师精讲]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使A =ksin A ，B =ksin B ，C =ksin C ；（2）C cB b A a sin sin sin == 等价于CcA aB bC c B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin === (形式我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题.①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如BAb a sin sin =.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P 4的例1就属于此类问题②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如B baA sin sin =．此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件．一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结［例题剖析］【例1】在△ABC 中，已知A =32.0°,B =81.8°,A =42.9 c m,解三角形分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B ,若求边C ,再利用正弦定理即可解：根据三角形内角和定理， C =180°-(A +B )=180°- 根据正弦定理，b =o oA B a 0.32sin 8.81sin 9.42sin sin =≈80.1(c m)c =osin32.02.66sin 9.42sin sin oA C a =≈74.1(c[方法引导(1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器【例2】在△ABC 中，已知A =20c m ，B =28c m ，A =40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m ）．分析:此例题属于B sin A ＜a ＜b 的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性解：根据正弦定理，sin B =2040sin 28sin oa Ab =因为0°＜B ＜180°，所以B ≈64°或B（1）当B ≈64°时，C =180°-（A +B ）=180°-（40°+64°）=76°，C =ooA C a 40sin 76sin 20sin sin =≈30(c（2）当B ≈116°时，C =180°-（A +B ）=180°-（40°+116°）=24°，C =ooA C a 40sin 24sin 20sin sin =≈13(c[方法引导]通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会变式一：在△ABC 中,已知A ＝60,B ＝50,A ＝38°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A ≥B 这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B 为钝角的情形解：已知B <A ,所以B <A ,因此B 也是锐角∵sin B =6038sin 50sin oa Ab =∴B∴C =180°-(A +B )=180°-∴C =ooA C a 38sin 111sin 60sin sin =[方法引导同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B 所受限制而求出角B 的两个解,进而求出边C 的两个解,也可利用三角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意的解变式二：在△ABC 中,已知A ＝28,B ＝20,A ＝120°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A 为钝角且A >B 的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B 后,利用三角形内角和为180°排除角B 为钝角的情形解：∵sin B =28120sin 20sin oa Ab =∴B ≈38°或B ≈142°(舍去∴C =180°-（A +B ）∴ C =︒︒=120sin 22sin 28sin sin A C a ≈12. [方法引导]此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习：1.在△ABC 中(结果保留两个有效数字)， (1)已知C =3,A =45°,B =60°，求B(2)已知B ＝12,A ＝30°,B ＝120°,求A解：(1)∵C =180°-(A +B )=180°-(45°+60°)=75°，CcB b sin sin =，∴B =︒︒=75sin 60sin 3sin sin C B c(2)∵BbA a sin sin =， ∴A =︒︒=120sin 30sin 12sin sin B A b点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的学生进行在黑板上解答,以增强其自信心 2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到(1)B =11,A =20,B =30°;(2)A =28,B =20,A(3)C =54,B =39,C =115°;(4)A =20,B =28,A解： (1) ∵B bA a sin sin =∴sin A =1130sin 20sin ︒=b B a∴A 1≈65°，A 2当A 1≈65°时，C 1=180°-(B +A 1)=180°-(30°+65°)=85°，∴C 1=︒︒=30sin 85sin 11sin sin sin 1B C b当A 2≈115°时，C 2=180°-(B +A 2)=180°-∴C 2=︒︒=30sin 35sin 11sin sin 2B C b(2)∵sin B =2845sin 20sin ︒=a A b∴B 1≈30°，B 2由于A +B 2=45°+150°＞180°,故B 2≈150°应舍去(或者由B ＜A 知B ＜A ,故B 应为锐角∴C =180°-(45°+30°)=105°∴C =︒︒=45sin 105sin 28sin sin A C a(3)∵Cc B b sin sin =∴sin B =54115sin 39sin ︒=c C b∴B 1≈41°,B 2由于B ＜C ,故B ＜C ,∴B 2≈139°应舍去 ∴当B =41°时，A =180°-A =︒︒=115sin 24sin 54sin sin C A c(4) sin B =20120sin 28sin ︒=a A b =1.212＞∴本题无解点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍课堂小结通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形布置作业（一）课本第10页习题1.1 第1、2题（二）预习内容：课本P 5～P 8余弦定理 [预习提纲(1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识 (2)余弦定理如何与向量产生联系(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题正弦定理1.正弦定理证明方法: 3.利用正弦定理,能够解决两类问题:CcB b A a sin sin sin == (1)平面几何法已知两角和一边(2)向量法 (2)已知两边和其中一边的对角。