组合数学第四章Pólya定理
组合数学课件-第四章第三节波利亚(Polya)定理
波利亚定理的重要性
波利亚定理在几何学中有着广泛的应 用，它可以帮助我们解决一些与图形 和空间有关的问题。
例如，在几何图形中，我们可以通过 应用波利亚定理来判断一个点是否在 某个区域内，或者判断一个封闭曲线 是否与某个区域相交。
第二步
根据已知条件和数学原理，推导出与结论 相关的中间结论，这是证明的关键环节。
B
C
第三步
通过逻辑推理和数学推导，逐步推导出最终 结论，这一步需要严谨的逻辑推理和精确的 数学表达。
第四步
对推导出的结论进行验证，确保其正确性和 可靠性，这一步也是证明的重要环节。
D
定理证明的结论
波利亚定理的证明结论是：在一定条件下，一个数学问题可 以通过逐步转化和化简，最终转化为一个更简单或更易于解 决的问题，从而找到问题的解。
03
多变量版本的波利亚定理
该定理将单变量版本的波利亚定理扩展到多变量函数，提供了解决多变
量问题的新工具。
定理在其他数学领域的应用
在几何学中的应用
波利亚定理在几何学中有着广泛的应用，例如在计算几何形状的 面积和体积，解决几何问题等方面。
在组合数学中的应用
波利亚定理在组合数学中有着重要的应用，例如在解决组合问题、 计数问题、排列问题等方面。
B
C
波利亚定理的证明方法有多种，其中最常用 的是数学归纳法。
波利亚定理在数学教育中也具有重要意义， 它有助于培养学生的逻辑推理能力和数学思 维能力。
D
对波利亚定理的展望
随着数学的发展，波利亚定理的应用范围将不断扩大， 将有更多的数学问题可以通过波利亚定理得到解决。
polya 定理
polya 定理
Polya定理是一种组合数学定理，它描述了一个物体在旋转，翻转和旋转翻转下的不动点数量。
利用Polya定理，我们可以解决许多计数问题，例如计算一组颜色不同的方块，以不同的方式放置在一个正方体的六个面上，这样每个面都有至少一个方块。
在这个问题中，我们可以使用Polya定理计算不同的方案数。
Polya定理的基本思想是计算一个群在不同置换下的不动点数量。
具体来说，它包括三个步骤：
1.确定置换群：找到代表群的一组置换。
2.计算循环指数：对于每个置换，计算它的循环指数。
3.应用Polya定理：将循环指数代入Polya定理的公式中，以计算不动点的总数。
Polya定理的应用非常广泛，包括颜色方块问题、组合拼图问题、染色问题等。
它是组合数学的基础，对于解决实际问题具有重要意义。
- 1 -。
组合数学第四篇
证 (1)C1(2) C…2 (n) C即n
1个 2个
n个
_∧_
_∧_
____∧____
/\
/\
/
\
(·)…(·)(··)…(··)… (·…·)…(·…·)
\______ ______/ \/
C1个
\________ ________/ \/
C2个
\________ ________/ \/
Cn个
令 P={p1,p2,…,pm},(是集合不一定是群.)
令解G)ii=≠Zj,kGpi∩i,i=G1j=,2Φ,…. G,m1+.GG2i包+…含·+G于m·G包(G含·关于于GZ.k的陪集分
-1
另一方面，任意P∈G. k→Paj→Pkj
PPj ∈-1 Zk,
P∈ZkPj=Gj.
4.4 Burnside引理
(2)k不动置换类 设G是[1,n]上的一个置换群。G≤Sn.
K∈[1,n]G中使k保持不变的置换全体，称 为k不动置换类，记做Zk.
4.4 Burnside引理
定理 置换群G的k不动置换类Zk是G的一个
子群。
封闭
性：k→k→k,k P1 P2 k. P1P2 结合性：自
然。
有单位元：G的
单位元属于Zk.
含目标集元素k的在G作用下的等价类也 称为含k的轨道。
4.4 Burnside引理
定理 设G是[1,n]上的一个置换群，Ek是[1,n]在G 的作用下包含k的等价类(轨道)，Zk是k不动置换 类。有|Ek||Zk|=|G|.
证 设|Ek|=m,Ek={a1(=k),a2,…,am},于是存在pi满足 a1→pi ai,i=1,2,…,m.
Pólya原理及其应用
Pólya原理及其应用Pólya原理是组合数学中，用来计算全部互异的组合状态的个数的一个十分高效、简便的工具。
下面，我就向大家介绍一下什么是P ólya原理以及它的应用。
请先看下面这道例题：【例题1】对2*2的方阵用黑白两种颜色涂色，问能得到多少种不同的图像？经过旋转使之吻合的两种方案，算是同一种方案。
【问题分析】由于该问题规模很小，我们可以先把所有的涂色方案列举出来。
一个2*2的方阵的旋转方法一共有4种：旋转0度、旋转90度、旋转180度和旋转270度。
(注：本文中默认旋转即为顺时针旋转) 我们经过尝试，发现其中互异的一共只有6种：C3、C4、C5、C6是可以通过旋转相互变化而得，算作同一种；C7、C8、C9、C10是同一种；C11、C12是同一种；C13、C14、C15、C16也是同一种；C1和C2是各自独立的两种。
于是，我们得到了下列6种不同的方案。
但是，一旦这个问题由2*2的方阵变成20*20甚至200*200的方阵，我们就不能再一一枚举了，利用Pólya原理成了一个很好的解题方法。
在接触Pólya原理之前，首先简单介绍Pólya原理中要用到的一些概念。
群：给定一个集合G={a,b,c,…}和集合G上的二元运算，并满足:(a) 封闭性：∀a,b∈G, ∃c∈G, a＊b=c。
(b) 结合律：∀a ,b ,c ∈G , (a ＊b )＊c=a ＊(b ＊c )。
(c) 单位元：∃e ∈G , ∀a ∈G , a ＊e =e ＊a =a 。
(d) 逆元：∀a ∈G , ∃b ∈G , a ＊b =b ＊a =e ，记b =a -1。
则称集合G 在运算＊之下是一个群，简称G 是群。
一般a ＊b 简写为ab 。
置换：n 个元素1,2,…,n 之间的一个置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a n2121表示1被1到n 中的某个数a 1取代，2被1到n 中的某个数a 2取代，直到n 被1到n 中的某个数a n 取代，且a 1,a 2,…,a n 互不相同。
组合数学之母函数形式Polya定理及其应用
母函数形式Polya定理的应用场景
排列组合问题
母函数形式Polya定理可以应用于 排列和组合问题的计数，通过求 解代数方程得到组合数的通Polya定理可以应用于 生成函数的研究，通过求解代数 方程得到序列的通项公式。
离散概率论
母函数形式Polya定理可以应用于 离散概率论的研究，通过求解代 数方程得到概率分布的通项公式。
后续研究
自Polya定理提出以来，许多数学家对其进行了深入研究 和完善，进一步拓展了其在组合数学中的应用。
Polya定理的重要性
组合计数问题的解决
Polya定理为解决复杂的组合计数问题提供了一种有效的方法。通过使用该定理，可以快 速计算出满足一组约束条件的解的个数。
数学其他领域的应用
Polya定理不仅在组合数学中有广泛应用，还涉及到其他数学领域，如概率论、统计学和 图论等。该定理在这些领域中的应用有助于解决一系列复杂的问题。
04
Polya定理的应用
在组合数学中的应用
1 2
组合计数
Polya定理可以用于解决组合计数问题，例如计 算给定集合的所有子集的数量或排列的数量。
组合优化
在组合优化问题中，Polya定理可以用于寻找最 优解，例如在旅行商问题中寻找最短路径。
3
组合概率
在概率论中，Polya定理可以用于计算事件的概 率，例如计算多项式系数或排列组合的概率。
计数问题
组合数学中的计数问题通常涉及到在给定条件下，计算满足特定要求的元素个数。
Polya定理的历史背景
母函数的发展
母函数理论的发展可以追溯到18世纪，当时数学家开始研 究组合计数问题。随着时间的推移，母函数逐渐成为组合 数学中一个重要的分支。
Polya定理的提出
离散帕斯瓦尔定理
离散帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理（Pólya定理）是数学上的一个重要定理，它的英文名称叫做Pólya’s Theorem，也有人叫做离散帕斯瓦尔定理（Discrete Pólya Theorem）。
它是由犹太裔瑞士数学家George Pólya在1945年末发布的，它有助于我们深入地理解数学中的“递推”（Recursively）过程。
帕斯瓦尔定理声称，对于某一系列数学表达式，若计算其值后可达到给定的边界值，则这一系列数学表达式称为“可递推”（Recursive）。
这就是说，如果某一系列数学表达式的值能够从一个“可递推”系列中求出，则这一系列数学表达式的值也可以从“可递推”系列中求出。
迪恩布雷兹科夫（D. B. Kervick）把帕斯瓦尔定理抽象成以下形式：假定有一个可递推系列E，其中E1是一个给定的常数，若存在一个n > 1，使得En = g(En-1,…,E1)，则系列E是可递推的。
在实际应用中，帕斯瓦尔定理可以用来解决一些复杂的问题，其中包括搜索、路径搜索、优化、排序和图论等。
在搜索问题中，帕斯瓦尔定理可以用来求解某一特定的目标状态，比如一个最优的棋局。
在路径搜索问题中，它可以用来找到一条从某一节点到另一节点的最短路径。
另外，在优化问题中，它可以用来解决旅行商问题，在排序问题中，它可以用来求解某一特定的序列。
最后，在图论问题中，它可以用来求解多种图理论问题，比如最小生成树和最短路径等。
总的来说，帕斯瓦尔定理是一个非常强大的数学定理，它可以用来解决一些复杂的问题，并且还可以帮助我们深入理解数学中的问题。
此外，帕斯瓦尔定理同样可以用来解决“时间-复杂度”问题，即如何在更短的时间内完成更多的计算工作，从而节省时间和资源。
帕斯瓦尔定理是非常有价值的，它不仅可以帮助我们解决复杂的数学问题，而且还可以作为一种计算机编程技术，帮助我们更有效地解决实际问题。
希望未来的科学家们能够持续深入研究这一系列数学定理，将它们合理地运用到社会生活中，从而让我们的生活更加便捷和舒适。
组合数学(第二版)波利亚(Pólya)定理
波利亚(Pólya)定理
图 6.2.3 十五子智力游戏
波利亚(Pólya)定理
波利亚(Pólya)定理
定理 6.2.6
当n≥2时,Sn 中偶置换的全体构成一个n!/2阶
的子群,称为交代群,记为An.
证 先证An 为群.
(1)封闭性:设p1,p2∈An,显然p1p2∈An,因为将二者分解的
结果相乘,仍得偶数个对换的乘积.
波利亚(Pólya)定理
6.3.3 等价类
定义 6.3.4 设G 是集S={1,2,…,n}上的置换群,若存在
i,j∈S ,满足p(i)=j, 则称i与j等价,记为i~j,S 中与i等价的元素的
全体记为Ei,称为元素i的“轨迹”或 “踪迹”.Ei 中元素的个
数称为轨迹的长度．
不难看出,元素i与j的这种等价关系满足如下三条性质:
关于普通乘法不存在单位元.而在 Z、Q、R、C中,虽然关于
普通乘法有单位元1,但数0没有逆元.
波利亚(Pólya)定理
波利亚(Pólya)定理
波利亚(Pólya)定理
6.1.2 群的性质
定理 6.1.1 群具有以下性质:
(1)单位元e唯一;
(2)逆元唯一;
(3)满足消去律:即对a,b,c∈G,若ab=ac,则b=c;若ba=ca,则
【例 6.3.3】 将S3 按共轭情况分类的结果见表6.3.1
波利亚(Pólya)定理
【例 6.3.4】 4次置换群
G={(1)(2)(3)(4),(12),(34),(12)(34)},共有3个 共轭类:
其中第2类含2个置换
波利亚(Pólya)定理
定理 6.3.1 在n 元对称群Sn 中,
证 设置换p 为(λ1,λ2,…,λn)型,将p 用轮换表示为
(完整word版)组合数学第四版卢开澄标准答案-第四章
习题四4。
1。
若群G的元素a均可表示为某一元素x的幂,即a= x m，则称这个群为循环群.若群的元素交换律成立，即a , b G满足a b = b a则称这个群为阿贝尔(Abel）群，试证明所有的循环群都是阿贝尔群。
［证］.设循环群（G，)的生成元是x0ÎG。
于是,对任何元素a ，b G，m,nÎN，使得a= x0m , b= x0n，从而a b = x0m x0n= x0m +n (指数律)= x0n +m (数的加法交换律)= x0n x0m(指数律)= b a故运算满足交换律；即(G, )是交换群.4.2。
若x是群G的一个元素,存在一个最小的正整数m，使x m=e，则称m为x的阶，试证：C={e，x，x2, ，x m—1}是G的一个子群。
［证].(1)非空性C ：因为eÎG；（2）包含性C G:因为xÎG，根据群G的封闭性，可知x2, ，x m—1,(x m=)eÎG,故C G；（3)封闭性 a , b C a b C: a , b C，k，lÎN (0k〈m，0l〈m),使a = x k，b = x l，从而a b = x k x l = x(k+l）mod m C(因为0 （k+l) mod m〈m) ；(4)有逆元 a C a —1C： a C，kÎN (0k<m)，使a = x k, 从而a -1= x m—k C（因为0 m-k < m）。
综合（1) (2）(3) (4），可知(C, )是(G, )的一个子群.4.3。
若G是阶为n的有限群，则G的所有元素的阶都不超过n。
[证］。
对任一元素xÎG，设其阶为m，并令C={e,x，x2，，x m-1},则由习题4.2.可知（C, )是（G, ）的一个子群，故具有包含性C G。
因此有m = ｜C｜£｜G｜= n所以群G的所有元素的阶都不超过n。
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群的基本性质
(a)单位元唯一 e1e2=e2=e1 (b)消去律成立 ab=ac → b=c, ba=ca → b=c (c)每个元的逆元唯一 aa-1=a-1a = e, ab = ba = e , aa-1= ab , a-1= b (d) (ab….c)-1 =c-1…b-1a-1. c-1…b-1a-1ab…c = c-1…b-1eb…c=e
[证 ] (1)封闭性 (2)单位元 (3)逆元 (i k)-1=(i k) 设p=(i1 j1)(i2 j2)…(ik jk),则p-1=(ik jk)…(i1 j1) 令Bn=Sn-An, |Bn|+|An|=n!, 则(i j) Bn包含于An,因此,|Bn|≤|An|， (i j) An包含于Bn |An|≤|Bn| ∴|An|=|Bn|=(n!)/2
4.1 群的概念
= cosacosb-sinasinb sinacosb+cosasinb -sinacosb-cosasinb cosacosb-sinasinb = cos(a+b) sin(a+b) =Ta+b -sin(a+b) cos(a+b) 从而有(a)封闭性; (b)结合律成立： (TαTβ)Tγ = Tα(TβTγ) = TαTβTγ ; (c)有单位元： 0 有逆元：Ta =T-a T0 = ; 1 (d)
[定理]任一循环都可以表示为对换的积。
• (1 2 …n)=(1 2)(1 3)…(1 n)=(2 3)(2 4)…(2 n)(2 1)表示不唯一。 • 任一置换表示成对换的个数的奇偶性是 唯一的. • 置换分成两大类：奇置换与偶置换。 • 循环长度减1的奇偶性即置换奇偶性。
[定理]Sn中所有偶置换构成一阶为(n!)/2的子群称 为交错群，记做An.
4.2 置换群
• 置换群是最重要的有限群，所有的有限 群都可以用之表示。 • 置换：[1,n]到自身的1-1变换。n阶置换。 2 … n ), a1a2…an是[1,n]中 [1,n]目标集。( a1 1 a2 … an 元的一个排列。n阶置换共有n!个，同一 置换用这样的表示可有n!个表示法。例 1234 3142 如 p1=( 3 1 2 4 )=( 2 3 4 1 )，n阶置换又可看 作[1,n]上的一元运算，一元函数。
Sn中P的循环格式(1)C1(2)C2…(n)Cn,
例如,S3中置换(1)(2)(3)的格式为132030: 1· 3+2· 0+3· 0=3 S4中置换(124)=(124)(3)与(132)的格式均为 11203140:1· 1+3· 1=4 • 定义 Sn中有相同格式的置换全体构成 一个共轭类。
4.3循环、奇循环与偶循环
(a1a2…am)= 称为置换的循环表示。 • 于是 =(1 4 5 2 3), =(1 3 2)(4 5), =(1 5 4)(2)(3). • (a1a2…am)=(a2a3…ama1)=…=(ama1…am-1)有m种 表示方法。 • 若两个循环无共同文字，称为不相交的，不相 交的循环相乘可交换。如(1 3 2)(4 5)=(4 5)(1 3 2). • 若P=(a1a2…am),则Pn=(1)(2)…(n)=e.
1
a· a·…· a=a (共n个a相乘).
n
2
n
4.1 群的概念
(2) 简单例子 例 G={1,-1}在普通乘法下是群。 例 G={0,1,2,…,n-1}在mod n的加法下是群. 例 二维欧氏空间所有刚体旋转T={Ta}构 成群。其中Ta = cosa sina -sina cosa TbTa= cosb sinb cosa sina -sinb cosb -sina cosa
[定理1]Sn中属(1)C1(2)C2…(n)Cn共轭类的元 的个数为
[证](1)C1(2)C2…(n)Cn 一个长度为k的循环有k种表示，Ck个 长度为k的循环有Ck!kCk种表示.1,2,…,n的全排列共有n!个， 给定一个排列，装入格式得一置换，除以前面的重复度得 个不同的置换. [例1]S4中(2)2共轭类有4!/(2!22)=3 (1)1(3)1共轭类有4!/(1!3!1131)=8 (1)2(2)1共轭类有4!/(1!2!1221)=6
(2) k不动置换类
设G是[1,n]上的一个置换群。G≤Sn. K∈[1,n] G中使k保持不变的置换全体，称为k不动 置换类，记做Zk.
[定理]置换群G的k不动置换类Zk是 G的一个子群。
封闭性： , . 结合性：自然。 有单位元：G的单位元属于Zk. 有逆元：P∈Zk, ,则 ,P-1∈Zk. ∴Zk是G的子群.
(3)等价类
• 例:G={(1)(2)(3)(4),(12),(3 4),(1 2)(3 4)}.在G下， Z1=Z2={e,(3 4)}, Z3=Z4={e,(1 2)}. 对于A4, Z1={e,(2 3 4),(2 4 3)},Z2={e,(1 3 4),(1 4 3)} Z3={e,(1 2 4),(1 4 2)},Z4={e,(1 2 3),(1 3 2)} 一般[1,n]上G将[1,n]分成若干等价类，满足等价类的3 个条件.(a)自反性;(b)对称性;(c)传递性。 • 一个由G定义的关系R： 若存在p∈G,使得k→jp则称kRj.显然kRk；kRj则jRk； kRj,jRm则kRm。R是[1,n]上的一个等价关系。将[1,n] 划分成若干等价类。k所属的等价类是k在G作用下的” 轨迹”形成的一个封闭的类，记作Ek。
[例]一副扑克牌，一分为二，交错互相插入(洗 牌)，这样操作一次相当于一个置换p。
i 1 , i 1,3,...,51. 2 p i i 26, i 2, 4,...,52 2
p8=e 2阶循环叫做对换。
p=(2 27 14 33 17 9 5 3) (4 28 40 46 49 25 13 7) (6 29 15 8 30 41 21 11) (10 31 16 34 43 22 37 19) (12 32 42 47 24 38 45 23) (20 36 44 48 50 51 26 39) (18 35)(52)
4.4 Burnside引理
• (1)共轭类 先观察S3,A3,S4,A4,以增加感性认识。 S3={(1)(2)(3),(12),(23),(13),(123)(132)}. A3={(1)(2)(3),(123),(132)}. S4={(1)(2)(3)(4),(12),(13),(14),(23),(24),(34), (123),(124),(132),(134),(142),(143),(234),(243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432), (12)(34),(13)(24),(14)(23)}. A4={(1)(2)(3)(4),(123),(124),(132),(134),(142), (143),(234),(243),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}.
1
4.2 置换群
• 任一n阶群同构于一个n个文字的置换群。 设G={a1,a2,…,an}，指定G中任一元ai, 任 意aj∈G，Pi：aj → aj ai ，则Pi是G上的一 个置换，即以G为目标集。 a1 a2 … an Pi=( a1ai a2ai … anai )， G的右正则表示f： a i ai→( aai)=Pi。f是单射：ai≠aj，则Pi≠Pj a1 a2 … an f(aiaj) = ( a1(aiaj) a2(aiaj) … an(aiaj) ) a1 a2 … an 1 a2 … an =( a1ai a2ai … anai )((a1a ai)aj (a2ai)aj … (anai)aj )=f(ai)f(aj) ai )|a,ai∈G},则P≈G 令P={Pi=( aa i
1234 P1=( 3 1 2 4 ),P2=( 1234 3 1 2 4 )=( )( 3124 2431 1234 4321 1234 2431
) )
P2P1=(
1234 4321
)(
4321 4213
)=(
1234 4 2 3 1 )≠P1P2.
4.2 置换群
• (1)置换群 [1,n]上的所有n阶置换在上面的乘法定 义下是一个群。 1 2… n a a …a 2… n ) (a)封闭性 ( a a … a )(b b … b )=( 1 b b …b a a …a 1 2 … n b …b (b)可结合性 ((a a … a )( b b … b ))(b c c …c ) 2 … n )=( 1 2 … n )(( a a … a )( b b … b )) =( 1 a a …a c c …c c c …c b b …b 2…n (c) 有单位元 e=(1 1 2 … n) 2 … n )-1=( a a … a ) (d) ( 1 1 2… n a a …a
[定理]任一置换可表成若干不相交 循环的乘积。
[证]对给定的任一置换P= ， 从1开始搜索 得一循 环 ,若 包含了[1,n]的所有文字，则命题成 立。否则在余下的文字中选一个，继续 搜索,又得一循环。直到所有文字都属于 某一循环为止。 因不相交循环可交换， 故除了各个循环的顺序外，任一置换都 有唯一的循环表示。
4.1 群的概念
(e) G有限，a∈G，则存在最小正整数r，使 得ar= e.且a-1= ar-1. 证 设|G|=g,则a,a2,…,ag,ag+1∈G,由鸽巢原理 其中必有相同项。设am=al, 1≤m＜l≤g+1, e=al-m ,1≤l-m≤g，令l-m=r.则有ar=ar-1a=e.即ar1=a-1.既然有正整数r使得ar=e,其中必有最小 者，不妨仍设为r. r称为a的阶。易见 H={a,a2,…,ar-1,ar=e}在原有运算下也是一个 群。