GIS概论2地理空间数学基础

高斯—克吕格投影（Gauss-Kruger Projection ）
•横轴圆柱投影
•x •y
•高斯-克吕格投影原理图
高斯—克吕格投影（Gauss-Kruger Projection）
•高斯投影特征： ➢ 中央经线和赤道投影为互相垂直的直线，且为投影 的对称轴 ➢ 投影后无角度变形，即保角投影 ➢ 中央经线无长度变形 ➢ 同一条经线上，纬度越低，变形越大，赤道处最大 同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大； ➢为了保证地图的精度，采用分带投影方法，即将投 影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限 度，这样把许多带结合起来，可成为整个区域的投影 ➢ 在6°带范围内，长度变形线最大不超过0.14%
• （2）80年西安坐标系 78年4月召开“全国天文大地网平差会议”建立80年西安坐标系，
其原点在西安西北的永乐镇，简称西安原点。椭球体参数为75年 国际大地测量与地球物理联合会第16界大会的推荐值。 • （3）新54年北京坐标系
将全国大地网整体平差的结果整体换算到克拉索夫斯基椭球体上 ，形成一个新的坐标系，称为新54年北京坐标系，它与80年国家 大地坐标系的轴定向基准相同，网的点位精度相同。 • （4）WGS84坐标系
•3)、我国大部分省区图以及大多数这一比例尺的地图也多采用 Lambert投影和属于同一投影系统的Albers投影(正轴等面积割 圆锥投影)；
•4)、Lambert投影中，地球表面上两点间的最短距离(即大圆航 线)表现为近于直线，这有利于地理信息系统中空间分析量度的 正确实施。
大中比例尺地图
对于大中比例尺地图，一般来说大多 数都采用地形图的数学基础—高斯－克吕格投 影，尤其是当比例尺为国家基本地形图比例尺 系列时，可直接判定为高斯－克吕格投影。其 原因是，这些比例尺和基本地形图比例尺相一 致，编图时，选用地形图的数学基础，既免去 了重新展绘数学基础的工序，而且能够保持很 高的点位精度。
中国曾经用过的椭球体
•●我国1952年以前采用Hayford椭球体；
•●1953年开始采用克拉索夫斯基椭球体；
•●上世纪70年代末建立新的80坐标系时， 采用IUGG（国际大地测量与地球物理联合会 ）椭球体；
•●1984年定义的世界大地坐标系（WGS84） 使用的椭球体长、短半径则分别为6378.137 和6356.7523，扁率为1：298.26。
地图投影的分类、常用地图投影简介
空间坐标转换
空间尺度
比例尺、分辨率
地理格网
比例尺
地理格网标准、区域划分标准、国家基本 地形图标准
3、地图投影 •①、什么是地图投影？ •②、坐标系 •③、地图投影的分类 •④、如何区分等角、等面积、任意投影 ？
•⑤、中国地图投影的采用方式 •⑥、常见的地图投影
• 简单地讲：地什图么投是影地的图实投质影是？将地球椭球面上的 经纬网按照一定的数学法则转移到平面上。
高斯—克吕格投影（Gauss-Kruger Projection ）
高斯－克吕格投影是由高斯于19世纪20年代拟定， 后经克吕格补充而形成的一种地图投影方式。在英美国家称为 横轴墨卡托投影
属于横轴等角切圆柱投影。这种投影是将椭圆柱 面套在地球椭球的外面，并与某一子午线相切（此子 午线叫中央子午线或中央经线），椭圆柱的中心轴通 过地球椭球的中心，然后用等角条件将中央子午线东 西两侧各一定经差范围内的地区投影到柱面上，并将 此柱面展成平面，即获得高斯投影
• 具体来说：由于球面上一点的位置是用地理坐标 表示，而平面上是用直角坐标或者极坐标表示，所以 要想将地球表面上的点转移到平面上，必须采用一定 的数学方法来确定地理坐标与平面直角坐标或极坐标 之间的关系。
• 这种在球面和平面之间建立点与点之间函数关系 的数学方法，称为地图投影。
坐标系
•选定了一个一定大小的椭球体，并确定了它与 大地水准面的相关位置，就确定了一个坐标系。
基于投影面与球面的分类
•4、地图投影——地图投影的变形
• 用地图投影的方法将球面展开为平面，虽 然可以保持地域上的联系和完整性，但它们与 球面上的经纬度网线形状并不一致。即投影后 ，地图上的经纬度网线发生了变形，同样根据 地理坐标展绘在地图上的各种要素，也必然随 着变形。
•4、地图投影——地图投影的变形
等角割圆锥投影）。我国常用的地图投影的情况为：
•1)、我国基本比例尺地形图(1：100万、1：50万、1：25万、1 ：10万、1：5万、1：2.5万、1：1万、1：5000),除1：100万外 均采用高斯—克吕格投影为地理基础；
•2)、我国1：100万地形图采用了Lambert投影，其分幅原则与 国际地理学会规定的全球统一使用的国际百万分之一地图投影 保持一致。
地图投影变形的图解示例 （摩尔维特投影－等积伪圆柱投影） •长度变形 •角度变形
地图投影变形的图解示例
（UTM－横轴等角割圆柱投影）
•面积变形和长度变形
•4、地图投影——地图投影的变形
•地图投影的变形示意
区分等角、等面积、任意投影
•形状不变
•地图投影——地图投影的分类
•圆柱投影 •方位投影 •圆锥投影
地图投影的目的
•地图投影的目的：
• 是通过将不可展的球面投影到一个 可展曲面上，然后将该曲面展开成为一个 平面，来保证空间信息在地域上的连续性 、完整性和可测度性。
地图投影的分类
• 根据美国著名地图投影学家J.P.Snyder统计， 全世界地图投影种类现有256种，依据不同的目的和 要求，可以采用不同的分类指标对如此繁多的地图 投影进行分类。 • 分类1：基于投影面与球面相关位置的分类； • 分类2：基于投影方法的分类； • 分类3：基于投影方程的分类； • 分类4：基于投影变形的分类。
长半径 a（赤道半径） 短半径 b（极半径） 扁 率 ε=(a-b)/a 第一偏心率 e2=(a2- b2)/ a2 第二偏心率 e`2=(a2- b2)/ b2我国使用的椭球源自••克拉索夫斯基椭球体
IAG75椭球体
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WGS84椭球体
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•
•
我国的大地坐标系和高程系 1954年北京坐标系 1980年国家大地坐标系——西安原点 GPS测量数据 1956年黄海高程系 1985年国家高程基准
在GPS定位中，定位结果属于WGS84坐标系，坐标系原点位于质心 ，Z轴指向BIH1984.0协议地极（CTP）。
•定位坐标系：高程系统
•高程系统 • 1、定义：地面任一点沿基准线到基准面的距离。某点沿铅 锤线方向到达大地水准面的距离称之为该点的绝对高程或海拔 高 • 2、高差：地面两点对应高程之差。
正轴等角割圆锥投影（Lambert投影）
这种投影是将一圆锥面套在地球椭球外面，将地 球表面上的要素投影到圆锥面上，然后将圆锥面沿某 一母线（经线）展开，即获得Lambert投影。
•这种投影中，经线为交于一点 的直线束，纬线为同心圆圆弧， 圆心即直线束的交点经线呈辐射 状，为纵向直线，纬线近似于弧 形，与经线正交 •适用于1：100万（包括1：100 万）以上地形图
•定位坐标系：平面系统
•直接建立在球体上的地理坐标，用 经度和纬度表达地理对象位置
•建立在平面上的直角坐标系统，
用（x，y）表达地理对象位置
•投影
3.2.2 大地坐标系
• （1）54年北京坐标系 在东北黑龙江边境上同苏联大地网联测，通过大地坐标计算，推 算出北京点的坐标，北京坐标系是苏联42年坐标系的延伸，其原 点在苏联普尔科沃。
•3、1956年黄海高程系 •4、1985国家高程基准
2、地理要素的定位系统
•为了确定地理要素的位置，需要确定其定位系统：
•1、球面定位系统——地理坐标(L、 B)
•大地原 点
•2、平面定位系 统
•现实世界是三 维
•水准原
•？
•①为什么要把球面的转换为平面的点 ？
•②怎么把球面的转换为平面的？
为什么要进行地图投影？
•不规则性、相对唯一性
•标准数学曲面 •1952：海福特椭球 •1953：克拉索夫斯基椭球 •1978：1975年国际椭球
• 2、地球空间模型描述 ——地理空间数学建模
地球椭球体模型：以大地水准面为基准 建立的。地球的形状接近于椭圆绕其短轴 形成的椭球体，通过扁率表示椭球体的扁 平程度。大地水准面与具有微小扁率的旋 转椭球面非常接近，可用旋转椭球体代替 大地球体。
• 2、地球空间模型描述 ——地理空间数学建模
•地球椭球体模型
•c
•b •a
•三轴椭球体模型
•x •2a2
•+
•y 2•b2•+
•z 2•c2
•=
1
•双轴椭球体模型（旋转椭球体）
•x •2a2
•+
•y 2•b2•+
•z 2•a2
•=
1
•其他椭球体模型：根据a、b、c的不同
•如：克拉索夫斯基椭球体
椭球体参数 • • • • •
•这种变形使得地理要素的几何特性受到破坏：
长度变形：地球仪上，纬线长度不等；同一纬 线上，经差相同，纬线长度相同；同一经线上， 纬差相同而经线长度不同；所有经线长度相等。 面积变形：地球仪上，同一纬度带内，经差相 同的网格面积相等；同一经度带内，纬度越高， 面积越小。 角度变形：地球仪上，经线与纬线处处呈直角 相交。
☺将地球椭球面上的点映射到平面上的方法 ，称为地图投影。
1、地理坐标为球面坐标，不方便进行距离 、方位、面积等参数的量算。
2、地球椭球体为不可展曲面。
3、地图为平面，符合视觉心理，并易于进 行距离、方位、面积等量算和各种空间分析 。
地球空间地参理考空间数学基础
地球椭球体、大地水准面、投影
空间数据投影
---投影分带
• 在高斯克吕格投影上，规定以中央经线为X轴， 赤道为Y轴，两轴的交点为坐标原点。 • X坐标值在赤道以北为正，以南为负；Y坐标值 在中央经线以东为正，以西为负。我国在北半球， X坐标皆为正值。Y坐标在中央经线以西为负值，运 用起来很不方便。为了避免Y坐标出现负值，通常 将各带的坐标纵轴西移500公里，即将所有Y值都加 500公里。