求一次函数的表达式
待定系数法求一次函数表达式
∴ 函数的解析式为 y= 0.2x ＋8 (-20≤x≤100)
变式2 ：求下图中直线的函数表达式
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. ∵y=kx+b的图象过点（0，3）与（1，0）.
y
∴ b=3 k+b=0
解得 k=-3 b=3
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练习1：已知一次函数的图象经过点(1,5)与 （-1，－1）.求这个函数的表达式。 解 ： 设这个一次函数的表达式为y=kx+b （k≠0）. ∵根据题意，得： k+b=5 -k+b=-1 解得 k=3 b=2
∴这个一次函数的解析式为y=3x+2
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变式1：已知一次函数y=kx+b，当x=1时， y=1，当x=2时，y=3.求这个一次函数的解 析式。
• • • •
例3、已知温度计中水银（或酒精）柱的高度y（厘
米）是温度x（℃）的一次函数。某型号的实验用水银 温度计能测量-20℃至100℃的温度，当温度为10℃时水 银柱高10厘米；温度为50℃水银柱高18厘米。求这个函 数的表达式。
y=kx+b(k≠0) , 解： 设这个函数的表达式为_______________
k
b
步骤概括： 设、 代、 求、写 注意：对于是实际问题时所求的结果还得考虑自
变量的取値范围。
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思考1：已知一次函数y=kx+b 的图象 与y=2x平行且过点(2,-1).求这个函数 x=5时的函数值.
∵ y=kx+b 的图象与y=2x平行. 解：
∴ k=2 ∴
∴ y=2x-b
b=-5
17.3.4 求一次函数的表达式
一次函数呢？
K、b 的值
总结：在确定函数表达式时，要求几个系数 就需要知道几个点的坐标。
第第十十三三页页，，编编辑辑于于星星期期五六：：二十十七三点点四二十十分三。分。
小结
求函数解关系的一般步骤是怎样的呢？
可归纳为：“一设、二列、三解、四写”
二、探求新知
形成概念
像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中 未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待
定系数法．
函数解析式和函数图象如何相互转化呢？
第六第页六，编页辑于，星编期五辑：于二十星三点期二六十三：分十。 七点 四十分。
二、探求新知
揭示规律
从数到形
函数解析式 选取 满足条件的
（1）求整齐摆放在桌面上的碗的高度y(cm)与碗的个数x(个)之间的函数
关系式；（y与x成一次函数关系）
（2）把这两摞碗整齐地摆成一摞时，碗的高度是多少？
11cm
14c m
第第十一十页一，页编，辑编于辑星于期五星：期二六十：三十点七二点十三四分十。分。
五、知识升华
2.在弹性限度内，弹簧的长度 y（厘米）是所挂
一、情景引入
我们在画函数y=2x,y=3x-1时，至少应选取几个点？ 为什么？
前面我们学习了给定一次函数解析式，可以说出它的
性质，反过来给出有关的信息，能否求出解析式 呢？
第第三三页页，，编编辑辑于于星星期期五六：：二十十七三点点四二十十分三。分。
二、探求新知
求下图中直线的解析式： 2
1
解：图像是经过原点的直线，因此是正比例函数， 设解析式为y=kx，把(1,2)代入，得k=2，所以解析式为 y=2x.
待定系数法求一次函数表达式
例4：在弹性限度内，弹簧长度y（cm）是所挂物体质量x（g）的一次函 数.已知一根弹簧挂10g物体时的长度为10cm，挂30g物体时的长度 为15cm，试求y与x的函数表达式
Hale Waihona Puke 拓展探究1.已知： y与x成正比例，且当 x=3时 y=7，求y与x的函数解析式．
变式1 ： y与x-1成正比例，且当 x=3时 y=7，求y与x的函数解析式． 变式2 ： y+3与x-1成正比例，且当 x=3时 y=7，求y与x的函数解析式．
（1）求这个函数的解析式 （2）求当x=3时,y的值。
例3：（1）已知y是 x的一次函数，当 x=-1时 y=3，当 x =2 时 y=-3， 求y关于 x 的函数解析式．
（2）已知y是 x的正比例函数，当x=2时，y=－4, 求这个函数的解析式.
练：已知y是x的一次函数，又表给出了部分对应值，则m的值是_______．
练：已知：y－1与x成正比例，当x＝1时，y＝3． 写出y与x之间的函数关系式
拓展探究：
2.已知y=y1+y2 ，y1与x成正比例，y2与x-1成正比例，且 x=3时 y=4; x=1时 y=2. 求y与x的函数解析式．
练：已知y=y1+y2 ，y1与x成正比例，y2与x-2成正比例，且 x=-1时 y=2; x=3时 y=-2. 求y与x的函数解析式．
例1：已知一次函数y=kx+b。当x=3时，y= 0；当x=0时，y=-4。 （1）求k，b的值 （2）求当x=2时,y的值
例2：已知正比例函数y=kx，当x=3时，y=4. 求当x=2时，y的值
练1：在一次函数y=kx-3中，当x=3时，y=6。则k= 练2：已知一次函数y=kx+b中，当x=1时，y=3，当x=-1时，y=7。
一次函数的三种表示方法
一次函数的三种表示方法一次函数是数学中最基本的函数之一，它的表达式为y=ax+b，其中a和b为常数，x为自变量，y为因变量。
在实际应用中，我们常常需要对一次函数进行分析和处理，因此了解一次函数的三种表示方法是非常重要的。
第一种表示方法：函数图像函数图像是一次函数最直观的表示方法之一。
我们可以通过绘制函数图像来观察函数的性质和特点。
对于一次函数y=ax+b，我们可以通过画出其图像来观察a和b的取值对函数图像的影响。
当a>0时，函数图像呈现出从左下方向右上方的趋势；当a<0时，函数图像呈现出从左上方向右下方的趋势。
而b则是函数图像在y轴上的截距，它决定了函数图像与y轴的交点位置。
第二种表示方法：斜率截距式斜率截距式是一次函数的另一种常见表示方法。
它的表达式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
斜率表示的是函数图像在x轴上的变化率，它的值等于函数图像在任意一点的切线斜率。
截距则表示函数图像与y 轴的交点位置。
通过斜率截距式，我们可以方便地计算函数的斜率和截距，并且可以通过斜率和截距的取值来判断函数的性质。
第三种表示方法：点斜式点斜式是一次函数的另一种表示方法，它的表达式为y-y1=k(x-x1)，其中k为斜率，(x1,y1)为函数图像上的一点。
点斜式表示的是函数图像在点(x1,y1)处的切线方程。
通过点斜式，我们可以方便地求出函数图像在任意一点的切线方程，并且可以通过斜率的正负来判断函数图像在该点的上升或下降趋势。
综上所述，一次函数的三种表示方法分别是函数图像、斜率截距式和点斜式。
它们各自具有不同的优点和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的表示方法。
通过深入了解和掌握这三种表示方法，我们可以更好地理解和应用一次函数，为实际问题的解决提供有力的数学工具。
求一次函数的表达式
第17章函数及其图象3.—次函数的性质学习目标【知识与技能】1. 掌握一次函数y=kx + b（k工0）的性质.2. 能根据k与b的值说出函数的有关性质.【过程与方法】经历探索一次函数图象性质的过程，感受一次函数中k与b的值对函数性质的影响【情感态度】观察图象，体会一次函数k、b的取值和直线位置的关系，提高学生数形结合能力【教学重点】掌握一次函数y=kx + b（k工0）的性质【教学难点】利用一次函数的有关性质解决有关问题教学过程一、情境导入：1•一次函数的图象是什么形状呢？2. 正比例函数y=kx（k工0）的图象是经过哪一点的一条直线？3. 画一次函数图象时，只要取几点？4. 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象.并说出它们有什么关系.y=4x y=4x + 2【教学说明】对相关知识进行复习，为本节课的教学做准备.二、探究展示：探究：一次函数的性质一21. 在同一直角坐标系中，画出函数y=§x+1和y=3x-2的图象.观察图象，回答下列问题：(1)在你所画的一次函数图象中，直线经过几个象限？2(2)直线y=2x+1的图象上，当一个点在直线上从左向右移动时，(即自3变量x从小到大时)，点的位置也在逐步从低到高变化，那么函数y的值是如何变化的？(3)函数y=3x-2的图象是否也有这种变化？一22. 在同一坐标系中，画出函数y=-x + 2和y=- x-1的图象(图略).3根据上面分析的过程，请同学们研究这两个函数图象是否也有相应的变化？你能发现什么规律？【归纳结论】一次函数y=kx + b有下列性质：⑴当k>0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；(2)当k v0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.【教学说明】通过观察，总结结论.提高学生观察能力和概括能力.三、运用新知，深化理解1. 已知一次函数y=(2m-1)x + m + 5,当m是什么数时，函数值y随x的增大而减小？分析:一次函数y=kx + b(k M0)，若k v 0，则y随x的增大而减小. 解:因为一次函数y=(2m-1)x + m + 5，函数值y随x的增大而减小.1所以，2m-1v 0,即m<—.22. 已知一次函数y=(1-2m)x + m-1,若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限，求m的取值范围.分析：一次函数y=kx + b(k工0),若函数y随x的增大而减小，则k v 0,若函数的图象经过二、三、四象限，贝U k v 0,b v 0.解：由题意得：「1-2m<0I m-1<0,1解得，—<m<123. 已知一次函数y=(3m-8)x + 1-m图象与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数.(1) 求m的值；(2) 当x取何值时，0v y v 4?分析：一次函数y=kx + b(k工0)与y轴的交点坐标是(0,b)，而交点在x轴下方，则b v 0,而y随x的增大而减小，则k v 0.解：⑴由题意得：j 3m-8<01-m<0，8解之得，1<m<-，又因为m为整数,所以m=2.3(2)当m=2 时，y=-2x-1.又由于0v y v4.所以O v-2x-1 v4.5 1解得：-—<x<-—.2 24. 画出函数y=-2x + 2的图象，结合图象回答下列问题：⑴这个函数中，随着x的增大，y将增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？(2)当x取何值时，y=0?⑶当x取何值时，y> 0?分析：(1)由于k=-2 v 0,y随着x的增大而减小.(2)y=0,即图象上纵坐标为0的点,所以这个点在x轴上.(3)y >0,即图象上纵坐标为正的点，这些点在x 轴的上方.-2 -3 -4解:⑴由于k=-2 v 0,所以随着x 的增大，y 将减小.当一个点在直线上从左向 右移动时，点的位置也在逐步从高到低变化，即图象从左到右呈下降趋势.⑵当x=1时,y=0.(3) 当 x v 1 时,y >0.【教学说明】通过实际问题的应用，加深学生对本节知识的巩固.提高学生解决问题的能四、归纳拓展：1. (1)当k >0时，y 随x 的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；(2)当k v 0时，y 随x 的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.当b>0,直线与y 轴交于正半轴；当b v 0时，直线与y 轴交于负半轴；当b=0时，直线与y 轴交于坐标原点.2. k >0,b >0时，直线经过一、二、三象限；k >0,b v 0时，直线经过一、三、四象限；k v 0,b >0时，直线经过一、二、四象限；k v 0,b v 0时，直线经过二、三、四象限.课后作业1. 布置作业：教材P 50 “练习”.2. 完成本课时对应练习.v=-2x+2——教学反思本节课的难点是性质的应用，学生都能记住一次函数的性质，但在应用中不能灵活的应用，所以，课后还应该在性质的应用上多花时间，多做练习，使学生都能够掌握.。
求一次函数表达式的方法：23招经典解法
第五、六课时 一次函数表达式的方法解法（23招）安徽省池州市贵池区梅龙初级中学 黄老师（QQ ：495014580）四、求一次函数的表达式基本解法1、待定系数法（1）图象过原点：函数为正比例函数，可设表达式为y =kx ，再找图象上除原点外的一个点的坐标代入表达式，即可求出k .（2）图象不过原点：函数为一般的一次函数，可设表达式为y =kx +b ，再找图象上的两个点的坐标代入表达式，即可求出k ，b 。
例：（中考常州）已知一次函数y =kx +b （k ，b 为常数且0≠k ）的图象经过点A （0，－2）和点B （1，0），则k =______，b =______.答案：k =2，b =－2例：（中考重庆）已知正比例函数)0(≠=k kx y 的图象经过点（1，－2），则这个正比例函数的表达式为______答案：y =－2x常见解法：1、定义式例，已知函数3)3(82+-=-mx m y 是一次函数，求其解析式。
解析： 该函数是一次函数 ∴182=-m解得，m =±3,又m ≠3∴m =－3故解析式为：y =－6x +32、点斜式要点：如何求k ？（1）公式：1212x x y y k --= （2）图象（比值）：|k |=BCAB (两直角边的比） （3）增量：V （速度）、P （电功率）（4）每每（美美题）：（5）平移变换：k 值相等（6）垂直变换：121-=k k（7）对称变换：|k |、|b |不变（8）相似比：(略)（9）正切值：tanα（斜率）（10）旋转变换：（略）例，已知一次函数y =kx －3的图象过点（2，－1），求这个函数解析式。
解析：方法一：（代入法）将点（2,－1）代入y =kx －3得，－1=2k －3，解得，k =1故解析式为：y =x －3方法二：（一点式）解析： 一次函数y =kx －3的图象过点（2，－1）∴可令y =k (x －2)－1=kx －2k －1∴－2k －1=－3,解得，k =1∴这个函数解析式为y =x －33、两点式例，一次函数经过（－2，0)、(0，4),求此函数的解析式。
求一次函数的表达式练习
求一次函数的表达式（练习）
1、已知一次函数y=kx+3的图象经过点（6，-1），求这个函数的解析式．
2、已知直线经过点﹙1，2﹚和点﹙3，0﹚，求这条直线的解析式．
3、已知一次函数y=kx+b在x=3时的值为5，在x=-4时的值为-9，求这个一次函数的解析
式．
4、一次函数图象如图所示，求其解析式．
5、求与直线y=x平行，并且经过点
P（1，2）的一次函数的解析式．
6、已知一次函数物图象经过A（-2，-3），B（1，3）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）试判断点P（-1，1）是否在这个一次函数的图象上．
7、已知一个一次函数的图象经过点（-4，9）、（a，6）和点（6，3），试求这个函数的解析
式和a的值．
8、已知函数y=kx+b的图象经过A（-2，-1）、B（1，3）两点，分别交x、y轴于点C、D．（1）求该函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
9、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（-3，0），与y
轴交于点B，且与正比例函数
4
3
y x
的图象的交点为C（m，4）．
（1）求一次函数y=kx+b的解析式；
（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，直接写出点D的坐标．。
求一次函数的表达式
第一步 第二步 第三步 第四步
1=2k+b 4= -k+b
所以这个一次函数的表达式为 所以这个一次函数的表达式为 y=-x+3
探究2 探究
已知一次函数 的对应值如下表： 已知一次函数y=kx+b，x与y的对应值如下表： 一次函数 ， 与 的对应值如下表
x y
-3 2
0 4
3 6
9 10
2、已知一次函数 、已知一次函数y=kx+b，x与y的对应值如下表： 的对应值如下表： 一次函数 ， 与 的对应值如下表
x y -3 2 0 4 3 6 9 10 24 20 99 ？ y 120 84 ？ 144 … …
L1 L2
3、已知两个函数的图象如图， 、已知两个函数的图象如图， 函数的图象如图 根据图上的数据能否求出这两 个函数的解析式？如果能， 个函数的解析式？如果能，请 求出它们的解析式。 求出它们的解析式。 寻找两个点的坐标 或两对对应值
4
O
P x
-4
3
找点(坐标 建立方程 找点 坐标),建立方程 组),解方程组 坐标 建立方程(组 解方程组 分段函数如何求表达式， 分段函数如何求表达式，注意每个 函数的自变量的取值范围
作业
试题单 1题——6题 题 题
下节专题
求一次函数的表达式（ 求一次函数的表达式（二） ——实际问题 实际问题
x y
-3 2
0 4
3 6 (24,20)
9 10
24 20
99
120 ？
210
…
20=24k+b 84= 120k+b
？ 84 70 (120,84) k= 2 3 b= 4
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一次函数和正比例函数的解析式各 是什么？ y=kx+b(k、b为常数且k≠0) y=kx（k为常数k ≠0) 由此可知如果知道k和b的值时，就 能确定一次函数和正比例函数的解析式 了。 本节课要研究的是在一定条件下，我 们能用什么方法求出k和b值。
(1)
y
y
=
=
7 x
1
(2)
y = 8x y = 3x + 4
y = 2 x+1
(3)
2
x+
2
(4)
(5)
y = 6 x+3
(6)
例4、温度计是利用水银（或酒精）热胀冷缩的原理制
作的，温度计中水银（或酒精）柱的高度y（厘米）是 温度x（。c）的一次函数。某型号的实验用水银温度计 能测量-20。C至100。C的温度，已知10。C时水银柱高10 厘米；50。C水银柱高18厘米。求这个函数的表达式。
解：设所求直线的解析式为y=kx+b (k≠0) k=1 根据题意得： k+b=-3
解得,
k=1 b=-4
∴y=x-4
本节课你有什么收获呢？
用待定系数法解题一般分为几步？ 一设、二列、三解、四写 1.设一次函数的一般形式y=kx+b(k≠0）
2.根据已知条件列出关于k , b的二元一次方 程组 3.解这个方程组，求出k , b
写
用待定系数法解题一般分为几步？ 一设、二列、三解、四写
1.设一次函数的一般形式y=kx+b(k≠0） 2.根据已知条件列出关于k , b的二元一次方 程组
3.解这个方程组，求出k , b
4 .将已经求出的 k, b的值代入解析式
一、根据定义求解析式
例：已知正比例函数y=kx,当x=2时，y=4. 求这个函数的解析式。
y=kx+b(k≠0) , 解： 设这个函数的表达式为_______________
根据题意，得 10k+b＝10
50k+b＝18 k＝0.2 解得, b＝8
∴ 函数的解析式为 y= 0.2x ＋8 (-20≤x≤100)
待定系数法：
先设待求的函数关系式(其中含有 未知的系数)再根据条件列出方程或 方程组,求出未知系数,从而得到所求
二、已知两点坐标求函数解析式
做一做 已知一次函数y=kx+b的图象经过点(－1,1)
和点(1,－5) , 求当x=5时,函数y的值. 解：
根据题意，得 －k+b＝1 讨论：1、这两点反映了 自变量x与因变量y的值 之间怎样的对应的关系？
k+b＝－5
解得,
k＝－3 b＝－2
∴ 函数的解析式为 y= －3x －2 当x=5时，y=－3×5－2=－17 ∴ 当x=5时，函数y的值是是－17.
三、根据图象求解析式
例：一次函数的图象如图 所示，求这个一次函数的 解析式。 2 -3 o y
x
解：设一次函数解析式为y=kx+b (k≠0)
根据题意得：
y 2
-3k+b=0 k×0+b=2 2 k= 3 解得： b=2 2 ∴y= 3 x+2
-3 o
x
四、根据图象之间的平行关系求 解析式
例：将函数y=x+2的图象平移，使它经过点 (1，-3)，求平移后的直线所对应的函数解析式
结果的方法,叫做待定系数法.
你能归纳出待定系数法求函数解析式的基本步骤吗？
解: 设这个函数的表达式为 y=kx+b(k≠0) 设 _______________ 根据题意，得 , 10k+b＝10
50k+b＝18 k＝0.2 解得, b＝8
列
解
∴ 函数的解析式为 y= 0.2x ＋8 (-20≤x≤100)
4 .将已经求出的 k, b的值代入解析式
这节课我们共学了几种求一次函数表达 式的常见类型？
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