奇异值分解定理
奇异值分解(Singular
性质 7：如果矩阵 A 对称，存在特征值分解A = UΔU T ，其中Δ = diag(λ1 , λ2 , … , λn )， U = [ u1 , u2 , … , un ]且UU T = I。则 A 的一个奇异值分解是 A= UΣV T ，其中σi = |λi |。当 A 是正定 矩阵时，特征值分解和奇异值分解相同。
n ∗n � = [U U � T AV = � Σ � � � ]。U 将矩阵 U 补充成正交矩阵U (m −n)∗ n � ≡ Σ，则 rank(A)=rank(Σ)。 0 � 和 V 非奇异，则 rank(A)=rank(U � T AV)=r。 因为U
σ 0 1 0 1 0 �� � � �V � ��。即若(m-1)*(n-1)阶的矩阵存在奇异值分解，则 m*n 阶矩 A = �U � 0 V1 0 U1 0 Σ1
σ1 w σ1 σ2 + ww T 2 2 � � ≥ σ1 + ww T = �σ1 + ww T � � T � � �� � � = � � 1 T B wT w 2 2 Bw 2 σ1 ‖ Sx ‖2 � S �w T � �2 2 σ1 = ��|A|�� = ��|S|�� = maxx ≠0 ≥ ≥ �σ1 + ww T σ1 ‖x ‖2 2 2 �� T � � w 2 所以 w=0 . σ 0 σ 0 故U T AV = � �� = �0 B�。 � T AV 0 U
U = [ u1 , u2 , … , un ]和V = [ν1 , ν2 , … , νn ]。则 H 的 2n 个特征值是±σi ，具有相应的单位特征向量 νi 1 �±μ �。 2 √ i
T 其中 A 为 m*m 阶矩阵且A = UΣV T 是 A 的 SVD。 性质 6： 设H = � 0 A � ， 设Σ = diag(σ1 , … , σn )， A 0
矩阵奇异值分解定理的直观证明
矩阵奇异值分解定理的直观证明
矩阵奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是线性代数中的一个重要概念，它为各种机器学习和数据挖掘技术提供了基础。
其独特之处在于把一个矩阵分解为三个矩
阵的乘积，因此又被称为三角分解或者三因子分解。
它的定理被称为矩阵奇异值分解定理，是关于任意实矩阵M可以分解为三个矩阵乘积的一个重要结论。
矩阵奇异值分解定理的证明过程涉及到一些数字计算，它的证明可以分为多个步骤：
1）将M矩阵以特征值分解的形式写出：M=UΣV'，其中U是特征向量矩阵，Σ是特征值所组成的对角矩阵，V'是转置矩阵。
2）首先，将M矩阵看作是U列空间和V行空间组成的两个子空间。
3）从U空间中选取最大特征值对应的特征向量u1，此向量与V空间中相关的特征向量v1
正交，故令v1与u1的点积为0，则u1'V=0。
4）又因为V剩下的特征向量组成的子空间可以被U剩下的特征向量组成的原子空间（超
平面）正交，可以得到U剩下的特征向量的线性相关，即U剩下的特征向量也可以写成U1的线性组合。
5）通过这几个步骤，得出结论M可以分解成三个矩阵的乘积：M=UΣV'，其中U和V分别
是M的左奇异矩阵和右奇异矩阵，Σ是M的特征值所组成的对角矩阵。
经过以上证明，矩阵奇异值分解定理得以证明，它提供了矩阵M可以分解成低秩矩阵的一
种方法。
SVD可以用来对矩阵进行降维，可以有效削减矩阵的维数，减少计算量，提高程
序的运行速度，广泛应用于机器学习和数据挖掘技术，是一种重要而有用的数学计算方法。
使用奇异值分解进行数据预处理的技巧(Ⅲ)
奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是一种常用的矩阵分解方法，广泛应用于数据降维、特征提取、推荐系统等领域。
在实际应用中，使用奇异值分解进行数据预处理能够提高数据的质量和准确性。
本文将介绍使用奇异值分解进行数据预处理的技巧，并探讨其在实际问题中的应用。
一、奇异值分解的基本原理奇异值分解是一种将一个矩阵分解为三个矩阵乘积的方法，其基本原理是将原始矩阵分解为三个矩阵的乘积：A=UΣV^T，其中A是一个m×n的矩阵，U是一个m×m的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，V^T是一个n×n的正交矩阵。
其中，U的列向量称为左奇异向量，V的列向量称为右奇异向量，Σ的对角线元素称为奇异值。
二、数据降维与特征提取在实际应用中，奇异值分解常用于数据降维和特征提取。
通过对原始数据矩阵进行奇异值分解，可以得到数据的主要特征和结构信息，进而实现数据的降维和特征提取。
通过保留最重要的奇异值和对应的奇异向量，可以实现数据的降维，减少数据的维度和复杂度，同时保留数据的主要特征。
此外，奇异值分解还可以用于特征提取，通过提取奇异值和对应的奇异向量，获取数据的主要特征和结构信息，进而实现数据的特征提取和表征。
三、推荐系统中的应用奇异值分解在推荐系统中有着重要的应用。
在推荐系统中，用户-物品矩阵是一个非常稀疏的矩阵，通过对用户-物品矩阵进行奇异值分解，可以实现对用户和物品的隐含特征的提取和表征，进而实现对用户的个性化推荐。
通过奇异值分解，可以将用户-物品矩阵分解为用户特征矩阵和物品特征矩阵的乘积，从而实现对用户和物品的特征表征和推荐。
四、数据预处理中的技巧在实际应用中，使用奇异值分解进行数据预处理时，有一些技巧和注意事项需要注意。
首先，对原始数据矩阵进行中心化处理，即将每个特征的均值减去，使得数据的均值为0，这样可以消除数据的偏置影响。
其次，对数据矩阵进行标准化处理，即将每个特征的方差归一化为1，使得数据的尺度一致，进而提高奇异值分解的稳定性和准确性。
奇异值分解及行转置矩阵与行反对称矩阵的奇异值分解定理的证明
奇异值分解及行转置矩阵与行反对称矩阵的奇异值分解定理的证明1.奇异值分解（Smgluar Value Decompositiong ）设M 是一个m n ⨯矩阵，则有M=*U V ∑其中U 是m m ⨯阶酉矩阵，∑是半正定m n ⨯阶对角矩阵，V 是n n ⨯阶酉矩阵，*V 表示V 的共轭转置（下文中都是如此表示），称上述分解为M 的奇异值分解，∑对角线上的元素ii ∑称为M 的奇异值。
U （左奇异向量）系列是*MM 系特征向量； V （右奇异向量）系列是*M M 系特征向量；∑（非零奇异值）的非零元素是*M M 或*MM 中非零特征值的平方根。
例：求矩阵A=101011010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的奇异值分解.解：由*A A =101011112⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭可求得*A A 的特征值为1λ=3，2λ=1，3λ=0，对应的特征向量依次为1x =()1,1,2T ，2x =()1,1,0T -，3x =()1,1,1T-，于是可得rank （A ）=2，001⎫∆=⎪⎝⎭，令()12,V V V =，其中1V =，)23V x =，计算*11=00U AV =∆ ⎪ ⎪⎝⎭，构造()2=0,0,1TU ，则()120=,0001U U U ⎫⎪⎪⎪=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,从而可得A 的奇异值分解*00A=U 010000V ⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2.下面对矩阵的行转置与行反对称矩阵的定义与它们的奇异值分解定理的证明下面所用公式的表达方式与上稍有不同，但所用理论相同.用n J J =表示反对角线元素全为1，其余元素全为0的n 阶方阵；m I I =为m 阶单位阵；T A ，*A 分别表示矩阵A 的转置、共轭转置.显然21,,T J J J I J J -===. 行转置矩阵与行反对称矩阵定义1 设()m nij A a R ⨯=∈，则称,1,21,11,21,2122211121m m mn m m m n R n n a a a a a a A a a a a a a ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为矩阵A 的行转置矩阵并记为RA .特别，若RA A =，则称A 为行对称矩阵；若R A A =-，则称A 为行反对称矩阵.显然：行反对称矩阵只有两种类型B JB ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭或0B JB ⎛⎫ ⎪⎪⎪-⎝⎭定理1 设*,,m n B C m n B UDV ⨯∈≥=为B 的奇异值分解，其中2酉阵m n U C ⨯∈，n n V C ⨯∈，0D ∑⎛⎫= ⎪⎝⎭,12(,,,)n diag σσσ∑= ，120n σσσ≥≥≥≥ ，则行反对称矩阵2m n m B A CJ B ⨯⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭存在一个奇异值分解HA PTV =,其中00T ⎫⎫==⎪⎪⎝⎭⎝⎭，m mU m U J P J I ⎛⎫=⎪-⎭. 证明：因为()***m m B A A B B J J B ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭***22B B VD DV ===()2*2V V ∑，222122,2,,2nσσσ 为*A A12,n 为A 的奇异值.又 ****20120m m m m m mm m UJ UU J U U P P I J U I J I I ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫===⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因而P 为酉矩阵，且****0m m m m m UJ B UDV PTV V A J UI J B J UDV ⎫⎛⎫⎫⎛⎫====⎪ ⎪⎪ ⎪---⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 证毕.定理 2 设*,,m n B C m n B UDV ⨯∈≥=为B 的奇异值分解，其中2酉阵m n U C ⨯∈，n nV C⨯∈，0D ∑⎛⎫= ⎪⎝⎭,12(,,,)n diag σσσ∑= ，120n σσσ≥≥≥≥ ，则行反对称矩阵(21)0m n m B A C J B +⨯⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪-⎝⎭，存在一个奇异值分解*A PTV =,其中000T ⎫⎫⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,0000m mm U J P J UI ⎛⎫⎪=⎪⎪-⎭. 证明：因为()******2*0022(2)m m B A A B B J B B VD DV V V J B ⎛⎫⎪=-===∑ ⎪ ⎪-⎝⎭,222122,2,,2nσσσ 为*A A12,n 为A 的奇异值.又****21000010000010200m m m m m m m m U U J UJ U U P P I J I J U I I +⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因而P 为酉矩阵，且****00000000m m m m m UJ UDV B PTV V A J U I J UDV J B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪====⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭证毕.。
奇异值分解定理
奇异值分解定理奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，常用于数据分析、信号处理、图像压缩等领域。
SVD的定理表明，任何矩阵都可以分解成三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是正交矩阵，另外两个矩阵是对角矩阵，且对角线上的元素称为奇异值。
奇异值分解定理的数学概念比较复杂，需要一定的线性代数基础。
下面将对奇异值分解定理进行详细解释。
给定一个m行n列的实数矩阵A，假设rank(A)为r.那么存在两个实数方阵U(m×r)和V(n×r)，使得：A = UΣV^T其中，U的每一列是A^TA的特征向量，V的每一列是AA^T的特征向量，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
奇异值分解定理的证明比较复杂，这里只给出一个简要的证明思路。
假设A的列向量为{a1, a2, ..., an}，它们构成了一个n维向量空间的一组基。
我们可以将这组基转化为标准正交基，得到一组正交矩阵U和V。
然后我们可以通过对U和V进行一些数学操作，得到UΣV^T形式的矩阵。
最后，我们可以证明这个矩阵确实满足奇异值分解定理的要求。
奇异值分解定理在数据分析中有广泛的应用。
例如，在推荐系统中，我们可以通过SVD将用户对物品的评分矩阵分解，得到用户和物品的特征矩阵，从而进行个性化推荐。
在语音识别中，我们可以通过SVD将语音信号分解成一组基本声音的叠加，从而实现语音信号的降噪和特征提取。
在图像压缩中，我们可以通过SVD将图像分解成一组基本的图像模式，从而实现图像的降噪和压缩。
奇异值分解定理的应用不仅局限于上述领域，还可以应用于信号处理、图像处理、文本处理等其他领域。
通过奇异值分解，我们可以将复杂的问题转化为简单的线性代数运算，从而大大简化问题的求解过程。
然而，奇异值分解也有一些限制。
首先，奇异值分解是一种数值方法，对计算精度要求较高。
其次，奇异值分解的计算复杂度较高，对于大规模矩阵的分解可能会很耗时。
svd 矩阵的奇异值分解
svd 矩阵的奇异值分解奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种重要的矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是正交矩阵，另外两个矩阵是对角矩阵。
SVD在数据分析、图像处理、信号处理等领域有着广泛的应用。
1. SVD的定义对于一个m\times n的实数矩阵A，它的奇异值分解是指将它分解为以下形式的乘积：A=U\Sigma V^T其中，U是一个m\times m的正交矩阵，V是一个n\times n的正交矩阵，\Sigma是一个m\times n的对角矩阵，对角线上的元素称为A的奇异值。
2. SVD的求解SVD的求解可以通过奇异值分解定理来实现。
奇异值分解定理指出，对于任意一个实数矩阵A，都存在一个奇异值分解A=U\Sigma V^T，其中U和V都是正交矩阵，\Sigma是一个对角矩阵，对角线上的元素是A的奇异值。
具体地，SVD的求解可以分为以下几个步骤：（1）计算A^TA和AA^T的特征值和特征向量。
（2）根据特征值和特征向量，求出A^TA和AA^T的特征分解。
（3）根据A^TA和AA^T的特征分解，求出A的奇异值分解。
3. SVD的应用SVD在数据分析、图像处理、信号处理等领域有着广泛的应用。
（1）数据分析在数据分析中，SVD可以用来降维和去噪。
通过SVD分解，可以将高维数据降到低维，从而减少数据的冗余信息，提高数据的处理效率。
同时，SVD还可以用来去除数据中的噪声，提高数据的质量。
（2）图像处理在图像处理中，SVD可以用来压缩图像和去噪。
通过SVD分解，可以将图像压缩为较小的尺寸，从而减少存储空间和传输带宽。
同时，SVD还可以用来去除图像中的噪声，提高图像的质量。
（3）信号处理在信号处理中，SVD可以用来分解信号和去噪。
通过SVD分解，可以将信号分解为多个频率分量，从而更好地理解信号的特性。
同时，SVD还可以用来去除信号中的噪声，提高信号的质量。
奇异值分解原理
奇异值分解原理1 什么是奇异值分解奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种用于变换技术，它可以将任意一个方阵（matrix）分解成三个单独的反映它特征的矩阵：左奇异矩阵，右奇异矩阵，和奇异值矩阵。
分解后，可以用这三个矩阵的乘积来重构原矩阵，并用这些矩阵来解释矩阵的特征。
2 奇异值分解的数学原理奇异值分解的数学原理是特征值分解的一个推广，本质上将一个矩阵分解成一个“基正交正交矩阵”、一个可正交矩阵和另一个“基正交反正交矩阵”的三元组称为“奇异值元组”。
也就是把一个方阵A，分解成下面三个矩阵乘积：A = U*S*V'其中U为左奇异矩阵，S为奇异值矩阵，V'为右奇异矩阵，前后的矩阵是对称轴对称的，中间的矩阵是对角矩阵。
U和V是秩为m的正交矩阵，S是秩为n的“奇异值矩阵，D是一个证明SVD有效的参数，它是为了满足SVD中各矩阵乘积等于原矩阵A。
3 奇异值分解的应用奇异值分解在很多研究领域都有应用，比如自然语言备注、机器学习、数据挖掘等，它也成为自然语言处理中常见的基础算法，通过SVD，可以将一个原本比较复杂的单词语料库转换成更多的向量；另外，在数据挖掘领域中，SVD也可以用来识别历史模式以及未来趋势，从而实现营销预测等目的。
4 总结总之，奇异值分解是一种广泛用于数据分析和计算机技术的数学方法，它可以将任意一个矩阵（matrix）分解成三个单独的矩阵，分别反映它的特征。
它已经被广泛应用于自然语言处理、机器学习、数据挖掘等领域，能帮助研究人员从数据中挖掘更多信息以及实现营销预测等目的。
奇异值分解及应用分析
称上式为矩阵A的奇异值分解 .
推论 在矩阵A的奇异值分解A=UDVH中，U的列向量 为AAH的特征向量， V的列向量为AHA的特征向量.
证明 AAH (UDV H )(UDV H )H
UDV HVDU H UD2U H
(AAH )U UD2 Udiag(1, 2, , r ,0, ,0)
O
O
O
②
将 V 分块为
V (V1 V2 )
其中 V1 ，V2 分别是V 的前 r 列与后 n r 列.
并改写②式为
则有
AH AV
V
2
O
O
O
AH AV1 V1 2， AT AV2 O
③
由③的第一式可得
V1H AH AV1 2， 或者( AV1 1)H ( AV1 1) Ir
由③的第二式可得
即： AHA与AAH非0特征值相同，并且非零特 征值的个数为rank( A)
奇异值的定义
设A Crmn , 且AH A的特征值为
1 2 r r1 m 0
称i i ,i 1, , r,为矩阵A的正奇异值，
简称奇异值
说明：A的正奇异值个数等于rank( A)，并且A与AH有相同的奇
于是可得：rankA 2,
3 0
10,
令 V V1,V2 ,
其中
V1
1 6 x1,
1 2
x2
,
V2
1 3
x3
1 2
计算：
U1
AV11
1 2
0
1
2 1
2
0
构造：U2 0,0,1T 则
1 1 0
2 2
U
U1,U2
1 2
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奇异值分解定理：设，则存在m 阶正交矩阵U 和n 阶正交矩阵V ，使得
，其中为矩阵A 的全部非零奇
异值，满足0r 21>≥≥⋯≥≥，σσσ，前几个值比较大，它们包含了矩阵A 的大部分信息。
U 的列向量（左奇异向量）是
的特征向量，V 的列向量（右奇异向量）是的特征
向量。
奇异值分解的性质：
1. 奇异值的稳定性
定理1：假设, A 和 B 的SVD 分别为和
,其中p =min ( m , n) ,则有。
定理1表明当矩阵A 有微小扰动时,扰动前后矩阵奇异值的变化不会大于扰动矩阵的-2范数。
这个性质表明,对于存在灰度变化、噪声干扰等情况的图像,通过SVD 后,图像的特征向量不会出现大的变化。
这一性质放宽了对图像预处理的要求, 并使匹配结果的准确性得到了保证。
2. 奇异值的比例不变性
因此，为了消除幅度大小对特征提取的影响，所进行的归一化处理不会从本质改变奇异值的相对大小。
3. 奇异值的旋转不变性
图像奇异值特征向量不但具有正交变换、旋转、位移、镜像映射等代数和几何上的不变性,而且具有良好的稳定性和抗噪性，广泛应用于模式识别与图像分析中。
对图像进行奇异值分解的目的是：得到唯一、稳定的特征描述；降低特征空间的维数；提高抵抗干扰和噪声的能力。
欧氏距离（Euclidean distance ）
欧氏距离定义：欧氏距离（Euclidean distance）是一个通常采用的距离定义，它是在m维空间中两个点之间的真实距离。
欧氏距离看作信号的相似程度，距离越近就越相似。
设x，y是M× N 维的两幅图像，那么其在图像空间中可以表示为：
式中为图像x，y的第（k，l）个像素点。
则图像的欧氏距离定义为
根据上述定义，一幅M×N 的图像可以看作M×N 维欧氏空间中的一点，每个坐标对应于一个像素的灰度值。
特征匹配算法
采用遍历搜索法，计算特征向量两两间的欧氏距离，确定向量之间的最近邻距离（MD）第二近邻距离（SMD），并计算二者的比值：MD/ SMD。
设定阈值s，当MD/ SMD<s时，认为该特征点对为匹配点对。
这一步虽然损失了10%的正确匹配却剔除了80%的错误匹配，这对匹配稳定性的意义非常大。
s取值一般为0.6～0.8。