1.11位移分量与应变分量几何方程
2 力学位移和应变分析T
如果两个角的和不变，则剪应变就不变；但是两个 角可能相等，也可能不等，这样变形的几何形象（变位 状态）就不同。
为了使变形的几何形象表示完全，引入三个分量：转动分量
研究物体内任一点M附近的变形状态，在M点处取立方 微分体。
研究变形后立方微分体中对角线MQ绕z轴的转角：
1
1 ux
2
1 ux
整理得：
O P
x
x u x y v y ——几何方程 v u xy x y
说明：
u
P
B
dx A
u u dx x v v dx x
v
dy y
A B
v v dy y
（1） 反映任一点的位移与该点应变间的
A，B两点相应的位移分量分是：
A：u u( x dx, y, z ), v v( x dx, y, z ) B：u u( x, y dy, z), v v( x, y dy, z)
按多元函数泰勒级数展开，略去二阶以上的无穷小量， u 则A点和B点的位移分量分别为 x
当微分平行六面体各棱边无限缩小而趋于M点时
x , y , z , xy , yz , zx表示该点处的六个应变分量
某点的应变状态可以由六个应变分量来表示。
三.应变分量和位移分量间的关系
将微分平行六面体的应变分量用该微体变形后在坐标 平面上的投影来表明。 以在oxy平面上的投影为例，研究应变分量与位移分量 的关系：
反之，则沿顺时针转动。
同理，可以得到立方微分体中对角线MS及MT分别 绕y轴和x轴的转角公式；
通常用两倍的转角表示： x， y， z
1.11-位移分量与应变分量-几何方程
1.11-位移分量与应变分量-几何方程第十节位移分量与应变分量几何方程由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响，物体内各点在空间的位置将发生变化，就是产生位移。
这个移动过程，弹性体将可能同时发生两种位移变化。
第一种位移是位置的改变，但是物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变，这种位移是物体在空间做刚体运动引起的，因此称为刚体位移。
第二种位移是弹性体形状的变化，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置，这是物体变形引起的位移，称为变形位移。
一般来说，上述两种位移是同时出现的，当然对于弹性力学的研究，主要是讨论后一种位移，因为变形位移与弹性体的应力有着直接的关系。
根据连续性假设，弹性体在变形前和变形后仍保持为连续体。
那么弹性体中某点在变形过程中由M（x，y，z）移动至M'（x'，y'，z'），这一过程也将是连续的,如图11.1所示图10.1在数学上，x'，y'，z'必为x，y，z的单值连续函数。
设MM'=S为位移矢量，其三个分量u，v，w为位移分量。
则u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z）v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z）w=z'（x，y，z）-z=w（x，y，z）显然，位移分量u，v，w也是x，y，z的单值连续函数。
以后的分析将进一步假定位移函数具有三阶连续导数。
为进一步研究弹性体的变形情况，假设从弹性体中分割出一个微分六面体单元，其六个面分别与三个坐标轴垂直。
对于微分单元体的变形，将分为两个部分讨论。
一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化。
弹性力学分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。
对于微分平行六面体单元，设其变形前与x，y，z座标轴平行的棱边分别为MA，MB，MC，变形后分别变为M'A'，M'B'，M'C'。
第二章弹性力学基础
+
¶ 2 x ¶ z2
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y
y
q
q
sx
ͼ 1-1a
x 0
sx x
X方向应力情况对比
ͼ 1-1b
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y q
y q
sx sy
ͼ 1-2a
平面截面假设
sx
sy
x
x
ͼ 1-2b
q
sy =q ͼ 1-2c
sx
Y方向应力情况对比
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
v
A
B u + ¶u dx
dx
¶x
0 ͼ 1-5
由于变形是微小的，所 以上式可将比单位值小 得多的 ¶u 略去，得
¶x
a = ¶v
¶x
同理，Y向线素AD的转角
b = ¶u
¶y
因此，剪应变为：
x
xy
=
a
+
b
=
¶v ¶x
+
¶u ¶y
应变分量与位移分量的关系
以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，
相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴 的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向 为正，沿坐标轴正方向为负。
二、 应力的概念
剪应力互等定律
作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两 面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也 相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。
由力矩平衡得出 简化得
2 yz dXdZ
sz
xy
yz
zx
T
(1 - 2)
第二章：弹性力学基本理论及变分原理
第二章 弹性力学基本理论及变分原理弹性力学是固体力学的一个分支。
它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化）作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。
本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。
§2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。
现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。
§2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量111213141516222324252633343536444546555666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为[]T u u v u v w w ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭(2.1.2)弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为x y Tz xy z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭(2.1.3)对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f xyzτστ∂∂∂+++=∂∂∂0yz zx zz f x y zττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。
几何方程应变分量与位移分量之间的关系
x yx
xy y
s
l m
f f
x y
l
1 (
)
x
s
fx
m
0 (
)
xy
s
f
y
(2).上下两面
l
0 (
)
y
s
fy
m
1 (
y x) s
f
x
o
x
上面：l=0，m=-1
叠加原理
• 叠加原理：两组外力同时作用在物体上 所产生的结果等于他们分别作用产生的 结果之和。
• 证明概要：只需注意方程都是线性的， 同时边界条件也是线性的即可。
• 推广：以上两组外力可以推广到n组外力。 • 分解原理：根据叠加原理，可以把原问
题分解成几个简单的问题单独求解。
§2-7.圣维南原理(局部性原理)
• 表述－2：在没有初始应力的情况下，弹性力学 边值问题的解在相差一组刚体位移的意义下是唯 一的。
• 证明概要：只要证明在体力和面力都为零的情况 下，边值问题只可能有零解(应力、应变和位移 全为零)。后者则需要用到应变能的概念。
• 据此，任何一组应力应变和位移，如果它们确能 满满足方程和边界条件，就肯定是该问题的解。
一.位移边界条件
在位移边界问题中，物体在全部边界上的位移
分量是已知的，即： 式中：
us
u , vs
v （２～１４）
us、vs —是位移的边界值；
u、v — 边界上坐标的已知函数或边界上
已知的位移分量。
第二节应变分析用解析
忽略高阶小量，得
uudxudyudz
x y z
14
同理，得
uudxudyudz
x y z
dxdydz
x y z
wwdxwdywdz
x y z
位移增量
d
u
u x
dx
u y
dy
u z
dz
dv
v x
dx
v y
dy
v z
dz
dw
w x
dx
w y
dy
表明对数应变具有可加性
38
3）对数应变能真实反映出拉、压变形的应变值，与实验结果较吻 合可比性
例：对数应变：
拉
l 2lln2ll ln26% 9
压
2 l l ln 2 ll l1 n 2 l2 n 6% 9 l 2 l
设受力物体内任一点M，其坐标为（x,y,z），小变形 后移至M1，其位移分量为ui（x,y,z ）。
与M点无限接近的一点Mˊ点 ，其坐标为（x+dx，y+dy， z+dz），小变形后移至M1ˊ， 其 位 移 分 量 为 uiˊ （ x+dx ， y+dy，z+dz）如图所示。
邻近的点
11
（1）各点的坐标值 M（x，y，z） Mˊ（x+dx，y+dy ，z+dz ）
单元体Q移至Q1的同时转动了一个角度，但没有变形。 a点坐标为（x，y，z），
线应变（或正应变）：单元体线尺寸的伸长或缩短
角应变（或切应变）：单元体角度的变化（即单元 体畸变）
纯变形
5
金
属 （2） 对于同一变形的质点，随着切取单元体的方向
弹塑性力学课程作业 参考答案
弹塑性力学课程作业1 参考答案一．问答题1. 答：请参见教材第一章。
2. 答：弹塑性力学的研究对象比材料力学的研究对象更为广泛，是几何尺寸和形态都不受任何 限制的物体。
导致这一结果的主要原因是两者研究问题的基本方法的不同。
3. 答：弹塑性力学与材料力学、结构力学是否同属固体力学的范畴，它们各自求解的主要问题都是变形问题，求解主要问题的基本思路也是相同的。
这一基本思路的主线是：（1）静 力平衡的受力分析；（2）几何变形协调条件的分析；（3）受力与变形间的物理关系分析； 4. 答：“假设固体材料是连续介质”是固体力学的一条最基本假设，提出这一基本假设得意义是为利用数学中的单值连续函数描述力学量（应力、应变和位移）提供理论依据。
5. 答：请参见本章教材。
6. 答：略（参见本章教材）7. 答：因为物体内一点某微截面上的正应力分量 σ 和剪应力分量τ 同材料的强度分析 问题直接相关，该点微截面上的全应力则不然。
8. 答：参照坐标系围绕一点截取单元体表明一点的应力状态，对单元体的几何形状并不做 特定的限制。
根据单元体所受力系的平衡的原理研究一点的应力状态。
研究它的目的是： 首先是了解一点的应力状态任意斜截面上的应力，进一步了解该点的主应力、主方向、 最大（最小）剪应力及其作用截面的方位，最终目的是为了分析解决材料的强度问题。
9．答：略（请参见教材和本章重难点剖析。
） 10. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。
）11. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。
） 这样分解的力学意义是更有利于研究材料的塑性变形行为。
12. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。
）纳唯叶 (Navier) 平衡微分方程的力学意义是：只有满足该方程的应力解和体力才是客观上可能存在的。
13. 答：弹塑性力学关于应力分量和体力分量、面力分量的符号规则是不一样的。
它们的区别请参见教材。
14、答：弹塑性力学的应力解在物体内部应满足平衡微分方程和相容方程（关于相容方程详见第3、5、6章），在物体的边界上应满足应力边界条件。
弹性力学基本方程及原理
z 猜应力解：
y
l
Fz g
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz
x x
采用应力法及逆解法
解：1）设应力： x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz
2）检查是否满足平衡微分方程 ji,j+Fi =0 满足
3）检查是否满足应力表示的变形协调方程（常体力时）
ij ,kk
1
1
Θ ,ij
0
满足
4）检查是否满足应力的边界条件
0
2、上、下面（次边界可放松作到近似满足）边界：
由于P的分布关系不知，
用等效力系代替：
A
zz
dA
PdA P AA
满足
解2： 解：1）设位移：
2）检查是否满足位移表示的平衡微分方程
(
G)
x
G2u
Fx
0
(
G)
y
G2v
Fy
0
(
G)
z
G2w
Fz
0
3）求应变分量：
由几何方程
满足
x
u x
因此，x=y=z=-p，xy=yz=zx=0 满足应力法的所有
方程，为真解
5）求应变分量：
由物理方程得应变
x
1 E
x
( y
z )
1 E
( p
2
p)
p(1 2 )
E
y
z
xy yz zx 0
6）求位移分量：
代入几何方程并积分可求位移
u
p(1 2 )
E
x
f1( y, z)
p(1 2 )
泛定方程+定解条件 =定解问题
常见的定解条件 ：
应变分量与协调方程
C C u ( x, y dy ) u yx tan yx AC dy (v( x, y dy ) v) u y dy u 1 vy dy y v u xy xy yx tan xy tan yx x y
几何意义
Ax, y A' x u, y v
B x dx, y B ' x dx u(x dx, y), y v(x dx, y)
u v B ' x dx u dx, y v dx x x
要使几何方程求解位移时方程组不矛盾， 则六个应变分量必须满足一定的条件。
从几何方程中消去位移分量，第一式和第 二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加 可得
x v u 2 ( ) 2 x y xy x y xy 2 2 2 2 yz z v w 同理： y 2 ( ) 2 z y yz z y yz
坐标 B ' x dx u( x dx, y), y v( x dx, y)
坐标 C ' x u( x, y dy), y dy v( x, y dy)
按幂级数展开，并略去dx、dy二次以上项：
u u x dx, y u x, y dx ... x v v x dx, y v x, y dx ... x u u x, y dy u x, y dy ... y v v x, y dy v x, y dy ... y
1 2
1 2
P0 P
P0 P
x y
弹性力学基本方程及原理
因此，x=y=z=-p，xy=yz=zx=0 满足应力法的所有
方程，为真解
5）求应变分量：
由物理方程得应变
x
1 E
x
( y
z )
1 E
( p
2
p)
p(1 2 )
E
y
z
xy yz zx 0
6）求位移分量：
代入几何方程并积分可求位移
u
p(1 2 )
E
x
f1( y, z)
x
s
m
yx
s
n
zx
s
fx
xy
m
s
y
n
s
zy
s
fy
xz
s
m
yz
s
n z
s
fz
1、检查在柱体侧边（主要边界）X i 0 n3 n 0
l x m xy 0 zx 0
l xy m y 0 zx 0
满足
3）检查是否满足应力表示的变形协调方程（无体力时）
ij ,kk
1
1
Θ ,ij
0
满足
4）检查是否满足应力的边界条件 z
x
s
m
yx
s
n
zx
s
fx
xy
m
s
y
n
s
zy
s
fy
（A）
xz
s
m
yz
s
n z
s
fz
y
x=y=z=-p
xy=yz=zx=0
x
a）前、后面： 1 m n 0 前面面力：fx p f y 0 fz 0
应力法可归结为：在给定的边界条件下，求解下列方程
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第十节位移分量与应变分量几何方程由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响，物体内各点在空间的位置将发生变化，就是产生位移。
这个移动过程，弹性体将可能同时发生两种位移变化。
第一种位移是位置的改变，但是物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变，这种位移是物体在空间做刚体运动引起的，因此称为刚体位移。
第二种位移是弹性体形状的变化，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置，这是物体变形引起的位移，称为变形位移。
一般来说，上述两种位移是同时出现的，当然对于弹性力学的研究，主要是讨论后一种位移，因为变形位移与弹性体的应力有着直接的关系。
根据连续性假设，弹性体在变形前和变形后仍保持为连续体。
那么弹性体中某点在变形过程中由M（x，y，z）移动至M'（x'，y'，z'），这一过程也将是连续的,如图所示图在数学上，x'，y'，z' 必为x，y，z的单值连续函数。
设MM'=S为位移矢量，其三个分量u，v，w为位移分量。
则u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z）v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z）w=z'（x，y，z）-z=w（x，y，z）显然，位移分量u，v，w也是x，y，z的单值连续函数。
以后的分析将进一步假定位移函数具有三阶连续导数。
为进一步研究弹性体的变形情况，假设从弹性体中分割出一个微分六面体单元，其六个面分别与三个坐标轴垂直。
对于微分单元体的变形，将分为两个部分讨论。
一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化。
弹性力学分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。
对于微分平行六面体单元，设其变形前与x，y，z座标轴平行的棱边分别为MA，MB，MC，变形后分别变为M'A'，M'B'，M'C'。
假设分别用x y z表示x，y，z轴方向棱边的相对伸长度，即正应变；分别用xy yz zx表示x和y，y和z，z和x轴之间的夹角变化，即切应变。
则对于小变形问题，为了简化分析，将微分单元体分别投影到Oxy，Oyz，Ozx平面来讨论。
显然，单元体变形前各棱边是与坐标面平行的，变形后棱边将有相应的转动，但我们讨论的是小变形问题，这种转动所带来的影响较小。
特别是物体位移中不影响变形的计算，假设各点的位移仅为自身的大小和形状的变化所确定，则这种微分线段的转动的误差是十分微小的，不会导致微分单元体的变形有明显的变化。
首先讨论Oxy面上投影的变形。
设ma，mb分别为MA，MB的投影，m'a'，m'b'分别为M'A'，M'B'，即变形后的MA，MB的投影。
微分单元体的棱边长为d x，d y，d z，M点的坐标为（x，y，z），u（x，y，z），v(x, y, z)分别表示M点x，y方向的位移分量。
则A点的位移为u(x+d x，y，z），v(x+d x，y，z）,B点的位移为u(x，y+d y，z），v(x，y+d y，z）。
按泰勒级数将A，B两点的位移展开，并且略去二阶以上的小量，则A，B点的位移分别为因为所以同理可得由此可以得到弹性体内任意一点微分线段的相对伸长度，即正应变。
显然微分线段伸长，则正应变x, y, z大于零，反之则小于零。
以下讨论切应变表达关系。
假设yx为与x轴平行的微分线段ma向y 轴转过的角度，xy为与y轴平行的mb向x轴转过的角度。
则切应变因为上式的推导中，利用了小变形条件下位移的导数是高阶小量的结论。
同理可得yx和xy可为正或为负，其正负号的几何意义为：yx大于零，表示位移v随坐标x而增加，即x方向的微分线段正向向y轴旋转。
将上述两式代入切应变表达式，则同理可得切应变分量大于零，表示微分线段的夹角缩小，反之则增大。
综上所述，应变分量与位移分量之间的关系为上述公式称为几何方程，又称柯西方程。
柯西方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。
如果已知位移，由位移函数的偏导数即可求得应变；但是如果已知应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相对复杂。
这个问题以后作专门讨论。
几何方程给出的应变通常称为工程应变。
如果使用张量符号，则几何方程可以表达为则应变分量ij将满足二阶张量的座标变换关系，应变张量分量与工程应变分量的关系可表示为第十一节纯变形位移与刚性转动位移学习思路:应变分量通过位移的偏导数描述了一点的变形，对微分平行六面体单元棱边的伸长以及棱边之间夹角的改变做出定义。
但是这还不能完全描述弹性体的变形，原因是没有考虑微分单元体的刚体转动。
通过分析弹性体内无限邻近两点的位置变化，则可得出刚体的转动位移与纯变形位移之间的关系。
刚体转动通过转动分量描述。
刚性转动位移的物理意义：如果弹性体内某点没有变形，则无限邻近它的任意一点的位移由两部分组成，平动位移和转动位移。
如果发生变形，位移中还包括纯变形位移。
应变可以描述一点的变形，即对微分平行六面体单元棱边的伸长以及棱边之间夹角的改变做出定义。
但是这还不足以完全描述弹性体的变形，原因是应变分析仅仅讨论了棱边伸长和夹角变化，而没有考虑微分单元体位置的改变，即单元体的刚体转动。
通过分析弹性体内无限邻近两点的位置变化，则可得出刚体的转动位移与纯变形位移之间的关系。
设P点无限邻近O点，P点及其附近区域绕O作刚性转动，转过微小角度。
设转动矢量为ω，OP之间的距离矢量为，如图所示图则引入拉普拉斯算符矢量设P点的位移矢量为S，有S =u i +v j +w k由于位移矢量可以表示为S =ω×,所以即其中x, y, z为转动分量，是坐标的函数，表示了弹性体内微分单元体的刚性转动。
设M点的坐标为（x，y，z），位移（u，v，w）。
与M点邻近的N点，坐标为（x+d x，y+d y，z+d z），位移为（u+d u，v+d v，w+d w）。
则MN两点的相对位移为（d u，d v，d w）。
因为位移为坐标的函数，所以同理可得以上位移增量公式中，前三项为产生变形的纯变形位移，后两项是某点邻近区域的材料绕该点像刚体一样转动的刚性转动位移。
刚性转动位移的物理意义为，如果弹性体中某点及邻近区域没有变形，则无限邻近这一点的位移，根据刚体动力学可知，是由两部分组成。
分别是随这点的平动位移和绕这点的转动位移。
对于弹性体中某一点，一般还要发生变形，因此位移中还包括纯变形位移。
总的来讲，与M点无限邻近的N点的位移由三部分组成的：1．随同M点作平动位移。
2．绕M点作刚性转动在N点产生的位移。
3．由于M点及其邻近区域的变形在N点引起的位移。
转动分量 x, y， z 对于微分单元体，描述的是刚性转动，但其对于整个弹性体来讲，仍属于变形的一部分。
三个转动分量和六个应变分量合在一起，不仅确定了微分单元体形状的变化，而且确定了方位的变化。
位移增量公式如果使用矩阵形式表示，可得显然，位移的增量是由两部分组成的，一部分是转动分量引起的刚体转动位移，另一部分是应变分量引起的变形位移增量。
第十二节应变的坐标变换与应变张量上一节我们引入了应变分量，本节将讨论不同坐标系下一点的应变分量的关系。
与坐标转轴时的应力分量的变换一样，我们将建立应变分量转轴的变换公式，即已知ij在旧坐标系中的分量，求其在新坐标系中的各分量i'j'。
根据几何方程，坐标平动将不会影响应变分量。
因此只需坐标转动时的应变分量变换关系，设新坐标系Oxyz 是旧坐标系 Ox'y'z' 经过转动得到的，如图所示图新旧坐标轴之间的夹角的方向余弦为如图所示，设变形前的M点，变形后移至M'点，设其位移矢量MM '=S，则所以,新坐标系的位移分量为，根据几何方程，根据复合函数的微分关系同理推导可得其余五个应变分量的变换公式，即如果以n ij（i，j=1，2，3）表示新旧坐标系之间的夹角的方向余弦，并注意到应变张量表达式，则上述应变分量变换公式可以写作ij=n ii' n jj' ij因此，如果将应变分量写作下列形式则应变分量满足张量变换关系。
与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量。
由公式可知，一点的六个独立的应变分量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定，即一点的应变状态就完全确定了。
不难理解，坐标变换后各应变分量均发生改变，但它们作为一个整体，所描述的一点的应变状态是不会改变的。
第十三节 体积应变本节介绍物体变形后的单位体积变化，即体积应变。
讨论微分平行六面体单元，如图所示图变形前，单元体的三条棱边分别为MA ，MB ，MC ， 长d x ，d y ，d z ，其体积为：V=d x d y d z设M 点坐标为（x ，y ，z ），则A ，B ，C 点坐标分别为（x +d x ，y ，z ），（x ，y+dy ，z ）和（x ，y ，z +d z ）。
弹性体变形后，其三条棱边分别变为M'A'，M'B'，M'C'。
其中若用V '表示变形后的微分单元体体积，则将行列式展开并忽略二阶以上的高阶小量，则若用e 表示单位体积的变化即体积应变，则由上式可得x y z V V e V εεε'-==++ 显然体积应变e 就是应变张量的第一不变量J 1。
因此e 常写作 u v w e x y z ∂∂∂=++∂∂∂1J = 体积应变e 大于零表示微分单元体膨胀，小于零则表示单元体受压缩。
若弹性体内e 处处为零，则物体变形后的体积是不变的。
第十四节 主应变和应变不变量弹性体内任一点的六个应变分量，即应变张量随着坐标轴的旋转而改变。
因此是否可以像应力张量一样，对于某一个确定点，在某个坐标系下所有的切应变分量都为零，仅有正应变分量不等于。
即能否找到三个相互垂直的方向，在这三个方向上的微分线段在物体变形后只是各自改变长度，而其夹角仍为直角。
答案是肯定的。
在任何应变状态下，至少可以找到三个这样的垂直方向，在该方向仅有正应变而切应变为零。
具有该性质的方向，称为应变主轴或应变主方向，该方向的应变称为主应变。
设ij 为物体内某点在已知坐标系的应变张量，求其主应变1， 2， 3 及应变主轴方向n 1, n 2, n 3。
设MN 为M 点的主轴之一，其变形前的方向余弦为l ，m ，n ，主应变为。
令d 表示MN 的长度, 则MN 相对伸长为d ，如图所示图设M 点的位移为（u ，v ，w ），则N 点的位移为（u +d u ，v +d v ，w +d w ）。
因为d u =在x 方向的变形位移分量+刚性转动位移在x 方向的分量=l d + 刚性转动位移在x 方向的分量根据公式即d u等于纯变形位移与刚性转动位移在x方向的分量之和。