2018届高考数学人教A版(理)二轮复习第四篇第6讲正弦定理和余弦定理

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高三数学复习(理)：第6讲正弦定理和余弦定理

第6讲正弦定理和余弦定理[学生用书P87]1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc cos_A；b2＝c2＋a2－2ca cos_B；c2＝a2＋b2－2ab cos_C变形形式a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin Acos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ca；cos C＝a2＋b2－c22ab2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b 解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S＝12bc sin A＝12ac sin_B＝12ab sinC．(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．常用结论1．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；(3)sin A＋B2＝cos C2；(4)cos A＋B2＝sin C2.2．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B．3．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b ⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形．( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)利用正弦定理求角时解的个数弄错； (2)在△ABC 中角与角的正弦关系弄错； (3)判断三角形形状时弄错．1．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C.由正弦定理得b sin B ＝csin C ，所以sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.所以角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．2．在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ，B 的关系为________；若sin A >sin B ，则A ，B 的关系为________．解析：sin A ＝sin B ⇔a ＝b ⇔A ＝B ； sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B . 答案：A ＝B A >B3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________．解析：由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．答案：等腰三角形或直角三角形[学生用书P88]利用正、余弦定理求解三角形(多维探究) 角度一求角或三角函数值(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则tan B ＝( )A.5 B ．2 5 C ．4 5D ．8 5(2)(2021·福州市适应性考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若cos A (sin C －cos C )＝cos B ，a ＝2，c ＝2，则角C 的大小为________．【解析】 (1)方法一：在△ABC 中，cos C ＝23，则sin C ＝53>22，所以C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.由余弦定理知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝16＋9－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3.由正弦定理AC sin B ＝AB sin C ，得sin B ＝459，易知B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos B ＝19，tan B ＝sin Bcos B ＝4 5.故选C.方法二：在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，所以由余弦定理知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝16＋9－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3，所以△ABC 是等腰三角形．过点B 作BD ⊥AC 于点D ，则BD ＝BC 2－CD 2＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝5，tan B2＝25＝255，所以tan B＝2tanB21－tan2B2＝4 5.故选C.(2)因为cos A(sin C－cos C)＝cos B，所以cos A(sin C－cos C)＝－cos(A＋C)，所以cos A sin C＝sin A sin C，所以sin C(cos A－sin A)＝0，因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，cos A＝sin A，则tan A＝1，又A∈(0，π)所以A＝π4，又asin A＝csin C，即2 sin π4＝2sin C，所以sin C＝12，因为c<a，所以0<C<π4，故C＝π6.【答案】(1)C(2)π6角度二求边长或周长在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.(1)求边长a；(2)(一题多解)求AB边上的高CD的长．【解】(1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，由余弦定理cos C＝a2＋b2－c22ab得cos 120°＝a2＋（a＋2）2－（a＋4）22a（a＋2），即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3.(2)方法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由三角形的面积公式得12ab sin ∠ACB＝12c×CD，所以CD＝ab sin ∠ACBc＝3×5×327＝15314，即AB边上的高CD＝15314.方法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB＝7sin 120°，即sin A ＝3314，在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．(3)涉及最值问题时，常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解．1．(2021·广东省七校联考)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin 2A ＝3a sin B ，且c ＝2b ，则ab 等于( )A.32 B ． 2 C.43D. 3解析：选B.由2b sin 2A ＝3a sin B ，及正弦定理可得4sin B ·sin A cos A ＝3sin A sin B ，由于sin A ≠0，sin B ≠0，所以cos A ＝34，又c ＝2b ，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－2b ×2b ×34＝2b 2，所以ab ＝2，故选B.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sinC．(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sinC．解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sin A＋sin(120°－C)＝2sinC，即62＋32cos C＋12sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－22.由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝22，故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝6＋2 4.判断三角形的形状(典例迁移)(2020·重庆六校联考)在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形【解析】已知等式变形得cos B＋1＝ac＋1，即cos B＝ac①.由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac，代入①得a2＋c2－b22ac＝ac，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形．【答案】 A【迁移探究1】(变条件)将“cos2B2＝a＋c2c”改为“c－a cos B＝(2a－b)cosA”，试判断△ABC的形状．解：因为c－a cos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以cos A(sin B－sin A)＝0，所以cos A＝0或sin B＝sin A，所以A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．【迁移探究2】(变条件)将“cos2B2＝a＋c2c”改为“sin Asin B＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断△ABC的形状．解：因为sin Asin B＝ac，所以ab＝ac，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12.因为A∈(0，π)，所以A＝π3，所以△ABC是等边三角形．(1)判定三角形形状的2种常用途径(2)判定三角形形状的3个注意点①“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系； ②“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系；③还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c, sin A sin B ·(2－cos C )＝sin 2C2＋12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形解析：选B.将已知等式2a cos B ＝c 利用正弦定理化简得2sin A cos B ＝sin C ，因为sin C ＝sin ()A ＋B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0，因为A 与B 都为△ABC 的内角，所以A －B ＝0，即A ＝B .因为sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，所以sin A sin B (2－cos C )＝12(1－cos C )＋12＝1－12cos C ，所以－12⎣⎡⎦⎤cos ()A ＋B －cos （A －B ）(2－cosC )＝1－12cos C ，所以－12(－cos C－1)(2－cos C)＝1－12cos C，即(cos C＋1)(2－cos C)＝2－cos C，整理得cos2C－2cos C＝0，即cos C(cos C－2)＝0，所以cos C＝0或cos C ＝2(舍去)，所以C＝90°，则△ABC为等腰直角三角形，故选B.与三角形面积有关的问题(多维探究)角度一计算三角形的面积(一题多解)(2021·昆明市三诊一模)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝120°，sin C＝217，c＝2，则△ABC的面积等于() A.32B．2 3C.34 D. 3【解析】方法一：由正弦定理bsin B＝csin C，得b＝c sin Bsin C＝2×32217＝7.由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得7＝a2＋4＋2a，解得a＝1或a＝－3(舍去)，所以S△ABC＝12ac sin B＝12×1×2×32＝32，故选A.方法二：由正弦定理bsin B＝csin C，得b＝c sin Bsin C＝2×32217＝7.因为sin C＝217，0°<C<60°，所以cos C＝277，所以sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝32×277－12×217＝2114，所以S△ABC＝12bc sin A＝12×7×2×2114＝32，故选A.【答案】 A求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．角度二已知三角形的面积解三角形(2021·深圳市统一测试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，a2＋b2－c2＝2S.(1)求cos C；(2)(一题多解)若a cos B＋b sin A＝c，a＝5，求b.【解】(1)因为S＝12ab sin C，a2＋b2－c2＝2S，所以a2＋b2－c2＝ab sin C，在△ABC中，由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝ab sin C2ab＝sin C2，所以sin C＝2cos C，又sin2C＋cos2C＝1，所以5cos2C＝1，cos C＝±55，又C∈(0，π)，所以sin C>0，所以cos C>0，所以cos C＝55.(2)方法一：在△ABC中，由正弦定理得sin A cos B＋sin B sin A＝sin C，因为sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，所以sin A cos B＋sin B sin A＝sin A cos B＋cos A sin B，即sin B sin A＝cos A sinB，又A，B∈(0，π)，所以sin B≠0，sin A＝cos A，得A＝π4.因为sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以sin B＝sin A cos C＋cos A sin C＝22×55＋22×255＝31010.在△ABC 中，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝5×3101022＝3.方法二：因为a cos B ＋b sin A ＝c ， a cos B ＋b cos A ＝c ，所以a cos B ＋b sin A ＝a cos B ＋b cos A ，即sin A ＝cos A ，又A ∈(0，π)，所以A ＝π4.在△ABC 中，由正弦定理得c ＝a sin Csin A ＝5×25522＝2 2.因为b ＝c cos A ＋a cos C ，所以b ＝22×22＋5×55＝3. 方法三：求A 同方法一或方法二．在△ABC 中，由正弦定理得c ＝a sin Csin A ＝5×25522＝22，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2－2b －3＝0，解得b ＝－1(舍去)或b ＝3.所以b ＝3.(或由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2－4b ＋3＝0，解得b ＝1或b ＝3.因为当b ＝1时，a 2＋b 2－c 2＝－2<0，不满足cos C >0或a 2＋b 2－c 2＝－2≠2S ，所以应舍去，故b ＝3)已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． [注意] 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．1．在△ABC 中，cos B ＝14，b ＝2，sin C ＝2sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.14 B ．12C.32D.154解析：选D.在△ABC 中，cos B ＝14，b ＝2，sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c＝2a ；由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋4a 2－2a ·2a ·14＝4a 2＝4，解得a＝1，可得c ＝2，所以△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×1×2×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.故选D.2．(2020·成都市诊断性检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且b 2＋c 2－a 2＝423bc .(1)求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积为2，且2sin B ＝3sin C ，求△ABC 的周长．解：(1)因为b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，所以2bc cos A ＝423bc ，所以cos A ＝223，所以在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝13.(2)因为△ABC 的面积为2，所以12bc sin A ＝16bc ＝2，所以bc ＝6 2.因为2sin B ＝3sin C ，所以由正弦定理得 2 b ＝3c ，所以b ＝32，c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝6，所以a ＝ 6. 所以△ABC 的周长为2＋32＋ 6.[学生用书P91]高考新声音3 解三角形中的结构不良型开放性问题(2020·新高考卷Ⅰ)在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3sin B ，C ＝π6，________________？【解题思路】结合已知条件，根据正弦定理及余弦定理可得a ＝ 3 b ，b ＝c ，选择①ac ＝3，可由a ＝ 3 b ，b ＝c ，求得a ，b ，c 的值，得到结论；选择②c sin A ＝3，可由b ＝c 得到A ，B ，进而求得a ，b ，c 的值，得到结论；选择③c ＝ 3 b ，与b ＝c 矛盾，得到结论．【解】方案一：选条件①.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c . 由①ac ＝3，解得a ＝3，b ＝c ＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c ＝1. 方案二：选条件②.由C＝π6和余弦定理得a2＋b2－c22ab＝32.由sin A＝3sin B及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32，由此可得b＝c，B＝C＝π6，A＝2π3.由②c sin A＝3，所以c＝b＝23，a＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.方案三：选条件③.由C＝π6和余弦定理得a2＋b2－c22ab＝32.由sin A＝3sin B及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32，由此可得b＝c.由③c＝3b，与b＝c矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．本题以解三角形为背景命制，给定了若干条件(在这些条件下三角形并不能随之确定)，在此基础上让学生在另外给出的几个条件中自主选择，在所选条件下，若问题中的三角形存在，求解三角形；若问题中的三角形不存在，说明理由．(2020·高考北京卷)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求；(1)a的值；(2)sin C和△ABC的面积．条件①：c＝7，cos A＝－1 7；条件②：cos A＝18，cos B＝916.解：选①(1)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b ＝11－a ，c ＝7，得a 2＝(11－a )2＋49－2(11－a )×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，所以a ＝8.(2)因为cos A ＝－17，A ∈(0，π)，所以sin A ＝437. 由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝7×4378＝32，由(1)知b ＝11－a ＝3，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×3×32＝6 3.选②(1)因为cos A ＝18，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin A ＝378.因为cos B ＝916，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin B ＝5716.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a 378＝11－a 5716，所以a ＝6.(2)sin C ＝sin(π－A －B )＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝74. 因为a ＋b ＝11，a ＝6，所以b ＝5.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×5×74＝1574.[学生用书P301(单独成册)][A 级基础练]1．(2020·六校联盟第二次联考)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则A ＝( )A ．60°B ．30°或90°C ．60°或120°D ．90°解析：选B.由正弦定理AC sin B ＝ABsin C 得1sin 30°＝3sin C ，所以sin C ＝32，因为AB >AC ，所以C ＝60°或120°，当C ＝60°，B ＝30°时，A ＝90°；当C ＝120°，B ＝30°时，A ＝30°.2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B.因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以sin(B ＋C )＝sin 2A .又sin(B ＋C )＝sin A 且sin A ≠0，所以sin A ＝1，所以A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形，故选B.3．(2021·长沙市四校模拟考试)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知2b －a cos C ＝0，sin A ＝3sin(A ＋C )，则bca 2＝( )A.74 B ．149C.23D.69解析：选D.因为2b －a cos C ＝0，所以由余弦定理得2b －a ×a 2＋b 2－c 22ab ＝0，整理得3b 2＋c 2＝a 2 ①.因为sin A ＝3sin(A ＋C )＝3sin B ，所以由正弦定理可得a ＝3b ②，由①②可得c ＝6b ，则bc a 2＝b ×6b 9b 2＝69.故选D.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )A. 2 B ． 3 C.32D ．2解析：选C.因为A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°，所以由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得c ＝2或c ＝－1(舍去)，所以由正弦定理得S △ABC ＝12ac sin B ＝32，故选C.5．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边且∠A ＝60°，若S △ABC ＝332且2sin B ＝3sin C ，则△ABC 的周长等于( )A ．5＋7B ．12C ．10＋7D ．5＋27解析：选A.在△ABC 中，∠A ＝60°.因为2sin B ＝3sin C ，故由正弦定理可得2b ＝3c ，再由S △ABC ＝332＝12bc ·sin A ，可得bc ＝6，所以b ＝3，c ＝2.由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7，所以a ＝7，故△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7，故选A.6．(2020·福州市适应性考试)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos B ＋b cos A ＝2ac ，则a ＝________．解析：由题设及正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝2a sin C ，所以sin(A ＋B )＝2a sinC ．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2a sin C ，又sin C ≠0，所以a ＝12. 答案：127．(2020·湖北八校第一次联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin B －sin A (sin C ＋cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则角C ＝________．解析：因为A＋C＝π－B，所以sin B＝sin(A＋C)＝sin A·cos C＋cos A sin C，因为sin B－sin A(sin C＋cos C)＝0，所以cos A sin C－sin A sin C＝0，因为C∈(0，π)，所以sin C>0，所以cos A＝sin A，又A∈(0，π)，所以A＝π4，由正弦定理得a sin π4＝csin C，又a＝2，c＝2，所以sin C＝12，因为a>c，所以C＝π6.答案：π68．(2020·福州市质量检测)已知钝角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝7，b＝1，若△ABC的面积为62，则a的长为________．解析：因为△ABC的面积S＝12bc sin A，所以62＝12×1×7sin A，所以sin A＝67，所以cos A＝±77，当cos A＝77时，由a2＝b2＋c2－2bc cos A得a＝6，此时△ABC为直角三角形(舍去)；当cos A＝－77时，由a2＝b2＋c2－2bc cos A得a＝10，经检验，a＝10符合题意．综上，a＝10.答案：109．(2020·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.(1)若a＝3c，b＝27，求△ABC的面积；(2)若sin A＋3sin C＝22，求C.解：(1)由题设及余弦定理得28＝3c2＋c2－2×3c2×cos 150°.解得c＝－2(舍去)，c＝2，从而a＝2 3.△ABC的面积为12×23×2×sin 150°＝ 3.(2)在△ABC 中，A ＝180°－B －C ＝30°－C ，所以 sin A ＋3sin C ＝sin(30°－C )＋3sin C ＝sin(30°＋C )．故sin(30°＋C )＝22.而0°<C <30°，所以30°＋C ＝45°，故C ＝15°.10．(2020·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＋cos A ＝54.(1)求A ；(2)若b －c ＝33a ，证明：△ABC 是直角三角形．解：(1)由已知得sin 2A ＋cos A ＝54，即cos 2A －cos A ＋14＝0. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A －122＝0, cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B －sin C ＝33sin A ．由(1)知B ＋C ＝2π3，所以sin B －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝33sin π3.即12sin B －32cos B ＝12，sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝12.由于0<B <2π3，故B ＝π2.从而△ABC 是直角三角形．[B 级综合练]11．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为43，且2b cos A ＋a ＝2c ，a ＋c ＝8，则其周长为( )A ．10B ．12C ．8＋ 3D ．8＋2 3解析：选B.因为△ABC 的面积为43，所以12ac sin B ＝4 3.因为2b cos A ＋a＝2c ，所以由正弦定理得2sin B cos A ＋sin A ＝2sin C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以2sin B cos A ＋sin A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B ，所以sin A ＝2cos B ·sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝12，因为0＜B ＜π，所以B ＝π3，所以ac ＝16，又a ＋c ＝8，所以a ＝c ＝4，所以△ABC 为正三角形，所以△ABC 的周长为3×4＝12.故选B.12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B －c －b 2＝0，a 2＝72bc ，b >c ，则b c ＝________．解析：由a cos B －c －b 2＝0及正弦定理可得sin A cos B －sin C －sin B 2＝0.因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以－sin B 2－cos A sin B ＝0，所以cosA ＝－12，即A ＝2π3.由余弦定理得a 2＝72bc ＝b 2＋c 2＋bc ，即2b 2－5bc ＋2c 2＝0，又b >c ，所以b c ＝2.答案：213．(2020·深圳市统一测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b )(sin A －sin B )＝(a －c )sin C ，b ＝2，则△ABC 的外接圆面积为________．解析：利用正弦定理将已知等式转化为(a ＋b )(a －b )＝(a －c )c ，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，所以B ＝60°.设△ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理知，2R ＝b sin B ＝43，所以△ABC 的外接圆面积S ＝πR 2＝4π3. 答案：4π314．(2020·广州市调研检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3－a sin C ＝0. (1)求角A 的值；(2)若△ABC 的面积为3，周长为6，求a 的值．解：(1)因为c sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3－a sin C ＝0，所以由正弦定理得sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A －sin A ·sin C ＝0. 因为sin C >0，所以32cos A －12sin A ＝0，即tan A ＝3，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为△ABC 的面积为3，所以12bc sin A ＝3，得bc ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(b ＋c )2－12，因为△ABC 的周长为6，即a ＋b ＋c ＝6，所以a 2＝(6－a )2－12，所以a ＝2.[C 级提升练]15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b sin A ＝a ·(2－cosB )．(1)求角B 的大小；(2)D 为边AB 上一点，且满足CD ＝2，AC ＝4，锐角△ACD 的面积为15，求BC 的长．解：(1)由正弦定理得3sin B sin A ＝sin A (2－cos B )，因为A ∈(0，π)，则sin A >0，所以3sin B ＝2－cos B ，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝1，因为B ∈(0，π)，所以B ＋π6＝π2，解得B ＝π3.(2)由题意，可得S △ACD ＝12CD ·CA sin ∠ACD ＝12×2×4sin ∠ACD ＝15，解得sin ∠ACD ＝154. 又因为△ACD 为锐角三角形，所以cos ∠ACD ＝1－sin 2∠ACD ＝14，在△ACD 中，由余弦定理得AD 2＝CA 2＋CD 2－2CA ·CD ·cos ∠ACD ＝42＋22－2×2×4×14＝16，所以AD ＝4，在△ACD 中，由正弦定理得CD sin A ＝AD sin ∠ACD，则sin A ＝CD AD ·sin ∠ACD ＝158，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin A ＝AC sin B ，所以BC ＝AC sin A sin B＝ 5.。

2018年高三一轮复习教学课件-正弦定理和余弦定理及应用

2 2 2
a2＋b2－c2 1 ∴cosC＝＝－ <0，即 90° <C<180° .∴△ABC 是 2ab 4 钝角三角形．故选 A. 答案：A
第三章
新课标高考· 大一轮复习讲义
整合·主干知识聚焦·热点题型提升·学科素养提能·课时冲关
a＋b＋c 3．在△ABC 中，若 A＝60° ， a＝ 3，则 sin A＋sin B＋sin C ＝________.
第三章
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整合·主干知识聚焦·热点题型提升·学科素养提能·课时冲关
(2) 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30°，北偏西45°等． (3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的
方位角为α(如图②)．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．
第三章
新课标高考· 大一轮复习讲义
整合·主干知识聚焦·热点题型提升·学科素养提能·课时冲关
正弦定理和余弦定理及应用
第三章
新课标高考· 大一轮复习讲义
整合·主干知识聚焦·热点题型提升·学科素养提能·课时冲关
Ⅰ. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． Ⅱ. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方
3．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
第三章
新课标高考· 大一轮复习讲义
整合·主干知识聚焦·热点题型提升·学科素养提能·课时冲关
关系式
a＝bsin A
bsin A< a<b
a≥b 一解
a>b 一解
a≤ b 无解
解的个数

【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件：4.6 正弦定理和余弦定理(专题拔高配套PPT课件)

2R 2R 2R
; ;
cos C=
2ac 2 a +b 2 -c 2 2ab
第四章
知识梳理双击自测
4.6 正弦定理和余弦定理
考情概览知识梳理核心考点学科素养
-4-
正弦定理解三角形类型 (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角
余弦定理 (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角
由余弦定理得 5=b2+4-2×b×2× 3, 解得 b=3 或 b=-3(舍去). 3
解析
1
关闭
2
答案
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4.6 正弦定理和余弦定理
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为内切圆半径).
��
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4.6 正弦定理和余弦定理
考情概览知识梳理核心考点学科素养
-7-
1.在△ABC中,已知a=5,b=2 3 ,C=30° ,则c=
.
关闭
由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=52+(2 3)2-2×5×2 3cos 30°=7, 所以 c= 7. 关闭 7
解析
�� 2 +�� 2 -�� 2 2 ��
��
��
��
<0, 所以 C 为钝角, 所以该三角形为钝角三
关闭
答案
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知识梳理双击自测
4.6 正弦定理和余弦定理
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2018年高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】：第四篇第6讲正弦定理和余弦定理

第6讲正弦定理和余弦定理A 级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ ( )．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析由a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，得a 2＝3bc ＋b 2，cb ＝2 3.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－3bc 2bc ＝c 2b －32＝3－32＝32，所以A ＝30°，故选A. 答案 A2.(2012·四川)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA至E ，使AE ＝1，连结EC 、ED ，则sin ∠CED ＝( )． A.31010 B.1010 C.510D.515解析依题意得知，CD ＝1，CE ＝CB 2＋EB 2＝5，DE ＝EA 2＋AD 2＝2，cos ∠CED ＝CE 2＋ED 2－CD 22CE ·ED ＝31010，所以sin ∠CED ＝1－cos 2∠CED ＝1010，选B. 答案 B3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )．A. 2B. 3C.32D ．2解析 ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°.又a ＝1，b ＝3，∴a sin A ＝bsin B ， ∴sin A ＝a sin Bb ＝32×13＝12，∴A ＝30°，∴C ＝90°.∴S △ABC ＝12×1×3＝32. 答案 C4．(2012·湖南)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于 ( )． A.32B.332C.3＋62D.3＋394解析设AB ＝c ，BC 边上的高为h .由余弦定理，得AC 2＝c 2＋BC 2－2BC ·c cos 60°，即7＝c 2＋4－4c cos 60°，即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)．又h ＝c ·sin 60°＝3×32＝332，故选B. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)·tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．解析由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得 cos B ·tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 答案 π3或2π36．(2012·福建)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析依题意得，△ABC 的三边长分别为a ，2a,2a (a >0)，则最大边2a 所对的角的余弦值为：a 2＋(2a )2－(2a )22a ·2a ＝－24.答案－24三、解答题(共25分)7．(12分)(2012·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．解(1)由已知2B＝A＋C，三角形的内角和定理A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cos B＝cos 60°＝1 2.(2)由已知b2＝ac，据正弦定理，得sin2B＝sin A sin C，即sin A sin C＝sin2B＝1－cos2B＝3 4.8．(13分)(2012·浙江)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解(1)因为0＜A＜π，cos A＝2 3，得sin A＝1－cos2A＝5 3.又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C.所以tan C＝ 5.(2)由tan C＝5，得sin C＝56，cos C＝16.于是sin B＝5cos C＝5 6 .由a＝2及正弦定理asin A＝csin C，得c＝ 3.设△ABC的面积为S，则S＝12ac sin B＝52.B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5解析由A ＝60°，不妨设△ABC 中最大边和最小边分别为b ，c ，故b ＋c ＝7，bc ＝11.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°＝(b ＋c )2－3bc ＝72－3×11＝16，∴a ＝4. 答案 C2．(2013·豫北六校联考)已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠ABC ＝π3，则△ABC 的周长等于( )．A ．3＋ 3B ．3 3C ．2＋ 3D.332解析由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－ac ＝3.又△ABC 的面积为12ac sin π3＝32，即ac ＝2，所以a 2＋c 2＋2ac ＝9，所以a ＋c ＝3，即a ＋c ＋b ＝3＋3，故选A. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．在Rt △ABC 中，C ＝90°，且A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．解析 x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π4<A ＋π4<3π4，∴22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤1，即x ∈(1，2]．答案 (1，2]4．(2012·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①若ab >c 2，则C <π3 ②若a ＋b >2c ，则C <π3 ③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2 ④若(a ＋b )c <2ab ，则C >π2 ⑤若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，则C >π3解析 ①由ab >c 2，得－c 2>－ab ，由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >2ab －ab2ab＝12，因为C ∈(0，π)，函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以C <π3，即①正确．②由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab＝4(a 2＋b 2)－(a ＋b )28ab ＝3(a 2＋b 2)－2ab 8ab ≥4ab 8ab ＝12，所以C <π3，即②正确．③若C 是直角或钝角，则a 2＋b 2≤c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2≤1，而a c ，b c ∈(0,1)，而函数y ＝a x(0<a <1)在R 上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2≤1与a 3＋b 3＝c 3矛盾，所以假设不成立，所以C <π2，即③正确．④因为(a ＋b )c <2ab ，所以c <2aba ＋b ≤2ab2ab＝ab ，即ab >c 2，转化为命题①，故④错误．⑤因为(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，所以c 2<2a 2b 2a 2＋b 2≤2a 2b 22ab ＝ab ，即ab >c 2，转化为命题①，故⑤错误．答案 ①②③ 三、解答题(共25分)5．(12分)(2012·郑州三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上． (1)求角C 的值；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理，得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，结合0<C <π，得C ＝π3.(2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，得(a －3)2＋(b －3)2＝0，从而得a ＝b ＝3，所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934.6．(13分)(2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝ 2，求△ABC 的面积．(1)证明由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a 应用正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sinC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1. 由于0＜B ，C ＜34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8. 由a ＝ 2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝ 2sin 5π8sin π8 ＝ 2cos π8sin π8＝12.。

2018届高三数学(人教A版)一轮复习：第3章第6节正弦定理和余弦定理

2 2
＝18＋36－(－36)＝90，所以 a＝3 10.6 分 bsin∠BAC 3 10 又由正弦定理得 sin B＝＝＝ 10 ， a 3 10
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π 由题设知 0＜B＜4，所以 cos B＝ 1－sin B＝
2
1 3 10 1－10＝ 10 .9 分
在△ABD 中，因为 AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得 AB· sin B 6sin B 3 AD＝＝2sin Bcos B＝cos B＝ 10.12 分 sinπ－2B
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[解析] (1)正确．A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. b2＋c2－a2 (2)错误．由 cos A＝ 2bc ＞0 知，A 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形． (3)错误．由 b＜a 知，B＜A. (4)正确．利用 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知结论正确．
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[规律方法]
1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以
运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的． 2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用． (2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意 “大边对大角”在判定中的应用．
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1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，若 A＞B，则必有 sin A＞sin B.( ) ) )

2018年高考数学总复习教师用书：第4章第6讲正弦定理和余弦定理

第6讲正弦定理和余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )(2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形.( ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( ) 解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比. (3)已知三角时，不可求三边.(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 不一定为锐角三角形. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2B. 3C.2D.3解析由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去，故选D. 答案 D3.(2017·湖州预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B＝asin A ，则cos B ＝( ) A.－12 B.12 C.－32D.32解析由正弦定理知sin B 3cos B＝sin Asin A ＝1，即tan B ＝3，由B ∈(0，π)，所以B ＝π3，所以cos B ＝cos π3＝12，故选B. 答案 B4.在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( ) A.32B. 3C.2 3D.2解析因为S ＝12×AB ×AC sin A ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，所以BC ＝ 3. 答案 B5.(必修5P10B2改编)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________.解析由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案等腰三角形或直角三角形6.(2017·绍兴调研)已知钝角△ABC 的面积为12，AB ＝1，BC ＝2，则角B ＝________，AC ＝________.解析 ∵钝角△ABC 的面积为12，AB ＝1，BC ＝2， ∴12＝12×1×2×sin B ，解得sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4， ∵当B ＝π4时，由余弦定理可得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2－2×1×2×22＝1，此时，AB 2＋AC 2＝BC 2，可得A ＝π2，此△ABC 为直角三角形，与已知矛盾，舍去.∴B ＝3π4，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2＋2×1×2×22＝ 5.答案3π45考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A.1个 B.2个 C.0个D.无法确定(2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________.(3)(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.解析 (1)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b . ∴满足条件的三角形有2个.(2)由题意知a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又c 2＝b 2＋2bc ，∴cos A ＝22，∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝45°，sin B ＝12，又B ∈(0°，180°)，b ＜a ，∴B ＝30°，∴C ＝105°.(3)因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6. 又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3. 又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，即3sin 2π3＝bsin π6，解得b ＝1.答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1 规律方法 (1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断.②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.【训练1】 (1)(2017·金华模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c ＝( ) A.1B.2C.4D.6(2)(2016·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.解析 (1)a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ⇒13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去).(2)在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113. 答案 (1)C (2)2113考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(典例迁移)【例2】 (经典母题)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.不确定解析由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π2. 答案 B【迁移探究1】将本例条件变为“若2sin A cos B ＝sin C ”，那么△ABC 一定是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形解析法一由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B .法二由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b . 答案 B【迁移探究2】将本例条件变为“若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13”，则△ABC ( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13， ∴a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，故设a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)，由余弦定理可得 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25k 2＋121k 2－169k 22×5×11k 2＝－23110<0，又∵C ∈(0，π)，∴C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴△ABC 为钝角三角形.答案 C【迁移探究3】将本例条件变为“若a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ”，试确定△ABC 的形状.解法一利用边的关系来判断：由正弦定理得sin C sin B ＝cb ，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b . 又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.又∵a2＋b2－c2＝ab.∴2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，∴b＝c，∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形.法二利用角的关系来判断：∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin(A＋B)，又∵2cos A sin B＝sin C，∴2cos A sin B＝sin A cos B＋cos A sin B，∴sin(A－B)＝0，又∵A与B均为△ABC的内角，所以A＝B.又由a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得cos C＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，又0°<C<180°，所以C＝60°，∴△ABC为等边三角形.规律方法(1)判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.(2)无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 考点三和三角形面积有关的问题【例3】(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长.解(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin A cos B＋sin B·cos A)＝sin C，2cos C sin(A ＋B)＝sin C，故2sin C cos C＝sin C.由C∈(0，π)知sin C≠0，可得cos C＝12，所以C＝π3.(2)由已知，12ab sin C＝332，又C＝π3，所以ab＝6，由已知及余弦定理得，a2＋b2－2ab cos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7. 规律方法三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【训练2】(2017·日照模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2a－b)cos C－c cos B＝0.(1)求角C的值；(2)若三边a，b，c满足a＋b＝13，c＝7，求△ABC的面积.解(1)根据正弦定理，(2a－b)cos C－c cos B＝0可化为(2sin A－sin B)cos C－sin C cos B＝0.整理得2sin A cos C＝sin B cos C＋sin C cos B＝sin(B＋C)＝sin A.∵0<A<π，∴sin A≠0，∴cos C＝1 2.又∵0<C<π，∴C＝π3.(2)由(1)知cos C＝12，又a＋b＝13，c＝7，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab＝169－3ab＝49，解得ab＝40.∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×40×sinπ3＝10 3.[思想方法]1.应熟练掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，A2＋B2＋C2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数.2.解题中要灵活使用正弦定理、余弦定理进行边、角的互化，一般要化到只含角或只含边.[易错防范]1.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此种类型也可利用余弦定理求解).2.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·宁波模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C ＝( ) A.30°B.45°C.60°D.75°解析法一 ∵S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝32，即12×3×1×sin A ＝32，∴sin A ＝1，由A ∈(0°，180°)，∴A ＝90°， ∴C ＝60°.故选C. 法二由正弦定理，得sin B AC ＝sin C AB ，即12＝sin C3， sin C ＝32，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝34≠32(舍去).而当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝32，符合条件，故C ＝60°.故选C. 答案 C2.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，则B 等于( ) A.π3B.5π6C.π6或5π6D.π6解析 ∵A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，∴由正弦定理a sin A ＝bsin B 可得， sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝12. ∵A ＝2π3，∴B ＝π6. 答案 D3.(2017·成都诊断)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析因为cos 2B 2＝a ＋c 2c ，所以2cos 2B 2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝ac ，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝ac ，所以c 2＝a 2＋b 2. 所以△ABC 为直角三角形. 答案 B4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a ＞b ”是“cos 2A ＜cos 2B ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为在△ABC 中，a ＞b ⇔sin A ＞sin B ⇔sin 2A ＞sin 2B ⇔2sin 2A ＞2sin 2B ⇔1－2sin 2A ＜1－2sin 2B ⇔cos 2A ＜cos 2B .所以“a ＞b ”是“cos 2A ＜cos 2B ”的充分必要条件. 答案 C5.(2016·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4D.π6解析在△ABC 中，由b ＝c ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－a 22b 2，又a 2＝2b 2(1－sin A )，所以cos A ＝sin A ，即tan A ＝1，又知A ∈(0，π)，所以A ＝π4，故选C. 答案 C 二、填空题6.(2015·重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，又a ＝2，所以b ＝3，故c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，所以c ＝4.答案 47.(2017·江西九校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝________.解析因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°.由正弦定理，得1sin A ＝3sin 60°，解得sin A ＝12，因为0°＜A ＜180°，所以A ＝30°或150°(舍去)，此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32. 答案 328.(2016·北京卷)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________.解析在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，将A ＝2π3，a ＝3c 代入，可得(3c )2＝b 2＋c 2－2bc ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，整理得2c 2＝b 2＋bc .∵c ≠0，∴等式两边同时除以c 2，得2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋bc ，可解得b c ＝1.答案 1 三、解答题9.(2015·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14. (1)求a 和sin C 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6的值.解 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154. 由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24，又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8. 由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝158.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cos A ＝15－7316.10.(2015·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC . (1)求sin B sin C ；(2)若∠BAC ＝60°，求∠B . 解 (1)由正弦定理得AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin C ＝DCsin ∠CAD .因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以 sin B sin C ＝DC BD ＝12.(2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以sin C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos B ＋12sin B . 由(1)知2sin B ＝sin C ，所以tan B ＝33，即∠B ＝30°.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.(2017·广州调研)已知锐角三角形的边长分别为1，3，x ，则x 的取值范围是( ) A.(8，10) B.(22，10) C.(22，10)D.(10，8)解析因为3>1，所以只需使边长为3及x 的对角都为锐角即可，故⎩⎨⎧12＋x 2>32，12＋32>x 2，即8<x 2<10.又因为x >0，所以22<x <10. 答案 B12.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac ＝2cos C ，则c ＝( )A.27B.4C.2 3D.3 3解析 ∵a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ，∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，由于0＜C ＜π，sin C ≠0， ∴cos C ＝12，∴C ＝π3.∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝34ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6，⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝2，c2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－8＝12，∴c ＝23，故选C. 答案 C13.(2017·宁波调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，则A >B >C ，3b ＝20a cos A ，则a ＝________；sin A ∶sin B ∶sin C ＝________.解析因为a ，b ，c 为连续的三个正整数，且A >B >C ，可得a >b >c ，所以a ＝c ＋2，b ＝c ＋1.①又因为3b ＝20a cos A .所以cos A ＝3b20a .② 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .③由②③，得3b 20a ＝b 2＋c 2－a 22bc，④联立①④，得7c 2－13c －60＝0，解得c ＝4或c＝－157(舍去).∴a ＝6，b ＝5，又由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.答案 6 6∶5∶414.设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC面积的最大值.解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z, 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ).(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立.因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝2，2cos 2B ＋C2＋sin A ＝45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，求b 的取值范围； (2)当△ABC 的周长取最大值时，求b 的值.解由2cos 2B ＋C 2＋sin A ＝45，得1＋cos(B ＋C )＋sin A ＝45，即sin A －cos A ＝－15，又0<A <π，且sin 2A ＋cos 2A ＝1，有cos A ＝45，sin A ＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4，结合满足条件的△ABC 有且只有一个，所以a ＝b sin A ，即2＝35b ，即b ＝103；或a ≥b ，即0<b ≤2.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，则有a ＝b sin A 或a ≥b ，则b的取值范围为(0，2]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫103；(2)设△ABC 的周长为l ，由正弦定理得 l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋asin A (sin B ＋sin C ) ＝2＋103[sin B ＋sin(A ＋B )]＝2＋103[sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ]＝2＋2(3sin B ＋cos B ) ＝2＋210sin(B ＋θ)，其中θ为锐角，且⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1010，cos θ＝31010，l max ＝2＋210，当cos B ＝1010，sin B ＝31010时取到. 此时b ＝asin A sin B ＝10.。

2018版高考数学(理)一轮复习题库：第四章第6讲正弦定理和余弦定理含解析

第6讲正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，C＝60°，AB＝错误!，BC＝错误!，那么A等于( )．A．135° B．105° C．45° D．75°解析由正弦定理知错误!＝错误!，即错误!＝错误!，所以sin A＝错误!,又由题知，BC＜AB，∴A＝45°.答案C2．已知a，b,c是△ABC三边之长,若满足等式（a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab,则角C的大小为（)．A．60° B．90° C．120° D．150°解析由(a＋b－c)（a＋b＋c）＝ab，得(a＋b）2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2ab cos C，∴cos C＝－错误!，∴C＝120°。

答案C3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B,C依次成等差数列，且a＝1，b＝错误!，则S△ABC＝( ）．A.错误!B.错误!C。

错误!D．2解析∵A，B,C成等差数列，∴A＋C＝2B,∴B＝60°。

又a＝1，b＝错误!，∴错误!＝错误!，∴sin A＝错误!＝错误!×错误!＝错误!，∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝错误!×1×错误!＝错误!。

答案C4．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于（)．A.错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!解析设AB＝c，BC边上的高为h.由余弦定理,得AC2＝c2＋BC2－2BC·c cos 60°,即7＝c2＋4－4c cos 60°，即c2－2c－3＝0,∴c＝3(负值舍去)．又h＝c·sin 60°＝3×错误!＝错误!，故选B.答案B5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a＝λ，b＝错误!λ（λ〉0），A＝45°，则满足此条件的三角形个数是（）A．0 B．1C．2 D．无数个解析直接根据正弦定理可得错误!＝错误!,可得sin B＝错误!＝错误!＝错误!〉1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0。

2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.6正弦定理余弦定理课件理

2.例3(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断 △ABC的形状.
解答
2 2 2 a ＋ b － c 1 2 2 2 ∵a ＋b －c ＝ab，∴cos C＝ 2ab ＝2，
π 又 0<C<π，∴C＝3，ห้องสมุดไป่ตู้
又由2cos Asin B＝sin C得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC为等边三角形.
解析
由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，
10 c a c 由正弦定理得sin A＝sin C，即＝， 3 2 2 2 10 6 ∴c＝ 3 .
3.(2016· 江西吉安一中质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， c b，c，若 <cos A，则△ABC为答案解析 b A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形
2 2 2
2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝1 a· ha(ha表示边a上的高)； 2 1 1 acsin B bcsin A 1 (2)S＝ absin C＝ 2 ＝2 ； 2
余弦定理 a2＝ b2＋c2－2bccos A； b2＝ c2＋a2－2cacos B； c2＝_______________ a2＋b2－2abcos C
内容
b ＋c －a (1)a＝2Rsin A，b＝ 2Rsin B，c＝ 2Rsin C ； b c cos A＝； 2bc (2)sin A＝ a ，sin B＝ 2R ，sin C＝ 2R ； 2 2 2 2R c ＋a －b 变 (3)a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin C ； cos B＝； 2ac 形 (4)asin B＝bsin A， a2＋b2－c2 bsin C＝csin B， cos C＝____________ 2ab asin C＝csin A

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第6讲正弦定理和余弦定理A 级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1* 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ ( )*A * 30°B * 60°C * 120°D * 150°解析由a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，得a 2＝3bc ＋b 2，cb ＝23* 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－3bc 2bc ＝c 2b －32＝3－32＝32，所以A ＝30°，故选A * 答案 A2* (·四川)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC 、ED ，则sin ∠CED ＝( )* A * 31010 B * 1010 C * 510D * 515解析依题意得知，CD ＝1，CE ＝CB 2＋EB 2＝5，DE ＝EA 2＋AD 2＝2，cos ∠CED ＝CE 2＋ED 2－CD 22CE ·ED ＝31010，所以sin ∠CED ＝1－cos 2∠CED ＝1010，选B * 答案 B3* 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )*A * 2B * 3C * 32D * 2解析 ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°*又a ＝1，b ＝3，∴a sin A ＝bsin B ， ∴sin A ＝a sin Bb ＝32×13＝12，∴A ＝30°，∴C ＝90°* ∴S △ABC＝12×1×3＝32* 答案 C4* (·湖南)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于 ( )* A * 32B * 332C *3＋62D *3＋394解析设AB ＝c ，BC 边上的高为h *由余弦定理，得AC 2＝c 2＋BC 2－2BC ·c cos 60°，即7＝c 2＋4－4c cos 60°，即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)* 又h ＝c ·sin 60°＝3×32＝332，故选B * 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5* 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c * 若(a 2＋c 2－b 2)·tan B ＝3ac ，则角B 的值为________*解析由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得 cos B ·tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3* 答案 π3或2π36* (·福建)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________*解析依题意得，△ABC 的三边长分别为a ，2a,2a (a >0)，则最大边2a 所对的角的余弦值为：a 2＋(2a )2－(2a )22a ·2a ＝－24*答案－24三、解答题(共25分)7* (12分)(·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c* 角A，B，C成等差数列*(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值*解(1)由已知2B＝A＋C，三角形的内角和定理A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cos B＝cos 60°＝1 2*(2)由已知b2＝ac，据正弦定理，得sin2B＝sin A sin C，即sin A sin C＝sin2B＝1－cos2B＝3 4*8* (13分)(·浙江)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c* 已知cos A＝23，sin B＝5cos C*(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积*解(1)因为0＜A＜π，cos A＝2 3，得sin A＝1－cos2A＝5 3*又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C*所以tan C＝5*(2)由tan C＝5，得sin C＝56，cos C＝16*于是sin B＝5cos C＝5 6*由a＝2及正弦定理asin A＝csin C，得c＝3*设△ABC的面积为S，则S＝12ac sin B＝52*B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1* 在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )*A * 2B * 3C * 4D * 5解析由A ＝60°，不妨设△ABC 中最大边和最小边分别为b ，c ，故b ＋c ＝7，bc ＝11*由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°＝(b ＋c )2－3bc ＝72－3×11＝16，∴a ＝4* 答案 C2* (·豫北六校联考)已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠ABC ＝π3，则△ABC 的周长等于( )*A * 3＋ 3B * 3 3C * 2＋ 3D * 332解析由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－ac ＝3* 又△ABC 的面积为12ac sin π3＝32，即ac ＝2，所以a 2＋c 2＋2ac ＝9，所以a ＋c ＝3，即a ＋c ＋b ＝3＋3，故选A * 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3* 在Rt △ABC 中，C ＝90°，且A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________*解析 x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4* 又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π4<A ＋π4<3π4，∴22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤1，即x ∈(1，2]*答案 (1，2]4* (·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)* ①若ab >c 2，则C <π3 ②若a ＋b >2c ，则C <π3 ③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2 ④若(a ＋b )c <2ab ，则C >π2 ⑤若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，则C >π3解析 ①由ab >c 2，得－c 2>－ab ，由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >2ab －ab2ab＝12，因为C ∈(0，π)，函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以C <π3，即①正确*②由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab＝4(a 2＋b 2)－(a ＋b )28ab ＝3(a 2＋b 2)－2ab 8ab ≥4ab 8ab ＝12，所以C <π3，即②正确* ③若C 是直角或钝角，则a 2＋b 2≤c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2≤1，而a c ，b c ∈(0,1)，而函数y ＝a x(0<a <1)在R 上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2≤1与a 3＋b 3＝c 3矛盾，所以假设不成立，所以C <π2，即③正确* ④因为(a ＋b )c <2ab ，所以c <2aba ＋b ≤2ab2ab＝ab ，即ab >c 2，转化为命题①，故④错误* ⑤因为(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，所以c 2<2a 2b 2a 2＋b 2≤2a 2b 22ab ＝ab ，即ab >c 2，转化为命题①，故⑤错误* 答案 ①②③ 三、解答题(共25分)5* (12分)(·郑州三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上* (1)求角C 的值；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积*解 (1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理，得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，结合0<C <π，得C ＝π3*(2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，得(a －3)2＋(b －3)2＝0，从而得a ＝b ＝3，所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934*6* (13分)(·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c * 已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a * (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝ 2，求△ABC 的面积*(1)证明由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a 应用正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sinC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1* 由于0＜B ，C ＜34π，从而B －C ＝π2*(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8* 由a ＝ 2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝ 2sin 5π8sin π8＝2cos π8sinπ8＝12*。

2018届高考数学人教A版(理)二轮复习第四篇 第6讲 正弦定理和余弦定理

高三数学复习(理)：第6讲 正弦定理和余弦定理