数学---江苏省盐城市2018届高三上学期期中试卷(解析版)

江苏省盐城市2018届高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1．已知集合A={1，3，6}，B={1，2}，则A∪B=．2．函数y=sin2x的最小正周期是．3．设幂函数y=xα的图象经过点，则α的值为．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，，，则A=．5．命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是．6．在等差数列{a n}中，若，则数列{a n}的前6项的和S6=．7．设向量，，，若，则x+y=．8．若函数f（x）=x2+（a+3）x+ln x在区间（1，2）上存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为．9．设菱形ABCD的对角线AC的长为4，则=．10．设函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数且A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，若（），则的值为．11．设函数f（x）是以4为周期的奇函数，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=2x，则f（log220）=．12．设函数f（x）=|x﹣a|+（a∈R），若当x∈（0，+∞）时，不等式f（x）≥4恒成立，则的取值范围是．13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=，a=4，角A的平分线交边BC于点D，其中AD=3，则S△ABC=．14．设数列{a n}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j ∈N*），a i﹣a j仍是数列{a n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia i=ja j；③数列{a n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有．（请将你认为正确命题的序号都写上）二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，，且．（1）求b的值；（2）求sin（A﹣B）的值．16．记函数f（x）=lg（1﹣ax2）的定义域、值域分别为集合A，B．（1）当a=1时，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17．设直线是函数f（x）=sin x+a cos x的图象的一条对称轴．（1）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的值；（2）求函数f（x）在[0，π]上的减区间．18．2016年射阳县洋马镇政府决定投资8千万元启动“鹤乡菊海”观光旅游及菊花产业项目．规划从2017年起，在相当长的年份里，每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元（含旅游净收入与菊花产业净收入），并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的1.5倍．记2016年为第1年，f（n）为第1年至此后第n（n∈N*）年的累计利润（注：含第n年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当f（n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求f（n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．（参考数据：，ln2≈0.7，ln3≈1.1）19．已知数列{a n}满足a1=﹣1，a2=1，且．（1）求a5+a6的值；（2）设S n为数列{a n}的前n项的和，求S n；（3）设b n=a2n﹣1+a2n，是否存正整数i，j，k（i＜j＜k），使得b i，b j，b k成等差数列？若存在，求出所有满足条件的i，j，k；若不存在，请说明理由．20．设函数f（x）=m ln x（m∈R），g（x）=cos x．（1）若函数在（1，+∞）上单调递增，求m的取值范围；（2）设函数φ（x）=f（x）+g（x），若对任意的，都有φ（x）≥0，求m 的取值范围；（3）设m＞0，点P（x0，y0）是函数f（x）与g（x）的一个交点，且函数f（x）与g（x）在点P处的切线互相垂直，求证：存在唯一的x0满足题意，且．【参考答案】一、填空题1．{1，2，3，6}【解析】集合A={1，3，6}，B={1，2}，则A∪B={1，2，3，6}，故答案为：{1，2，3，6}2．π【解析】函数y=sin2x的最小正周期是=π，故答案为：π．3．【解析】∵幂函数y=xα的图象过点，∴，解得．故答案为．4．【解析】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，，，则由正弦定理得：，即，解得：sin A=1，又由A为三角形的内角，故A=，故答案为：．5．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【解析】若命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解得：a∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．6．2【解析】在等差数列{a n}中，∵，∴S6==．故答案为：2．7．【解析】根据题意，向量，，，若，则有，解可得，则x+y=，故答案为：．8．（﹣，﹣6）【解析】f′（x）=2x+a+3+=，若f（x）在（1，2）上存在唯一的极值点，则f′（1）f′（2）＜0，即（a+6）（2a+15）＜0，解得：﹣＜a＜﹣6，故答案为：（﹣，﹣6）．9．8【解析】设菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，则AC⊥BD，且AO=AC=2，由平面向量的数量积定义可知：•=||×||×cos∠BAC=4×||×cos∠BAO=4×||=4×2=8．故答案为：8．10．【解析】由函数f（x）的图知，A=2，由T=2×[﹣（﹣）]=2π，得ω==1，∴f（x）=2sin（x+φ）；又f（）=2sin（+φ）=2，且﹣＜φ＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（x﹣）；由f（α）=2sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=；又0＜α＜，∴﹣＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==；∴f（α+）=2sinα=2sin[（α﹣）+]=2sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=2××+2××=．故答案为：．11．【解析】∵函数f（x）是以4为周期的奇函数，log220∈（4，5），∴4﹣log220x∈[﹣1，0），∴f（log220）=f（log220﹣4）=﹣f（4﹣log220），∵当x∈[﹣1，0）时，f（x）=2x，∴f（log220）=﹣（）==，故答案为：．12．（﹣∞，2]【解析】函数f（x）=|x﹣a|+（a∈R），∵x∈（0，+∞）当x＞a时，可得f（x）=x+﹣a﹣a≥4，当且仅当x=3时取等，即6﹣a≥4，可得：a≤2．当x＜a时，可得f（x）=a﹣x+，∵y=在（0，+∞）是递减函数，对f（x）≥4不成立．∴a无解．故答案为（﹣∞，2]．13．12【解析】由A=，a=4，余弦定理：cos A=，即bc=b2+c2﹣112．…①角A的平分线交边BC于点D，由ABD和ADC面积和定理可得AD=，AD=3，即bc=3（b+c）…②由①②解得：bc=48．那么S△ABC=cb sin A=12．故答案为：1214．①②③【解析】根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，令i=j，则0为数列的某一项，即a4=0，则a3﹣a4=a3∈{a n}，（a3＞0）．必有a2﹣a3=a3，即a2=2a3，而a1﹣a2=a2或a3，若a1﹣a2=a2，则a1﹣a3=3a3，而3a3≠a2，a3，a4，舍去；若a1﹣a2=a3∈{a n}，此时a1=3a3，可得数列{a n}为：3a3，2a3，a3，0（a4＞0）；据此分析选项：易得①②③正确；故答案为：①②③二、解答题15．解：（1）在△ABC中，由，得ac cos B=7，即，解得c=3．在△ABC中，由余弦定理，得b2=a2+c2﹣2ac•cos B=9+9﹣18•=4，∴b=2．（2）因为，所以B为锐角，故．又由余弦定理，得，所以A为锐角，且．所以．16．解：（1）当a=1时，f（x）=lg（1﹣x2），由1﹣x2＞0，得A=（﹣1，1）．又0＜1﹣x2≤1，所以B=（﹣∞，0]．故A∩B=（﹣1，0]．（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件⇔B⊊A．①当a=0时，A=R，B={0}，适合题意；②当a＜0时，A=R，B=[0，+∞），适合题意；③当a＞0时，，B=（﹣∞，0]，不适合题意．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，0]．17．解：（1）∵直线是函数f（x）的图象的对称轴，∴对x∈R恒成立．∴对x∈R恒成立，即对x∈R恒成立，得．从而．故当，即时，f（x）取得最大值2；（2）由，解得，k∈Z．取k=0，可得f（x）在[0，π]上的减区间为．18．解：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为=（千万元）．所以（千万元）．（2）方法一：因为=，所以当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．又，，．所以，该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．方法二：设，则，令f'（x）=0，得，所以x≈4．从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．又，，．所以，该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．19．解：（1）由题意，当n为奇数时，；当n为偶数时，．又a1=﹣1，a2=1，∴，即a5+a6=2；（2）①当n=2k时，S n=S2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（a2+a4+…+a2k）===．②当n=2k﹣1时，S n=S2k﹣a2k===．∴；（3）由（1），得（仅b1=0且{b n}递增）．∵k＞j，且k，j∈Z，∴k≥j+1．①当k≥j+2时，b k≥b j+2，若b i，b j，b k成等差数列，则=，此与b n≥0矛盾．故此时不存在这样的等差数列．②当k=j+1时，b k=b j+1，若b i，b j，b k成等差数列，则=，又∵i＜j，且i，j∈Z，∴i≤j﹣1．若i≤j﹣2，则b i≤b j﹣2，得，得≤0，矛盾，∴i=j﹣1．从而2b j=b j﹣1+b j+1，得，化简，得3j﹣2=1，解得j=2．从而，满足条件的i，j，k只有唯一一组解，即i=1，j=2，k=3．20．解：（1）由题意，知，所以．由题意，，即对x∈（1，+∞）恒成立．又当x∈（1，+∞）时，，所以m≥1．（2）因为φ（x）=f（x）+g（x）=m ln x+cos x，所以．①当m≤0时，因为，所以ln x＞0，cos x＜0，故φ（x）＜0，不合题意．②当m＞0时，因为，所以φ'（x）＞0，故φ（x）在上单调递增．欲φ（x）≥0对任意的都成立，则需φ（π）≥0，所以m lnπ+cosπ≥0，解得．综上所述，m的取值范围是．（3）证明：因为，g'（x）=﹣sin x，且函数f（x）与g（x）在点P（x0，y0）处的切线互相垂直，所以，即m sin x0=x0（*）．又点P（x0，y0）是函数f（x）与g（x）的一个交点，所以m ln x0=cos x0（**）．由（*）（**）消去m，得x0ln x0﹣sin x0cos x0=0．①当x0∈（0，1]时，因为m＞0，所以m ln x0≤0，且cos x0＞0，此与（**）式矛盾．所以在（0，1]上没有x0适合题意．②当x0∈（1，+∞）时，设r（x）=x ln x﹣sin x cos x，x∈（1，+∞）．则r'（x）=ln x+1﹣cos2x＞0，即函数r（x）在（1，+∞）上单调递增，所以函数r（x）在（1，+∞）上至多有一个零点．因为r（1）=ln1﹣sin1cos1=﹣sin1cos1＜0，，且r（x）的图象在（1，+∞）上不间断，所以函数r（x）在有唯一零点．即只有唯一的x0∈（1，+∞），使得x0ln x0﹣sin x0cos x0=0成立，且．综上所述，存在唯一的x0∈（0，+∞），且．。