课时跟踪检测(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件
高考数学一轮复习课时跟踪检测(二)命题及其关系、充分条件与必要条件理(普通高中)
课时跟踪检测（二）命题及其关系、充分条件与必要条件(一)普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B 依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．2．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD 中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．3．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．4．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 依题意，若A⊆C，则∁U C⊆∁U A，若B⊆∁U C，可得A∩B＝∅；若A∩B＝∅，不妨令C＝A，显然满足A⊆C，B⊆∁U C，故满足条件的集合C是存在的．5．命题p：“若x2<1，则x<1”的逆命题为q，则p与q的真假性为( )A．p真q真B．p真q假C．p假q真D．p假q假解析：选B q：若x<1，则x2<1.∵p：x2<1，则－1<x<1.∴p真，当x <1时，x 2<1不一定成立，∴q 假，故选B.6．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选C 因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.7．在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件．解析：由A ＝B ，得tan A ＝tan B ，反之，若tan A ＝tan B ，则A ＝B ＋k π，k ∈Z.∵0＜A ＜π，0<B <π，∴A ＝B .答案：充要8．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3.又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)9．下列命题：①“a >b ”是“a 2>b 2”的必要条件；②“|a |>|b |”是“a 2>b 2”的充要条件；③“a >b ”是“a ＋c >b ＋c ”的充要条件．其中真命题的是________(填序号)．解析：①a >ba 2>b 2，且a 2>b 2 a >b ，故①不正确； ②a 2>b 2⇔|a |>|b |，故②正确；③a >b ⇒a ＋c >b ＋c ，且a ＋c >b ＋c ⇒a >b ，故③正确．答案：②③10．(2018·德州模拟)下列命题中为真命题的序号是________．①若x ≠0，则x ＋1x≥2； ②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1； ③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．解析：当x <0时，x ＋1x≤－2，故①错误；根据逆否命题的定义可知，②正确；“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；根据否命题的定义知④正确．故填②④.答案：②④B 级——中档题目练通抓牢1．(2018·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题 解析：选B 对于A ，命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4＞1，故为假命题；对于B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x ＞1，则x ＞1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B.2．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然CD ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．3．若x >5是x >a 的充分条件，则实数a 的取值范围为( )A ．(5，＋∞)B ．[5，＋∞)C ．(－∞，5)D ．(－∞，5] 解析：选D 由x >5是x >a 的充分条件知，{x |x >5}⊆{x |x >a }，∴a ≤5，故选D.4．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：35．(2018·武汉调研)已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．解析：命题p ：x ＞m ＋3或x ＜m ，命题q ：－4＜x ＜1.因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以m ＋3≤－4或m ≥1，故m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)6．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．7．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}＝{x |2<x <4}， B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)由题意知A ⊆B ，当a ＝0时，B ＝∅，不合题意．当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2. 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，则⎩⎨⎧ 3a ≤2，a ≥4，无解．综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2. (2)要满足A ∩B ＝∅，当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }则a ≥4或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥4. 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，则a ≤2或a ≥43，即a <0.当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，23∪[4，＋∞)． C 级——重难题目自主选做1．“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，当a ＝0时，f (x )＝sin x －1x，f (－x )＝sin(－x )－1－x ＝－sin x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －1x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数； 反之，当f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x ＋a ＝2a ，故a ＝0，所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的充要条件，故选C.2．(2018·南山模拟)已知条件p ：14<2x ＜16，条件q ：(x ＋2)·(x ＋a )＜0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( )A ．[－4，＋∞)B ．(－∞，－4)C ．(－∞，－4]D ．(4，＋∞)解析：选B 由14＜2x ＜16，得－2＜x ＜4， 即p ：－2＜x ＜4.方程(x ＋2)(x ＋a )＝0的两个根分别为－a ，－2.①若－a ＞－2，即a ＜2，则条件q ：(x ＋2)(x ＋a )＜0等价于－2＜x ＜－a ，由p 是q 的充分不必要条件可得－a ＞4，则a ＜－4；②若－a ＝－2，即a ＝2，则(x ＋2)(x ＋a )＜0无解，不符合题意；③若－a ＜－2，即a ＞2，则q ：(x ＋2)(x ＋a )＜0等价于－a ＜x ＜－2，不符合题意． 综上，可得a 的取值范围为(－∞，－4)，故选B.。
精选-江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二命题及其关系充分条件与必要条件理含解析
课时跟踪检测（二）命题及其关系、充分条件与必要条件一抓基础，多练小题做到眼疾手快．(·张家港外国语学校检测)命题“若－＋＝，则＝”的逆否命题是．答案：若≠，则－＋≠．(·苏州实验中学检测)在△中，角，，的对边分别为，，.命题甲：＋＝，且＋＝；命题乙：△是正三角形，则命题甲是命题乙的条件．答案：充要．“＝”是“两直线：＋＋＝和：＋(－)＋－＝平行”的条件．答案：充要．(·南京模拟)有下列命题：①“若＞，则＞”的否命题；②“若＋＝，则，互为相反数”的逆命题；③“若＜，则－＜＜”的逆否命题．其中真命题的序号是．解析：①原命题的否命题为“若≤，则≤”，假命题．②原命题的逆命题为：“若，互为相反数，则＋＝”，真命题．③原命题的逆否命题为“若≥或≤－，则≥”，真命题．答案：②③．若＞是＞的充分条件，则实数的取值范围为．解析：由＞是＞的充分条件知，{＞}⊆{＞}，所以≤.答案：(－∞，]．(·苏州中学检测)已知集合＝{(－)＜}，＝{－＜}，则“∈”是“∈”的条件．解析：因为集合＝()，集合＝(－)，所以“∈”是“∈”的充分不必要条件．答案：充分不必要二保高考，全练题型做到高考达标．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是．解析：依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．答案：“若一个数的平方是正数，则它是负数”．(·南通中学高三测试)已知，都是实数，命题：＋＝；命题：直线＋＝与圆(－)＋(－)＝相切，则是的条件．解析：圆(－)＋(－)＝的圆心为(，)，半径＝，直线＋＝与圆相切，则圆心到直线的距离＝＝，解得＋＝.即＋＝±，所以是的充分不必要条件．答案：充分不必要．(·南通模拟)设，都是不等于的正数，则“＞＞”是“＜”的条件．解析：因为＞＞，所以＞＞，此时＜；反之，若＜，则不一定得到＞＞，例如当＝，＝时，＜成立，但推不出＞＞.故“＞＞”是“＜”的充分不必要条件．答案：充分不必要．(·无锡一中检测)给出下列说法：①“若＋＝，则＝”的逆命题是假命题；②“在△中，＞是＞的充要条件”是真命题；③≤是≤的充分不必要条件；④命题“若＜－，则－－＞”的否命题为“若≥－，则－－≤”．以上说法正确的是(填序号)．解析：对于①，“若＋＝，则＝”的逆命题是“若＝，则＋＝”，当＝，＝时，有＝成立，但＋＝，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△中，由正弦定理得＞⇔＞⇔＞，②正确；对于③，因为，所以≤是≤的必要不充分条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④．(·南通一中高三测试)已知命题：≤≤＋，命题：－＜，若是的充分不必要条件，则的取值范围是．解析：令＝{≤≤＋}，＝{－＜}＝{＜＜}．因为是的充分不必要条件，所以，所以(\\(＞，＋＜，))解得＜＜.答案：()．设：实数，满足(－)＋(－)≤，：实数，满足(\\(≥－，≥－，≤，))则是的条件．解析：表示以点()为圆心，为半径的圆面(含边界)，如图所示．表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，是的必要不充分条件．答案：必要不充分．在命题“若＞－，则＞”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是．解析：若＝，＝，则＞－，但＜，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若＝－，＝－，则(－)＞(－)，但－＜，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为.答案：．(·常熟中学测试)给定下列命题：①若＞，则方程＋－＝有实数根；②若＋≠，则≠或≠；③“＝”是“直线－＝与直线＋＝互相垂直”的充要条件；④“若＝，则，中至少有一个为零”的否命题．其中真命题的序号是．解析：①因为Δ＝－(－)＝＋＞，所以①是真命题；②其逆否命题为真；故②是真命题；③“＝±”是“直线－＝与直线＋＝互相垂直”的充要条件，故③是假命题；④否命题：“若≠，则，都不为零”是真命题．答案：①②④．(·天一中学期末)已知：－＞，：－＋－≥(＞)，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是．解析：由－＞，得－＞或－＜－，即＞或＜－.由－＋－≥(＞)，得[－(－)][－(＋)]≥，即≥＋或≤－，＞.若是的必要不充分条件，则(\\(＞，＋≤，－≥－，))解得＜≤.答案：(]．设等比数列{}的公比为，前项和为，则“＝”是“＝”的条件．解析：因为等比数列{}的前项和为，又＝，所以＋＋＋＝(＋)，所以＋＝＋，所以＝⇔＝，所以“＝”是“＝”的充要条件．答案：充要．(·南师大附中检测)设：实数满足＋－＜(＞)，：实数满足＋－＜，且綈是綈的必要不充分条件，求的取值范围．解：由＋－＜(＞)，得－＜＜，即：－＜＜.由＋－＜，得－＜＜，即：－＜＜.因为綈是綈的必要不充分条件，所以能推出，不能推出，所以{－＜＜－＜＜}，即(\\(－≥－，＜，＞))或(\\(－＞－，≤，＞，))解得＜≤，故的取值范围是.．已知集合＝错误!，＝{－－≤}，＝{＞}，命题：实数为小于的正整数，：是成立的充分不必要条件，：是成立的必要不充分条件．若命题，，都是真命题，求实数的值．解：因为命题是真命题，所以＜＜，∈，①所以＝错误!＝错误!.由题意知，＝{－－≤}＝{－≤≤}，＝＝错误!.因为命题，都是真命题，所以，，所以(\\(()≤，,()＞().))②由①②得＝.三上台阶，自主选做志在冲刺名校．设{}是公比为的等比数列，则“＞”是“{}为递增数列”的条件．解析：当等比数列{}的首项＜，公比＞时，如＝－是递减数列，所以充分性不成立；反之，若等比数列{}为递增数列，则(\\(＜，＜＜))或(\\(＞，＞，))所以必要性不成立，即“＞”是“{}为递增数列”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要．(·苏州木渎中学测试)若命题“－－＞不成立”是真命题，则实数的取值范围为．解析：由题意知－－≤恒成立，当＝时，－≤成立；当≠时，由(\\(＜，,Δ＝＋≤，))得－≤＜，综上，实数的取值范围为[－]．答案：[－]．已知集合＝{－＋＜}，＝{(－)(－)＜}．()若∈是∈的充分条件，求的取值范围；()若∩＝∅，求的取值范围．解：＝{－＋＜}＝{＜＜}，＝{(－)(－)＜}．()当＝时，＝∅，不合题意．当＞时，＝{＜＜}，要满足题意，则(\\(≤，≥，))解得≤≤.当＜时，＝{＜＜}，要满足题意，则(\\(≤，≥，,))无解．综上，的取值范围为.()要满足∩＝∅，当＞时，＝{＜＜}则≥或≤，即＜≤或≥.当＜时，＝{＜＜}，则≤或≥，即＜.当＝时，＝∅，∩＝∅.综上，的取值范围为∪[，＋∞)．。
课时跟踪检测(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件
课时跟踪检测（二）命题及其关系、充分条件与必要条件1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选B命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．2．原命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．4解析：选C当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有2个．3．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B由2－x≥0，得x≤2；由(x－1)2≤1，得－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知：“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．4．(2020·佛山质检)已知函数f(x)＝3x－3－x，∀a，b∈R，则“a>b”是“f(a)>f(b)”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C易知函数f(x)＝3x－3－x为(－∞，＋∞)上的单调递增函数，从而由“a>b”可得“f(a)>f(b)”，由“f(a)>f(b)”可得“a>b”，即“a>b”是“f(a)>f(b)”的充要条件．5．(2019·张家界二模)设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是()A．－1<x≤1 B．x≤1C ．x >－1D ．－1<x <1解析：选D ∵集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x ≥1}，x ∈A 且x ∉B ，∴－1<x <1；又当－1<x <1时，满足x ∈A 且x ∉B ，∴“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是“－1<x <1”．6．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切． 其中真命题的序号为( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③解析：选C 对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确； 对于命题②，若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相等，但标准差不等，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．7．(2020·咸阳模拟)已知p ：m ＝－1，q ：直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意得直线x ＋m 2y ＝0的斜率是－1，所以－1m2＝－1，m ＝±1.所以p 是q 的充分不必要条件．故选A.8．(2020·重庆调研)定义在R 上的可导函数f (x )，其导函数为f ′(x )，则“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴[f (－x )]′＝[－f (x )]′＝－f ′(x )，∴f ′(－x)＝f′(x)，即f′(x)为偶函数；反之，若f′(x)为偶函数，如f′(x)＝3x2，f(x)＝x3＋1满足条件，但f(x)不是奇函数，因此“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的必要不充分条件．故选B.9．原命题：“a，b为两个实数，若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法正确的是()①逆命题为：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，为假命题；②否命题为：a，b为两个实数，若a＋b<2，则a，b都小于1，为假命题；③逆否命题为：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a＋b<2，为真命题；④a，b为两个实数，“a＋b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③解析：选A原命题：a，b为两个实数，若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1；逆命题：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2；否命题：a，b为两个实数，若a＋b<2，则a，b都小于1；逆否命题：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a＋b<2.逆否命题显然为真，故原命题也为真；若a＝1.2，b＝0.5，则a＋b≥2不成立，逆命题为假命题，所以否命题为假命题．所以“a＋b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的充分不必要条件．故①②③为真命题，④为假命题．10．若x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是()A．[－3,3] B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,1]解析：选D∵x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分条件，∴(－1,4)(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选D.11．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B“不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．12．(2020·庆阳模拟)有下列命题：①“若x ＋y >0，则x >0且y >0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中为真命题的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①④解析：选C ①中原命题的逆命题为“若x >0且y >0，则x ＋y >0”为真，故否命题为真；②中原命题的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；③中原命题的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m >1”，∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0，即m >1.∴③是真命题； ④中原命题为真，逆否命题也为真．综上，故选C.13．在原命题“若A ∪B ≠B ，则A ∩B ≠A ”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：逆命题为“若A ∩B ≠A ，则A ∪B ≠B ”；否命题为“若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝A ”；逆否命题为“若A ∩B ＝A ，则A ∪B ＝B ”．全为真命题．答案：414．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立． ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2.答案：[1,2]15．条件p ：1－x <0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：p ：x >1，若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q ，但q ⇒/ p ，也就是说，p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以a <1.答案：(－∞，1)16．(2020·湖南十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }为等比数列”的____________条件．解析：若A ＝B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列．如果{a n }是等比数列，由a 1＝S 1＝Aq ＋B ，得a 2＝S 2－a 1＝Aq 2－Aq ，a 3＝S 3－S 2＝Aq 3－Aq 2，∴a 1a 3＝a 22，从而可得A ＝－B ，故“A ＝－B ”是“数列{a n }为等比数列”的必要不充分条件．答案：必要不充分17．已知函数f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －23cos 2x －1，p ：π4≤x ≤π2，q ：|f (x )－m |<2，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：化简解析式，得f (x )＝4·1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x 2－23cos 2x －1＝2sin 2x －23cos 2x ＋1＝4sin2x －π3＋1. 当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3， 则12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，所以f (x )∈[3,5]． 当|f (x )－m |<2时，f (x )∈(m －2，m ＋2)．又p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －2<3，m ＋2>5，所以3<m <5. 即实数m 的取值范围为(3,5)．。
高考数学一轮总复习 课时跟踪检测(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件 理 新人教版
课时跟踪检测(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若(2x －1)x ＝0，则x ＝12或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x －1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选 C 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．3．原命题p ：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”，它是正确的；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．4．(2015·南宁二模)已知p ：|x |<2；q ：x 2－x －2<0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由x 2－x －2<0，得(x －2)(x ＋1)<0，解得－1<x <2；由|x |<2得－2<x <2.注意到由－2<x <2不能得知－1<x <2，即由p 不能得知q ；反过来，由－1<x <2可知－2<x <2，即由q 可得知p .因此，p 是q 的必要不充分条件．5．已知集合A ，B ，全集U ，给出下列四个命题： ①若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ； ②若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝B ； ③若a ∈(A ∩∁U B )，则a ∈A ； ④若a ∈∁U (A ∩B )，则a ∈(A ∪B ) 其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ①正确；②不正确，由A ∪B ＝B 可得A ⊆B ，所以A ∩B ＝A ；③正确；④不正确．二保高考，全练题型做到高考达标 1．已知复数z ＝a ＋3ii(a ∈R ，i 为虚数单位)，则“a >0”是“z 在复平面内对应的点位于第四象限”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C z ＝a ＋3ii＝－(a ＋3i)i ＝3－a i ，若z 位于第四象限，则a >0，反之也成立，所以“a >0”是“z 在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件．2．命题“a ，b ∈R ，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( ) A ．a ，b ∈R ，若a ≠b ≠0，则a 2＋b 2＝0 B ．a ，b ∈R ，若a ＝b ≠0，则a 2＋b 2≠0 C ．a ，b ∈R ，若a ≠0且b ≠0，则a 2＋b 2≠0 D ．a ，b ∈R ，若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0解析：选D a ＝b ＝0的否定为a ≠0或b ≠0；a 2＋b 2＝0的否定为a 2＋b 2≠0. 3．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．4．(2015·南昌调研)下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题是“若x 2＝1，则x ≠1” B ．“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的必要不充分条件 C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题是真命题 D ．“tan x ＝1”是“x ＝π4”的充分不必要条件解析：选C 由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x 2≠1，则x ≠1”，即A 不正确；因为x 2－x －2＝0，所以x ＝－1或x ＝2，所以由“x ＝－1”能推出“x 2－x －2＝0”，反之，由“x 2－x －2＝0”推不出“x ＝－1”，所以“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，即B 不正确；因为由x ＝y 能推得sin x ＝sin y ，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C 正确；由x ＝π4能推得tan x ＝1，但由tan x ＝1推不出x＝π4，所以“tan x ＝1”是“x ＝π4”的必要不充分条件，即D 不正确． 5．(2016·烟台一模)若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≤2C ．a ≥－2D ．a ≤－2解析：选A 因为|x |≤2，则p ：－2≤x ≤2，q ：x ≤a ，由于p 是q 的充分不必要条件，则p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以a ≥2.6．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：37．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件．解析：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又S 4＝2S 2， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，∴a 3＋a 4＝a 1＋a 2，∴q 2＝1⇔|q |＝1，∴“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件． 答案：充要8．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m ＞0，解得m ＜8.故实数m 的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)9．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }， ∵β：|x －1|<1，∴0<x <2， ∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}． 又∵α是β的必要不充分条件， ∴BA ，∴a ≤0.答案：(－∞，0]10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0” B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0” 解析：选C C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”. 若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0，所以不是真命题．2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a <0 B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1解析：选A 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x(x ≤0)与直线y ＝a 无交点．数形结合可得，a ≤0或a >1，即函数f (x )有且只有一个零点的充要条件是a ≤0或a >1，应排除D ；当0<a <12时，函数y ＝－2x＋a (x ≤0)有一个零点，即函数f (x )有两个零点，应排除B ；同理，排除C.3．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≤－1或m ≥32.假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0解得m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是(－∞，－1]．。
课时跟踪训练2命题及其关系、充分条件与必要条件
课时跟踪检测(二)命题及其关系、充分条件与必要条件[基础巩固]1．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：选D x2<1的否定为：x2≥1；－1<x<1的否定为x≥1或x≤－1，因此原命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.故选D.2．(2014·安徽高考)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B∵ln(x＋1)＜0，∴0＜x＋1＜1，∴－1＜x＜0.∵x＜0是－1＜x＜0的必要不充分条件．故选B.3．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C A∪B＝{x∈R|x<0，或x>2}，C＝{x∈R|x<0，或x>2}，∵A∪B＝C，∴x ∈A∪B是x∈C的充分必要条件．故选C.4．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题．④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中的真命题为()A．①②B．②③C．①③D．③④解析：选C“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”为真命题，则逆否命题也为真；“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，该否命题为假命题；若q≤1⇒4－4q≥0，即Δ＝4－4q≥0，则x2＋2x＋q＝0有实根，所以原命题为真命题，故其逆否命题也为真；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，该逆命题为假命题．故选C.5．(2014·新课标Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：选C当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．故选C.6．(2015·沈阳模拟)下列命题中真命题是()A．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件B．“a＞b”是“a2＞b2”的必要条件C．“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要条件D．“a＞b”是“|a|＞|b|”的充要条件解析：选C由a＞b不能得知ac2＞bc2，当c2＝0时，ac2＝bc2；反过来，由ac2＞bc2可得a＞b.因此，“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件．故选C.7．(2015·郑州检测)下列说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1<0”D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题解析：选D若“x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，即A错误；若x2－5x－6＝0，则x＝6或x＝－1，所以“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，所以B错误；“∃x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，所以C错误；命题“若x＝y，则sin x＝sin y”为真命题，所以“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题也为真命题．故选D.8．设p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A.⎣⎡⎦⎤0，12 B ．⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选A 由|4x －3|≤1，得12≤x ≤1，¬p 为x <12或x >1； 由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，¬q 为x <a 或x >a ＋1.由¬p 是¬q 的必要不充分条件知a ≤12且a ＋1≥1，且两者不能同时取等号，所以0≤a ≤12.故选A.9．已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，则命题p 的否命题为________．解析：“若a 不是正数，则它的平方等于0” 若a 不是正数，则它的平方等于0.由否命题的定义可得否命题为“若a 不是正数，则它的平方等于0”．10．(2015·阜宁中学调研)“log 3M >log 3N ”是“M >N ”成立的______条件．(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写)解析：充分不必要 由log 3M >log 3N ，又因为对数函数y ＝log 3x 在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以M >N ；当M >N ，由于不知道M 、N 是否为正数，所以log 3M 、log 3N 不一定有意义，故不能推出log 3M >log 3N ，所以log 3M >log 3N “是M >N ”成立的充分不必要条件．11．已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0，若q 是p 的必要而不充分条件，则m 的取值范围为________．解析：[)9，＋∞ 由命题p 得－2≤x ≤10，因为q 是p 的必要不充分条件，所以{x |－2≤x ≤10} {x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞01－m ≤－21＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞01－m ＜－2，1＋m ≥10解得m ≥9，故m 的取值范围是[9，＋∞)．12．给出下列命题：①“∃x ∈R,2x >3”的否定是“∀x ∈R,2x ≤3”；②函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的最小正周期是π； ③命题“函数f (x )在x ＝x 0处有极值，则f ′(x 0)＝0”的否命题是真命题；④f (x )是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x >0时的解析式是f (x )＝2x ，则x <0时的解析式为f (x )＝－2－x .其中正确的命题是______．(写出所有正确结论的序号) 解析：①④ 对于①，“∃x ∈R,2x >3”的否定是“∀x ∈R,2x ≤3”，因此①正确；对于②，注意到sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，因此函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝12sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3，则其最小正周期是2π4＝π2，②不正确；对于③，注意到命题“函数f (x )在x ＝x 0处有极值，则f ′(x 0)＝0”的否命题是“若函数f (x )在x ＝x 0处无极值，则f ′(x 0)≠0”，容易知该命题不正确，如取f (x )＝x 3，当x 0＝0时，③不正确；对于④，依题意知，当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－2－x ，因此④正确．综上所述，其中正确的说法是①④. [能力提升]1．已知命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( )A ．否命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m >1”是真命题B ．逆命题“若m ≤1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C ．逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D ．逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题 解析：选D 函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数等价于f ′(x )＝e x －m ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m ≤e x 在(0，＋∞)上恒成立，而e x >1，故m ≤1，所以命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．故选D.2．(2014·天津高考)设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选C 按照b ＜0，b ＝0，b ＞0分类讨论求解．当b ＜0时，显然有a ＞b ⇔a |a |＞b |b |；当b ＝0时，显然有a ＞b ⇔a |a |＞b |b |；当b ＞0时，a ＞b 有|a |＞|b |，所以a ＞b ⇔a |a |＞b |b |.综上可知a ＞b ⇔a |a |＞b |b |.故选C.3．(文)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( )A ．－1<k <3B ．－1≤k ≤3C ．0<k <3D ．k <－1或k >3解析：选C “直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点”等价于|1－0－k |2<2，也就是k ∈(－1,3)．四个选项中只有(0,3)是(－1,3)的真子集，故充分不必要条件可以是0<k <3.故选C.3．(理)若f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )<2}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是( )A ．t ≤－1B ．t >－1C ．t ≥3D ．t >3解析：选D P ＝{x |f (x ＋t )<2}＝{x |f (x ＋t )<f (2)}，Q ＝{x |f (x )<－4}＝{x |f (x )<f (－1)}，因为函数f (x )是R 上的增函数，所以P ＝{x |x ＋t <2}＝{x |x <2－t }，Q ＝{x |x <－1}，要使“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则有2－t <－1，即t >3.故选D.4．下列四个命题：①命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ＝0，则ab ≠0”；②若命题“¬p ”与命题“p 或q ”都是真命题，则命题q 一定是真命题；③命题“若0<a <1，则log a (a ＋1)<log a ⎝⎛⎭⎫1＋1a ”是真命题． 其中正确命题的序号是______．(把所有正确命题的序号都填上)解析：② 对于①，原命题的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”，∴①错；对于②，命题“¬p ”是真命题，则命题p 是假命题，又命题“p 或q ”为真命题，则命题q 一定是真命题，∴②正确；对于③，若0<a <1，则1a >1，∴a <1a ，∴1＋a <1a＋1， ∴log a (1＋a )>log a ⎝⎛⎭⎫1a ＋1，∴③错．故填②.。
课时跟踪检测(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件
课时跟踪检测（二） 命题及其关系、充分条件与必要条件 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若(2x －1)x ＝0，则x ＝12或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x －1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．设a ，b ∈R ，则“a 3>b 3且ab <0”是“1a > 1b”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a 3>b 3，知a >b ，由ab <0，知a >0>b ，所以此时有1a >1b，故充分性成立； 当1a >1b时，若a ，b 同号，则a <b ，若a ，b 异号，则a >b ，所以必要性不成立．故选A. 3．对于直线m ，n 和平面α，β，m ⊥α成立的一个充分条件是( )A ．m ⊥n ，n ∥αB ．m ∥β，β⊥αC ．m ⊥β，n ⊥β，n ⊥αD ．m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α解析：选C 对于选项C ，因为m ⊥β，n ⊥β，所以m ∥n ，又n ⊥α，所以m ⊥α，故选C.4．命题p ：“若x 2<1，则x <1”的逆命题为q ，则p 与q 的真假性为( )A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假解析：选B q ：若x <1，则x 2<1.∵p ：x 2<1，则－1<x <1.∴p 真，当x <1时，x 2<1不一定成立，∴q 假，故选B.5．若x >5是x >a 的充分条件，则实数a 的取值范围为( )A ．a >5B ．a ≥5C ．a <5D ．a ≤5 解析：选D 由x >5是x >a 的充分条件知，{x |x >5}⊆{x |x >a }，∴a ≤5，故选D. 二保高考，全练题型做到高考达标1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B 依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．2．(2018·舟山模拟)已知α，β∈[－π，π]，则“|α|>|β|”是“|α|－|β|>cos α－cos β ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 设f (x )＝|x |－cos x ，x ∈[－π，π]，则函数f (x )为偶函数．因为|α|>|β|，不妨考虑x ∈[0，π]，f (x )＝x －cos x ．因为f ′(x )＝1＋sin x >0，所以函数f (x )在[0，π]上单调递增，所以当α>β时，α－cos α>β－cos β，即|α|－|β|>cos α－cos β，所以是充分条件；当|α|－|β|>cos α－cos β，即当α，β∈[0，π]时，α－β>cos α－cos β，所以α－cos α>β－cos β.因为函数f (x )在[0，π]上单调递增，所以α>β，由函数f (x )是偶函数可知|α|>|β|，所以是必要条件．故是充要条件．3．有下列命题：①“若x ＋y >0，则x >0且y >0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①④解析：选C ①的逆命题为“若x >0且y >0，则x ＋y >0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；③的逆命题为，若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1.∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0， 即m >1.∴③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．4．(2018·浙江五校联考)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，则“a＝－3”是“l1⊥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由题可得，当l1⊥l2时，由a＋(a＋2)a＝0，解得a＝0或a＝－3，可知“a ＝－3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．5．命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是() A．a≥4 B．a>4C．a≥1 D．a>1解析：选B要使“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，∴a>4是命题为真的充分不必要条件．6．命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b∈R)，”否命题的真假性为________．解析：命题的否命题为“若a≤b，则ac2≤bc2”．若c＝0，结论成立．若c≠0，不等式ac2≤bc2也成立．故否命题为真命题．答案：真7．下列命题：①“a>b”是“a2>b2”的必要条件；②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件；③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．其中是真命题的是________(填序号)．解析：①a>b⇒/a2>b2，且a2>b2⇒/a>b，故①不正确；②a2>b2⇔|a|>|b|，故②正确；③a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故③正确．答案：②③8．(2018·温州模拟)已知数列{a n}，“a n＋1>|a n|(n＝1,2，3，…)”是“数列{a n}为递增数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析：因为|a n |≥a n ，所以a n ＋1>a n ，可知数列{a n }是递增数列，所以是充分条件；当数列{a n }是递增数列时，取－4，－2，－1,0，…，则该数列为递增数列，但不一定满足a n ＋1>|a n |，所以不是必要条件．所以是充分不必要条件．答案：充分不必要9．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)解析：①α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，正确．②平面α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 平行于α，正确．③如图，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ，但不一定有α⊥β，错误．④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相交”两字，故为假命题．综上所述，真命题的序号为①②.答案：①②10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34， 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·吴越联盟)若“x ＝1”是“(x －a )(x －a －2)≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1,1)C ．[－1,1]D ．(－∞，1]解析：选C 由(x －a )(x －a －2)≤0，得a ≤x ≤a ＋2.要使条件成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ＋2≥1，解得－1≤a ≤1.2．设n ∈N *，关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 解析：因为方程有根，所以Δ＝16－4n ≥0，解得n ≤4，因为n ∈N *，所以n ＝1,2,3,4.当n ＝4时，方程的根为2，满足条件；当n ＝3时，方程的根为1,3，满足条件；当n ＝1,2时，方程的根不是整数，所以不满足条件．所以使得方程有整数根的充要条件是n ＝3,4.答案：3,43．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x －2x －(3a ＋1)<0，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)<0，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B .(1)当a ＝12时，若p 真q 假，求x 的取值范围；(2)若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，A ＝{x |2<x <37}，B ＝{x |12<x <146}，因为p 真q 假．所以(∁U B )∩A ＝{x |2<x ≤12}，所以x 的取值范围为(2,12]．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B .因为a 2＋2＞a ，所以B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}．当3a ＋1＞2，即a ＞13时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}， 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13<a ≤3－52； 当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意； 当3a ＋1＜2，即a ＜13时，A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}，应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2解得－12≤a <13； 综上所述，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.。
课时跟踪检测(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件
课时跟踪检测（二）命题及其关系、充分条件与必要条件[达标综合练]1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：选B原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若a>－6，则a>－3”为假命题，故否命题也为假命题，故选B.2．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选B命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．3．已知函数f(x)，x∈R，则“f(x)的最大值为1”是“f(x)≤1恒成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由f(x)max＝1知，f(x)≤1且存在实数x0∈R，使f(x0)＝1，而f(x)≤1，不能得到f(x)max＝1，故选A.4．若命题A的逆命题为B，命题A的否命题为C，则B是C的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．都不对解析：选C根据题意，设命题A为“若p，则q”，则命题B为“若q，则p”，命题C为“若綈p，则綈q”，显然，B与C是互为逆否命题．故选C.5．(2020·抚州期末)设x∈R，i是虚数单位，则“x＝3”是“复数z＝(x2－9)＋(x＋3)i 为纯虚数”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：选C若复数z＝(x2－9)＋(x＋3)i为纯虚数，则x2－9＝0且x＋3≠0，即x＝±3且x≠－3，即x＝3，所以x＝3”是“复数z＝(x2－9)＋(x＋3)i为纯虚数”的充要条件，故选C.6．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号为( ) A ．①②③ B ．①② C ．①③D ．②③解析：选C 对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确； 对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．7．(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面解析：选B 若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之则不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A 、C 、D 中条件均不是α∥β的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立．因此B 中条件是α∥β的充要条件．故选B.8．A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．则下列四个命题中为p 的逆否命题的是( )A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分C ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p 的逆否命题是若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.9．使a >0，b >0成立的一个必要不充分条件是( ) A ．a ＋b >0 B ．a －b >0 C ．ab >1D.a b >1解析：选A 本题等价为：“选项”是a >0，b >0成立的一个必要不充分条件．因为a >0，b >0⇒a ＋b >0，反之不成立，而由a >0，b >0不能推出a －b >0，ab >1，ab>1，故选A.10．(2019·莆田一中月考)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( )A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件解析：选D 由非有志者不能至可知，“能至”一定是“有志”的，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．11．(2019·长郡中学二模)条件p ：|x ＋1|＞2，条件q ：x ≥2，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 根据题意，|x ＋1|＞2⇔x ＜－3或x ＞1， 则綈p ：－3≤x ≤1，又由题意，q ：x ≥2，则綈q 为x ＜2， 所以綈p 是綈q 的充分不必要条件．12．原命题：“a ，b 为两个实数，若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是( )A ．逆命题为：a ，b 为两个实数，若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2，为假命题B ．否命题为：a ，b 为两个实数，若a ＋b <2，则a ，b 都小于1，为假命题C ．逆否命题为：a ，b 为两个实数，若a ，b 都小于1，则a ＋b <2，为真命题D．a，b为两个实数，“a＋b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件解析：选D原命题：a，b为两个实数，若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1；逆命题：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2；否命题：a，b为两个实数，若a＋b<2，则a，b都小于1；逆否命题：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a＋b<2.逆否命题显然为真，故原命题也为真；若a＝1.2，b＝0.5，则a＋b≥2不成立，逆命题为假命题，所以否命题为假命题．所以“a＋b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的充分不必要条件．故选D.13．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”．全为真命题．答案：414．(2019·江西八校第二次联考)若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．解析：因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，所以(m，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，所以m>3.答案：(3，＋∞)15．(2020·衡水质检)设α，β为两个不同平面，直线m⊂α，则“α∥β”是“m∥β”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”中的一个)．解析：根据题意，α，β表示两个不同的平面，直线m⊂α，当α∥β时，根据面面平行的性质定理可知，α中任何一条直线都平行于平面β，得m∥β，所以α∥β⇒m∥β；当m∥β且m⊂α时，α∥β或α与β相交，所以“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件．答案：充分不必要16．已知p：实数m满足3a<m<4a(a>0)，q：方程x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________．解析：由2－m >m －1>0，解得1<m <32，即q 对应的集合A ＝⎩⎨⎧m ⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ≤32，解得13≤a ≤38，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38. 答案：⎣⎡⎦⎤13，38[素养强化练]1．[逻辑推理]设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“a ·(b －c )＝0”是“b ＝c ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由b ＝c ，得b －c ＝0，得a ·(b －c )＝0；反之不成立．故“a ·(b －c )＝0”是“b ＝c ”的必要不充分条件．2．[逻辑推理、数学运算]圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx －3有公共点的充分不必要条件是( )A ．k ≤－22或k ≥2 2B ．k ≤－2 2C ．k ≥2D ．k ≤－22或k >2解析：选B 若直线与圆有公共点，则圆心到直线kx －y －3＝0的距离d ＝|－3|k 2＋1≤1，即k 2＋1≥3，解得k ≥22或k ≤－22，∴圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx －3有公共点的充分不必要条件是k ≤－22，故选B.3．[逻辑推理、直观想象]已知平面区域Ω1：x 2＋y 2≤9，Ω2：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≤0，y ＋2≥0，则点P (x ，y )∈Ω1是P (x ，y )∈Ω2的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 平面区域Ω1：x 2＋y 2≤9表示圆上以及内部部分，Ω2：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≤0，y ＋2≥0表示的可行域如图中三角形部分，则点P (x ，y )∈Ω1是P (x ，y )∈Ω2的必要不充分条件．4．[数学抽象]能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析：设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin 0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．答案：f (x )＝sin x (答案不唯一)。
浙江专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二命题及其关系充分条件与必要条件含解析
课时跟踪检测（二）命题及其关系、充分条件与必要条件一抓基础，多练小题做到眼疾手快．“(－)＝”是“＝”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：选若(－)＝，则＝或＝，即不一定是＝；若＝，则一定能推出(－)＝.故“(－)＝”是“＝”的必要不充分条件．．设，∈，则“＞且＜”是“＞”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：选由＞，知＞，由＜，知＞＞，所以此时有＞，故充分性成立；当＞时，若，同号，则＜，若，异号，则＞，所以必要性不成立．故选.．设φ∈，则“φ＝”是“()＝(＋φ)(∈)为偶函数”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：选若φ＝，则()＝为偶函数；若()＝(＋φ)(∈)为偶函数，则φ＝π(∈)．故“φ＝”是“()＝(＋φ)(∈)为偶函数”的充分不必要条件．．命题：“若＜，则＜”的逆命题为，则与的真假性为( )．真真．真假．假真．假假解析：选：若＜，则＜.∵：＜，则－＜＜.∴真，当＜时，＜不一定成立，∴假，故选.．若＞是＞的充分条件，则实数的取值范围为( )．(，＋∞)．[，＋∞)．(－∞，) ．(－∞，]解析：选由＞是＞的充分条件知，{＞}⊆{＞}，∴≤，故选.二保高考，全练题型做到高考达标．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”．“若一个数的平方是正数，则它是负数”．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．．命题“对任意实数∈[]，关于的不等式－≤恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是( )．≥．≤．≥．≤解析：选即由“对任意实数∈[]，关于的不等式－≤恒成立”可推出选项，但由选项推不出“对任意实数∈[]，关于的不等式－≤恒成立”．因为∈[]，所以∈[]，－≤恒成立，即≤，因此≥；反之亦然．故选.．有下列命题：①“若＋＞，则＞且＞”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若≥，则－(＋)＋＋＞的解集是”的逆命题；④“若＋是无理数，则是无理数”的逆否命题．其中正确的是( )．①②③．②③④．①③④．①④解析：选①的逆命题为“若＞且＞，则＋＞”为真，故否命题为真；②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；③的逆命题为，若－(＋)＋＋＞的解集为，则≥.∵当＝时，解集不是，∴应有(\\(＞，,Δ＜，))即＞.∴③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．．(·浙江名校联考信息卷)已知直线的斜率为，倾斜角为θ，则“＜θ≤”是“≤”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：选当＜θ≤时，＜≤；反之，当≤时，≤θ≤或＜θ＜π.故“＜θ≤”是“≤”的充分不必要条件，故选.．命题“对任意∈[)，－≤”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )．≥．＞．≥．＞解析：选要使“对任意∈[)，－≤”为真命题，只需要≥，∴＞是命题为真的充分不必要条件．．命题“若＞，则＞(，∈)”，否命题的真假性为．解析：命题的否命题为“若≤，则≤”．若＝，结论成立．若≠，不等式≤也成立．故否命题为真命题．答案：真．下列命题：①“＞”是“＞”的必要条件；②“＞”是“＞”的充要条件；③“＞”是“＋＞＋”的充要条件．其中是真命题的是(填序号)．解析：①＞＞，且＞＞，故①不正确；②＞⇔＞，故②正确；③＞⇒＋＞＋，且＋＞＋⇒＞，故③正确．答案：②③．已知α，β∈(，π)，则“ α＋β＜”是“(α＋β)＜”的条件．解析：因为(α＋β)＝αβ＋αβ＜α＋β，所以若α＋β＜，则有(α＋β)＜，故充分性成立；当α＝β＝时，有(α＋β)＝π＝＜，而α＋β＝＋＝，不满足α＋β＜，故必要性不成立．所以“ α＋β＜”是“(α＋β)＜”的充分不必要条件．答案：充分不必要．已知：实数满足＋＜(＞)，：方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆．若是的充分不必要条件，则的取值范围是．解析：由＞，－＋＜，得＜＜，即：＜＜，＞.由方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆，可得－＞－＞，解得＜＜，即：＜＜.因为是的充分不必要条件，所以(\\(＞，≤()))或(\\(≥，＜()，))解得≤≤，所以实数的取值范围是.答案：．已知集合＝，＝{＋≥}．若“∈”是“∈”的充分条件，求实数的取值范围．解：＝－＋＝＋，∵∈，∴≤≤，∴＝.由＋≥，得≥－，∴＝{≥－}．∵“∈”是“∈”的充分条件，∴⊆，∴－≤，解得≥或≤－，故实数的取值范围是∪.三上台阶，自主选做志在冲刺名校．已知：≥，：＜，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是( )．[，＋∞)．(，＋∞)．[，＋∞) ．(－∞，－]解析：选由＜得，－＝＜，即(－)(＋)＞，解得＜－或＞，由是的充分不必要条件知，＞，故选.．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为[]＝{＋∈}，＝，则下列结论正确的为(填序号)．①∈[]；②－∈[]；③＝[]∪[]∪[]∪[]；④命题“整数，满足∈[]，∈[]，则＋∈[]”的原命题与逆命题都正确；⑤“整数，属于同一类”的充要条件是“－∈[]”．解析：由“类”的定义[]＝{＋∈}，＝，可知，只要整数＝＋，∈，＝，则∈[]，对于①中，＝×＋，所以∈[]，所以符合题意；对于②中，－＝×(－)＋，所以符合题意；对于③中，所有的整数按被除所得的余数分为四类，即余数分别为的整数，即四“类”[]，[]，[]，[]，所以＝[]∪[]∪[]∪[]，所以符合题意；对于④中，原命题成立，但逆命题不成立，因为若＋∈[]，不妨设＝，＝，则此时∉[]且∉[]，所以逆命题不成立，所以不符合题意；对于⑤中，因为“整数，属于同一类”，不妨设＝＋，＝＋，，∈，且＝，则－＝(－)＋，所以－∈[]；反之，不妨设＝＋，＝＋，，∈，＝，＝，则－＝(－)＋(－)，若－∈[]，则－＝，即＝，所以整数，属于同一类，故“整数，属于同一类”的充要条件是“－∈[]”，所以符合题意．答案：①②③⑤．已知全集＝，非空集合＝错误!，＝{(－)(－－)＜，命题：∈，命题：∈.()当＝时，若真假，求的取值范围；()若是的必要条件，求实数的取值范围．解：()当＝时，＝{＜＜}，＝{＜＜}，因为真假．所以(∁)∩＝{＜≤}，所以的取值范围为(]．()若是的必要条件，即⇒，可知⊆.因为＋＞，所以＝{＜＜＋}．当＋＞，即＞时，＝{＜＜＋}，应满足条件(\\(≤，＋≥＋，))解得＜≤；当＋＝，即＝时，＝∅，不符合题意；当＋＜，即＜时，＝{＋＜＜}，应满足条件(\\(≤＋，＋≥))解得－≤＜；综上所述，实数的取值范围为∪.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时跟踪检测(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件1．(2012·福建高考)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝02．(2013·安徽高考)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2014·韶关适应性训练)设a ，b ∈R ，则“a >0，b >0”是“a ＋b 2>ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知p ：“a ＝2”，q ：“直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切”，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2013·广州模拟)命题：“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥16．(2011·天津高考)设集合A ＝{x ∈R |x －2＞0}，B ＝{x ∈R |x ＜0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)＞0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题8．对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)10．(2013·湛江联考)已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．11．(2013·珠海模拟)“－3<a <1”是“方程x 2a ＋3＋y 21－a ＝1表示椭圆”的________条件．12．若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________． 13．下列命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________．14．(2014·佛山模拟)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎝⎛⎭⎫12x 2－x －6<1，B ＝{x |log 4(x ＋a )<1}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，则“A <B ”是“cos 2A >cos 2B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设x ，y 是两个实数，命题“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >13．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________．4．在“a ，b 是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b ≥0”，给出下列命题：①若a 2－4b ≥0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集； ②若a 2－4b <0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集； ③若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b <0； ④若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b <0； ⑤若a 2－4b <0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集； ⑥若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b ≥0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按要求的顺序填写)．5．设条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．6．(2013·揭阳质检)已知集合M ＝{x |x <－3，或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}． (1)求M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件．答 案A 级1．D 2.B 3.D 4.A5．选D x 2<1的否定为：x 2≥1；－1<x <1的否定为x ≥1或x ≤－1，故原命题的逆否命题为：若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1.6．选C A ∪B ＝{x ∈R |x ＜0，或x ＞2}，C ＝{x ∈R |x ＜0，或x ＞2}， 因为A ∪B ＝C ，所以x ∈A ∪B 是x ∈C 的充分必要条件．7．选A 对于A ，其逆命题是：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |≥y ，必有x >y ；对于B ，否命题是：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题是：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，由于x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．8．选B 若y ＝f (x )是奇函数， 则f (－x )＝－f (x )，所以|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，但若y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，如y ＝f (x )＝x 2，而它不是奇函数．9．解析：其否命题为“若x ≤0，则x 2≤0”，它是假命题． 答案：假10．解析：A ＝{x |x <4}，由题意得A B 结合数轴易得a >4. 答案：(4，＋∞)11．解析：方程表示椭圆时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3>0，1－a >0，a ＋3≠1－a解得－3<a <1且a ≠－1，故“－3<a <1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 答案：必要不充分12．解析：由x 2>1，得x <－1或x >1，又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－113．解析：对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，所以a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2⇒/ A 2C 1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④14．解析：由⎝⎛⎭⎫12x 2－x －6，即x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3，故A ＝{x |x <－2，或x >3}；由log 4(x ＋a )<1，即0<x ＋a <4，解得－a <x <4－a ，故B ＝{x |－a <x <4－a }．由题意，可知B A ，所以4－a ≤－2或－a ≥3，解得a ≥6或a ≤－3.答案：(－∞，－3]∪[6，＋∞)B 级1．选C 由大边对大角可知，A <B ⇔a <b . 由正弦定理可知a sin A ＝bsin B，故a <b ⇔sin A <sin B . 而cos 2A ＝1－2sin 2A ，cos 2B ＝1－2sin 2B ，又sin A >0，sin B >0，所以sin A <sin B ⇔cos 2A >cos 2B .所以a <b ⇔cos 2A >cos 2B ，即“A <B ”是“cos 2A >cos 2B ”的充要条件． 2．选B 命题“x ，y 中至少有一个数大于1”等价于“x >1或y >1”．若x ＋y >2，必有x >1或y >1，否则x ＋y ≤2；而当x ＝2，y ＝－1时，2－1＝1<2，所以x >1或y >1不能推出x ＋y >2. 对于x ＋y ＝2，当x ＝1，且y ＝1时，满足x ＋y ＝2，不能推出x >1或y >1. 对于x 2＋y 2>2，当x <－1，y <－1时，满足x 2＋y 2>2，故不能推出x >1或y >1. 对于xy >1，当x <－1，y <－1时，满足xy >1，不能推出x >1或y >1，故选B. 3．解析：由题意知：“13<x <12”是“不等式|x －m |<1”成立的充分不必要条件．所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12是{x ||x －m |<1}的真子集． 而{x ||x －m |<1}＝{x |－1＋m <x <1＋m }，所以有⎩⎨⎧－1＋m ≤13，1＋m ≥12，解得－12≤m ≤43.所以m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，43. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，43 4．解析：“非空集”的否定是“空集”，“大于或等于”的否定是“小于”，根据命题的构造规则，题目的答案是①③②④.答案：①③②④5．解：法一：条件p 为：12≤x ≤1，条件q 为：a ≤x ≤a ＋1.綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >1，或x <12，綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1，或x <a }．因为綈p 是綈q 的必要不充分条件，所以B A ，所以a ＋1>1且a ≤12或a ＋1≥1且a <12.所以0≤a ≤12.故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 法二：由题意可知綈q ⇒綈p ，綈p ⇒/ 綈q ， 所以p ⇒q ，q ⇒/ p .设A ＝{x |2x 2－3x ＋1≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 12≤x ≤1，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． 因为A B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1，所以0≤a ≤12.故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12 6．解：(1)由M ∩P ＝{x |5<x ≤8}，得－3≤a ≤5，因此M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件是－3≤a ≤5；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5<x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5<x ≤8}未必有a ＝0，故a ＝0是M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分不必要条件．。