2020版一轮复习理科数学习题：第二篇_函数及其应用第4节_幂函数与二次函数含解析

2020版高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2.4幂函数与二次函数模拟演练课件理

5．[2016·上海静安期末]已知函数 f(x)＝－x2＋4x，x∈
[m,5]的值域是[－5,4]，则实数 m 的取值范围是(
)
A．(－∞，－1)
B．(－1,2]
C．[ －1,2]
D．[2,5)
解析二次函数 f(x)＝－x2＋4x 的图象是开口向下的抛物线，最大值为 4，且在 x＝2 时取得，而当 x＝5 或－1 时， f(x)＝－5，结合图象可知 m 的取值范围是[－1,2]．
[A 级基础达标](时间：40 分钟)
1．[2017·泰安检测] 若幂函数 y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2
的图象不过原点，则 m 的取值是(
)
A．－1≤m≤2
B．m＝1 或 m＝2
C．m＝2
D．m＝1
解析由幂函数性质可知 m2－3m＋3＝1，∴m＝2 或 m ＝ 1. 又幂函数图象不过原点， ∴ m2 － m － 2≤0 ，即－ 1≤m≤2，∴m＝2 或 m＝1.
f(x)max＝f(3)＝15，所以值域为－241，15.
(2)对称轴为 x＝－2a2－1. ①当－2a2－1≤1，即 a≥－12时， f(x)max＝f(3)＝6a＋3，所以 6a＋3＝1，即 a＝－13满足题意； ②当－2a2－1>1，即 a<－12时， f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，所以－2a－1＝1，即 a＝－1 满足题意．
若
f(x) 的值域是
－14，2，则有 c≤2，即 0<c≤4，即 c 的取值范围是(0,4]．
9．已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R. (1)若函数 f(x)的最小值为 f(－1)＝0，求 f(x)的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求 k 的取值范围．解 (1)由题意得 f(－1)＝a－b＋1＝0，a≠0，且－2ba＝－1，∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．

2020年高考理科数学一轮总复习：二次函数与幂函数

2020年高考理科数学一轮总复习：二次函数与幂函数第4讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1.(2)五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)导师提醒1．巧记三类幂函数的图象特征(1)当α<0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于y ＝x －1的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大．(2)当0<α<1时，函数图象倾向x 轴，类似于y ＝x 12的图象．(3)当α>1时，函数图象倾向y 轴，类似于y ＝x 3的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大．2．关注一个易错点注意二次项系数对函数性质的影响，经常对二次项系数分大于零与小于零两种情况讨论． 3．记牢一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 12是幂函数．( )(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． ( ) (3)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( )(5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c，x ∈R 不可能是偶函数．( )(6)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√(教材习题改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12B ．1C.32D ．2解析：选C.因为函数f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32. (教材习题改编)如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．a <c <b解析：选D.根据幂函数的性质，可知选D.(教材习题改编)已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( )A ．a ≥3B ．a ≤3C ．a <－3D ．a ≤－3 解析：选D.函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧，所以－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D.(教材习题改编)函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0，3])的值域是 ( ) A ．[0，3] B ．[－1，3] C ．[－1，0]D ．[1，3]解析：选B.由g (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[0，3]，得g (x )在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数．所以g (x )min ＝g (1)＝－1，而g (0)＝0，g (3)＝3. 所以g (x )的值域为[－1，3]，故选B.已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝12－20a <0，解得a >120. 答案：⎝⎛⎭⎫120，＋∞幂函数的图象及性质(自主练透)1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，33)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：选C.设幂函数f (x )＝x α，代入点(3，33)，得：33＝3α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增．2．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2＋m －1)x －5m －3为减函数，则实数m 的值为( ) A ．－2 B ．1C ．1或－2D ．m ≠－1±52解析：选B.因为函数y ＝(m 2＋m －1)x－5m －3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，－5m －3<0，解得m ＝1. 3．若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b ＝⎝⎛⎭⎫1523，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223<c ＝⎝⎛⎭⎫1213，所以b <a <c . 4．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.二次函数的解析式(师生共研)(一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：1．已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f (x )的解析式为f (x )＝________．解析：由二次函数f (x )有两个零点0和－2，可设f (x )＝a (x ＋2)x ，则f (x )＝a (x 2＋2x )＝a (x ＋1)2－a .又f (x )有最小值－1，则a ＝1.所以f (x )＝x 2＋2x . 答案：x 2＋2x2．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为(－32，49)，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．解析：设f (x )＝a (x ＋32)2＋49(a ≠0)，方程a (x ＋32)2＋49＝0的两个根分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|＝2－49a＝7，所以a ＝－4，所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40. 答案：f (x )＝－4x 2－12x ＋40二次函数的图象与性质(多维探究) 角度一二次函数的图象已知abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )【解析】 A 项，因为a <0，－b2a <0，所以b <0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故A 错． B 项，因为a <0，－b2a>0，所以b >0.又因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c >0，故B 错． C 项，因为a >0，－b2a <0，所以b >0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故C 错．D 项，因为a >0，－b2a >0，所以b <0，因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c <0，故选D.【答案】 D角度二二次函数的单调性函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________．【解析】当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <03－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]．【答案】 [－3，0][迁移探究] (变条件)若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a 为何值？解：因为函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间为[－1，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a －3－2a ＝－1，解得a ＝－3.角度三二次函数的最值问题设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【解】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.角度四二次函数中的恒成立问题(1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1，1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________.(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．【解析】 (1)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可．因为g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m <－1 .因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)． (2)2ax 2＋2x －3<0在[－1，1]上恒成立．当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12. 综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 【答案】 (1)(－∞，－1) (2)⎝⎛⎭⎫－∞，12解决二次函数图象与性质问题时应注意的三点(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论． (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D.由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c <0，所以函数图象开口向上，排除A ，C.又f (0)＝c <0，所以排除B ，故选D.2．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数．解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]，所以f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，所以f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．分类讨论思想在二次函数问题中的应用已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值．【解】 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向上且对称轴为x ＝1a .①当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在(0，1]内，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上单调递增．所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a . ②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0，1]的右侧，所以f (x )在[0，1]上单调递减．所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向下且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，所以f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x ＝－b2a 为其最值点横坐标，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况最值，建立方程求解参数．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值．解：f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； (2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38； (3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.[基础题组练]1．幂函数y ＝x m 2－4m (m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.因为y ＝x m 2－4m (m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点，所以m 2－4m <0，即0<m <4. 又因为函数的图象关于y 轴对称，且m ∈Z ，所以m 2－4m 为偶数，因此m ＝2.2．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·x n 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2解析：选B.由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，当n ＝1时，函数f (x )＝x－2为偶函数，其图象关于y 轴对称，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n ＝1满足题意；当n ＝－3时，函数f (x )＝x 18为偶函数，其图象关于y 轴对称，而f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以n ＝－3不满足题意，舍去．故选B.3．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 在同一坐标系内的图象可能是( )解析：选A.当0<a <1时，y ＝log a x 为减函数，y ＝(a －1)x 2－x 开口向下，其对称轴为x ＝12（a －1）<0，排除C ，D ；当a >1时，y ＝log a x 为增函数，y ＝(a －1)x 2－x 开口向上，其对称轴为x ＝12（a －1）>0，排除B.故选A.4．若二次函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k 的取值范围为( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，2)解析：选A.二次函数y ＝kx 2－4x ＋2的对称轴为x ＝2k ，当k >0时，要使函数y ＝kx 2－4x＋2在区间[1，2]上是增函数，只需2k≤1，解得k ≥2.当k <0时，2k<0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k 的取值范围是[2，＋∞)．5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且2是f (x )的一个零点，－1是f (x )的一个极小值点，那么不等式f (x )>0的解集是( )A ．(－4，2)B ．(－2，4)C ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)解析：选C.依题意，f (x )图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是2，另一个根是－4.因此f (x )＝a (x ＋4)(x －2)(a >0)，于是f (x )>0，解得x >2或x <－4.6．已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫1312，b ＝f (ln π)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．a f (4)，则( ) A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝0解析：选B.若a ＝0，f (x )不满足题意，所以a ≠0，f (x )为二次函数．因为f (1)＝f (3)，则x ＝2为对称轴，故－b2a ＝2，则4a ＋b ＝0，又f (3)>f (4)，在(2，＋∞)上f (x )为减函数，所以开口向下，a <0. 故选B.8．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝x －12＝1x(x >0)，易知x ∈(0，＋∞)时f (x )为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3，所以3<a <5. 答案：(3，5)9．已知二次函数的图象与x 轴只有一个交点，对称轴为x ＝3，与y 轴交于点(0，3)，则它的解析式为________．解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y ＝a (x －3)2，又图象与y 轴交于点(0，3)，所以3＝9a ，即a ＝13.所以y ＝13(x －3)2＝13x 2－2x ＋3.答案：y ＝13x 2－2x ＋310．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝－x 2＋2ax 在[1，2]上是减函数，所以a ≤1，又因为g (x )＝ax ＋1在[1，2]上是减函数，所以a >0，所以0<a ≤1.答案：(0，1]11．已知函数f (x )＝bx 2－2ax ＋a (a ，b ∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，14. (1)当a ＝2时，求函数y ＝log 12f (x )的单调增区间；(2)当a ＜0时，求使函数f (x )的定义域为[－1，1]，值域为[－2，2]的a 值．解：因为f (x )＝bx 2－2ax ＋a 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，14，所以b ＝1，(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2－4x ＋2，令f (x )＞0可得， x ＞2＋2或x ＜2－2，所以f (x )在(2＋2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2－2)上单调递减， y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数y ＝log 12f (x )的单调增区间为(－∞，2－2)．(2)当a ＜0时，函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的对称轴x ＝a ＜0， ①a ≤－1时，函数f (x )在[－1，1]上单调递增，当x ＝－1时，函数有最小值f (－1)＝1＋3a ＝－2，当x ＝1时，函数有最大值f (1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1，②0＞a ＞－1时，函数在[－1，1]上先减后增，当x ＝a 时，函数有最小值f (a )＝a －a 2＝－2，解得，a ＝2(舍)或a ＝－1(舍)，综上可得，a ＝－1.12．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2，3]，对称轴x ＝－32∈[－2，3]，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，所以－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知，a ＝－13或－1.[综合题组练]1．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0，2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是 ( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0，4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)解析：选C.由f (2＋x )＝f (2－x )可知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x2＝2，又函数f (x )在[0，2]上单调递增，所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4，故选C.2．(应用型)已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 值有关解析：选C.该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x ＝14，又依题意，得x 1<0，x 2>0，又x 1＋x 2＝0，所以当x 1，x 2在对称轴的两侧时， 14－x 1>x 2－14，故f (x 1)<f (x 2)．当x 1，x 2都在对称轴的左侧时，由单调性知f (x 1)<f (x 2)．综上，f (x 1)<f (x 2)．3．(创新型)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2，3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0. 所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0，1]上恒成立．又当x ∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0]．。

2020版高考数学一轮复习第二篇函数及其应用(必修1)第4节幂函数与二次函数课件理

【跟踪训练1】 (1)(2018·渭南模拟)若a<0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是( ) (A)5-a<5a<0.5a (B)5a<0.5a<5-a
(C)0.5a<5-a<5a (D)5a<5-a<0.5a
(2)(2018·上海卷)已知α ∈{-2,-1,- 1 , 1 ,1,2,3}.若幂函数 f(x)=xα 为奇函数,且 22
(A)b<a<c (B)a<b<c
(C)b<c<a (D)c<aa15>b15,
所以 c>a>b,选 A.
3.(2018·河北衡水检测)若存在非零的实数a,使得f(x)=f(a-x)对定义域上任意的x恒成立,则函数f(x)可能是( A )
第4节幂函数与二次函数
[考纲展示] 1.了解幂函数的概念.
2.结合函数 y=x,y=x2,y=x3,y=
1
,y=
1
x2
的图象,了
x
解它们的变化情况.
3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质. 4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
知识链条完善考点专项突破
知识链条完善
把散落的知识连起来
22
(A) 1 2
(B)1
(C) 3 2
(D)2
解析:因为 f(x)=k·xα是幂函数,所以 k=1,
又 f(x)的图象过点( 1 , 2 ), 22

2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第4讲幂函数与二次函数学案

第4讲幂函数与二次函数板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点幂函数的图象和性质1．五种幂函数图象的比较2．幂函数的性质比较[必会结论]1．一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0.(2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.2．二次函数表达式的三种形式 (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．(2)顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (其中a ≠0，顶点坐标为(－h ，k ))．(3)两根式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(其中a ≠0，x 1，x 2是二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标)．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )，不可能是偶函数．( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.( )(4)当α<0时，幂函数y ＝x α是定义域上的减函数．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2．[2018·济南诊断]已知幂函数f (x )＝kx α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2答案 C解析由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. 3．[课本改编]设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案 A解析 α＝－1,1,3时幂函数为奇函数，当α＝－1时定义域不是R ，所以α＝1,3.故选A.4．[课本改编]函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B ．13C ．7D ．5答案 B解析 ∵m4＝－2，∴m ＝－8，∴f (1)＝13.选B.5．[课本改编]函数f (x )＝－x 2＋4x ＋1(x ∈[－1,1])的最大值等于________．答案 4解析因为对称轴为x ＝2∉[－1,1]，所以函数在[－1,1]上单调递增，因此当x ＝1时，函数取最大值4.6．[课本改编]已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞ 解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0，解得a >120.板块二典例探究·考向突破考向幂函数的图象与性质例 1 (1)函数f(x)＝(m2－m－1)x m是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是( )A．－1 B．2C．3 D．－1或2答案 B解析f(x)＝(m2－m－1)x m是幂函数⇒m2－m－1＝1⇒m＝－1或m＝2.又x∈(0，＋∞)上是增函数，所以m＝2.(2)[2016·全国卷Ⅲ]已知a＝243，b＝425，c＝2513，则( )A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．【变式训练1】(1)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x n2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )A．－3 B．1C．2 D．1或2答案 B解析由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1 或n＝－3，经检验只有n ＝1符合题意．故选B.(2)[2018·昆明模拟]设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为( )A．a＜c＜b B．c＜a＜bC．a＜b＜c D．c＜b＜a答案 B解析由已知得a ＝80.1，b ＝90.1，c ＝70.1，构造幂函数y ＝x 0.1，x ∈(0，＋∞)，根据幂函数的单调性，知c ＜a ＜b .考向求二次函数的解析式例 2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解解法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 解法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.解法三：(利用两根式)由已知f (x )＋1＝0两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值f (x )max ＝8，即4a (－2a －1)－a24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 触类旁通确定二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式训练2】已知二次函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (0)＝0，f (1)＝1，求f (x )的解析式．解解法一：(一般式)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ＋b ＋c ＝1，－b 2a ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝0，∴f (x )＝－x 2＋2x .解法二：(两根式)∵对称轴方程为x ＝1， ∴f (2)＝f (0)＝0，f (x )＝0的两根分别为0,2. ∴可设其解析式为f (x )＝ax (x －2)．又∵f (1)＝1，可得a ＝－1， ∴f (x )＝－x (x －2)＝－x 2＋2x .解法三：(顶点式)由已知，可得顶点为(1,1)， ∴可设其解析式为f (x )＝a (x －1)2＋1. 又由f (0)＝0，可得a ＝－1， ∴f (x )＝－(x －1)2＋1＝－x 2＋2x .考向二次函数的图象和性质命题角度1 二次函数的单调性例 3 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (2)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．解 (1)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.(2)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－4,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－4，0].∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－4,0]．命题角度2 二次函数的最值例 4 [2016·浙江高考]已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析因为f (x )＝x 2＋bx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b 24，其最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝－b 24.因为f (f (x ))＝[f (x )]2＋b ·f (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )＋b 22－b 24.因为f (x )min ＝－b 24，若f [f (x )]与f (x )的最小值相等，当且仅当f (x )＝－b 2≥－b 24时成立，解得b <0或b >2，所以“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．故选A.命题角度3 二次函数中恒成立问题例 5 [2018·石家庄模拟]设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )＞0，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析由f (x )＞0，即ax 2－2x ＋2＞0，x ∈(1,4)，得a ＞－2x 2＋2x在(1,4)上恒成立．令g (x )＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，所以g (x )max ＝g (2)＝12，所以要使f (x )＞0在(1,4)上恒成立，只要a ＞12即可．触类旁通二次函数的最值及恒成立问题(1)解决二次函数最值问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．(2)解决二次函数恒成立问题有两个解题思路：一是分离参数，思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min ；二是不分离参数，对参数进行分类讨论．核心规律1.幂函数y ＝x α(α∈R )的图象的特征当α＞0时，图象过原点和点(1,1)，在第一象限图象上升；当α＜0时，图象过点(1,1)，但不过原点，在第一象限图象下降．2.在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助二次函数图象数形结合求解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值的符号四个方面分析．3.在研究一元二次不等式的有关问题时，一般借助二次函数图象及性质求解．满分策略1.幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限．如果幂函数与坐标轴有交点，则交点一定是原点．2.对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若它是二次函数，则必须满足a ≠0.当题目条件中未说明a ≠0时，就要分a ＝0和a ≠0两种情况讨论．3.对于与二次函数有关的不等式恒成立问题或存在性问题，应注意进行等价转化.板块三启智培优·破译高考数学思想系列2——分类讨论破解二次函数最值问题[2018·广州模拟]已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，求实数a 的值．解题视点函数的对称轴是x ＝a 位置不定，并且在不同位置产生的结果也不相同，所以要对对称轴的位置进行分类讨论．解当对称轴x ＝a <0时，如图1所示，当x ＝0时，y 有最大值y max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，即a ＝－1，且满足a <0，∴a ＝－1.当0≤a ≤1时，如图2所示，当x ＝a 时，y 有最大值y max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1.∴a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1±52.∵0≤a ≤1，∴a ＝1±52(舍去)．当a >1时，如图3所示．当x ＝1时，y 有最大值．y max ＝f (1)＝2a －a ＝2.∴a ＝2，且满足a >1，∴a ＝2. 综上可知，a 的值为－1或2.答题启示二次函数在区间上的最值问题，可分成三类：①对称轴固定，区间固定；②对称轴变动，区间固定；③对称轴固定，区间变动.此类问题一般利用二次函数的图象及其单调性来考虑，对于后面两类问题，通常应分对称轴在区间内、左、右三种情况讨论.跟踪训练设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．解 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.板块四模拟演练·提能增分[A 级基础达标]1．[2018·秦皇岛模拟]若幂函数的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞) D ．(－∞，0)答案 D解析设y ＝x a ，则14＝2a ，∴a ＝－2，∴y ＝x －2其单调递增区间为(－∞，0)．故选D.2．[2018·武汉模拟]如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )A ．f (0)<f (2)<f (－2)B ．f (0)<f (－2)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (－2)<f (0)<f (2)答案 A解析由f (1＋x )＝f (－x )知函数f (x )图象的对称轴为x ＝12，而抛物线的开口向上，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－12＝12，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12＝32，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－12＝52，根据到对称轴的距离远的函数值较大得f (－2)>f (2)>f (0)．故选A.3．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[－2,2] C ．(－2,2] D ．(－∞，－2)答案 C解析当a －2＝0即a ＝2时，不等式为－4<0，恒成立．当a －2≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，解得－2<a <2，所以a 的取值范围是－2<a ≤2.故选C.4．已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0)答案 B解析当x >1时，恒有f (x )<x ，即当x >1时，函数f (x )＝x α的图象在y ＝x 的图象的下方，作出幂函数f (x )＝x α在第一象限的图象，由图象可知α<1时满足题意．故选B.5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,2] C ．[－1,2] D ．[2,5)答案 C解析二次函数f (x )＝－x 2＋4x 的图象是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f (x )＝－5，结合图象可知m 的取值范围是[－1,2]．6．[2018·吉林松原月考]设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＞0)，已知f (m )＜0，则( ) A ．f (m ＋1)≥0B ．f (m ＋1)≤0C ．f (m ＋1)＞0D ．f (m ＋1)＜0答案 C解析 ∵f (x )的对称轴为x ＝－12，f (0)＝a ＞0，∴f (x )的大致图象如图所示．由f (m )＜0，f (－1)＝f (0)＝a >0，得－1＜m ＜0，∴m ＋1＞0，又∵x >－12时，f (x )单调递增，∴f (m ＋1)＞f (0)＞0.7．[2017·浙江高考]若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关答案 B解析解法一：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.解法二：由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关．故选B.8．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2在[－5,5]上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－5]∪[5，＋∞)解析 f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2，图象的对称轴为x ＝－a ，由题意可知－a ≥5或－a ≤－5，解得a ≤－5或a ≥5.9．[2018·合肥模拟]若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a－1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．答案 [－1,0]解析函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.10．[2018·南昌模拟]如果函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，那么实数a ＝________.答案 1解析因为函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得．因为f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a >4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.[B 级知能提升]1．[2018·浙江模拟]已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0答案 A解析由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a ＝2，所以4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，所以f (x )先减后增，所以a >0.选A.2.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a 0，即b 2>4ac ，①正确．对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误．结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误．由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a 0.那么f (x )的零点是________；若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则c 的取值范围是________．答案－1和0 (0,4]解析当0≤x ≤c 时，由x 12 ＝0得x ＝0.当－2≤x <0时，由x 2＋x ＝0，得x ＝－1，所以函数零点为－1和0.当0≤x ≤c 时，f (x )＝x 12，所以0≤f (x )≤c ；当－2≤x <0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，所以此时－14≤f (x )≤2.若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则有c ≤2，即0<c ≤4，即c 的取值范围是(0,4]．4．[2018·江苏模拟]已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在[0,1]内的最大值为－5，求a 的值．解 f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ，对称轴为x ＝a2，①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )在[0,1]上递增，∴f (x )max ＝f (1)＝－4－a 2，令－4－a 2＝－5，得a ＝±1(舍去)．②当0<a2<1，即0<a <2时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－4a ，令－4a ＝－5，得a ＝54.③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]上递减，∴f (x )max ＝f (0)＝－4a －a 2，令－4a －a 2＝－5，得a ＝－5或a ＝1(舍去)．综上所述，a ＝54或－5.5.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间；(2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值．解 (1)f (x )在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x >0，则－x <0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，所以f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x >0)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (x >0)，x 2＋2x (x ≤0).(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1，当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1<a ＋1≤2，即0<a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1>2，即a >1时，g (2)＝2－4a 为最小值．综上可得g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ，a ≤0，－a 2－2a ＋1，0<a ≤1，2－4a ，a >1.。

2020年高考理科数学一轮总复习：二次函数与幂函数

2020年高考理科数学一轮总复习：二次函数与幂函数第4讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1.(2)五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)导师提醒1．巧记三类幂函数的图象特征(1)当α<0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于y ＝x －1的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大．(2)当0<α<1时，函数图象倾向x 轴，类似于y ＝x 12的图象．(3)当α>1时，函数图象倾向y 轴，类似于y ＝x 3的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大．2．关注一个易错点注意二次项系数对函数性质的影响，经常对二次项系数分大于零与小于零两种情况讨论． 3．记牢一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 12是幂函数．( )(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． ( ) (3)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( ) (5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R不可能是偶函数．( )(6)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√(教材习题改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12B ．1C.32D ．2解析：选C.因为函数f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32. (教材习题改编)如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．a <c <b解析：选D.根据幂函数的性质，可知选D.(教材习题改编)已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( )A ．a ≥3B ．a ≤3C ．a <－3D ．a ≤－3 解析：选D.函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧，所以－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D.(教材习题改编)函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0，3])的值域是 ( ) A ．[0，3] B ．[－1，3] C ．[－1，0]D ．[1，3]解析：选B.由g (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[0，3]，得g (x )在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数．所以g (x )min ＝g (1)＝－1，而g (0)＝0，g (3)＝3. 所以g (x )的值域为[－1，3]，故选B.已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝12－20a <0，解得a >120. 答案：⎝⎛⎭⎫120，＋∞幂函数的图象及性质(自主练透)1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，33)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：选C.设幂函数f (x )＝x α，代入点(3，33)，得：33＝3α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增．2．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2＋m －1)x －5m －3为减函数，则实数m 的值为( ) A ．－2 B ．1C ．1或－2D ．m ≠－1±52解析：选B.因为函数y ＝(m 2＋m －1)x－5m －3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，－5m －3<0，解得m ＝1. 3．若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b ＝⎝⎛⎭⎫1523，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223<c ＝⎝⎛⎭⎫1213，所以b <a <c . 4．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.二次函数的解析式(师生共研)(一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：1．已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f (x )的解析式为f (x )＝________．解析：由二次函数f (x )有两个零点0和－2，可设f (x )＝a (x ＋2)x ，则f (x )＝a (x 2＋2x )＝a (x ＋1)2－a .又f (x )有最小值－1，则a ＝1.所以f (x )＝x 2＋2x . 答案：x 2＋2x2．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为(－32，49)，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．解析：设f (x )＝a (x ＋32)2＋49(a ≠0)，方程a (x ＋32)2＋49＝0的两个根分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|＝2－49a＝7，所以a ＝－4，所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40. 答案：f (x )＝－4x 2－12x ＋40二次函数的图象与性质(多维探究) 角度一二次函数的图象已知abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )【解析】 A 项，因为a <0，－b2a <0，所以b <0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故A 错． B 项，因为a <0，－b2a>0，所以b >0.又因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c >0，故B 错． C 项，因为a >0，－b2a <0，所以b >0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故C 错．D 项，因为a >0，－b2a >0，所以b <0，因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c <0，故选D.【答案】 D角度二二次函数的单调性函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________．【解析】当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <03－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]．【答案】 [－3，0][迁移探究] (变条件)若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a 为何值？解：因为函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间为[－1，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a －3－2a ＝－1，解得a ＝－3.角度三二次函数的最值问题设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【解】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.角度四二次函数中的恒成立问题(1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1，1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________.(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．【解析】 (1)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可．因为g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m <－1 .因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)． (2)2ax 2＋2x －3<0在[－1，1]上恒成立．当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12. 综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 【答案】 (1)(－∞，－1) (2)⎝⎛⎭⎫－∞，12解决二次函数图象与性质问题时应注意的三点(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论． (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D.由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c <0，所以函数图象开口向上，排除A ，C.又f (0)＝c <0，所以排除B ，故选D.2．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数．解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]，所以f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，所以f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．分类讨论思想在二次函数问题中的应用已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值．【解】 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向上且对称轴为x ＝1a .①当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在(0，1]内，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上单调递增．所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a . ②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0，1]的右侧，所以f (x )在[0，1]上单调递减．所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向下且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，所以f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x ＝－b2a 为其最值点横坐标，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况最值，建立方程求解参数．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值．解：f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； (2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38； (3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.[基础题组练]1．幂函数y ＝x m 2－4m (m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1。

2020版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2_4二次函数与幂函数课件理新人教版

解析 f(x)>2x＋m 等价于 x2－x＋1>2x＋m，即 x2－3x＋1－m>0，令 g(x) ＝x2－3x＋1－m，要使 g(x)＝x2－3x＋1－m>0 在[－1,1]上恒成立，只需使函数 g(x)＝x2－3x＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于 0 即可。因为 g(x)＝x2 －3x＋1－m 在[－1,1]上单调递减，所以 g(x)min＝g(1)＝－m－1。由－m－ 1>0，得 m<－1。因此满足条件的实数 m 的取值范围是(－∞，－1)。
解析当 m＝0 时，函数在给定区间上是增函数；当 m≠0 时，函数是二次函数，图象对称轴为 x＝－21m≤－2，得 m≤14，又 m>0，因此 0<m≤14。综上，0≤m≤14。
答案 0，14
3．(方向 3)设二次函数 f(x)＝ax2－2ax＋c 在区间[0,1]上单调递减，且
答案－1
二、走近高考 3．(2017·浙江高考)若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 在区间[0,1]上的最大值是 M，最小值是 m，则 M－m( ) A．与 a 有关，且与 b 有关 B．与 a 有关，但与 b 无关 C．与 a 无关，且与 b 无关 D．与 a 无关，但与 b 有关
解析设 x1，x2 分别是函数 f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点，则 m ＝x21＋ax1＋b，M＝x22＋ax2＋b。所以 M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，显然此值与 a 有关，与 b 无关。故选 B。
解析 (1)设函数的解析式为 f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以 f(x)＝ax2＋2ax，由4a×40a－4a2＝－1，得 a＝1，所以 f(x)＝x2＋2x。
答案 (1)x2＋2x

2020版高考数学一轮复习第二章第四节二次函数与幂函数课件文

2
∴f(x)=0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),
∵f(x)的图象过点(4,3), ∴3a=3,∴a=1, ∴所求函数的解析式为f(x)=(x-1)(x-3), 即f(x)=x2-4x+3.
方法技巧
求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式,一般选择规律如下:
x
2 3
1 3
规律总结
幂函数的性质与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)若幂函数y=xα(α∈R)是偶函数,则α必为偶数.当α是分数时,一般先将
其化为根式,再判断.
(3)若幂函数y=xα(α∈R)在(0,+∞)上单调递增,则α>0;若在(0,+∞)上单调递减,则α<0.
2 3
1 3
)
A.a<b<c
C.b<c<a
B.c<a<b
D.b<a<c
答案 (1)C (2)B (3)D
解析 (1)设幂函数的解析式为y=f(x)=xα,
∵幂函数f(x)的图象过点(4,2),
1 ∴2=4 ,解得α= . 2 ∴f(x)= x ,其定义域为[0,+∞),且是增函数,
α
当0<x<1时,其图象在直线y=x的上方,对照选项,知选C. (2)因为函数y=(m2+m-1)x-5m-3既是幂函数又是(0,+∞)上的减函数,所以
α
3
3
α
x ,可知函数为奇函数,在(0,+∞)上单调递增. (x)=

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知识梳理考点自诊
×
√
-9-
×
×
√
知识梳理考点自诊
2.已知函数y=x2+ax+6在
) C
A.a≤-5 B.a≤5 C.a≥-5 D.a≥5
-10-
内是增函数的,则a的取值范围为(
3.如图是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限的图像,则a,b,c的大小关系为( D )
A.a>b>c B.a<b<c C.b<c<a D.a<c<b 解析:根据幂函数的性质,可知选D.
2.4 幂函数与二次函数
-2-
知识梳理考点自诊
1.幂函数 (1)幂函数的定义
(1)幂函数的定义:形如 y= xα (α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量 ,α是常数 .
(2)五种幂函数的图像
知识梳理考点自诊
-3-
(3)五种幂函数的性质
R
R
R [0,+∞) {x|x∈R,且x≠0}
考点1
考点2
考点3
-14-
对点训练1已知幂函数
(n∈Z)的图像关于y
轴对称,且在(0,+∞)内是减少的,则n的值为( B )
A.-3 B.1 C.2 D.1或2
解析:因为f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,
解得n=1或n=-3.
又幂函数f(x)在(0,+∞)内是减少的,
所以n2-3n<0.
所以舍去n=-3,得n=1.当n=1时,n2-3n=-2,满足题意.故选B.
知识梳理考点自诊
-11-
4.(2018湖南长郡中学三模,1)集合{y∈N+|y=-x2+6,x∈N}的真子

2020版一轮复习理科数学习题：第二篇_函数及其应用 第4节_幂函数与二次函数含解析

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2020年高考理科数学一轮总复习：二次函数与幂函数

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2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课件：2.4 幂函数与二次函数 .pdf

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