2020-2021学年苏教版选修2-2 1.2.1 常见函数的导数 课件(35张)
苏教版高中数学选修2-2 1.2.1常见函数的导数 学案
1.2.1 常见函数的导数学习目标 1.能根据定义求函数y ＝C ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数.2.掌握基本初等函数的导数公式.3.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.知识点一 几个常见函数的导数 1.(kx ＋b )′＝k (k ，b 为常数)； 2.C ′＝0(C 为常数)； 3.(x )′＝1； 4.(x 2)′＝2x ； 5.(x 3)′＝3x 2； 6.(1x )′＝－1x 2； 7.(x )′＝12x.知识点二 基本初等函数的导数公式 1.(x α)′＝αx α－1(α为常数)；2.(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)；3.(log a x )′＝1x log a e ＝1x ln a (a >0，且a ≠1)；4.(e x )′＝e x ；5.(ln x )′＝1x ；6.(sin x )′＝cos x ；7.(cos x )′＝－sin x .类型一 利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数.(1)y ＝cos π6；(2)y ＝1x 5；(3)y ＝x 2x ；(4)y ＝lg x ；(5)y ＝5x ；(6)y ＝cos(π2－x ).解 (1)y ′＝0. (2)∵y ＝1x5＝x －5，∴y ′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6.(3)∵y ＝x 2x＝32x ，∴y ′＝(32x )′＝1232x ＝32x .(4)y ′＝1x ln 10.(5)y ′＝5x ln 5.(6)∵y ＝cos(π2－x )＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导. 跟踪训练1 (1)下列结论： ①(sin x )′＝cos x ； ②(53x )′＝23x ； ③(log 3x )′＝13ln x； ④(ln x )′＝1x.其中正确结论的序号是________. 答案 ①④解析 ∵②(53x )′＝2353x ；③(log 3x )′＝1x ln 3，∴②③错误，①④正确.(2)求下列函数的导数. ①y ＝(1－x )(1＋1x)＋x ； ②y ＝2cos 2 x2－1.解 ①∵y ＝(1－x )(1＋1x )＋x ＝1－x x ＋x ＝1x， ∴y ′＝3212x --.②∵y ＝2cos 2 x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x . 类型二 求函数在某一点处的导数 例2 求函数f (x )＝16x5在x ＝1处的导数.解 ∵f (x )＝16x5＝56x-，∴f ′(x )＝(56x -)′＝11656x --，∴f ′(1)＝－56.反思与感悟 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解.跟踪训练2 函数f (x )＝x ，则f ′(3)＝________. 答案36解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.类型三 利用导数研究切线问题 命题角度1 已知切点解决切线问题例3 (1)已知P ，Q 为抛物线y ＝12x 2上两点，点P ，Q 横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的坐标为________.答案 (1，－4) 解析 y ′＝x ，k P A ＝y ′|x ＝4＝4，k QA ＝y ′|x ＝－2＝－2. ∵P (4,8)，Q (－2,2)，∴P A 的直线方程为y －8＝4(x －4)， 即y ＝4x －8.QA 的直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4，∴A (1，－4).(2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.解 设存在一个公共点(x 0，y 0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|0x x =＝cos x 0，k 2＝y ′|0x x =＝－sin x 0. 要使两切线垂直，必须有k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1， 即sin 2x 0＝2，这是不可能的.所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上，这三个条件联立方程即可解决. 跟踪训练3 已知函数y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的一条切线，则k ＝________. 答案 1e解析 设切点坐标为(x 0，y 0)， 由题意，得y ′|0x x =＝1x 0＝k ，① 又y 0＝kx 0， ② 而且y 0＝ln x 0，③由①②③可得x 0＝e ，y 0＝1，则k ＝1e .命题角度2 已知斜率解决切线问题例4 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离.解 设切点坐标为(x 0，x 20)，依题意知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短.∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为(12，14)，∴所求的最短距离d ＝|12－14－2|2＝728.反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.跟踪训练4 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大. 解 设P (x 0，y 0)为切点，过点P 与AB 平行的直线斜率k ＝ y ′＝2x 0，∴k ＝2x 0＝2， ∴x 0＝1，y 0 ＝1. 故可得P (1,1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，∴|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要点P 到AB 的距离最大，故点P (1,1)即为所求弧AOB 上的点，使△ABP 的面积最大.1.下列函数中的求导运算正确的个数为________.①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝1x ln 2；③1(ln x )′＝x ；④若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227.答案 3解析 ①中(3x )′＝3x ln 3，②③④均正确. 2.函数f (x )＝x 3的切线斜率等于1的有________条. 答案 2解析 设切点为(x 0，y 0)，∵f ′(x 0)＝3x 20＝1，∴x 0＝±33.故斜率等于1的切线有2条.3.设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________. 答案 1e解析 f ′(x )＝1x ln a ，则f ′(1)＝1ln a ＝－1，∴a ＝1e.4.求过曲线y ＝sin x 上一点P (π6，12)且与在这一点处的切线垂直的直线方程.解 曲线y ＝sin x 在点P (π6，12)处切线的斜率k=6x y π'＝＝cos π6＝32，则与切线垂直的直线的斜率为－233，∴所求直线方程为y －12＝－233(x －π6)，即123x ＋18y －23π－9＝0. 5.求下列函数的导数. (1)y ＝(32x ＋1)(32x －1)＋1； (2)y ＝(cos x 2＋sin x2)2－1；(3)y ＝3log 23x .解 (1)∵y ＝x 3，∴y ′＝3x 2.(2)∵y ＝cos 2 x 2＋sin 2 x 2＋2sin x 2cos x2－1＝sin x ，∴y ′＝cos x .(3)∵y ＝log 2x ，∴y ′＝1x ln 2.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y ＝1－2sin 2 x 2的导数.因为y ＝1－2sin 2 x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.课时作业一、填空题1.下列各式中正确式子的序号是________.①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；③(1x)′＝－1232x -；④(5x 2)′＝2535x -；⑤(cos x )′＝－sin x ；⑥(cos 2)′＝－sin 2. 答案 ①③④⑤解析 ∵②(x －1)′＝－x －2；⑥(cos 2)′＝0. ∴②⑥不正确.2.正弦曲线y ＝sin x 的切线的斜率等于12的点为________.答案 (2k π＋π3，32)或(2k π－π3，－32)(k ∈Z )解析 设斜率等于12的切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)，∵y ′|x ＝x 0＝cos x 0＝12，∴x 0＝2k π＋π3或2k π－π3，∴y 0＝32或y 0＝－32. 3.已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于________. 答案 4解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，∴a ＝4.4.已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b ＝________. 答案 28解析 ∵点(2,8)在切线上，∴2k ＋b ＝8. ① 又y ′|x ＝2＝3×22＝12＝k ，②由①②可得k ＝12，b ＝－16，∴k －b ＝28.5.已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则适合方程f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 的值为________. 答案 1或－13解析 由导数公式可知，f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2， 所以2x ＋1＝3x 2，即3x 2－2x －1＝0. 解得x ＝1或x ＝－13.6.已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′(2)，则m ＝________.答案 －4解析 f ′(x )＝－1x 2，g ′(x )＝m .∵g ′(2)＝1f ′(2)，∴m ＝－4.7.设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________. 答案 (1,1)解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为 k 1＝e 0＝1.设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率为k 2＝－1m 2 (m >0).因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1， 所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1).8.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围的三角形的面积为________. 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2；当y ＝0时，x ＝1. ∴S ＝12×1×|－e 2|＝12e 2.9.设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝________. 答案 3解析 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得，在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1. 又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.10.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于________. 答案 1e解析 ∵y ′＝(ln x )′＝1x ，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.由ln x 0－1＝0知，x 0＝e.∴k ＝1e .11.设曲线y ＝x n ＋1 (n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2x 1＋log 2x 2＋log 2x 3＝________. 答案 －2解析 y ′|x ＝1＝n ＋1， ∴y ＝x n＋1在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 则x n ＝nn ＋1.∴log 2x 1＋log 2x 2＋log 2x 3 ＝log 2(x 1·x 2·x 3) ＝log 2⎝⎛⎭⎫12×23×34＝log 214 ＝－2. 二、解答题12.求下列函数的导数. (1) y ＝5x 3； (2)y ＝1x4；(3)y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝⎝⎛⎭⎫x 35′＝35x 315-＝35x 25-＝355x 2. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ln 2.13.设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 018(x ). 解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…， f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2 018(x )＝f 2(x )＝－sin x . 三、探究与拓展14.设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的取值范围是________. 答案 [0，π4]∪[3π4，π)解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ， ∴－1≤k l ≤1，∴α∈[0，π4]∪[3π4，π).15.点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离.解 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近.则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ， 所以e x 0＝1，得x 0＝0， 代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1). 利用点到直线的距离公式得最小距离为22.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 1.2.1 常见函数的导数》
常见函数的导数教学目标：1、能应用由定义求导数的三个步骤推导几种常见函数的导数公式；2、熟记常见函数的导数；3、掌握并能运用四个函数导数公式求函数的导数，会求函数图象的的切线的方程。
教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式教学过程：一、引入新课1导数的相关知识设函数＝f在区间a，b上有定义，，假设△无限趋近于零时，，那么称f在＝处可导，并称该常数A为函数f在＝处的导数，记作．2如何求切线的斜率。
二、探究新知对于函数，如何求它的导数呢？本节课我们将学习常见函数的导数首先我们来求下面几个函数的导数〔1〕=b ; 〔2〕=2 ; 〔3〕=问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？三、知识建构1几种常见函数的导数:问题引入1：110 0通过以上运算我们能得到什么结论公式一: C为常数，问题引入2：1通过以上运算我们能得到什么结论公式二:除此以外：公式三:公式四:公式五：对数函数的导数:公式六：指数函数的导数:四、新知运用例1 利用求导公式，求以下函数的导数：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕练：以下式子中正确式子个数为：①②③④例2 〔1〕求函数的图象在点处的切线方程。
〔2〕假设直线为函数图象的切线，求及切点坐标。
思考：求函数的图象过点的切线的方程。
五、稳固训练1〔1〕，那么，〔2〕函数的导数2〔1〕求函数的图象在点处的切线的方程。
〔2〕直线能作为以下函数图象的切线吗？假设能，求出切点坐标；假设不能，简述理由。
①②③④3、求函数的图象过点的切线的方程。
【高中数学选修2-2】1.2.1常用函数的导数及导数公式 PPT 课件
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
例 1 求 y＝x3＋sinx 的导数．
新课——导数的运算法则
2、积的导数
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,
例 2.求函 y数 axcoxs的导数
新课——导数的运算法则
3、商的导数
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
(Cu)＝Cu
小结 1.基本初等函数的导数公式 2.导数的运算法则
课后必看 教材14-15页.
常听见这样的感叹：要是当初2018年 中国大 学毕业 生薪酬 排行榜 通过对 280多 万以及 多届毕 业生调 研后， 计算出 了各高 校毕业 生的薪 酬状况 。 虽然我们都知道名校毕业生的收入会普 遍比较 高，但 这份榜 单告诉 我们， 清华北 大毕业 生的月 薪，平 均近万 ，而普 通院校 的只有 两三千 。
x
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
或 y’|x=x0,
即 f'x 0 ： lx i 0 m y x lx i 0fm (x 0 x x ) f(x 0 )
【同步课堂】苏教版高中数学选修2-2第一章《常见函数的导数》课件(共17张PPT)
解题感悟
（1）利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况： ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数
值． ②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率
公式进行求解． （2）求过点 P 与曲线相切的直线方程的三个步骤
五、课堂小结
1.本节课我们利用导数的定义求解了函数:y＝kx＋b，y＝x2，y＝x3， y＝1x , y＝ x 的导数，加深了对导数概念的理解；
例 3 求下列函数的导数：
(1)f(x)＝log2x2－log2x；
(2)f(x)＝2x2x＋1－2x；
(3)f(x)＝－2sinx22sin2x4－1；
(4)f(x)＝(1－
x)1＋
1
＋
x
x.
解题感悟
解:
(4)因为 f(x)＝(1－ x)1＋ 1x＋ x
＝1－
x＋ 1x－1＋
1 x＝x－2.
3 所以 f ′(x)＝x－12′＝－21x－2＝－2xx2.
即 2x＋ 3y－ 23－π3＝0.
例 5（2）已知点 P(－1，1)，点 Q(2，4)是曲线 y＝x2 上的两点， 求与直线 PQ 平行的曲线 y＝x2 的切线方程．
(2)因为 y′＝(x2)′＝2x，设切点为 M(x0，y0)， 则 y′|x＝x0＝2x0， 又因为直线 PQ 的斜率为 k＝42－＋11＝1，而切线平行于直线 PQ， 所以 k＝2x0＝1，即 x0＝12，所以切点为 M12，14. 所以所求的切线方程为 y－14＝x－12， 即 4x－4y－1＝0.
解：(1)y′＝(x12)′＝12x11；
(2)y′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45；
(3)y′＝x35′＝53x32＝533 x2；
数学苏教版选修2-2知识导航1.2.1常见函数的导数含解析
1。
2 导数的运算1.2.1 常见函数的导数知识梳理(1)C′=_____________（C为常数)；(2)(x n)′=_____________；（3）(sinx)′=_____________；（4）（cosx）′=_____________;(5)(e x)′=_____________；(6）(a x)′=_____________;（7）（lnx)′=_____________；(8)（log a x）=_____________；（9)(xα）′=_____________。
知识导学由导数定义给出了求导数的最基本方法，因为导数是由极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限运算。
这显然比较麻烦,甚至困难，但是找到一些常用函数的导数将使求导工作大大简便,因此要熟记常见函数的导数。
疑难突破通过几个实例归纳出y=x n的导数的形式；熟记基本初等函数的求导公式.1及y=x几种函数导数的剖析:通过对函数y=kx+b,y=x2，y=x3，y=x推导过程,总结出y=x n的导数的形式,这是培养学生善于思考及善于归纳的好习惯.正确记忆基本初等函数的求导公式是本节课的重点和难点，只有熟练记忆才能用起来方便。
常用函数的导数公式是求导的基础，高考中经常涉及，但单独考查利用导数公式求导数的题目并不多，常与其他知识联系起来考查.典题精讲【例1】 （1)求曲线y=sinx 在点P(23,3π）处切线的斜率k;（2）物体运动方程为s=3414-t ,求当t=5时瞬时物体运动的速度v 。
思路分析：本题是一道导数应用题,必须从导数的公式入手。
解:(1)（sinx ）′=cosx，当x=3π时，k=213cos =π. （2）s′=(3414-t ）′=t 3,当t=5时,v=125。
变式训练:已知点P(—1,1)，点Q(2,4）是曲线y=x 2上的两点,求与直线PQ 平行的曲线y=x 2的切线方程.思路分析：本题是已知斜率求点的坐标的问题。
苏教版高中数学选修(2-2)课件1.2.1常见函数的导数(2)
公式六:指数函数的导数
(1)
(a ) a ln a(a 0, a 1).
x x
(2) (e ) e .
x x
x a 注意:关于是两个不同的函数 , a 和x
例如:
(1)(3 ) 3 ln a
x
x
(2)( x ) 3x
3
2
1 , 1:求过曲线y=cosx上点P()的切线 3 2
x
5
(9) y e (10) y ln x
3、已知f ( x) x , 且f (1) 4, 求实数a.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2:若直线y=4x+b是函数y=x2图象
的切线,求b以及切点坐标.
解 : 设切点P( x0 , y0 ) f ( x) ( x ) 2 x
2
2 x0 4, x0 2, y0 2 4
2
即切点坐标(2,4), 由题意得此点也在直线y 4 x b上 4 4 2 b, b 4
练习:P67
3、若直线y=3x+1是曲线y=ax3
的切线,试求a的值.
解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点 P(x0,y0),则有:y0=3x0+1①, y0=ax03②, 3ax02=3.③ 由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代 入上式可得:3x0+1=x0,x0=－1/2.
的直线方程.
解： f ( x) cos x, f ( x) sin x, 3 f ( ) sin . 3 3 2 1
经典例题选讲
3 故曲线在点P( , )处的切线斜率为 ， 3 2 2 1 3 所求的直线方程为y ( x ), 2 2 3 3 即 3x 2 y 1 0. 3
2020-2021学年苏教版数学选修2-2课件：1.2.1 常见函数的导数
提示:正确.因为3是常数.
(2)若y=ln 2,则y′= 1 .
2
提示:错误.因为ln 2也是常数,故(ln 2)′=0,对于函数f(x)=ln x, f′(x)=(ln x)′=
当x=2时,f′(2)= 1 ,
x
1. 2
(3)若y= 1 , 则y′= 1 1 .
x
（ x）2 x
提示:错误.
故 xC23 ,
3.过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为____________,切线的斜率为 ____________. 【解析】设切点为(x0, e)x,0 则切线为y- e = x0 e(xx0 -x0), 将原点代入得x0=1, 所以切点为(1,e),切线斜率为e. 答案:(1,e) e
【解析】1.因为y′=(cos x)′=-sin x,
所以k=-sin =- 1,所以在点A处的切线方程为
62
y－ 3＝－1 (x )， 2 26
即x+2y- 3－=0.
6
答案:x+2y- 3－=0
6
2.设切点坐标为
(
x
0，12
,x
2 0
)
则tan =f′(x0)=x0,所以x0=
3
答案: ( 3，3)
1.2 导数的运算 1.2.1 常见函数的导数
必备知识·自主学习
【自我预习】 1.几个常见函数的导数
f(x) kx+b C(C为常数)
x
x2
1
x3
x
x
f′(x) _k_
_0_
_1_
_2_x_
__x1_2
3x2
1
2x
【微提醒】常数的导数为0.
【高中课件】高中数学苏教版选修22第1章导数及其应用1.2.1课件ppt.ppt
∴kl＝2 1x0＝12，即 x0＝1，∴y0＝1.∴P(1,1).
关 小结 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可
以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题.解题时可先
利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准
确计算.
1.2.1
跟踪训练 4 点 P 是曲线 y＝ex 上任意一点，求点 P 到直线 y
1.2.1
跟踪训练 2 求下列函数的导数：
(1)y＝x8；(2)y＝(12)x；(3)y＝x x；(4)y＝log 1 x. 3
本 解 (1)y′＝8x7；
课
时 栏
(2)y′＝(12)xln 12＝－(12)xln 2；
目
开 关
(3)∵y＝x
x＝x
32 ，∴y′＝32x
1 2
；
(4)y′＝ 1 1＝－xln1 3. xln 3
探究点三 导数公式的综合应用
例 4 已知直线 x－2y－4＝0 与抛物线 y2＝x 相交于 A、B 两
点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧 AOB 上求一点 P，使
△ABP 的面积最大.
本 课
解 设 P(x0，y0)，过点 P 与 AB 平行的直
时 栏
线为 l，如图.
目 开
由于直线 x－2y－4＝0 与抛物线 y2＝x 相交
课 时 栏
答案 (1)计算ΔΔyx，并化简；
目
开 关
(2)观察当 Δx 趋近于 0 时，ΔΔyx趋近于哪个定值；
(3)ΔΔyx趋近于的定值就是函数 y＝f(x)的导数.
1.2.1
问题 2 利用定义求下列常用函数的导数：
本 课
①y＝c ②y＝kx＋b ③y＝x ④y＝x2 ⑤y＝1x
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第1章 导数及其应用
先化简再求导
求下列函数的导数：
(1)f(x)＝log2x2－log2x； (2)f(x)＝2x2x＋1－2x；
(3)f(x)＝－2sinx22sin2x4－1；
(4)f(x)＝(1栏目 导引
第1章 导数及其应用
【解】 (1)因为 f(x)＝log2x2－log2x＝2log2x－log2x＝log2x，
x)1＋
1
＋
x
x＝1－
x＋ 1x－1＋
1 x＝x－2.
所以 f′(x)＝x－21′＝－12x－32＝－2xx2.
栏目 导引
第1章 导数及其应用
所以 f′(x)＝(log2x)′＝xln1 2.
(2)因为 f(x)＝2x2x＋1－2x＝2x＋1x－2x＝1x，
所以 f′(x)＝1x′＝(x－1)′＝－x－2＝－x12.
(3)因为 f(x)＝－2sinx2－cosx2＝sin x.所以 f′(x)＝(sin x)′＝cos x.
(4)因为 f(x)＝(1－
第1章 导数及其应用
1.2 导数的运算
1.2.1 常见函数的导数
第1章 导数及其应用
1.能根据定义求函数 y＝C，y＝kx＋b，y＝x，y＝x2，y＝1x 的导数． 2.理解、记住基本初等函数求导公式． 3．会运用求 导公式和导数的几何意义解决问题．
第1章 导数及其应用
1．几个常见函数的导数 (1)若 f(x)＝kx＋b(k，b 为常数)，则 f′(x)＝_k__，即(kx＋b)′＝__k_； (2)若 f(x)＝C(常数)，则 f′(x)＝__0_，即 C′＝_0__； (3)若 f(x)＝x，则 f′(x)＝__1_，即 x′＝__1_； (4)若 f(x)＝x2，则 f′(x)＝_2_x__，即(x2)′＝_2_x__； (5)若 f(x)＝x3，则 f′(x)＝_3_x_2__，即(x3)′＝__3_x_2_； (6)若 f(x)＝1x，则 f′(x)＝－x12，1 即1x′＝__－__x1_2__；1 (7)若 f(x)＝ x，则 f′(x)＝__2__x___，即( x)′＝__2__x___．
第1章 导数及其应用
栏目 导引
第1章 导数及其应用
(1)对于简单的函数只要能写成幂函数、指数函数、对数函数或正 余弦函数就可以直接运用基本初等函数求导公式求其导数． (2)记住基本初等函数求导公式是正确求解的关键．要特别注意求 导公式的结构特征，弄清(ln x)′与(logax)′和(ex)′与(ax)′的差异，防 止混淆而导致求导错误．
栏目 导引
第1章 导数及其应用
2．基本初等函数的导数公式
(1)(xα)′＝__α_x_α_－_1 _ (α 为常数)；
(2)(ax)′＝__a_x_ln__a_ (a>0 且 a≠1)；
1
1
(3)(logax)′＝__x_l_o_g_ae_＝__x_l_n__a_ (a>0 且 a≠1)；
(4)(ex)′＝__e_x _； 1
A．π2
B．π3
C．π6
D．π4
解析：选 D．由题知，y′＝cos x，所以 y′|x＝0＝cos 0＝1.设此切线
的倾斜角为 α，则 tan α＝1，因为 α∈[0，π)，所以 α＝π4.
栏目 导引
第1章 导数及其应用
4．已知 f(x)＝1x，则 ff′15＝________． 解析：因为 f(x)＝1x，所以 f′(x)＝－x12， 所以 f′15＝－25，所以 ff′15＝－215. 答案：－215
2
(2)f(x)＝2－x； (3)f(x)＝e2； (4)f(x)＝cos x.
第1章 导数及其应用
栏目 导引
第1章 导数及其应用
解：(1)f′(x)＝(log 2x)＝xln1 2＝xln2 2. (2)f′(x)＝12x′＝12xln12＝－2－xln 2. (3)f′(x)＝(e2)′＝0. (4)f′(x)＝(cos x)′＝－sin x.
(5)(ln x)′＝_____x__；
(6)(sin x)′＝__co_s__x___；
(7)(cos x)′＝__－__s_in__x___．
栏目 导引
第1章 导数及其应用
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)常见函数的导数 x′＝1，(x2)′＝2x，(x3)′＝3x2，( x)′＝21x，1x′
栏目 导引
第1章 导数及其应用
利用求导公式求函数的导数 求下列函数的导数： (1)y＝x12； (2)y＝x14； (3)y＝3 x5； (4)y＝2x； (5)y＝e2x； (6)y＝log3x； (7)y＝sinπ4.
栏目 导引
【解】 (1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45. (3)y′＝x35′＝53x32＝533 x2. (4)y′＝(2x)′＝2xln 2. (5)y′＝[(e2)x]′＝(e2)xln e2＝2e2x. (6)y′＝(log3x)′＝xln1 3. (7)y′＝sinπ4′＝ 22′＝0.
栏目 导引
第1章 导数及其应用
1.已知 f(x)＝ln x 且 f′(x0)＝x120，则 x0＝________． 解析：因为 f(x)＝ln x(x>0)， 所以 f′(x)＝1x， 所以 f′(x0)＝x10＝x120， 所以 x0＝1. 答案：1
栏目 导引
2．求下列函数的导数： (1)f(x)＝log x；
＝－x12分别是幂函数求导公式(xα)′＝αxα－1 当 α＝1，2，3，12，－1 的特例．( √ )
(2)(ex)′＝ex 是(ax)′＝axln a(a＞0 且 a≠1)当 a＝e 时的特例．( √ )
(3)(ln x)′＝1x是(logax)′＝xln1 a(a＞0 且 a≠1)的特例． ( √ )
(4)sin
π3′＝cos
π3＝12.(
×)
栏目 导引
第1章 导数及其应用
2．已知 f(x)＝ x，则 f′(4)＝( A．－14 C．－2
) B．14 D．2
解析：选
B．因为
f′(x)＝2
1 ，所以 x
f′(4)＝2
1
4＝14.
栏目 导引
第1章 导数及其应用
3．曲线 y＝sin x 在 x＝0 处的切线的倾斜角是( )