121函数的概念
1-2复变函数
(不包括端点i ),
不是区域.
18
复变函数
1.设 D 为复平面 C 上的点集，如果有一个法则
f
，
f D z 使得 内任意一点 ，按对应法则 ，都有复数 w 同它对应，则称 f 为定义在点集 D 的一个复变
函数，简称为复变函数，记为 w f ( z ) 。 注解 1：同样可以定义函数的定义域与值域； 注解 2：此定义与传统的定义不同，没有明确指出 是否只有一个
6
课堂练习 判断下列区域是否有界? (1) 圆环域: r1 z z0 r2 ; (2) 上半平面: Im z 0;
r1 r2
z 0
y
(3) 角形域: 0 arg z ;
(4) 带形域: a Im z b.
o x
答案
(1)有界;
(2) (3) (4)无界.
7
二、单连通域与多连通域
注意:
定义中 z z0 的方式是任意的 .
24
2. 极限计算的定理 定理一 设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), A u0 iv0 ,
z0 x0 iy0 , 那末 lim f ( z ) A 的充要条件是
z z0 x x0 y y0
没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔 当曲线).
10
如果简单曲线C 的起点和终点重合 ,即 z(a ) z(b) , 那末称 C 为简单闭曲线 .
换句话说, 简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质: 任意一条简单 闭曲线 C 将复平面 唯一地分成三个互 不相交的点集.
y
边界
内部 外部
o
x
11
，试求它把 z -平面上的
高中数学第一章集合与函数概念121函数的概念课件新人教A版必修1
A．11
B．12
C．13
D．10
【答案】C
【解析】f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.
4.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1 和 y＝xx2＋－11
B．y＝x0 和 y＝1
C．f(x)＝x2 和 g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝
xx2和 g(x)＝
x x2
【答案】D
【答案】B 【解析】根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B不 正确.
2.函数 f(x)＝ xx－－21的定义域为(
)
A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1,2)
D．[1，＋∞)
【答案】A 【解析】由题意可知，要使函数有意义，需满足xx－－21≠≥00，，
即 x≥1 且 x≠2.
3.已知f(x)＝x2＋x＋1，则f[f(1)]的值是( )
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休 睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对 哦~
2.(1)y＝x＋x＋120； (2)y＝ 2x＋3－ 21－x＋1x. 【解析】(1)由于 00 无意义，故 x＋1≠0，即 x≠－1. 又 x＋2>0，x>－2，所以 x>－2 且 x≠－1. 所以函数 y＝x＋x＋120的定义域为{x|x>－2 且 x≠－1}.
求函数的定义域
【例 2】求下列函数的定义域： (1)y＝2x＋3；(2)f(x)＝x＋1 1； (3)y＝ x－1＋ 1－x；(4)y＝xx2＋－11. 【解题探究】求函数的定义域，即是求使函数有意义的那 些自变量 x 的取值集合.
【解析】(1)函数 y＝2x＋3 的定义域为{x|x∈R}. (2)要使函数有意义，即分式有意义，则 x＋1≠0，x≠－1. 故函数的定义域为{x|x≠－1}. (3)要使函数有意义，则1x－－1x≥≥00，， 即xx≥≤11，， 所以 x＝1， 从而函数的定义域为{x|x＝1}. (4)因为当 x2－1≠0，即 x≠±1 时，xx2＋－11有意义，所以原函 数的定义域是{x|x≠±1}.
§6.3.5函数展开为幂级数121
2!
(2n)!
x (, ) ；
ln(1 x) x x2 (1)n1 xn ，
2
n
x （－1，1
(1 x)m 1mx 1 m(m1)x2 2!
1 m(m1)(m2)(mn1)xn ，x （－1，1） n!
此式称为二项式展开式，右端的级数称为二项式级数。 其端点的敛散性与m 有关。
例如当m 0 时，收敛区间为[－1，1]， 当 1 m 0 时，收敛区间为（－1，1]。
定义 设 f (x) 在点 x 的某邻域内具有任意阶导数，则称
幂级数
n0
f
(n) (x ) n!
(x x )n
为
f
(x)
在点
x
处的泰勒级数，
记为 f (x) ～
n0
f
(n) (x n!
)
(x
x
)n
。
f (x) 在点 x 0 处的泰勒级数，称为 f (x) 的麦克劳林级数
记为 f (x) ～
f (n) (0) x n 。
n0 n !
当函数f (x) 在 x o 的某邻域内具有任意阶导数时，其在 x o 处的泰勒级数是否收敛？若收敛，是否一定以f (x) 为 和函数？对此，有如下定理：
定理 设 f (x) 在x 的某邻域N (x ) 内具有任意阶导数， 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要 条件是 f (x) 在x 处的泰勒公式的余项 Rn (x) 满足 lim Rn (x) 0 ， xN (x ) 。
ln(1 x) x x2 x3 x4 (1)n xn1 (1 x 1) .
234
n1
上述展开式对x 1 也成立，这是因为上式右端的幂级
初中的全部数学知识点
初中的全部数学知识点初中数学知识点协议一、数与代数11 有理数111 正数和负数112 有理数的分类113 数轴114 相反数115 绝对值116 有理数的大小比较117 有理数的加减法118 有理数的乘除法119 有理数的乘方12 实数121 平方根122 立方根123 实数的分类124 实数的运算125 近似数和有效数字13 代数式131 整式1311 单项式1312 多项式1313 整式的加减132 分式1321 分式的定义1322 分式的基本性质1323 分式的运算133 二次根式1331 二次根式的定义1332 二次根式的性质1333 二次根式的运算14 整式方程1411 方程的定义1412 一元一次方程的解法142 二元一次方程组1421 二元一次方程组的定义1422 二元一次方程组的解法143 一元二次方程1431 一元二次方程的定义1432 一元二次方程的解法1433 一元二次方程根的判别式1434 一元二次方程根与系数的关系15 分式方程151 分式方程的定义152 分式方程的解法153 分式方程的增根16 不等式与不等式组161 不等式的性质1621 一元一次不等式的解法163 一元一次不等式组1631 一元一次不等式组的解法二、函数21 函数的概念211 变量与常量212 函数的定义213 函数的表示方法22 一次函数221 一次函数的定义222 一次函数的图像与性质223 一次函数的解析式224 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系23 反比例函数231 反比例函数的定义232 反比例函数的图像与性质233 反比例函数的解析式24 二次函数241 二次函数的定义242 二次函数的图像与性质243 二次函数的解析式244 二次函数与一元二次方程的关系三、图形的认识31 点、线、面、体311 点、线、面、体的概念312 点动成线、线动成面、面动成体32 直线、射线、线段321 直线的性质322 直线的表示方法323 线段的性质324 线段的中点325 两点间的距离33 角331 角的定义332 角的表示方法333 角的度量334 角的平分线335 余角和补角34 相交线与平行线341 相交线3411 对顶角3412 邻补角3413 垂线3414 点到直线的距离342 平行线3421 平行线的定义3422 平行线的判定3423 平行线的性质35 三角形351 三角形的相关概念3511 三角形的定义3512 三角形的边、角关系3513 三角形的高线、中线、角平分线352 三角形的分类353 全等三角形3531 全等三角形的定义3532 全等三角形的性质3533 全等三角形的判定354 相似三角形3541 相似三角形的定义3542 相似三角形的性质3543 相似三角形的判定355 解直角三角形3551 锐角三角函数3552 解直角三角形36 四边形361 平行四边形3611 平行四边形的定义3612 平行四边形的性质3613 平行四边形的判定362 矩形3621 矩形的定义3622 矩形的性质3623 矩形的判定363 菱形3631 菱形的定义3632 菱形的性质3633 菱形的判定364 正方形3641 正方形的定义3642 正方形的性质3643 正方形的判定365 梯形3651 梯形的定义3652 等腰梯形的性质与判定3653 直角梯形的定义37 圆371 圆的相关概念3711 圆的定义3712 弦、弧、圆心角、圆周角372 点与圆的位置关系373 直线与圆的位置关系374 圆与圆的位置关系375 圆的周长和面积376 弧长和扇形面积377 圆锥的侧面积和全面积四、图形与变换41 图形的平移411 平移的定义412 平移的性质42 图形的旋转421 旋转的定义422 旋转的性质423 中心对称4231 中心对称的定义4232 中心对称的性质4233 中心对称图形43 图形的轴对称431 轴对称的定义432 轴对称的性质433 轴对称图形44 图形的相似变换441 位似的定义442 位似的性质五、统计与概率51 数据的收集、整理与描述511 数据的收集512 数据的整理513 数据的描述52 数据的分析521 平均数522 中位数523 众数524 方差53 概率初步531 随机事件532 概率的定义533 用列举法求概率534 用频率估计概率以上内容涵盖了初中数学的全部重要知识点，在学习过程中，应注重理解和应用，通过大量的练习巩固所学知识。
函数的概念教学设计
《函数的概念》的教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（A版）》的第一章1.2.1函数的概念。
函数是中学数学中最重要的基本概念之一，它贯穿在中学代数的始终，从初一字母表示数开始引进了变量，使数学从静止的数的计算变成量的变化，而且变量之间也是相互联系、相互依存、相互制约的，变量间的这种依存性就引出了函数。
在初中已初步探讨了函数概念、函数关系的表示法以及函数图象的绘制。
到了高一再次学习函数，是对函数概念的再认识，是利用集合与对应的思想来理解函数的定义，从而加深对函数概念的理解。
函数与数学中的其他知识紧密联系，与方程、不等式等知识都互相关联、互相转化。
函数的学习也是今后继续研究数学的基础。
在中学不仅学习函数的概念、性质、图象等知识，尤为重要的是函数的思想要更广泛地渗透到数学研究的全过程。
函数是中学数学的主体内容，起着承上启下的作用。
函数又是初等数学和高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系。
因此对函数概念的再认识，既有着不可替代的重要位置，又有着重要的现实意义。
本节的内容较多，分二课时。
本课时的内容为：函数的概念、函数的三要素、简单函数的定义域及值域的求法、区间表示等。
（第二课时内容为：函数概念的复习、较复杂函数的定义域及值域的求法、分段函数、函数图象等）【学情分析】学生在学习本节内容之前，已经在初中学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系。
然而，函数概念本身的表述较为抽象，学生对于动态与静态的认识尚为薄弱，对函数概念的本质缺乏一定的认识，对进一步学习函数的图象与性质造成了一定的难度。
初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质。
由于数学符号的抽象性，学生因此会望而却步，从而影响了学生学习数学的积极性。
高一学生虽然在初中已接触了函数的概念，但在重新学习它时还是存在一定的障碍，其中一个原因就是对新引进的函数符号“y=f(x)”不甚其解。
高中数学课本全套pdf
高中数学课本全套pdf篇一:人教版必修1高一数学全套打包,150页)人教版高中数学必修1精品教案(整套)课题:集合的含义与表示(1)课型:新授课教学目标:(1) 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;(2) 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系;(3) 掌握常用数集及其记法;教学重点:掌握集合的基本概念;教学难点:元素与集合的关系;教学过程:一、引入课题军训前学校通知:8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生,在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而1不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合(宣布课题)，即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容二、新课教学(一)集合的有关概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2. 一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集。
3. 思考1:判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1) 大于3小于11的偶数;(2) 我国的小河流;(3) 非负奇数;(4) 方程x2?1?0的解;(5) 某校2007级新生;(6) 血压很高的人;(7) 著名的数学家;(8) 平面直角坐标系内所有第三象限的点(9) 全班成绩好的学生。
2对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4. 关于集合的元素的特征(1)确定性:设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
(2)互异性:一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
(3)无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。
高中数学第2章函数1函数概念课件必修1高一必修1数学课件
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
探究四
易错辨析
求函数的定义域
【例1】 求下列函数的定义域:
(1)f(x)=x2-x;
(2)f(x)=(x+2)0;
(3)f(x)=
+1
;
-2
(4)f(x)= + 4 + 1-(x∈Z).
分析:若只给出函数的关系式,而没有指明它的定义域,则函数的定义域就是
对定义域内同一个自变量,根据表达式,都能得到同一函数值,因此二者为
同一函数.
故以上各对函数中,(1)(4)表示同一函数,(2)(3)表示的不是同一函数.
解:对于(1),在公共定义域R上,f(x)=x和φ(x)=
定义域和对应关系是确定一个函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定
义域和对应关系分别相同时,这两个函数才是同一函数.
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)三
探究四
易错辨析
变式训练1(1)求下列函数的定义域:
1
①f(x)= ;
-2
②f(x)= 3 + 2;
③f(x)= - 2 + 2(x∈Z).
(2)求函数 y= 2 + 3 −
1
2-
1
+ 的定义域.
第十二页，共三十五页。
探究(tànjiū)一
第十八页，共三十五页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
探究四
易错辨析
变式训练3下列各组函数:
2 -
①f(x)= ,g(x)=x-1;
函数的概念与性质(公式、定理、结论图表)高考数学必背知识手册
第三章函数的概念与性质（公式、定理、结论图表）1．函数的概念定义一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数三要素对应关系y ＝f (x )，x ∈A定义域自变量x 的取值范围值域与x 的值相对应的y 的函数值的集合{f (x )|x ∈A }思考1：(1)有人认为“y ＝f (x )”表示的是“y 等于f 与x 的乘积”，这种看法对吗？(2)f (x )与f (a )有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y ＝f (x )是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为x 是自变量，它是关系所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y 是自变量的函数，当x 允许取某一具体值时，相应的y 值为与该自变量值对应的函数值．y ＝f (x )仅仅是函数符号，不表示“y 等于f 与x 的乘积”．在研究函数时，除用符号f (x )外，还常用g (x )，F (x )，G (x )等来表示函数．(2)f (x )与f (a )的区别与联系：f (a )表示当x ＝a 时，函数f (x )的值，是一个常量，而f (x )是自变量x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a )是f (x )的一个特殊值，如一次函数f (x )＝3x ＋4，当x ＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示设a ，b ∈R ，且a <b ，规定如下：定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示定义R{x |x ≥a }{x |x ＞a }{x |x ≤a }{x |x ＜a }符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．3.函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x 0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．4.分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．5．增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ：如果∀x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时都有f (x 1)＜f (x 2)都有f (x 1)＞f (x 2)结论那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图示思考1：增(减)函数定义中的x 1，x 2有什么特征？提示：定义中的x 1，x 2有以下3个特征：(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2；(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．思考2：函数y ＝1x在定义域上是减函数吗？提示：不是．y ＝1x 在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．6.函数最大值与最小值最大值最小值条件设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：∀x ∈I ，都有f (x )≤Mf (x )≥M∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 是函数y ＝f (x )的最大值M 是函数y ＝f (x )的最小值几何意义f (x )图象上最高点的纵坐标f (x )图象上最低点的纵坐标思考：若函数f (x )≤M ，则M 一定是函数的最大值吗？提示：不一定，只有定义域内存在一点x 0，使f (x 0)＝M 时，M 才是函数的最大值，否则不是．7.函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I结论f (－x )＝f (x )f (－x )＝－f (x )图象特点关于y 轴对称关于原点对称思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？提示：定义域关于原点对称．8．幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．9．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象如图所示：10．幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x ∈[0，＋∞)时，增函数x ∈(－∞，0]时，减函数增函数增函数x ∈(0，＋∞)时，减函数x ∈(－∞，0)时，减函数11.常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)分段函数模型f(x)＝f1(x)，x∈D1f2(x)，x∈D2……fn(x)，x∈D n<解题方法与技巧>1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．典例1：(1)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(1)C[①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与g(x)＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.](2)[解]①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．]3.函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.典例2：设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．[思路点拨](1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．[解](1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝1x＋2，所以g(a)＋g(0)＝1a＋2＋10＋2＝1a＋2＋12(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝110＋2＝112.(2)g(f(x))＝1f(x)＋2＝12x2＋2＋2＝12x2＋4.4.求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.典例3：1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f(x)＝x＋1x2－1.倘若先化简，则f(x)＝1x－1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y ＝f(x)的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．5.分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x))的形式时，应从内到外依次求值．6.．已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．典例4：求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝(x＋1)2x＋1－1－x.[思路点拨]要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．[解](1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数f(x)＝2＋3x－2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．x－1≠0，2x＋1≥0，x＋1≠0，解得x>－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．3－x≥0，x－1≥0，解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x x＋1≠0，1－x≥0，解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．已知函数f(x x＋1，x≤－2，x2＋2x，－2<x<2，2x－1，x≥2.(1)求f(－5)，f(－3)，f f －52的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值．[解](1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3.∵f －52＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2，∴f f －52－32＝－32＋2×－32＝94－3＝－34.(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去．当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.∴(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意．当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.7.利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号.(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.典例5：证明函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．[思路点拨]设元0<x 1<x 2<1―→作差：f (x 1)－f (x 2)――→变形判号：f (x 1)>f (x 2)――→结论减函数[证明]设x 1，x 2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1x 2＋1x 2＝(x 1－x 21x 1－1x 2x 1－x 2)＋x 2－x1x 1x 2＝(x 1－x 2)1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0，∴(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．8.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.典例6：(1)若函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，则实数x 的取值范围为________．[思路点拨](1)分析f (x )的对称轴与区间的关系――→数形结合建立关于a 的不等式――→求a 的范围(2)f (2x －3)>f (5x －6)――――――――――――――――→f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数建立关于x 的不等式――→求x 的范围(1)(－∞，－4](2)(－∞，1)[(1)∵f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的开口向下，要使f (x )在(－∞，3]上是增函数，只需－(a ＋1)≥3，即a ≤－4.∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，∴2x －3>5x －6，即x <1.∴实数x 的取值范围为(－∞，1)．]9．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，则f (x )在区间[a ，b ]上的最小(大)值是f (a )，最大(小)值是f (b )．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，在区间[b ，c ]上是减(增)函数，则f (x )在区间[a ，c ]上的最大(小)值是f (b )，最小(大)值是f (a )与f (c )中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．典例7：已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解](1)f (x )在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0⇒f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)由(1)知f (x )在[2,4]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)＝2×2＋12＋1＝53，最大值f(4)＝2×4＋14＋1＝95.10.解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系.(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式.(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围).(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案.典例8：一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？[解](1)当0<x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x.故y －x2＋32x－100，0<x≤20，160－x，x>20(x∈N*)．(2)当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x>20时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．11.巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.典例9：已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．[解](1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．12.比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上.(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.典例10：函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是()A．f (1)<f 52<72B．f 72<f (1)<52C．f 72<f 52f (1)D．f 52<f (1)<72[思路点拨]y ＝f (x ＋2)是偶函数―→f (x )的图象关于x ＝2对称――→[0，2]上递增比较大小B [∵函数f (x ＋2)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴52f 32f 72＝12，又f (x )在[0,2]上单调递增，∴f 12<f (1)<3272f (1)<5213.判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.典例11：(1)在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为()A．0B．1C．2D．3(2)若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f 12(1)B (2)13[(1)∵y ＝1x2＝x －2，∴是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．(2)设f (x )＝x α，∵f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log 23，∴12＝12log 23＝13.]14.解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x 12或y＝x3)来判断.典例12：点(2，2)与点－2，－12f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．[解]设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．。
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思考？ 初中学习了哪些函数?
y 2x y1
x y 2x 1
y x2 2x 3
在初中，函数的概念是如何理解的？
设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于 x的每一个值，都有唯一的y值与它对应，则称x是自变量， y是x的函数；自变量x的取值的集合叫做函数的定义域， 和自变量x值对应的y的值组成的集合叫做函数的值域。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函 数的定义域； 与x的值相对应的f(x)即y的值 叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
二、函数的三要素:
(1)函数的三要素为：定义域，值域，对应关系.
符号表示为： f:A→B,A为定义域，B包含值域，f为对应关系.
(2)函数y=f(x)的内涵：当自变量为x时，经过f的作用对应 的函数值f(x)为即y.
f: A→B.
设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应关系 f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有 唯一确定的值f(x)和它对应，那么就称f: A→B为从集 合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x),x∈A
一、函数的概念:
y x2
设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应关系 f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有 唯一确定的值f(x)和它对应，那么就称f: A→B为从集 合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x),x∈A
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
注意：用实心点表示包括在区间内的端点， 用空心点表示不包括在区间内的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷 大”。
满足x≥a , x＞a , x≤a , x＜a 的实数的集合分别 表示为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞，a]、(-∞,a).
4 你从上面的计算中发现了什么结论?
本节小结：
1.函数的概念
设A、B是
，如果按照某种对应关系f，使对于
集合A中的
，在集合B中都有
确定的值f(x)
和它对应，那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函
数，记作
,x∈A
2.函数的三要素
函数的三要素为：定义域，值域，对应关系.
3.两个函数相等 当两个函数的三要素完全一致，我们就称这两个函数相等。
的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各
集合的交集）
y x3 1 x2
练习1
求下列函数的定义域
（1）
f
(x)
1 4x
7
（2）f (x) 1 x x 3 1
（3） f (x) x 1 x4
练习2
已知函数f (x) x 3 1 , x2
(1)求函数的定义域 (2)求f (3), f (1)的值 (3)当a 0时，分别求f (a), f (a 2), f (2a)的值.
A ={t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变化范围是
数集B ={S|0≤S≤26}.并且，对于数集A中的每一个时刻t， 按照图中的曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞
面积S和它对应.
归纳以上二个实例，我们看到，二个实例中变量之间的 关系可以描述为：
对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B 中都有唯一确定的y和它对应，记作
练习3
已知函数f (x) 3x3 2x, (1) f (1) ___, f (1) ____, f (1) f (1) ___; (2) f (2) ___, f (2) ____, f (2) f (2) ___; (3) f (a) ___, f (a) ____, f (a) f (a) ___;
从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，
按照对应关系(*)，在数集B中都有唯一的高度h和它对应。
(2) 近几十年来，大气中的臭氧迅速减少，因而出现 了臭氧层空洞问题。下图中的曲线显示了南极上空臭氧空洞 的面积从1979~2001年的变化情况：
根据下图中的曲线可知，时间t的变化范围是数集
三、区间的概念:
设a,b是两个实数，而且a＜b, 我们规定： (1)、满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表示为 [a,b]. (2)、满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间， 表示为 (a,b).
(3)、满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做 半开半闭区间，表示为 [a,b)或(a,b].
如何求函数的定义域？
求定义域的思路：
y 3x2 2x
y 1 x2
y x 1
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数R
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于0 的实数的集合
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内 的式子≥0的实数的集合
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数
例1、试用区间表示下列实数集：
(1){x|5 ≤ x≤6} (2){x| -1＜ x ＜ 2} (3){x| -5 ≤ x＜2} (4) {x|x ≤ -1} U {x|3 ＜ x≤5} (5) {x| -1＜ x ＜ 2} U{x|x ≥4}
四、求函数的定义域
如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域， 那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实 数的集合。
4.求函数的定义域 分式 二次根式
作业
下面先看几个实例：
(1)一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标， 炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时 间t(单位:s)变化的规律是 h
h=130t-5t2 (*)
845
Байду номын сангаас
26s
t
这里，炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},
炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B ={h|0≤h≤845}.
y f (x) x
函数就象一个加工厂 y f (x) 1
x y f (x) 2x
两个函数相等
当两个函数的三要素完全一致，我们就称这两个函数相等。 只要有一个要素不同，就称是两个不同的函数。
下列每组函数中的两个函数相等吗？
(1) y x x R与y x2 x 0
x (2) y 2x与y x2