牛顿科特斯求积公式
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牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
( c 02 ) =
1/8 16/45 25/144 34/105
2989/ 17280 10496/ 28350
7/90 25/96 9/280
2989/ 17280 -4540/ 28350
19/288 9/35
1323/ 17280 10496/ 28350
41/840
3577/ 17280 -928/ 28350 751/ 17280 5888/ 28350 989/ 28350
k
xj
dx
在[a, b]作等距的插值基点 a=x0<x1<……<xn=b ， 作等距的插值基点
A =∫ ∏ dx k a j=0 x x j k
j≠k
b n
xxj
ba , x k = a + kh , k = 0,1 , n 设节点步长 h = n
积分作变量替换x= 积分作变量替换 a+th
步长
当x=a时 当x=b时
t=0， t=n，
t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n) Ak = ∫ lk ( x)dx = h∫ dt nk 0 a k !(n k )!(1) (1)nk n = h ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )! nk n (1) =nh ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )!n
Newton-Cotes公式 公式
牛顿—柯特斯 牛顿 柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 柯特斯 求积公式
Newton—Cotes公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式
1/8 16/45 25/144 34/105
2989/ 17280 10496/ 28350
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19/288 9/35
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41/840
3577/ 17280 -928/ 28350 751/ 17280 5888/ 28350 989/ 28350
k
xj
dx
在[a, b]作等距的插值基点 a=x0<x1<……<xn=b ， 作等距的插值基点
A =∫ ∏ dx k a j=0 x x j k
j≠k
b n
xxj
ba , x k = a + kh , k = 0,1 , n 设节点步长 h = n
积分作变量替换x= 积分作变量替换 a+th
步长
当x=a时 当x=b时
t=0， t=n，
t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n) Ak = ∫ lk ( x)dx = h∫ dt nk 0 a k !(n k )!(1) (1)nk n = h ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )! nk n (1) =nh ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )!n
Newton-Cotes公式 公式
牛顿—柯特斯 牛顿 柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 柯特斯 求积公式
Newton—Cotes公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
2
t(t
0
2)dt
2 3
C2
(1) 0 2 2!0!
2
t(t 1)dt
0
1 6
P130 表６-1给出了n从1～8的柯特斯系数。
当n = 8时，从表中可以看出出现了负系数，从 而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。
数值计算方法
b
1dx 1
a
显然, Ck是不依赖于积分区间[a,b]以及被积函数
f(x)的常数,只要给出n,就可以算出柯特斯系数,譬
如当n=1时
C0
1 1 0!1!
1
(t
0
1)dt
1 2
C1
1
tdt
1
0
2
当n=2时
C0
(1) 2 2 0!2!
2
(t 1)(t 2)dt
0
1 6
C1
(1)1 2 1!1!
k!(n k)!hn 0
(b a) (1)nk
nn
( (t i))dt
nk!(n k)! 0 i0
ik
引进记号
Ck
(1) nk nk!(n k )!
nn
(
0 i0
(t i))dt
ik
( k=0,1…,n )
则
Ak (b a)Ck ( k=0,1…,n )
代入插值求积公式(6.4)有
这里 lk (x) 是插值基函数。即有
Ak
b
a lk (x)dx
bn a
i0
x xi dx xk xi
ik
将积分区间[a,b] 划分为n等分, 步长 h b a
n
求积节点为 xk a kh(k 由于 xk xi (k i)h , 所以
newton-cotes 公式
newton-cotes 公式牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式是用来在有限的数据点上进行数值积分的公式，它有助于解决一些数学里复杂的积分问题。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式是建立在具有固定的插值点的基础上的，它的基本思想是将积分区间上的函数值用一个多项式曲线表示，根据多项式的函数值，通过运用权重系数求出函数对应积分区间上的积分值。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式具有理论可靠性和可计算性，可以用来计算任何一类好的函数在有限积分区间上的数值积分值。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式有如下几种：前向 - 望厄（Forward-Newton-Cotes）公式，中间 - 望厄（Midpoint-Newton-Cotes）公式，后向 - 望厄（Backwards-Newton-Cotes）公式和梯形 - 望厄（Trapezoid-Newton-Cotes）公式，每种公式都是以一定的格式形式来进行积分计算的，它们在实用水平上是相通的，可以用来求取给定函数在有限划分区间上的近似数值积分值。
不同的是，每种公式都有不同的特点，比如，前向 - 望厄（Forward-Newton-Cotes）公式算法效率高但精度低，后向 - 望厄（Backwards-Newton-Cotes）公式算法精度高但效率低，梯形 - 望厄（Trapezoid-Newton-Cotes）公式精度取决于区间的分段数，而中间 - 望厄（Midpoint-Newton-Cotes）公式适合单次积分的计算。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式可以用来解决一些数学里比较复杂的积分问题，它对于提高程序自动执行效率也必不可少，所以它在很多地方都有实际应用。
第4章==牛顿求积
f ′′(ξ ) b (b − a)3 RT = ∫a (x − a)(x − b)dx = − 12 f ′′(ξ) 2
(2)辛甫生公式余项Rs 辛甫生公式余项
RS = I − S = ∫
b a
f ′′′(ξ ) a +b (x − a)(x − )(x − b)dx 3 ! 2
b − a b − a 4 (4) =− ( ) f (ξ ),ξ ∈(a, b) 180 2
4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5
0
0.5
1
1.5
b−a , (k = 0,1,2,3,4) （3）n=4时， xk = a + k ⋅ ） 时 4
∫
b
a
f (x)dx ≈ I 4 =
b−a [7 f (x0 ) + 32 f (x1 ) +12 f (x2 ) + 32 f (x3 ) + 7 f (x4 )] 90
sin x 1 ∫0 x dx ≈ 90 (7 f (0) +32 f (0.25) +12 f (0.5) + 32 f (0.75) + 7 f (1)) = 0.9460830
1
I=0.9460831（准确值), 各阶牛顿 柯特斯求积结果 （准确值 各阶牛顿—柯特斯求积结果
n In m 1 2 3 0.9461109 3 4 0.9460830 5 5 0.9460830 5
且对应的函数值
f (xk ) = yk 为已知， 为已知，
n b
构造插值型求积公式
∫
b
a
f ( x)dx = ∑ f ( xk ) ∫ lk ( x)dx
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
4-2牛顿—柯特斯公式
而 n= 4时的牛顿—柯特斯公式为
ba C [7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )] 90 ba x k a kh, h 这里 4
特别称为 柯特斯(Cotes)公式*
注：其余柯特斯系数详见书上p104表4-1.
二、偶阶牛顿-柯特斯求积公式的代数精度
作为插值求积公式，n阶牛 顿 — 柯特斯公式至少具有 n 次 代数精度，那么
是否有更进一步的结果？
两个简单偶阶求积公式的代数精度
辛甫生(Simpson)公式
ba ab S [ f (a ) 4 f ( ) f (b)] 6 2
首先它是二阶公式，因此至少具有二次代数 精度，进一步考察当 f(x)=x3时，
n
0
t j dt j 0 k j jk
n
1 n 1 n j 0 k j
jk
0
n
( t j )dt ( h b a ) j 0
jk
n
n
n n 1 1 1 ( t j )dt n k ( k 1)...1 ( 1)( 2)...( k n) 0 j 0 jk
所以 余项为
max | f ( x ) | f (1) 8.1548
1 x 2
f ( ) | RT | (b a ) 3 12
( 2 1) max | f ( x ) | 0.6796 12 1 x 2
3
用辛甫生公式计算
1 1 21 1.5 2 e dx ( e 4 e e ) 2.0263 1 6
解
2
dx 的近似值，并估计余项。
4.2牛顿-柯特斯公式
函数值f ( xk )的计算引起
只需讨论f ( xk )的舍入误差对公式的影 响
假设f ( xk )为精确值, 而以f ( xk )作为f ( xk )的近似值 (计算值)
k f ( xk ) f ( xk ) 为误差
记
(n) ( b a ) C In k f ( xk ) k 0 n n
梯形(trapezia)公式具有1次代数精度
2.Simpson公式及其余项
ba ba 取n 2 , 则x0 a , x1 , x2 b , h 2 2
Cotes系数为
C
(2) 0
1 2 1 (t 1)( t 2 )dt 4 0 6 1 2 4 t (t 2 )dt 0 2 6 1 2 1 (t 1)tdt 4 0 6
n
n
n 2
n
n 2
2
被积函数 ( j )是奇函数
n 2
n 2
n n n n g ( ) ( j ) ( )( 1) ( 1)( ) 2 2 2 2 n 2 n n n n g ( ) ( )( 1) ( ) ( 1)( ) 2 2 2 2 g ( ) (1) n1 g ( ) g ( )
上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式 记为
S I2 ( f )
4.5 4 3.5
Simpson公式的余项为
3 2.5
R( S ) R( I 2 ) a R2 ( x)dx
b a b a 4 (4) ( ) f ( ) 180 2
b
2 1.5 1 0.5 0 -0.5
newton-cotes求积公式
f ( (a ~t h))
1
t(t 1)dt
f ()
0
0
6
其中 (a ~t h) (a,b) 。
因此，梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
的截断误差为
R1
(b a)3 12
f (),
(a,b)
1 x2
1
ex
f
( x)
(
2 x3
1 x4
1
)e x
max f (x) f (1) 8.1548
1 x2
截断误差估计为
R1
(2 1)3 12
max
1 x2
f (x)
0.6796
用Simpson公式计算，得
2 1
e x dx
2
1 (e
1
4e1.5
b
f (x)dx (b a)
a
n
C (n) k
f
( xk
)
④
k 0
这就是一般的牛顿—科茨公式，
其中 C (n) k
称为科茨系数。
从科茨系数公式③可以看出，科茨系数
C (n) k
的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了
积分区间的等分数n，就能算出 C0(n) , C1(n) , , Cn(n)
在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。
梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
辛普森公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
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计算方法
(2) 被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示， 但 表达式太复杂，例如函数 f (x) x2 2x2 3
并不复杂，但积分后其表达式却很复杂，积分后 其原函数F(x)为：
F(x) 1 x2 2x2 3 3 x 2x2 3 9 ln( 2x x2 2x2 3)
2
2
两端不相等, 所以该求积公式具有 1 次代数精度。
计算方法
例2 试确定一个至少具有2次代数精度的公式
4
0 f ( x)dx Af (0) Bf (1) Cf (3)
解: 要使公式具有2次代数精度,则对f(x)=1,x,x2 求积公式准确成立，即得如下方程组
A B C 4
A1 A0 A1 4h hA1 hA1 0
h2 A1
h2 A1
16 h3 3
解之得
计算方法
A0
4 3
h,
A1
A1
8 3
h
2h f ( x)dx 4h2 f (h) f (0) 2 f (h)
2h
3
其代数精度至少为2, 将f(x)=x3代入求积公式两端相等, 将f(x)=x4代入求积公式两端不相等, 所以其代数精度为3次。
由定积分定义
b
n
f ( x)dx lim
a
x 0
f (i )xi
i0
(1)分 割 a x0 x1 ... xn i b
计算方法
(2)近 似 si f ( )xi xi xi xi1
n
n
(3)求 和 Sn si f (i )xi
4
16
16 2
计算方法
(3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式, 其函数 关系由表格或图形表示。 对于这些情况, 要计算积分的准确值都是十分
困难的。由此可见, 通过原函数来计算积分有它的 局限性, 因而研究一种新的积分方法来解决NewtonLeibniz公式所不能或很难解决的积分问题, 这时需 要用数值解法来建立积分的近似计算方法。
B 3C 8
B 9C 64 3
解得：
A 4, B 4,
9
3
所求公式为：
C 20 9
计算方法
4
0
f
( x)dx
14
9
f
(0)
12
f
(1)
20
f
(3)
计算方法
例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式
3
0 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2) A3 f (3)
a
8
该求积公式至少具有三次代数精度
例4: 给定求积公式
计算方法
2h
2h f ( x)dx A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
试确定求积系数A-1, A0 ,A1, 使其有尽可能高的代 数精度，并指出其代数精度。
解：令求积公式对f(x)=1, x, x2准确成立，则有
能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的
实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中
经常遇到以下三种情况：
计算方法
(1) 被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的 有限形式表示的原函数F(x)，例如：
1 sin xdx和 1 ex2 dx
0x
0
Newton-Leibnitz公式就无能为力了。
计算方法
§7.1 牛顿-科特斯求积公式
我们知道,若函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原 函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式
b
a f ( x)dx F (b) F (a)
求定积分的值 , Newton-Leibnitz公式 无论在理论上 还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不
i0
求积系数 求积节点
注：求积系数与被积函数f(x)无关，与积分区间 和积分节点有关，称之为机械求积公式。
b
N
R( f ) f ( x)dx a
Ai f ( xi )
i0
称R(f)为上述求积公式的截断误差。
计算方法
两个问题： 1、系数Ai如何选取，即选取原则； 2、若节点可以自由选取，取什么点好？
二 插值型求积公式
计算方法
基本思想：用插值函数的积分，作为数值积分 （取拉格朗日插值函数）
解：由上述定义：
要求求积公式对1，x, x2，x3均准确成立，即
A0 A1 A2 A3 3
A1
2 A2
3 A3
9 2
A1 4 A2 9 A3 9
A1
8 A2
27 A3
81 4
解之得：
计算方法
A0
3 8
,
A1
9 8
,
A2
9 8
,
A3
3 8
由此得：
b f ( x)dx 3( f (0) 3 f (1) 3 f (2) f (3))
一 代数精度
计算方法
定义 若某个求积公式对任意 k n 阶的多项
式均能准确成立，且至少对某个 n+1 阶多项式 不成立，则称此求积公式的代数精度为 n 。
注 ： 不 难 验 证 ， 若 求 积公 式 对1，x, x2, xn均 准 确 成 立 ， 则 其 对 任 意次 数 n的 多 项 式 准确成立。
i0
i0
(4)求 极 限 x
max
1 i n
{
xi
}
n
b
lim
x 0
Sn
lim
x 0 i0
f (i )xi
a
f ( x)dx
由此想到机械求积公式
计算方法
b
a f ( x)dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) ...An f ( xn ) R[ f ]
例1 考察求积公式
计算方法
1
1
f (x)dx
1f
2
(1) Leabharlann 2f(0)
f
(1)
的代数精度。
可以验证, 对于f(x)=1, x时公式两端相等,
再将f(x)=x2代入公式
左端
1 x2dx 1 x3 1 2
1
3
1 3
右端 1 f (1) 2 f (0) f (1) 1 1 1 1
n
Ai f ( xi ) R[ f ]
i0
n
其 中Ai权 系 数 ， Ai f ( xi )是f ( xi )加 权 和 ，
i0
也是 b f ( x)dx的近似值。 a
计算方法
定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合
b
N
f ( x)dx
a
Ai f ( xi )