2016-2017年广东省揭阳市勤建学校高二(上)期末数学试卷(文科)及答案
广东省揭阳市2016-2017学年高二下学期学业水平考试(期末)数学(文)试题-含答案
揭阳市2016－2017学年度高中二年级学业水平考试数学（文科）（测试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知i 是虚数单位，若复数))((R a i a i ∈+-的实部与虚部相等，则=a （A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2 （2）若集合{}0,1,2A =，{}24,B x x x N =≤∈，则AB =（A ）{}20≤≤x x （B ）{}22≤≤-x x （C ）{0,1,2} （D ）{1,2} （3）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为（A ） （B ） （C （D （5）在区间[]1,4-上随机选取一个数，则1≤x 的概率为 （A ）23（B ）15 （C ）52 （D ）14图2俯视图侧视图主视图（6）已知抛物线2y x =的焦点是椭圆22213x y a +=的一个焦点，则椭圆的离心率为（A（B （C ）14 （D ）17（7）以下函数，在区间[3,5]内存在零点的是（A ）3()35f x x x =--+ （B ）()24x f x =-（C ）()2ln(2)3f x x x =-- （D ）1()2f x x=-+（8）已知(2,1),(1,1)a b ==，a 与b 的夹角为θ，则cos θ=（A（B（C（D （9）在图1的程序框图中，若输入的值为2，则输出的y 值为（A ）0 （B ）12 （C ）1- （D ）32-（10）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的侧面积是（A ）76（B ）70 （C ）64 （D ）62 （11）设2()3,()ln(3)x f x e g x x =-=+，则不等式(())(())11f g x g f x -≤的解集为（A ）[5,1]- （B ）(3,1]- （C ）[1,5]- （D ）(3,5]- (12) 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为（A ）∞（-,-2） （B ）1∞（-,-)（C ）(1,+)∞ （D ）(2,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）函数()cos f x x x =+的最小正周期为 ．DC 1B 1CBA （14）已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-3322y x y x x y ，则y x -2的最小值为 .（15）已知直线l ：0x y a -+=，点()2,0A -，()2,0B . 若直线l 上存在点P 满足AP BP ⊥， 则实数a 的取值范围为 .（16）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2,b =3B π=，且△ABC的面积S =a c += .三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足141,4a a ==；数列{}n b 满足12b a =，25b a =，数列{}n n b a -为等比数列．(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（Ⅱ）已知该地区有X ,Y 两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X 型车，高一级学生都租Y 型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的概率. （19）（本小题满分12分）如图3，已知四棱锥11A CBB C -的底面为矩形，D 为1AC 的中点，AC ⊥平面BCC 1B 1． （Ⅰ）证明：AB//平面CDB 1; （Ⅱ）若AC=BC=1，BB 1（1）求BD 的长；（2）求三棱锥C-DB 1C 1的体积. 图3 （20）（本小题满分12分）已知过点(0,1)A 的动直线l 与圆C ：224230x y x y +---=交于M ，N 两点. （Ⅰ）设线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程; （Ⅱ）若2OM ON ⋅=-,求直线l 的方程. （21）（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若对任意1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()213022f x x ax +++≤成立，求实数a 的取值范围．请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原的14，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：410x y ++=与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|2|||f x x x a =-+-. （Ⅰ）若2a =-，解不等式5)(≥x f ；（Ⅱ）如果当x R ∈时，()3f x a ≥-，求a 的取值范围．揭阳市2016－2017学年度高中二年级学业水平考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：（10）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其侧面积为42+44+245=64⨯⨯⨯⨯.（11）(())(())11f g x g f x -≤即22(3)3211450x x x x +--≤⇒+-≤51x ⇒-≤≤，注意到30x +>，即3x >-，故31x -<≤.（12）当0a =时，函数2()31f x x =-+有两个零点，不符合题意，故0a ≠，2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，令'()0f x =得0x =或2x a=，由题意知，0a >，且2()0f a>，解得2a >．二、填空题：2x y +=有公共点时，的取值范围，数形结合易得a -≤≤.（16）由余弦定理得2222cos 4b a c ac B =+-=，即224a c ac +-=，1sin 24S ac B ac ===得4ac =，故2()164a c a c +=⇒+= 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由数列{}n a 是等差数列且141,4a a ==∴公差4113a a d -==， ------------------------------------------------------------------------------1分∴1(1)n a a n d n =+-=，------------------------------------------------------------------------------3分∵12b a ==2，25b a ==5，∴11221,3,b a b a -=-= ∴数列{}n n b a -的公比22113b a q b a -==-，-----------------------------------------------------------5分∴1111()3n n n n b a b a q ---=-=，∴13n n b n -=+；-------------------------------------------------------------------------------------------7分(Ⅱ)由13n n b n -=+得21(12)(1333)n n S n -=++++++++--------------------------------------------------------9分(1)31231n n n +-=+- 3(1)12n n n ++-=------------------------------------------------------------------------------------ 12分（18）解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为56=29+6⨯，------2EABCB 1C 1D分高二学生的人数为59=39+6⨯； -------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）解法1：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------5分则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，(a 2,b 1), (a 2,b 2),(a 2,b 3), (b 1,b 2), (b 1,b 3), (b 2,b 3)，共10种可能； ----------------------------------------------------------8分 其中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的有：111213(,),(,),(,)a b a b a b ，212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共9种，------------------------------------------10分故所求的概率910P =.-----------------------------------------------------------------------------------------12分【解法2：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------------------5分则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共10种可能；--------------------------------------8分其中所抽的2人都不租X 型车的有：12(,)a a 一种，-------------------------------------------------9分 故所求的概率1911010P =-=.---------------------------------------------------------------------------12分（19）解：（Ⅰ）证明：连结1BC 交1B C 于E ，连结DE ， ------------------------------------------1分∵D 、E 分别为1AC 和1BC 的中点，∴DE//AB,---------------------------------- --------------------2分 又∵DE ⊂平面1CDB ,AB ⊄平面1CDB ,∴AB//平面CDB 1;---------------------------------------------4分（Ⅱ）（1）∵AC ⊥平面BCC 1B 1，BC ⊂平面11BCC B ， ∴BC AC ⊥, 又∵1BC CC ⊥,1ACCC C =，∴BC ⊥平面1ACC ， ∵CD ⊂平面1ACC ,∴BC CD ⊥,----------------------------------------------------------------------------------------------------6分在Rt BCD ∆,∵BC=1，1112CD AC ===, ∴BD =; ----------------------------------------------------------------------------------------------------8分【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】 （2）解法1：∵BC ⊥平面1ACC ，BC//B 1C 1∴11B C ⊥平面1CC A ,-----------------------------------------------------------------------------------------10分∴111111113C DB C B CDC CDC V V S B C --∆==⋅111134=⨯⨯=.---------------------------------12分 【解法2：取1CC 中点F,连结DF ，∵DF 为△1ACC 的中位线，∴DF//AC,-------------------------------------------------------------------9分 ∵AC ⊥平面11CBB C ，从而可得DF ⊥平面11CBB C ,----------------------------------------------10分∴11111113C DB CD CB C CB C V V S DF--∆==⋅1111322=⨯⨯=.--------------------------------12分（20）解法（Ⅰ）将224230x y x y +---=化为标准方程得222(2)(1)x y -+-=,----------------------------------------------------------------------------1分可知圆心C 的坐标为(2,1),半径r =设点P的坐标为(,)x y ,则(2,1),(,1)CP x y AP x y =--=-,---------------------------------------2分依题意知CP AP ⊥,∴0CP AP ⋅=(2)(1)(1)0x x y y ⇒-+--=整理得222210x y x y +--+=, ------------------------------------------------------------------------4分∵点A 在圆C 内部, ∴直线l 始终与圆C 相交, ∴点P的轨迹方程为222210x y x y +--+=.----------------------------------------------------------6分（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ,若直线l 与x 轴垂直,则l 的方程为0x =,代入224230x y x y +---= 得2230y y --=,解得1y =-或3y =, 不妨设121,3y y =-=,则3OM ON ⋅=-,不符合题设,------------------------------------------------7分 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为1y kx =+,由224230,1.x y x y y kx ⎧+---=⎨=+⎩消去y 得22(1)440k x x +--=, --------------------------------8分216(2)0k ∆=+>,则12122244,11x x x x k k+==-++,------------------------------------------------------------------------9分由2OM ON ⋅=-得212121212(1)()12x x y y k x x k x x +=++++=-, ∴22244(1)1211kk k k-+++=-++2410k k ⇒-+=, 解得2k =±,------ ---------------------------------------------------------------------------------------11分∴当2O M O N ⋅=-时,直线l 的方程为(21y x =+或(21y x =+.--------------12分（21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，∵()ln 1f x x '=+，令'()0f x =得1x e=，-------------------------------------------------------------2分 当10x e <<时'()0f x <，当1x e>时，'()0f x >， ∴函数()f x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，----------------------------------------4分∴函数()f x 无极大值， 当1x e =时，函数()f x 在(0,)+∞有极小值，11()()f x f e e==-极小，--------------------------5分（Ⅱ）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()213022f x x ax +++≤，得3ln 22x a x x ≤---，--------------6分记()3ln 22x g x x x =---，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()()2231113222x x g x x x x +-'=--+=-， 当∈x 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，得'()0g x >，当∈x ()1,e 时， '()0g x < ∴()g x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()1,e 上单调递减，---------------------------------------------------9分 又113122e g e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3122e g e e=---， ∵012)()1(<-+=-e e e g e g ，∴()1g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，-------------------------------------------------10分故()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1g e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故只需1a g e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即实数a 的取值范围是13,122e e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦．------------------------------------------------------------12分 选做题：（22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式1',4'.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得4','x x y y ==-------------------------------------2分代入221x y +=中得2216''1x y +=，--------------------------------------------------------------------3分故曲线C 的参数方程为1cos ,4sin .x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数）；----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由题知，121(,0),(0,1)4P P --，--------------------------------------------------------------------6分故线段P 1 P 2中点11(,)82M --，---------------------------------------------------------------------------7分∵直线l 的斜率4k =-∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为14， 故线段P 1 P 2的中垂线的方程为111()248y x +=+------------------------------------------------------8分即832150x y --=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入得其极坐标方程为8cos 32sin 150ρθρθ--=----------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)当a ＝－2时，f ()＝|－2|＋|＋2|，①当2x ≤-时，原不等式化为：25,x -≥解得52x ≤-，从而52x ≤-；-------------------------1分②当22x -<≤时，原不等式化为：45≥，无解；---------------------------------------------------2分③当2x >时，原不等式化为：25,x ≥解得52x ≥，从而52x ≥；----------------------------------3分综上得不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2525x x x 或.----------------------------------------------------------------5分 (Ⅱ)当x R ∈时，|2||||x x a x x a a -+-≥---= ---------------------------------------7分所以当x R ∈时，()3f x a ≥-等价于|2|3a a -≥------（*）当2a ≥时，（*）等价于23,a a -≥-解得52a ≥，从而52a ≥；----------------------------------8分当2a <时，（*）等价于23,a a -≥-无解；------------------------------------------------------------9分故所求a 的取值范围为5[,+2∞）. --------------------------------------------------------------------------10分。
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绝密★启用前揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合{}Z k k x x M ∈+==,12，{}Z k k x x N ∈+==,2，则（A ）N M =（B ）N M ⊂（C ）M N ⊂（D ）φ=⋂N M（2）复数z 满足(1＋i)z ＝i ＋2，则z 的虚部为（A ）32 （B ）12 （C ）12- （D ）12i - （3）设,a b R ∈，则“()20a b a -<”是“a b <”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且322315S S -=,则数列{}n a 的公差为（A ）3 （B ）4（C ）5 （D ）6（5）已知3cos 5α=，3(,2)2παπ∈，则cos()4πα-=（A （B ） （C （D ）（6）若空间四条直线a 、b 、c 、d ，两个平面α、β，满足b a ⊥，d c ⊥，α⊥a ，α⊥c ，则（A ）α//b （B ）b c ⊥（C ）d b //（D ）b 与d 是异面直线（7）对于任意的非零实数m ，直线2y x m =+与双曲线()0,012222>>=-b a by a x 有且只有一个交点，则双曲线的离心率为（A（B）2 （C ） 2 （D（8）已知曲线a x x x f 2ln )(+=在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为34π，则a 的值为（A ）1 （B ）－4 （C ）21-（D ）－1 （9）阅读如图1所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（A ）242 （B ）274（C ）275 （D ）338 图1（10） 函数],[|,|sin ππ-∈+=x x x y 的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ） （11）在ABC ∆中，有正弦定理：sin sin sin a b cA B C===定值，这个定值就是ABC ∆的外接圆的直径．如图2所示，DEF ∆中，已知DE DF =，点M 在直线EF 上从左到右运动（点M 不与E 、F 重合），对于M 的每一个位置，记DEM ∆的外接圆面积与DMF∆的外接圆面积的比值为λ，那么（A ）λ先变小再变大 （B ）仅当M 为线段EF 的中点时，λ取得最大值（C ）λ先变大再变小 （D ）λ是一个定值图2（12）已知,a b R ∈、且2222290ab a b ++-=，若M 为22a b +的最小值，则约束条件0,.y x y M x y M ⎧≤≤⎪⎪-≥-⎨⎪+≤⎪⎩所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为 （A ）9（B ）13（C ）16 （D ）18第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知向量)1,1(-=a ，)2,(n b = ，若53a b ⋅=，则n = ．（14）偶函数()f x 的图象关于直线3x =对称，(4)4f =，则(2)f -= ．（15）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构） 啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组， 图3 经90榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为 ．（容器壁的厚度忽略不计） （16）直线:42l x y +=与圆22:1C x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 、OB 的倾斜角分别为α、β，则cos cos αβ+= ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（小题满分12分）已知递增数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a n =+． （I ）求n a ；（II ）设12nn n b a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．（18）（本小题满分12分）如图4，在四棱锥ABCD P -中，AD O ∈，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AO=AB=BC=1，，3=PC ．（I ）证明：平面POC ⊥平面P AD ；（II ）若，三棱锥P-ABD 与C-PBD 的体积分别为1V 、2V ，求证122V V =． 图4 （19）（本小题满分12分）某次数学测验后，数学老师统计了本班学生对选做题的选做情况，得到如下表数据：(单位：人)（I 97.5%的把握认为选做“坐标系与参数方程”或“不等式选讲”与性别有关？（II ）经过多次测试后，甲同学发现自己解答一道“坐标系与参数方程”所用的时间为区间[5,7]内一个随机值（单位：分钟），解答一道“不等式选讲”所用的时间为区间[6,8]内一个随机值（单位：分钟），试求甲在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做“不等式选讲”所用时间更长的概率．附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（20）（本小题满分12分）已知圆Ｃ过点)0,43(A ，且与直线43:-=x l 相切， （I ）求圆心C 的轨迹方程；（II ） O 为原点，圆心C 的轨迹上两点M 、N （不同于点O ）满足0=⋅OM ，已知13OP OM =，13OQ ON =，证明直线PQ 过定点，并求出该定点坐标和△APQ 面积的最小值．（21）（本小题满分12分）已知函数()(2)=-+xf x x e a .(a R ∈)（I ）试确定函数()f x 的零点个数；（II ）设12，x x 是函数()f x 的两个零点，证明：122x x +<． 参考公式：为常数）t e ex t xt ()'(---=请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=ααsin 1cos 1t y t x （t 为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos +=θρρ．（I ）写出直线l 经过的定点的直角坐标，并求曲线C 的普通方程； （II ）若4πα=，求直线l 的极坐标方程，以及直线l 与曲线C 的交点的极坐标．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数|2||1|)(--+=x m x x f ． （I ）若1m =，求函数)(x f 的值域；（II ）若1m =-，求不等式x x f 3)(>的解集．揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：（12）由2222290ab a b ++-=结合222ab a b ≤+得22223()93a b a b +≥⇒+≥（当且仅当a b =时等号成立）故3M =,故约束条件确定的平面区域如右图阴影所示，在区域内， 在x 轴上整点有7个，在直线x=1上有5个，在x=2上有3个， 在x=3上有1个，共16个.二、填空题：（16）设1122(,),(,)A x y B x y ，由三角函数的定义得：12cos cos x x αβ+=+ 由2242,1.x y x y +=⎧⎨+=⎩消去y 得：2174120x x --=，则12417x x +=，即4cos cos 17αβ+=. 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）当1n =时，21121S a =+，解得11a =；--------------------------------------------1分当2n ≥时，由22n n S a n =+，得21121n n S a n --=+-，两式相减，得()221121n n n n S S a a ---=-+，即()22110n n a a ---=，即11(1)(1)0n n n n a a a a --+---=∵数列{}n a 为递增数列，∴110n n a a -+-≠， ∴11n n a a --=，------------------------------------------------------------------------------------------4分∴ 数列{}n a 是首项为1、公差为1的等差数列，故n a n =；---------------------------------6分（Ⅱ）nn n b 2)1(+=，()nn n T 2123222 1⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=，n T = ()2312232212n n n n +⋅+⋅++⋅++⋅，-------------------------------------------8分两式相减，得－()()132212224+⋅+-+⋅⋅⋅+++=n n n n T()()1141241212n n n -+-=+-+⋅-12n n +=-⋅，------------------------------------------------------------------------11分，12+⋅=n n n T *n N ∈．-------------------------------------------------------12分（18）解：（Ⅰ）在四边形OABC 中，∵AO //BC ，AO =BC ，AB ⊥AD ，∴四边形OABC 是正方形，得OC ⊥AD ，-----------------------2分 在△POC 中，∵222PC OC PO =+，∴OC ⊥PO ，-------4分 又O AD PO = ，∴OC ⊥平面P AD ，又⊂OC 平面POC ，∴平面POC ⊥平面P AD ；-------------6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,四边形ABCO 为正方形，∴OC =AB =1, OC ⊥OD -----------8分∴1OD ==，从而2AD =,-----------------------------------------------------9分设点P 到平面ABCD 的距离为h ，∵平行线BC 与AD 之间的距离为1，∴2121121313121==⋅⋅==⋅⋅=BC AD BC AD S S h S h S V V BCD ABD BCD ABD △△△△-------------------------------------------11分 即122V V =．---------------------------------------------------------------------------------------------12分其它解法请参照给分． （19）解：（1）22⨯列联表如下-3分由表中数据得()2250221288505.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，查表可知，有超过97.5%的把握认为选做“坐标系与参数方程”或“不等式选讲”与性别有关；-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分（2）设甲解答一道“坐标系与参数方程”需要x 分钟，解答一道“不等式选讲”需要y 分钟，-------------------------------------------------------------7分记“甲在考试中选做‘坐标系与参数方程’比选做‘不等式选讲’所用时间更长”为事件A ，则总的基本事件构成区域()57,68x x y y ⎧≤≤⎫⎧⎨⎨⎬≤≤⎩⎩⎭，--------------------------------------------------9分而满足事件A 的基本事件构成区域为(){}8675,≤≤≤≤>y x y x y x ，， ，----------10分即图中阴影部分，由几何概型知()11112228P A ⨯⨯==⨯，即甲在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做 “不等式选讲”所用时间更长的概率为18．……………12分（20）解：（Ⅰ）法一：由已知得圆心C 的轨迹是以A 为焦点，l 为准线的抛物线，由432=p 得x px y 322==，得圆心C 的轨迹方程为x y 32=；-------------------------3分【法二：设圆半径为R ，圆心C (x , y )，则|AC |=R =|)43(|--x ，即22)43(y x +-=|)43(|--x ，化简得x y 32=即圆心C 的轨迹方程为x y 32=------------------------------------------------------------------3分】（Ⅱ）证明：依题意知OM 的斜率k 存在，且0≠k ，设OM 的方程为kx y =， ------------4分∵OM ⊥ON ，则ON 的方程为x ky 1-=，由⎩⎨⎧==xy kx y 32得x x k 322=，得23k x M =，------------------------------------------------------6分同理得23k x N =，由已知得21k x P =，2k x N =，∴)1,1(2kk P ，),(2k k Q -，----------------------------8分∴111222--=---=k k k k k k k PQ，直线PQ 的方程为=+k y )(122k x k k ---， 即0)1()1(2=-+-y k x k ，∴直线PQ 过定点（1，0），---------------------------------10分设B （1，0），则|1|4121||||21k k y y AB S Q P APQ +⨯⨯=-⋅=∆41281|)||1(|81=⨯≥+=k k ，∴△APQ 面积的最小值为41．---------------------------------------------------------------------12分【证法二：设()()1122,,,M x y N x y ，MN 的方程为x ty m =+ 由23x ty m y x=+⎧⎨=⎩ 得2330y ty m --=，---------------------------------------------------------------------4分 则29120t m ∆=+>，且12123,3y y t y y m +=-=----------------------------------------------------5分∵OM ON ⋅=，∴12120x x y y +=-----------------------------------------------------------------------6分 即221212109y y y y +=，解得129y y =-，所以39m -=-，解得3m =--------------------------- 7分 ∴MN的方程为3x t y =+，则直线MN过定点E ()3,0---------------------------------------------8分 设PQ 与x 轴相交于点F11,33OP OM OQ ON ==，//PQ MN ∴31||||||||==OM OP OE OF ，可得1OF =，则()1,0F ， 故PQ 过定点()1,0F -------------------------------------------------------------------------------------10分121111122434APQ P Q SAF y y y y ∴=-=⋅⋅⋅-=≥ ∴△APQ 面积的最小值为14.-------------------------------------12分】（21）解：（I ）由0)(=x g 得(2)=-xa x e ，令()(2)=-xg x x e ，函数()f x 的零点个数即直线a y =与曲线()(2)=-xg x xe 的交点个数， ∵'()(2)(1)=-+-=-xxxg x e x e x e ，-------------2分 由'()0g x >得1x <，∴函数()g x 在(,1)-∞单调递增， 由'()0g x <得1x >，∴函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，∴当1=x 时，函数()g x 有最大值，max ()(1)==g x g e ，----------------------------------------3分又当2<x 时，()g x >0，(2)0=g ，当2>x 时()0<g x ，∴当>a e 时，函数()f x 没有零点；----------------------------------------------------------------4分当=a e或≤a 时，函数()f x 有一个零点；------------------------------------------------------5分当0<<a e 时，函数()f x 有两个零点．------------------------------------------------------------6分（II ）证明：函数()f x 的零点即直线a y =与曲线()(2)=-xg x x e 的交点横坐标，不妨设12<x x ，由（I ）知121,1<>x x ，得122<-x ， ∵函数()(2)=-xg x x e 在(,1)-∞上单调递增，∴函数a x g x f +-=)()(在(,1)-∞单调递减，要证122x x +<，只需证212x x -<， ------------------------------------------------------------7分∴只需证)2()(21x f x f ->，又0)(1=x f ，即要证0)2(2<-x f ，---------------------8分∵由)(2x g a =得222222222(2)(2)---=-+=---x x x f x x e a x e x e ，（21>x ）--------9分令2()(2)-=---xx h x xe x e ，则2'()(1)()-=--xx h x x e e ，------------------------------10分当1>x 时，x x e e ->2，'()0<h x ，即函数()h x 在(1,)+∞上单调递减， ∴()(1)0<=h x h ，∴当21>x 时，2(2)0-<f x ，即122x x +<．------------------------------------------------12分【证法二：由（Ⅰ）知，0>a ，不妨设211x x <<， 设-=)()(x f x F )1()2(>-x x f ，则xx xe e x x F -+-=2)2()(，-----------------------------8分))(1()('2x x e e x x F --=-，易知x x e e y -=-2是减函数，当x >1时，02=-<--e e e e x x ，又1-x <0， 得0)('>x F ， 所以)(x F 在),1(∞+递增，0)1()(=>F x F ，即)(x f >)2(x f -.---------------------------10分由12>x 得)(2x f >)2(2x f -，又)(0)(12x f x f ==，所以)()2(12x f x f <-， 由()(2)=-xg x x e 在(,1)-∞上单调递增，得a x g x f +-=)()(在(,1)-∞单调递减， 又122<-x ，∴122x x >-，即221<+x x ，得证． ---------------------------------------12分】 选做题：（22）解：（Ⅰ）直线l 经过定点)1,1(-，----------------------------------------------------------------2分由2cos +=θρρ得22)2cos (+=θρρ，得曲线C 的普通方程为222)2(+=+x y x ，化简得442+=x y ；---5分（Ⅱ）若4πα=，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y tx 221221，的普通方程为2+=x y ， --------------------------------6分则直线l的极坐标方程为2cos sin +=θρθρ，------------------------------------------------8分联立曲线C ：2cos +=θρρ．精 品 文 档试 卷 得1sin =θ，取2πθ=，得2=ρ，所以直线l 与曲线C 的交点为)2,2(π． -----------10分 （23）解：（Ⅰ）当1m =时，|2||1|)(--+=x x x f ------------------------------------------------1分∵3|)2()1(|||2||1||=--+≤--+x x x x ， ------------------------------------------------3分3|2||1|3≤--+≤-∴x x ，函数)(x f 的值域为]3,3[-；-------------------------------5分（Ⅱ）当m =－1时，不等式x x f 3)(>即x x x 3|2||1|>-++， ---------------------------------6分①当1-<x 时，得x x x 321>+---，解得51<x ，1-<∴x ；------------------------7分②当21<≤-x 时，得x x x 321>+-+，解得1<x ，11<≤-∴x ；------------------8分③当2≥x 时，得x x x 321>-++，解得1-<x ，所以无解；--------------------------- 9分综上所述，原不等式的解集为)1,(-∞． --------------------------------------------------------10分。
2016-2017年广东省揭阳市惠来县华侨中学高二(上)期末数学试卷和答案(文科)
2016-2017学年广东省揭阳市惠来县华侨中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A ∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．22．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=的取值范围为（）A．[﹣3，3]B．[﹣2，2]C．[﹣1，1]D．[﹣，]3．（5分）在等差数列{a n}中，a1+a2+a3=3，a28+a29+a30=165，则此数列前30项和等于（）A．810 B．840 C．870 D．9004．（5分）已知M=dx，N=cosxdx，由程序框图输出S的值为（）A．1 B．ln2 C．D．05．（5分）sin（﹣）﹣cos（﹣）的值是（）A．B．﹣C．0 D．6．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f （x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+…+f（2015）=（）A．333 B．336 C．1678 D．20157．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm38．（5分）下列命题中正确的个数是（）①过异面直线a，b外一点P有且只有一个平面与a，b都平行；②异面直线a，b在平面α内的射影相互垂直，则a⊥b；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α⊥β．A．0 B．1 C．2 D．39．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，若a2•a9=9，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log3510．（5分）若函数f（x）=﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A．1＜a≤2 B．a≥4 C．a≤2 D．0＜a≤311．（5分）已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=ln f（﹣ln 2），则下列关于a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．a＜c＜b C．c＞b＞a D．b＞a＞c12．（5分）已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x0，使得f（x0）=f′（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是（）①f（x）=x2，②f（x）=e﹣x，③f（x）=lnx，④f（x）=tanx，⑤．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）已知||=1，||=2，与的夹角为60°，则+在方向上的投影为．14．（5分）定义运算，设函数，将函数y=f（x）向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到图象关于y轴对称，则m的最小值是．15．（5分）设函数f（x）=x2ln（﹣x+）+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=．16．（5分）已知函数f（x）=e ax﹣x﹣1，其中a≠0．若对一切x∈R，f（x）≥0恒成立，则a的取值集合．三、解答题（70分）17．（12分）如图，A，B是椭圆+=1（a＞b＞0））的两个顶点．|AB|=，直线AB的斜率为﹣．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l平行于AB，与x，y轴分别交于点M，N，与椭圆相交于C，D．证明：△OCM的面积等于△0DN的面积．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A≠，且3sinAcosB+bsin2A=3sinC．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若A=，求△ABC周长的最大值．19．（12分）如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A1沿CC1折起如图2所示，连接B1C，B1A，B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若AB1=，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．20．（12分）设f（x）=（xlnx+ax+a2﹣a﹣1）e x，a≥﹣2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）讨论f（x）在区间（，+∞）上的极值点个数．[选修4-4：坐标系与参数方程]21．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t是参数）．（Ⅰ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，试求实数m值．（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣a|，a∈R（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≥|x+1|+1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）+3x≤0的解集包含{x|x≤﹣1}，求a的取值范围．2016-2017学年广东省揭阳市惠来县华侨中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A ∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，17，…}，则A∩B={8，14}，故集合A∩B中元素的个数为2个，故选：D．2．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=的取值范围为（）A．[﹣3，3]B．[﹣2，2]C．[﹣1，1]D．[﹣，]【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，目标函数z=几何意义为区域内的点与D（2，0）的斜率，过（﹣1，2）与（2，0）时斜率最小，过（﹣1，﹣2）与（2，0）时斜率最大，∴Z 最小值==﹣，Z 最大值==， 故选：D ．3．（5分）在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=3，a 28+a 29+a 30=165，则此数列前30项和等于（ ）A ．810B ．840C ．870D ．900【解答】解：在等差数列{a n }中，∵a 1+a 2+a 3=3，a 28+a 29+a 30=165，∴3（a 1+a 30）=168，∴a 1+a 30=56，∴此数列前30项和为S 30=15（a 1+a 30）=15×56=840．故选：B ．4．（5分）已知M=dx ，N=cosxdx ，由程序框图输出S 的值为（）A ．1B ．ln2C ．D ．0【解答】解：∵M====ln2，N===1，ln2＜1∴M ＜N ，由程序图可知求两个数的最小值，输出的是最小的一个数，∴S=ln2，故选：B．5．（5分）sin（﹣）﹣cos（﹣）的值是（）A．B．﹣C．0 D．【解答】解：原式=﹣sin（4π+）﹣cos（4π+）=﹣sin﹣cos=﹣﹣=﹣，故选：B．6．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f （x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+…+f（2015）=（）A．333 B．336 C．1678 D．2015【解答】解：由已知函数周期为6，并且2015=6×335+5，并且f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（﹣3+6）=f（﹣3）=﹣（﹣3+2）2=﹣1，f（4）=f（﹣2+6）=f（﹣2）=0，f（5）=f（﹣1+6）=f（﹣1）=﹣1，f（6）=f（0）=0，所以f（1）+f（2）+…+f（6）=1，所以f（1）+f（2）+…+f（2015）=1×335+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=335+1=336；故选：B．7．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥切去一个同底同高的三棱锥所得的组合体，故体积V=（1﹣）××4×3×5=20cm3，故选：B．8．（5分）下列命题中正确的个数是（）①过异面直线a，b外一点P有且只有一个平面与a，b都平行；②异面直线a，b在平面α内的射影相互垂直，则a⊥b；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α⊥β．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①P是异面直线a、b外一点，则过P有一个平面与a、b都平行；此命题不正确，当过点P与两条异面直线中的一条的平面与另一条直线平行时，此时找不到一个过P的平面与两条异面直线都平行，不正确；②本命题用图形说明，如图：三棱锥P﹣ABC中，侧棱PB垂直于底面，PA，PC两线在底面上的投影垂直，而两线不垂直，不正确；③四边相等的四边形也可以是空间四边形，不正确；④直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α、β不一定垂直，不正确．故选：A．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，若a2•a9=9，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35【解答】解：∵等比数列{a n}中，每项均是正数，且a2•a9=9，∴log3a1+log3a2+...+log3a10=log3（a1•a2•a3 (10)=log3（a2•a9）5=log3310=10．故选：B．10．（5分）若函数f（x）=﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A．1＜a≤2 B．a≥4 C．a≤2 D．0＜a≤3【解答】解：∵，∴函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=x﹣，∵x＞0，∴由f′（x）=x﹣＜0，得0＜x＜3．∵函数在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，∴，解得1＜a≤2．故选：A．11．（5分）已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=ln f（﹣ln 2），则下列关于a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．a＜c＜b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【解答】解：设g（x）=xf（x），则g’（x）=f（x）+xf‘（x），∵f′（x）+==＞0，∴当x＜0时，g′（x）＜0，当x＞0时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴g（x）是R上的偶函数，∵a=g（），b=g（﹣2）=g（2），c=ln f（﹣ln2）=﹣ln2f（﹣ln2）=g（﹣ln2）=g（ln2），且ln2＜2，∴g（）＜g（ln2）＜g（2），即a＜c＜b故选：B．12．（5分）已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x0，使得f（x0）=f′（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是（）①f（x）=x2，②f（x）=e﹣x，③f（x）=lnx，④f（x）=tanx，⑤．A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：①中的函数f（x）=x2，f′（x）=2x．要使f（x）=f′（x），则x2=2x，解得x=0或2，可见函数有巧值点；对于②中的函数，要使f（x）=f′（x），则e﹣x=﹣e﹣x，由对任意的x，有e﹣x＞0，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于③中的函数，要使f（x）=f′（x），则lnx=，由函数f（x）=lnx与y=的图象知，它们有交点，因此方程有解，原函数有巧值点；对于④中的函数，要使f（x）=f′（x），则tanx=，即sinxcosx=1，sin2x=2，显然无解，原函数没有巧值点；对于⑤中的函数，要使f（x）=f′（x），则x+=1﹣，即x3﹣x2+x+1=0，设函数g（x）=x3﹣x2+x+1，g′（x）=3x2+2x+1＞0且g（﹣1）＜0，g（0）＞0，显然函数g（x）在（﹣1，0）上有零点，原函数有巧值点．故有“巧值点”的函数为①③⑤，共3个．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）已知||=1，||=2，与的夹角为60°，则+在方向上的投影为2．【解答】解：∵||=1，||=2，与的夹角为60°，∴•=|×||×cos60°=1由此可得（+）2=||2+2•+||2=1+2+4=7∴|+|=．设+与的夹角为θ，则∵（+）•=||2+•=2∴cosθ==，可得向量+在方向上的投影为|+|cosθ=×=2故答案为：214．（5分）定义运算，设函数，将函数y=f（x）向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到图象关于y轴对称，则m的最小值是．【解答】解：由已知可得=sinx=．函数y=f（x）向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得函数解析式为y=2sin（x+m ﹣）．∵所得到图象关于y轴对称，∴，得m=，k∈Z．当k=0时，m的最小值是．故答案为：．15．（5分）设函数f（x）=x2ln（﹣x+）+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=﹣9．【解答】解：∵f（a）+f（﹣a）=a2ln（﹣a+）+1+（﹣a）2ln（a+）+1=2，f（a）=11，∴f（﹣a）=2﹣11=﹣9．故答案为：﹣9．16．（5分）已知函数f（x）=e ax﹣x﹣1，其中a≠0．若对一切x∈R，f（x）≥0恒成立，则a的取值集合{1} ．【解答】解：若a＜0，则对一切x＞0，∵e ax＜1，∴f（x）=e ax﹣x﹣1＜0，这与题设矛盾．又a≠0，故a＞0．而f′（x）=ae ax﹣1，令f′（x）=0得x=ln，当x＜ln时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴当x=ln，f（x）取最小值f（ln）=﹣ln﹣1．于是对一切x∈R，f（x）≥0恒成立，当且仅当﹣ln﹣1≥0．①令g（t）=t﹣tlnt﹣1，（t=）则g′（t）=﹣lnt，当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，∴当t=1时，g（t）取最大值g（1）=1﹣1=0．∴当且仅当=1，即a=1时，①式等号成立．综上所述，a的取值集合为{1}．故答案为：{1}．三、解答题（70分）17．（12分）如图，A，B是椭圆+=1（a＞b＞0））的两个顶点．|AB|=，直线AB的斜率为﹣．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l平行于AB，与x，y轴分别交于点M，N，与椭圆相交于C，D．证明：△OCM的面积等于△0DN的面积．【解答】（Ⅰ）解：依题意，得…（2分）解得a=2，b=1．…（3分）所以椭圆的方程为．…（4分）（Ⅱ）证明：由于l∥AB，设直线l的方程为y=﹣，将其代入，消去y，整理得2x2﹣4mx+4m2﹣4=0．…（6分）设C（x1，y1），D（x2，y2）．所以x1+x2=2m，x1x2=2m2﹣2 …（8分）记△OCM的面积是S1，△ODN的面积是S2．由题意M（2m，0），N（0，m），因为x1+x2=2m，所以=|﹣x1+2m|=|x2|，…（13分）∵．∴S1=S2…（14分）18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A≠，且3sinAcosB+bsin2A=3sinC．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若A=，求△ABC周长的最大值．【解答】解：（I）∵3sinAcosB+bsin2A=3sinC，∴3sinAcosB+bsin2A=3sinAcosB+3cosAsinB，∴bsinAcosA=3cosAsinB，∴ba=3b，∴a=3；（Ⅱ）由正弦定理可得==，∴b=2sinB，c=2sinC∴△ABC周长=3+2（sinB+sinC）=3+2[sin（﹣C）+sinC]=3+2sin（+C）∵0＜C＜，∴＜+C＜，∴＜sin（+C）≤1，∴△ABC周长的最大值为3+2．19．（12分）如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A1沿CC1折起如图2所示，连接B1C，B1A，B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若AB1=，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．【解答】证明：（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，∵在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，∴△ACC1，△B1CC1，为正三角形，则AO⊥CC1，OB1⊥C1C，又∵AO∩OB1=O，∴C1C⊥平面OAB1，∵AB1⊂平面OAB1∴AB1⊥CC1；（2）∵∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，∴AC=2，OA=，OB1=，若AB1=，则OA2+OB12=AB12，则三角形AOB1为直角三角形，则AO⊥OB1，以O为原点，以0C，0B1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B1（0，，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0，），则=（﹣2，0，0），则==（﹣2，0，0），=（0，，﹣），=（﹣1，0，），设平面AB1C的法向量为=（x，y，z），则，即令z=1，则y=1，x=，则=（，1，1），设平面A1B1A的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则x=0，y=1，即=（0，1，1），则cos＜，＞===由于二面角C﹣AB1﹣A1是钝二面角，∴二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值是﹣．20．（12分）设f（x）=（xlnx+ax+a2﹣a﹣1）e x，a≥﹣2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）讨论f（x）在区间（，+∞）上的极值点个数．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=（xlnx﹣1）e x，（x＞0）故f′（x）=（lnx+1+xlnx﹣1）e x=（x+1）e x lnx．当x=1时，f′（x）=0，当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜1时，f′（x）＜0．故f（x）的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）．（2）由f（x）=（xlnx+ax+a2﹣a﹣1）e x，得：f′（x）=（lnx+xlnx+ax+a2）e x，令g（x）=lnx+xlnx+ax+a2，则，，显然g′′（1）=0，又当0＜x＜1时，g′′（x）＜0，当x＞1时g′′（x）＞0．所以，g′（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．故，∵a≥﹣2，∴g′（x）≥g′（x）min=2+a≥0．故g（x）在（0，+∞）上为增函数，则在区间上单调递增，注意到：当x→+∞时，g（x）→+∞，故g（x）在上的零点个数由的符号决定．①当，即或a≥1时，g（x）在区间上无零点，即f（x）无极值点．②当，即时，g（x）在区间上有唯一零点，即f（x）有唯一极值点．综上：当或a≥1时，f（x）在上无极值点．当时，f（x）在上有唯一极值点．[选修4-4：坐标系与参数方程]21．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t是参数）．（Ⅰ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，试求实数m值．（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【解答】解：（I）由曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2﹣4x=0．把（t是参数）代入方程上述方程可得：=0，∴t1+t2=﹣（m﹣2），t1t2=m2﹣4m．∴|AB|=|t1﹣t2|===，解得m=1或3．（II）曲线C的方程可化为（x﹣2）2+y2=4，其参数方程为（θ为参数），设M（x，y）为曲线C上任意一点，，∵∈[﹣1，1]，∴x+y的取值范围是．[选修4-5：不等式选讲]22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣a|，a∈R（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≥|x+1|+1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）+3x≤0的解集包含{x|x≤﹣1}，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式即f（x）=|x﹣1|≥|x+1|+1，即|x﹣1|﹣|x+1|≥1．由于|x﹣1|﹣|x+1|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离，由﹣0.5到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离正好等于1，故不等式的解集为{x|x≤﹣0.5}．（Ⅱ）不等式f（x）+3x≤0，即|x﹣a|+3x≤0，即|x﹣a|≤﹣3x（x≤0），即3x≤x﹣a≤﹣3x，求得x≤﹣，且x≤．当a≥0时，可得它的解集为{x|x≤﹣}；再根据它的解集包含{x|x≤﹣1}，可得﹣≥﹣1，求得a≤2，故有0≤a≤2．当a＜0时，可得它的解集为{x|x≤}；再根据它的解集包含{x|x≤﹣1}，可得≥﹣1，求得a≥﹣4，故有﹣4≤a＜0．综上可得，要求的a的取值范围为[0，2]∪[﹣4，0）=[﹣4，2]．。
揭阳市2016-2017学年高二下学期学业水平考试(期末)数学(文)试题
揭阳市2016－2017学年度高中二年级学业水平考试
数学（文科）
（测试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效
.4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知
i 是虚数单位，若复数))((R a i a i 的实部与虚部相等，则a （A ）
2（B ）1（C ）1 （D ）2 （2）若集合0,1,2A
，24,B x x x N ，则A B = （A ）20x x （B ）22x x （C ）{0,1,2}
（D ）{1,2} （3）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面
α，β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的
（A ）充分不必要条件
（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件
（4）若1
sin 3
，且2，则sin 2的值为（A ）42
9（B ）229（C ）229（D ）
429（5）在区间
1,4上随机选取一个数x ，则1x 的概率为（A ）2
3（B ）15（C ）52
（D ）1
4。
揭阳市2016-2017学年高二下学期学业水平考试(期末)数学(文)试题
（ C） f (x) 2x ln( x 2) 3
（D ） f ( x)
1 2
x
（ 8）已知 a (2,1),b (1,1) ， a 与 b 的夹角为 ，则 cos
（ A） 10 10
（ B） 3 10 10
（ C） 10 5
（ D） 15 5
（ 9）在图 1 的程序框图中，若输入的 x 值为 2，则输出的 y 值为
（ A） 2 （ 2）若集合 A
（ B） 1
（ C） 1
（D）2
0,1,2 ， B x x2 4, x N ，则 A B =
（ A） x 0 x 2
（B ） x 2 x 2 （ C） {0,1,2}
（ D） {1,2}
（ 3）已知直线 a， b 分别在两个不同的平面 α， β内 .则 “直线 a 和直线 b 没有公共点 ”是 “平面 α和平
9+6
5
高二学生的人数为 :
9=3 ； -------------------------------------------------------------------4
分
9+6
（Ⅱ）解法 1：记抽取的 2 名高一学生为 a1 ,a2 ，3 名高二的学生为 b1, b2 ,b3 ， ------------5 分
．
yx2
（ 14）已知实数 x, y 满足不等式组 x y 2 ，则 2x y 的最小值为
.
3x y 3
（ 15）已知直线 l ： x y a 0 ，点 A 2,0 ， B 2,0 . 若直线 l 上存在点 P 满足 AP BP ，
则实数 a 的取值范围为
.
（ 16）在△ ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a，b， c.已知 b 2, B
揭阳市2016届高三学业水平考试数学试卷(文) 含答案
揭阳市2015-2016学年度高中三年级学业水平考试数学（文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2。
回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3。
回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效。
4。
考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合2{|20}A x xx =-≤，{0,1,2,3}B =，则AB =(A ） {12}， (B) {012}，，(C){1}（D ）{123}，，2．已知复数z 满足(21)2z i +=，则z = (A ）12i --（B ）12i -+ (C ）12i -- (D)12i - 3．已知向量(1,2),(1,1)a b =-=-，则()a b a -⋅=(A) 8 (B)5 (C) 4 （D) 4-4．若方程()20f x -=在区间(0,)+∞有解，则函数()y f x =的图象可能是5．在等差数列{}na 中，已知35710132,9,aa a a a +=++=则此数列的公差为(A) 31 (B)3 （C) 12（D) 166．利用计算机在区间 （0，1)上产生随机数a ，则不等式ln(31)0a -<成立的概率是 (A ） 12(B)23(C ） 31 （D)147．抛物线28y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是(A)错误!(B ）错误!（C ） 1（D ）38．函数22()cos ()cos ()44f x x x ππ=--+的最大值和最小正周期分别为 （A ）1,2π（B) 1,π （C)1,22π （D ）1,2π9．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，图1是描述汽车价值变化的算法流程图，则当4n =时,最后输出的S 为 （A)9.6 (B)7.68 （C)6.144 (D ）4.9152 10．已知棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1 D 1在一半球底面上，且A 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上,则此半球的体积为(A ） （B)(C) （D ）11．已知抛物线C :28yx =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线i =1输入S =15否i =i +1开始结束输出Si >n ？S ＝S (1-20%)是图1PF 与C 的一个交点，若20FP FQ +=,则||QF =(A)3 (B ）4 (C)6 （D ）8 12．若关于x 的方程24sin sin 10x m x -+=在(0,)π内有两个不同的实数解，则实数m 的取值范围为（A) 4m >或4m <- （B)45m << （C ）48m << （D ）5m >或4m =第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答．第22题第24题为选考题,考生根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上． 13． 已知121(),(,1);4()log ,[1,).xx f x x x ⎧∈-∞⎪⎪=⎨⎪∈+∞⎪⎩，则((2))f f -= ．14．设变量x ，y 满足约束条件222y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =-的最小值为 ．15．如图2,网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图,则被截 去部分的几何体的表面积为 ． 16．数列{}na 的通项公式(1)2cos()n n nan n π=-⋅+⋅，其前n 项和为n S ，则10S 等于 。
广东省揭阳市高二数学上学期期末考试试题(扫描版)(new)
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广东省揭阳市2016-2017学年高二下学期学业水平考试(期末)数学(文)试题-含答案
揭阳市2016－2017学年度高中二年级学业水平考试数学（文科）（测试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知i 是虚数单位，若复数))((R a i a i ∈+-的实部与虚部相等，则=a （A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2 （2）若集合{}0,1,2A =，{}24,B x x x N =≤∈，则AB =（A ）{}20≤≤x x （B ）{}22≤≤-x x （C ）{0,1,2} （D ）{1,2} （3）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为（A ） （B ） （C （D （5）在区间[]1,4-上随机选取一个数，则1≤x 的概率为 （A ）23（B ）15 （C ）52 （D ）14图2俯视图侧视图主视图（6）已知抛物线2y x =的焦点是椭圆22213x y a +=的一个焦点，则椭圆的离心率为（A（B （C ）14 （D ）17（7）以下函数，在区间[3,5]内存在零点的是（A ）3()35f x x x =--+ （B ）()24x f x =-（C ）()2ln(2)3f x x x =-- （D ）1()2f x x=-+（8）已知(2,1),(1,1)a b ==，a 与b 的夹角为θ，则cos θ=（A（B（C（D （9）在图1的程序框图中，若输入的值为2，则输出的y 值为（A ）0 （B ）12 （C ）1- （D ）32-（10）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的侧面积是（A ）76（B ）70 （C ）64 （D ）62 （11）设2()3,()ln(3)x f x e g x x =-=+，则不等式(())(())11f g x g f x -≤的解集为（A ）[5,1]- （B ）(3,1]- （C ）[1,5]- （D ）(3,5]- (12) 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为（A ）∞（-,-2） （B ）1∞（-,-)（C ）(1,+)∞ （D ）(2,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）函数()cos f x x x =+的最小正周期为 ．DC 1B 1CBA （14）已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-3322y x y x x y ，则y x -2的最小值为 .（15）已知直线l ：0x y a -+=，点()2,0A -，()2,0B . 若直线l 上存在点P 满足AP BP ⊥，则实数a 的取值范围为 .（16）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2,b =3B π=，且△ABC的面积S =a c += .三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足141,4a a ==；数列{}n b 满足12b a =，25b a =，数列{}n n b a -为等比数列．(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（Ⅱ）已知该地区有X ,Y 两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X 型车，高一级学生都租Y 型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的概率. （19）（本小题满分12分）如图3，已知四棱锥11A CBB C -的底面为矩形，D 为1AC 的中点，AC ⊥平面BCC 1B 1． （Ⅰ）证明：AB//平面CDB 1; （Ⅱ）若AC=BC=1，BB 1,（1）求BD 的长；（2）求三棱锥C-DB 1C 1的体积. 图3 （20）（本小题满分12分）已知过点(0,1)A 的动直线l 与圆C ：224230x y x y +---=交于M ，N 两点. （Ⅰ）设线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程; （Ⅱ）若2OM ON ⋅=-,求直线l 的方程. （21）（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若对任意1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()213022f x x ax +++≤成立，求实数a 的取值范围．请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原的14，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：410x y ++=与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|2|||f x x x a =-+-. （Ⅰ）若2a =-，解不等式5)(≥x f ；（Ⅱ）如果当x R ∈时，()3f x a ≥-，求a 的取值范围．揭阳市2016－2017学年度高中二年级学业水平考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：（10）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其侧面积为42+44+245=64⨯⨯⨯⨯.（11）(())(())11f g x g f x -≤即22(3)3211450x x x x +--≤⇒+-≤51x ⇒-≤≤，注意到30x +>，即3x >-，故31x -<≤.（12）当0a =时，函数2()31f x x =-+有两个零点，不符合题意，故0a ≠，2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，令'()0f x =得0x =或2x a=，由题意知，0a >，且2()0f a>，解得2a >．二、填空题：2x y +=有公共点时，的取值范围，数形结合易得a -≤（16）由余弦定理得2222cos 4b a c ac B =+-=，即224a c ac +-=，1sin 24S ac B ac ===得4ac =，故2()164a c a c +=⇒+= 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由数列{}n a 是等差数列且141,4a a ==∴公差4113a a d -==， ------------------------------------------------------------------------------1分∴1(1)n a a n d n =+-=，------------------------------------------------------------------------------3分∵12b a ==2，25b a ==5，∴11221,3,b a b a -=-= ∴数列{}n n b a -的公比22113b a q b a -==-，-----------------------------------------------------------5分∴1111()3n n n n b a b a q ---=-=，∴13n n b n -=+；-------------------------------------------------------------------------------------------7分(Ⅱ)由13n n b n -=+得21(12)(1333)n n S n -=++++++++--------------------------------------------------------9分(1)31231n n n +-=+- 3(1)12n n n ++-=------------------------------------------------------------------------------------ 12分（18）解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为56=29+6⨯，------2EACC 1D分高二学生的人数为59=39+6⨯； -------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）解法1：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------5分则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，(a 2,b 1), (a 2,b 2),(a 2,b 3), (b 1,b 2), (b 1,b 3), (b 2,b 3)，共10种可能； ----------------------------------------------------------8分其中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的有：111213(,),(,),(,)a b a b a b ，212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共9种，------------------------------------------10分 故所求的概率910P =.-----------------------------------------------------------------------------------------12分 【解法2：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------------------5分则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共10种可能；--------------------------------------8分其中所抽的2人都不租X 型车的有：12(,)a a 一种，-------------------------------------------------9分 故所求的概率1911010P =-=.---------------------------------------------------------------------------12分（19）解：（Ⅰ）证明：连结1BC 交1B C 于E ，连结DE ， ------------------------------------------1分∵D 、E 分别为1AC 和1BC 的中点，∴DE//AB,---------------------------------- --------------------2分又∵DE ⊂平面1CDB ,AB ⊄平面1CDB ,∴AB//平面CDB 1;---------------------------------------------4分 （Ⅱ）（1）∵AC ⊥平面BCC 1B 1，BC ⊂平面11BCC B ， ∴BC AC ⊥, 又∵1BC CC ⊥,1ACCC C =，∴BC ⊥平面1ACC ， ∵CD ⊂平面1ACC ,∴BC CD ⊥,----------------------------------------------------------------------------------------------------6分在Rt BCD ∆,∵BC=1，1112CD AC ===, ∴BD =; ----------------------------------------------------------------------------------------------------8分【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】 （2）解法1：∵BC ⊥平面1ACC ，BC//B 1C 1 ∴11B C ⊥平面1CC A ,-----------------------------------------------------------------------------------------10分∴111111113C DB C B CDC CDC V V S B C --∆==⋅111134=⨯⨯=.---------------------------------12分 【解法2：取1CC 中点F,连结DF ，∵DF 为△1ACC 的中位线，∴DF//AC,-------------------------------------------------------------------9分 ∵AC ⊥平面11CBB C ，从而可得DF ⊥平面11CBB C ,----------------------------------------------10分∴11111113C DB CD CB C CB C V V S DF--∆==⋅1111322=⨯⨯=.--------------------------------12分（20）解法（Ⅰ）将224230x y x y +---=化为标准方程得222(2)(1)x y -+-=,----------------------------------------------------------------------------1分 可知圆心C 的坐标为(2,1),半径r =设点P的坐标为(x y,则(2,1),(,1)CP x y AP x y =--=-,---------------------------------------2分依题意知CP AP ⊥,∴0CP AP ⋅=(2)(1)(1)0x x y y ⇒-+--= 整理得222210x y x y +--+=,------------------------------------------------------------------------4分 ∵点A 在圆C 内部, ∴直线l 始终与圆C 相交, ∴点P的轨迹方程为222210x y x y +--+=.----------------------------------------------------------6分（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ,若直线l 与x 轴垂直,则l 的方程为0x =,代入224230x y x y +---= 得2230y y --=,解得1y =-或3y =, 不妨设121,3y y =-=,则3OM ON ⋅=-,不符合题设,------------------------------------------------7分 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为1y kx =+, 由224230,1.x y x y y kx ⎧+---=⎨=+⎩消去y得22(1)440k x x +--=,--------------------------------8分216(2)0k ∆=+>,则12122244,11x x x x k k +==-++,------------------------------------------------------------------------9分由2OM ON ⋅=-得212121212(1)()12x x y y k x x k x x +=++++=-, ∴22244(1)1211kk k k-+++=-++2410k k ⇒-+=,解得2k =,------ ---------------------------------------------------------------------------------------11分∴当2O M O N ⋅=-时,直线l 的方程为(21y x =++或(21y x =-+. --------------12分（21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，∵()ln 1f x x '=+，令'()0f x =得1x e=，-------------------------------------------------------------2分 当10x e <<时'()0f x <，当1x e>时，'()0f x >， ∴函数()f x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，----------------------------------------4分∴函数()f x 无极大值， 当1x e =时，函数()f x 在(0,)+∞有极小值，11()()f x f e e==-极小，--------------------------5分（Ⅱ）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()213022f x x ax +++≤，得3ln 22x a x x ≤---，--------------6分记()3ln 22x g x x x =---，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()()2231113222x x g x x x x +-'=--+=-， 当∈x 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，得'()0g x >，当∈x ()1,e 时， '()0g x < ∴()g x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()1,e 上单调递减，---------------------------------------------------9分 又113122e g e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3122e g e e=---， ∵012)()1(<-+=-e e e g e g ，∴()1g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，-------------------------------------------------10分故()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1g e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故只需1a g e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， 即实数a 的取值范围是13,122e e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦．------------------------------------------------------------12分 选做题：（22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式1',4'.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得4','x x y y ==-------------------------------------2分代入221x y +=中得2216''1x y +=，--------------------------------------------------------------------3分故曲线C 的参数方程为1cos ,4sin .x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数）；----------------------------------------------------5分（Ⅱ）由题知，121(,0),(0,1)4P P --，--------------------------------------------------------------------6分故线段P 1 P 2中点11(,)82M --，---------------------------------------------------------------------------7分∵直线l 的斜率4k =-∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为14， 故线段P 1 P 2的中垂线的方程为111()248y x +=+------------------------------------------------------8分 即832150x y --=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入得其极坐标方程为8cos 32sin 150ρθρθ--=----------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)当a ＝－2时，f ()＝|－2|＋|＋2|，①当2x ≤-时，原不等式化为：25,x -≥解得52x ≤-，从而52x ≤-；-------------------------1分②当22x -<≤时，原不等式化为：45≥，无解；---------------------------------------------------2分③当2x >时，原不等式化为：25,x ≥解得52x ≥，从而52x ≥；----------------------------------3分综上得不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2525x x x 或.----------------------------------------------------------------5分 (Ⅱ)当x R ∈时，|2||||x x a x x a a -+-≥---= ---------------------------------------7分所以当x R ∈时，()3f x a ≥-等价于|2|3a a -≥------（*）当2a ≥时，（*）等价于23,a a -≥-解得52a ≥，从而52a ≥；----------------------------------8分当2a <时，（*）等价于23,a a -≥-无解；------------------------------------------------------------9分故所求a 的取值范围为5[,+2∞）. --------------------------------------------------------------------------10分。
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2016-2017学年广东省揭阳市勤建学校高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共13个小题，每小题5分，共52分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2}2．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A．B．C．D．3．（5分）命题“对任意的x∈R，x2﹣2x+1≥0”的否定是（）A．不存在x0∈R，B．存在x0∈R，C．存在x0∈R，D．对任意的x∈R，x2﹣2x+1＜04．（5分）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．m≥1 C．m＞1 D．m＞25．（5分）已知x可以在区间[﹣t，4t]（t＞0）上任意取值，则x∈[﹣t，t]的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）某校高二年级文科共303名学生，为了调查情况，学校决定随机抽取50人参加抽测，采取先简单随机抽样去掉3人然后系统抽样抽取出50人的方式进行．则在此抽样方式下，某学生甲被抽中的概率为（）A．B． C．D．7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．B．3 C．D．9．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C 上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为（）A．y=x﹣1或y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）C．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）D．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）11．（5分）若f（x）=﹣+blnx在（0，2）上是增函数，则b的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（4，+∞）C．（﹣∞，4]D．（﹣∞，4）12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，虚轴的一个端点与抛物线x2=2py（p＞0）的焦点重合，直线y=kx﹣1与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，则p=（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）则f（f（2））的值为．14．（5分）我国南北时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，A是一个形状不规则的封闭图形，B是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被A和B所截得的线段长始终相等，则A的面积为．15．（5分）已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为，AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为．16．（5分）已知△ABC三边a，b，c上的高分别为，则cosA=．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosA．（1）判断△ABC的形状；（2）求sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围．18．（10分）等差数列{a n}中，2a1+3a2=11，2a3=a2+a6﹣4，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足，求其前n项和T n．19．（10分）已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．20．（10分）为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统方法和“新课堂”两种不同的教学方法，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？附：，（n=a+b+c+d）临界值表：（2）先从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望．21．（10分）已知函数f（x）=x2﹣2a2lnx（a＞0）．（1）若f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程．22．（10分）已知函数f（x）=e x﹣k﹣x，（x∈R）．（1）当k=0时，若函数f（x）≥m在R上恒成立，求实数m的取值范围；（2）试判断当k＞1时，函数f（x）在（k，2k）内是否存在两点；若存在，求零点个数．23．（10分）在直角坐标平面内，已知点A（2，0），B（﹣2，0），P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点（，0）作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．2016-2017学年广东省揭阳市勤建学校高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共13个小题，每小题5分，共52分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2}【解答】解：由B中的不等式|x|＜2，解得：﹣2＜x＜2，即B=（﹣2，2），∵A={0，1，2，3，4}，∴A∩B={0，1}．故选：B．2．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A．B．C．D．【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选：C．3．（5分）命题“对任意的x∈R，x2﹣2x+1≥0”的否定是（）A．不存在x0∈R，B．存在x0∈R，C．存在x0∈R，D．对任意的x∈R，x2﹣2x+1＜0【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得命题“对任意的x∈R，x2﹣2x+1≥0”的否定是存在x0∈R，，故选：C．4．（5分）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．m≥1 C．m＞1 D．m＞2【解答】解：双曲线，说明m＞0，∴a=1，b=，可得c=，∵离心率e＞等价于⇔m＞1，∴双曲线的离心率大于的充分必要条件是m＞1．故选：C．5．（5分）已知x可以在区间[﹣t，4t]（t＞0）上任意取值，则x∈[﹣t，t]的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：因为x∈[﹣t，t]，得到区间的长度为t﹣（﹣t）=，而[﹣t，4t]（t＞0）的区间总长度为4t﹣（﹣t）=5t．所以x∈[﹣t，t]的概率是P==．故选：B．6．（5分）某校高二年级文科共303名学生，为了调查情况，学校决定随机抽取50人参加抽测，采取先简单随机抽样去掉3人然后系统抽样抽取出50人的方式进行．则在此抽样方式下，某学生甲被抽中的概率为（）A．B． C．D．【解答】解：在抽样过程中，每个个体被抽到的概率相等，都等于样本容量与个体总数之比，即，故选：D．7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选：A．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．B．3 C．D．【解答】解：由已知得到几何体为组合体，下面是底面为等腰直角三角形高为1的三棱柱，上面是：底面是腰长为2的等腰直角三角形，高为1的三棱锥，所以体积为；故选：A．9．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C 上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选：D．10．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为（）A．y=x﹣1或y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）C．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）D．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）【解答】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），∴设直线l方程为y=k（x﹣1）由消去x，得﹣y﹣k=0设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=﹣4…（*）∵|AF|=3|BF|，∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入（*）得﹣2y2=且﹣3y22=﹣4，消去y2得k2=3，解之得k=∴直线l方程为y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）故选：C．11．（5分）若f（x）=﹣+blnx在（0，2）上是增函数，则b的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（4，+∞）C．（﹣∞，4]D．（﹣∞，4）【解答】解：函数的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣x+，若f（x）在（0，2）上单调递增，则﹣x+≥0在（0，2）恒成立，即：b≥（x2）max=4，故选：A．12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，虚轴的一个端点与抛物线x2=2py（p＞0）的焦点重合，直线y=kx﹣1与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，则p=（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：抛物线x2=2py（p＞0）的焦点（0，），可得b=，a=2，双曲线方程为：，它的渐近线方程为：，即：，直线y=kx﹣1与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，不妨：k=，，可得=．△=，解得p=±4．∵p＞0，∴p=4．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）则f（f（2））的值为2．【解答】解：由题意，自变量为2，故内层函数f（2）=log3（22﹣1）=1＜2，故有f（1）=2×e1﹣1=2，即f（f（2））=f（1）=2×e1﹣1=2，故答案为214．（5分）我国南北时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，A是一个形状不规则的封闭图形，B是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被A和B所截得的线段长始终相等，则A的面积为8．【解答】解：根据祖暅原理，可得图1的面积为4×2=8．故答案为8．15．（5分）已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为，AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为．【解答】解：在△ABC中，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC==2，由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即△ABC的外接圆半径），r==2，又∵球心到平面ABC的距离d=R，∴球O的半径R=，∴R2=，故球O的表面积S=4πR2=，故答案为．16．（5分）已知△ABC三边a，b，c上的高分别为，则cosA=．【解答】解：∵△ABC三边a，b，c上的高分别为，∴，则，即c=a，b=a，由余弦定理得，cosA===，故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosA．（1）判断△ABC的形状；（2）求sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围．【解答】解：（1）由acosB=bcosA，结合正弦定理可得，sinAcosB=cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB=0，得sin（A﹣B）=0，∵A，B∈（0，π），∴A﹣B∈（﹣π，π），则A﹣B=0，∴A=B，即△ABC为等腰三角形；（2）sin（2A+）﹣2cos2B=sin2Acos+cos2Asin﹣2cos2B=﹣（1+cos2B）=﹣cos2A﹣1==．∵0，∴，则∈（﹣]．即sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围是：（﹣]．18．（10分）等差数列{a n}中，2a1+3a2=11，2a3=a2+a6﹣4，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足，求其前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，2a1+3a2=2a1+3（a1+d）=5a1+3d=11，2a3=a2+a6﹣4，即2（a1+2d）=a1+d+a1+5d﹣4，得d=2，a1=1，所以a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（2），，=（n∈N*）．19．（10分）已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）取SD的中点F，连接PF，过F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，连接QC，∵AS⊥面ABCD，∴AS∥FQ，QF为SD的中点，∴Q为AD的中点，FQ=AS，PC=AS，∴FQ=PC，且FQ∥PC，∴CPFQ为平行四边形，∴PF∥CQ，又∵AQ∥∥EC，AQ=EC，∴四边形AECQ为平行四边形，∴AE∥CQ，又PF∥CQ，∴AE∥PF，∴PF⊂面SPD，AE⊄面SPD，∴AE∥面SPD．解：（2）分别以AB，AD，AS所在的直线为x，y，z轴，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（1，0，0），D（0，2，0），S（0，0，2），P（1，2，1），=（1，2，﹣1），=（1，0，﹣2），=（0，2，﹣2），设面BPS与面SPD的法向量分别为=（x，y，z），=（a，b，c），则，即，取z=2，得=（4，﹣1，2），，即，取c=1，得=（﹣1，1，1），两平面的法向量所成的角的余弦值为：cos＜＞===﹣．∵二面角B﹣PS﹣D为钝角，∴该二面角的余弦值为﹣．20．（10分）为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统方法和“新课堂”两种不同的教学方法，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？附：，（n=a+b+c+d）临界值表：（2）先从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（1）根据2×2列联表中的数据，得K2的观测值为，∴能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．（2）由表可知在8人中成绩不优良的人数为，则X的可能取值为0，1，2，3，，，，．∴X的分布列为：∴=．21．（10分）已知函数f（x）=x2﹣2a2lnx（a＞0）．（1）若f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程．【解答】解：（1）f（x）=x2﹣2a2lnx（a＞0）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=2x﹣=，∵f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=0，解得a=1或a=﹣1（舍）．∴a=1．当a=1时，x∈（0，1），f′（x）＜0；x∈（1，+∞），f′（x）＞0，所以a的值为1．（2）令f′（x）=0，解得x=a或x=﹣a（舍）．当x在（0，+∞）内变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：由上表知f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．（3）由（1）得：f′（x）=2x﹣=，故f（1）=1，f′（1）=2﹣2a2，故切线方程是：y﹣1=（2﹣2a2）（x﹣1），整理得：y=（2﹣2a2）x﹣1+2a2．22．（10分）已知函数f（x）=e x﹣k﹣x，（x∈R）．（1）当k=0时，若函数f（x）≥m在R上恒成立，求实数m的取值范围；（2）试判断当k＞1时，函数f（x）在（k，2k）内是否存在两点；若存在，求零点个数．【解答】解：（1）当k=0时，f（x）=e x﹣x，f'（x）=e x﹣1，令f'（x）=0，得x=0，当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．∴f（x）min=f（0）=1，∴m≤1，∴实数m的取值范围是（﹣∞，1]．（2）当k＞1时，f（x）=e x﹣k﹣x，f'（x）=e x﹣k﹣1＞0在（k，2k）上恒成立．∴f（x）在（k，2k）上单调递增，又f（k）=e k﹣k﹣k=1﹣k＜0，f（2k）=e2k﹣k﹣2k=e k﹣2k，令h（k）=e k﹣2k，∵h'（k）=e k﹣2＞0，∴h（k）在k＞1时单调递增，∴h（k）＞e﹣2＞0，即f（2k）＞0，∴由零点存在定理知，函数f（x）在（k，2k）内存在唯一零点．23．（10分）在直角坐标平面内，已知点A（2，0），B（﹣2，0），P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点（，0）作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），依题意，有．（3分）化简并整理，得．∴动点P的轨迹C的方程是．（4分）（Ⅱ）依题意，直线l过点且斜率不为零，故可设其方程为，（5分）由方程组消去x，并整理得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0（6分）设E（x1，y1），F（x2，y2），M（x0，y0），则∴，（7分）∴∴，∴，（9分）①当m=0时，k=0；（10分）②当m≠0时，∵，∴0．∴．∴且k≠0．（11分）综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是：﹣．（12分）。