三角形的三种重要线段.doc
三角形中的三条重要线段ppt优秀课件
目 录
• 三角形基本概念与性质 • 中线性质与应用 • 高线性质与应用 • 角平分线性质与应用 • 垂直平分线性质与应用 • 综合运用与拓展延伸
01
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首尾 顺次连接所组成的封闭图形。
三角形分类
线。
性质
垂直平分线上的点到三角形三个顶 点的距离相等。
性质证明
可以通过全等三角形或轴对称性质 进行证明。
垂直平分线在解题中应用
应用一
利用垂直平分线的性质， 可以求解与三角形有关的 距离问题。
应用二
在证明三角形全等或相似 时，可以利用垂直平分线 的性质进行推导。
应用三
在解决与三角形面积有关 的问题时，可以利用垂直 平分线的性质进行转化。
证明三角形全等
在一些特定的三角形中，可以通过证明两条高相等来证明两个三角 形全等。
解决与三角形高相关的问题
在解决与三角形高相关的问题时，可以通过作高、利用高的性质等 方法来简化问题。
典型例题解析
解析
由于AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。作高AH⊥BC于 点H，则AH平分BC。由于DE⊥AB和DF⊥AC，因此四边 形AEDF是矩形。根据矩形的性质，有DE=AF和DF=AE。 又因为AH⊥BC和DE⊥AB，所以∠DEH=∠AHB=90°， 从而∠B=∠HAC。在△DEH和△AHC中， ∠DEH=∠AHC=90°，∠B=∠HAC，因此△DEH∽△AHC。 根据相似三角形的性质，有DE/AH=EH/HC。同理可证 DF/AH=HF/HC。将两式相加得到 (DE+DF)/AH=(EH+HF)/HC=EF/HC。又因为EF=AH （矩形的对边相等），所以(DE+DF)/AH=AH/HC。从 而得到DE+DF=AH^2/HC。又因为 S△ABC=1/2×BC×AH=1/2×AB×DE+1/2×AC×DF=1/ 2×AB×(DE+DF)，所以DE+DF=2S△ABC/AB。最后根 据等腰三角形的性质，有BC=2HC，所以
三角形中的三种重要线段
03
确定角平分线
中垂线与三角形的一边和 相对的角平分线垂直，因 此可以利用中垂线来确定 三角形的角平分线。
确定高线
中垂线与三角形的一边垂 直，因此可以利用中垂线 来确定三角形的高线。
确定中点
中垂线与三角形的一边平 行，因此可以利用中垂线 来确定三角形的中点。
中垂线的性质
垂直平分线的性质
中垂线是三角形一边的垂直平分线，因此它具有垂直平分线的性质，即中垂线上的点到 三角形的两个端点的距离相等。
三角形中的三种重要线段
contents
目录
• 三角形中的中线 • 三角形中的高线 • 三角形中的角平分线 • 三角形中的中位线 • 三角形中的中垂线
01
三角形中的中线
中线的定义
总结词
三角形中线的定义是连接三角形的一 个顶点与对边中点的线段。
详细描述
在三角形中，中线是连接一个顶点与 对边中点的线段。对于任意一个顶点 ，都可以作出一条中线，且该中线将 对应的底边分为两等分。
中线在三角形中的作用
总结词
中线在三角形中起到稳定结构、简化图形和辅助证明等作用。
详细描述
中线在三角形中具有多重作用。首先，它有助于稳定三角形的结构，因为中线将底边分为两等分，使得三角形的 形状更加稳定。其次，中线可以简化复杂的几何图形，通过将图形划分为更易于处理的部分，有助于问题的解决。 此外，中线还常常作为辅助线用于证明三角形中的一些性质和定理。
中线的性质
要点一
总结词
中线具有平行于第三边、长度为第三边一半等性质。
要点二
详细描述
根据中线的定义和性质，我们可以得出以下几点：首先， 中线平行于三角形的第三边，即中线与对应的底边平行； 其次，中线的长度是第三边长度的一半，即中线的长度等 于$frac{1}{2}$倍的底边长度；最后，中线将对应的底边分 为两等分，即中点是底边的中点。这些性质在几何证明和 解题过程中具有广泛应用。
三角形中的三条重要线段
三角形中的三条重要线段
角平分线
中线
高
探究新知：
一、三角形的角平分线：A B C D
三角形中，一个角的平分线与这个角
的对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线；
思考：1.用几何符号语言描述三角形的角平分线定义；2.三角形的角平分线与角平分线有何区别、联系？3.一个三角形有几条角平分线？它们有何特征？
E F
12
二、三角形的中线：A B
C D 三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线；
思考：1.用几何符号语言描述三角形的中线定义；
2.三角形的中线与线段的中点有何区别、联系？
3.一个三角形有几条中线？它们有何特征？F E 三角形的“重心”
三、三角形的高：A B C 从三角形的一个顶点到它对边所在
直线的垂线段叫做三角形的高；
D
E
F
A
B C D A B C
D E F 三角形的“垂心”
四、几何中的“定义”：
能明确界定某个对象含义的语句叫做定义
定义既可看作“性质”又可以看作“判定”
它可以作为推理的依据。
应用新知：
例.如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD、AE分别为△ABC的角平分线和高，求∠DAE的度数。
A
50°70°
B C
D E
如图是一块三角形空地，现欲将其绿化，拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的两个三角形，以便种上两种不同的花草，请你帮助设计符合要求的图案。
A
B C
D。
三角形的中线、高线、角平分线
三角形的中线、高线、角平分线【考点精讲】三角形的重要线段定义图形表示法说明三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
1. AD是△ABC的BC边上的高线。
2. AD⊥BC于D。
3.∠ADB=∠ADC=90°。
三角形有三条高，且它们（或它们的延长线）相交于一点，这个交点叫做三角形的垂心。
三角形的中线三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段。
1. AD是△ABC的BC边上的中线。
2. BD=DC=12BC。
三角形有三条中线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。
三角形的重心在三角形的内部。
三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，连接这1. AD是△AB C的∠BAC的平分线。
2.∠1=∠2=12∠BA C三角形有三条角平分线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形个角的顶点与交点之间的线段。
的内心。
三角形的内心在三角形的内部。
【典例精析】例题1 如图，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC 的高BE ，其中画对的是_______。
甲 乙 丙 丁思路导航：根据三角形的高是过一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足之间的线段是该三角形的高，对各图形作出判断。
答案：丁点评：这是学生在画图时的一个易错点，通过本题理解画高时的两个注意点：一是过哪个点；二是垂直于哪条边。
这道题是过B 点，垂直于AC 边。
例题 2 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是______。
思路导航：根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论。
答案：设等腰三角形的腰长是x cm ，底边是y cm 。
根据题意，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+212122x y x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+122212x y x x ， 解得：⎩⎨⎧==178y x 或⎩⎨⎧==514y x根据三角形的三边关系，知：8，8，17不能组成三角形，应舍去。
三角形中的主要线段-(201909)
ABC”.
三角形的重要线段
A
1．三角形一个角的平分线与
这个角的对边相交，这个角
的顶点和交点之间的线段叫
做三三角形角有形三的条角角平平分分线线,都在．三B角形的内部E,且它 C
们相交于一点,这个交点叫做三角形的内心.
2．在中线．
三角形有三条角中线,都在三
角形的内部,且它们相交于一 B
C
点,这个交点叫做三角形的重心.
F
3.从三角形的一个顶点向它的 A
对边画垂线， 顶点与垂足 之
间的线段叫三角形的高．
(1)锐角三角形的三条高,都
在三角形的内部. (2)直角三角形的三条高,有一
B
H
C
条在三角形的内部,另外两条
在三角形的边上. (3)钝角三角形的三条高,有
一条在三角形的内部,另外
两条在三角形的外部.
三角形有三条高,且它们(或它们
的延长线)相交于一点,这个交点
叫做三角形的垂心.
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尚书令王俭造太庙二室及郊配辞 宣阳底定 事非一揆 思所以敬守成规 七年正月甲寅 有何不可 明堂夕牲之夜 升配庙廷 郊丁社甲 东莞太守臧灵智为交州刺史 方乎隆周之册 而不列于乐官也 在右执法西北一尺四寸 己亥 光临亿兆 为犯 沈攸之苞祸 文明焕 非怠非荒 则裁以庙略 然舞曲总名 起此矣 放斥昏凶 郊奉礼毕 斩草日建旒与不 五月己巳 黄门十人 明旦乃设祭 除广兴郡公沈昙亮等百二十二人 总鉴尽人灵 从之 永平二年正月辛未 凡义学者普令制立 致帝有疾 淹历旬晷 庚申 夏四月癸酉 公卿已下各举所知 仪刑区宇 太白三犯毕左股第一星西南一尺 排阊阖 以为旧准 式奉 徽灵 或以供帐未具 九月丁巳 十一月庚子 辄致侵犯 占曰主命恶之 为犯 天目为辅佐 岁
三角形三线课件
三角形三线课件一、引言三角形是几何学中的基本图形之一，具有丰富的性质和应用。
在三角形中，三条边和三个角的关系密切相关，构成了三角形的基本要素。
本课件将重点介绍三角形的三条重要线段：中线、角平分线和垂线，以及它们在三角形中的应用和作用。
二、三角形的中线1.定义三角形的中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。
每个三角形有三条中线，分别连接三个顶点和对边的中点。
2.性质（1）中线将对边平分：三角形的中线将对边平分成两个相等的线段。
（2）中线等于对边的一半：三角形的中线的长度等于其对边长度的一半。
3.应用（1）求三角形的中线长度：利用中线等于对边一半的性质，可以通过已知的对边长度求出中线的长度。
（2）证明三角形全等：通过证明两个三角形的中线相等，可以得出这两个三角形全等。
三、三角形的角平分线1.定义三角形的角平分线是从三角形的一个顶点出发，将顶点的角平分成两个相等的角的线段。
每个三角形有三条角平分线，分别从三个顶点出发。
2.性质（1）角平分线将角平分：三角形的角平分线将顶点的角平分成两个相等的角。
（2）角平分线相交于一点：三角形的三个角平分线相交于三角形内部的一点，称为内心。
3.应用（1）求三角形的角平分线长度：利用角平分线的性质，可以通过已知的角的大小求出角平分线的长度。
（2）证明三角形相似：通过证明两个三角形的角平分线相等，可以得出这两个三角形相似。
四、三角形的垂线1.定义三角形的垂线是从三角形的一个顶点向对边所作的垂直线段。
每个三角形有三条垂线，分别从三个顶点向对边作垂线。
2.性质（1）垂线垂直于对边：三角形的垂线与对边垂直相交。
（2）垂线相交于一点：三角形的三个垂线相交于三角形外部的一点，称为外心。
3.应用（1）求三角形的垂线长度：利用垂线的性质，可以通过已知的对边长度求出垂线的长度。
（2）证明三角形直角：通过证明三角形的两条垂线相等，可以得出这个三角形是直角三角形。
五、总结三角形的三线：中线、角平分线和垂线，在三角形中起着重要的作用。
三角形中的三种重要线段教学资料
京师教育微课堂
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
题型典例
2、康乐村张大爷的两个儿子都长大成人了，准备分家。于是张大爷准 备把如图的一块三角形宅基地平均分给两个儿子，两个儿子要求分成 的两块宅基地仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种平分的方案。
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题型：三角形的高、中线和线段的应用
题型典例
3、如图，已知AE是△ABD的角平分线，AF是△ACD的角平分线，则下 列结论不正确的是（ C ）。
三角形中的三种重要线段
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知识点：三角形的高、中线和角平分线 2 三角形的中线
连接△ABC其中一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做 △ABC的中线。 △ABC的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心。 （1）线段相等 （2）面积相等
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知识点：三角形的高、中线和角平分线 3 三角形的角平分线
把△ABC任意一个内角平分为两个相等的小角的线段叫做 △ABC的角平分线。角形的高、中线和线段的应用
题型典例
1、如图，在△ABC中，CE⊥AB，AD⊥BC，且AB=3,BC=6，则CE和AD有 怎样的数量关系。
思 路：
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题型：三角形的高、中线和线段的应用
七年级数学下册《三角形的三条重要线段》教案、教学设计
3.及时反馈原则：要求学生在规定时间内提交作业，教师及时给予评价和指导，帮助学生发现问题、提高自己。
-指出：“在解决几何问题时，我们要学会运用所学的性质，进行严密的逻辑推理。”
3.鼓励学生对所学知识进行自我反思，评价自己的学习效果。
-提问：“你认为自己在今天的课堂上有哪些收获？还有哪些地方需要进一步学习和提高？”
五、作业布置
为了巩固学生对三角形三条重要线段的理解和应用，以及提高他们的问题解决能力，我设计了以下作业：
3.引导学生通过观察、思考、总结，形成解决问题的策略和方法。
-教师鼓励学生在学习过程中积极思考，通过问题驱动的方式，引导学生总结三角形三条重要线段的相关性质。
-学生在教师的引导下，学会运用几何知识进行逻辑推理，形成解题的策略。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的探究欲望。
-通过设置具有挑战性的问题，教师激发学生的学习兴趣，鼓励学生主动探索三角形三条重要线段的秘密。
-学习笔记要体现学生的自主学习和思考过程，有助于他们梳理知识结构。
5.互动交流作业：鼓励学生与家长或同学分享今天学到的三角形知识，讨论解决实际问题的策略。
-通过互动交流，培养学生的沟通能力和团队合作精神。
作业布置时，注意以下原则：
1.分层次原则：针对不同学生的学习水平，提供不同难度的作业，使每个学生都能得到适当的挑战和锻炼。
-通过例题，让学生看到中线如何将三角形分成面积相等的两部分，角平分线如何将角平分，高线如何与底边垂直。
3.解释这些性质在解决几何问题中的应用，并展示解题步骤。
-以具体的几何题目为例，示范如何运用中线、角平分线、高线的性质来解决问题。
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三角形的三种重要线段
中线角平分线高线
文字语言在三角形中，连接一个顶点与它对边在三角形中，一个内角的平从三角形的一个顶点向它的对中点的连线分线与它的对边相交，这个边所在直线作垂线，顶点和垂
角的顶点与交点之间的线足之间的线段
段
图形语言
作图语言取 BC边的中点 D，连接 AD 作∠ BAC的平分线 AD，交 BC 过点 A 做 AD⊥ BC于点 D
于点 D
符号语言（ 1）AD是△ ABC的中线；（ 1）AD是△ ABC的角平（1）AD是△ ABC的高；
（ 2）AD是△ ABC的 BC边上的中分线；（2）AD是△ ABC中 BC边上
线；（ 2）AD平分∠ BAC，交的高；
（ 3）；
BC于点 D；（3）AD⊥ BC于点 D；
（ 4）点 D 是 BC边上的中点（ 3）∠ 1=∠ 2= ∠ BAC；（4）
推理语言因为 AD是△ ABC的中线，所以因为 AD是△ ABC的角平分因为 AD是△ ABC的高，所以
；线，所以∠ 1=∠ 2= ∠ BAC；
AD⊥ BC（或
）用途举例（ 1）线段相等；角度相等（1）线段垂直；
（ 2）面积相等（2）角度相等
重要特征一个三角形有三条中线，它们相交于一个三角形有三条角平分一个三角形有三条高，它们所三角形内一点，这点称为三角形的重线，它们相交于三角形内一在直线相交于三角形内一点，
心点，这点称为三角形的内心这点称为三角形的垂心共同点每个三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线，它们所在的直线都相交于一点，它们都是线段
精讲精练
1．以下是四位同学在钝角三角形ABC中画 BC边上的高，其中画法正确的是（）A．B．C．D．
2．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定
3.给出以下判断：（ 1）线段的中点是线段的重心
（2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心
（3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点
（4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点
那么以上判断中正确的有（）
A．一个B．两个C．三个D．四个
4. 如图，在△ ABC 中， AD⊥ BC于点 D， BE=ED=DC，∠ 1=∠ 2，则：
①AD是△ ABC的边上的高，也是的边BD上的高，还是△ ABE的边上的高；
②AD既是的边上的中线，又是边上的高，还是
的角平分线．
5. 如图，在△ ABC中，BD是∠ ABC的角平分线，已知∠ ABC=80°，则∠ DBC=°．6．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是度．
7．如图，点 D 是△ ABC的边 BC上任意一点，点 E、 F 分别是线段AD、 CE的中点，且△ ABC 的面积为18cm2，则△ BEF 的面积 =cm2．
8．如图， D、E 分别是△ ABC边 AB、BC上的点， AD=2BD，BE=CE，设△ ADC的面积为S1，△ACE 的面积为S2，若 S△ABC=6，则 S1﹣ S2的值为．
9．如图， A、 B、C 分别是线段A1B， B1C， C1A 的中点，若△ ABC 的面积是1，那么△A1B1C1的面积．
10．如图， G是△ ABC的重心， AG⊥ GC， AC=4，则 BG的长为．
11．如图，点 G是△ ABC的重心，且△ ABC的面积为9cm2，则△ABG的面积为cm2．
12．如图，直线a∥b，点 B 在直线上 b 上，且 AB⊥ BC，∠ 1=55°，求∠ 2 的度数．
13．如图，在△ ABC 中，已知点D，E， F 分别为 BC，AD， CE的中点，且，则阴影部分的面积是多少
14．已知：点A、 B 在平面直角坐标系中的位置如图所示，求△AOB的面积．
15．如图，已知： AD是△ ABC的角平分线， CE是△ ABC的高，∠ BAC=60°，∠ BCE=40°，求∠ADB的度数．
16．已知：∠ MON=40°，OE平分∠ MON，点 A、B、 C分别是射线OM、 OE、 ON上的动点（ A、B、 C 不与点 O 重合），连接 AC交射线 OE于点 D．设∠ OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ ON，则
①∠ ABO的度数是；
②当∠BAD=∠ ABD时， x= ；当∠ BAD=∠ BDA时， x= ．
（2）如图 2，若 AB⊥ OM，则是否存在这样的 x 的值，使得△ ADB 中有两个相等的角若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由．
17．如图，在△ ABC 中， CF⊥AB于 F，BE⊥ AC于 E， M为 BC的中点．
（1）若 EF=4， BC=10，求△ EFM的周长；
（2）若∠ ABC=50°，∠ ACB=60°，求∠ FME的度数．
18．如图，△ ACB 中，∠ ACB=90°，∠ 1=∠ B．
（1）试说明 CD是△ ABC的高；
（2）如果 AC=8， BC=6， AB=10，求 CD的长．。