浅析反例在数学分析中的应用

学号：201092210228西北师范大学知行学院本科学生毕业论文浅析反例在数学分析中的应用系别名称：数学系专业名称：数学与应用数学学生姓名：张成山指导教师：程辉教授二〇一四年五月BACHELOR'S DEGREE THESIS OF ZHIXING COLLEGE OF NWNUApplication of counter examples in mathematical analysisDept of ：Department of mathematicsSubject：Mathematics and applied mathematics Name ：Zhang ChengshanDirected by：Cheng Hui ProfessorMay 2014摘要数学分析是一门很重要的基础课程，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都有着重要的意义.而在数学分析中存在很多定理命题，运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解.本文主要针对学生在学习数学分析中存在的种种问题，列举了一些反例旨在帮助学生正确理解数列、函数极限、级数、导数及积分等概念和相关理论.关键词:数列；极限；导数；积分ABSTRACTMathematical analysis is a very important basic course for students, the formation of mathematical thinking, have important significance for further learning. But there are many theorems in mathematical analysis proposition in essence, using appropriate counterexample grasping concepts or rules from another side, and thus more likely to deepen the understanding of knowledge. In this paper, aiming at the problems students have in learning in mathematical analysis, some counter examples to help students understand the sequence, limit of function, series, derivative and integral concept and related theory.Key words:Sequence; limit; derivative; integral目录序言 (1)一反例的类型 (2)1.1 基本形式的反例 (2)1.2 充分条件假设判断的反例 (2)1.3 必要条件的假设判断反例 (2)1.4 条件性反例 (2)二数列中的反例 (3)2.1 判断两个论断是否与极限定义等价的反例 (4)2.2 收敛数列的四则运算中的反例 (4)2.3 发散数列的反例 (4)2.4 两个非负的发散数列中的反例 (5)2.4 有界变差数列逆命题的反例 (5)三函数极限与性质的反例 (6)3.1函数极限的定义的反例 (6)3.2 无界函数与极限趋于无穷大概念混淆产生的反例 (6)3.3 不连续函数的和与积是连续函数的反例 (7)3.4周期函数的和不是周期函数的反例 (8)四级数中的常见反例 (9)4.1 级数收敛，其部分和数列有界且收敛的反例 (9)4.2 条件收敛级数重新排序后发散的反例 (9)4.3 条件收敛级数可以不是交错级数 (10)4.4 两级数收敛，但它们Cauchy乘积发散 (11)五一元函数导数及其积分中的反例 (11)5.1一元函数中导数中的反例 (11)5.2 一元函数中积分中的反例 (12)六多元函数微积分中的反例 (14)6.1 累次极限和二重极限的相关反例 (14)6.2 多元函数微分学其他反例 (15)6.3 同一函数累次积分不同的反例 (16)6.4与曲线方向无关的第二类曲线积分 (17)总结 (19)参考文献 (20)序言数学分析是一门很重要的课程，在自然课程中占有绝对基础地位.数学分析中存在大量的反例.当用命题形式给出一个数学问题，并判断它不成立时，我们就利用只满足命题的条件而结论不成立的例证，就足以否定这个命题.反例不仅可以帮助人们深入地理解有关数学对象的性质，而且对于推动数学科学发展，促进人的辩证思维方式的形成，具有的深刻意义.反例有助于培养科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，而且是我们在数学学习中必须努力培养的十分重要的数学思维能力.构造反例带有一定的技巧性，有时是十分费力的，它不仅与基础知识掌握的程度有关，还涉及到知识面的完善等.反例的引入、构造、对命题的再分析等，不仅能增加知识、拓宽思路、活跃思维、提高自学能力，也能提高分析问题和解决问题的能力，增加数学素养，通过反例的构造可以培养发散性思维和创造性思维.本文一共分为六个章节：反例类型、数列中的反例、函数极限与性质的反例、级数中的常见反例、一元函数导数及其积分中的反例、多元函数微积分中的反例.针对大学期间数学分析学习中的问题，每部分都深入浅出的举出各种反例来说明验证.一 反例的类型简单地说，数学分析中的反例就是指一种指出某命题不成立的例子.反例概念的产生与数学命题的结构的密切相关，常见的反例类型有基本形式的反例，充分条件假言判断的反例，必要条件假言判断的反例，条件变化型反例.1.1 基本形式的反例数学命题有以下四种基本形式：全称肯定判断、全程否定判断、特称肯定判断、特称否定判断.例1.1[3] “所有初等函数在定义域内都连续，故都存在原函数，且原函数都可以用初等函数表示.”对上述全称肯定的判断，可举一个特称否定判断的反例.如：sin ()xf x x=在0x ≠处连续，但其原函数却不能用初等函数表示.1.2 充分条件假设判断的反例充分条件假设判断是某事物情况是另一事物情况的充分条件的假设判断 ,可表达为q p →.例1.2[3] 可导函数必连续，但连续函数却不一定可导. 如：函数sin y x =在x k π= ()k π∈处连续，但不可导.1.3 必要条件的假设判断反例必要条件的假设判断是判定某事物情况是另一种事物情况必要条件的假言判断,可表达为q p ←.例1.3[3]级数1n n a ∞=∑收敛，则lim 0n n a →∞=反之不然。

可见通项趋近于零时级数收敛的必要条件，但通项趋近于零级数未必收敛，如11n n ∞=∑的一般项1n →0(,)n ∞，但11n n∞=∑发散.1.4 条件性反例数学命题的条件改变时，但结论不一定正确，条件变化包括条件减少，增加或改变等几种情况，考察条件变化所引起的结论的变化，对数学科学研究和教学均有益.Lagrange 定理1[1]：若函数f 满足如下条件：(i) f 在闭区间[],a b 上连续； (ii) f 在开区间(),a b 内可导； 则在(a , b )内至少存在一点ξ，使得()()()ab a f b f f --=ξ'. 我们规定f 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内只有0x 一点不可导，但在(),a b 内不存在一点ξ，使得.)()()('ab a f b f f --=ξ答案是不能缺少或改变任意条件，因为存在如下反例. 例1.4[3]⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤=.231,;10 ,)(32x x x x x f则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤=.231 ,3;10 ,2)('2x x x x x f显然函数在x =1处不可导，并且;2)('010<<<<x f x 时，.427)('3231<<<<x f x 时， 然而49023)0()23()()(=--=--f f a b a f b f .所以在(),a b 内不存在这样的ξ，使得()()()ab a f b f f --=ξ'. 二 数列中的反例定义[1]：设{}n a 为数列,a 为定数，若对任何的正数ε总存在正整数N ，使得当N n >时有ε<-a a n则称数列}{n a 收敛于a ，定数a 称为数列}{n a 的极限，若数列}{n a 没有极限，则称}{n a不收敛，或称}{n a 为发散数列.2.1 判断两个论断是否与极限定义等价的反例判断两个论断是否与极限a a lim n n =∞→的定义等价的反例[4]:①有无穷多个ε > 0，对每一个ε，存在N (ε)当n >N 时，有ε<-a a n . ②对任意正数ε,无限多个n a ，使ε<-a a n .事实上，①和②两个论断都与数列极限的定义不等价.论断① 忽视了ε 的最本质属性“ 任意小正数”.例如数列{}n a ：n n a )1(1-+=尽管有无穷多个ε >0(如ε =3，4，5，…)， 可以使a a a n n --+=-)1(1(这里a 可以是0 或1)小于每一个ε(ε =3，4，5，…)，但却不能使a a a n n ---=-)1(1比任意小的正数ε 还要小.论断② 对任意ε > 0，虽然有无限多个a n ，使ε<-a a n 成立，但它忽视了对每一个ε > 0，都必须存在某个自然数N ，即数列数列{}n a 的某一项N a ，从N a 以后的所有项都必须满足ε<-a a n ，例如数列{a n }={1，21，1，31，1，41，…，1，n 1，…}.对任意正数ε，有无限多个na n 1= (只要n >n 1)，在0的ε邻域(0−ε,0 +ε)内；但在{}n a 中无论从哪一项开始，其后总有不含在(0−ε,0+ε)内的项.2.2 收敛数列的四则运算中的反例收敛数列的四则运算是有限定条件的，否则可能并不成立.例2.1 数列{}n x 与{}n y ，通项分别为11+=n x n ，)2sin(πn n y n = (n=1,2,…)则数列{}n x 收敛,{}n y 发散，1)2sin(+=n n n y x n n π (n=1,2,…)故其积{}n n y x 发散. 然而并不是只有收敛数列的运算结果才是收敛的，某些发散数列经过四则运算，结果也是收敛的.数列有界性仅是数列收敛的必要条件，不是充分条件，即数列有界但不一定收敛.例2.2[4] 数列{(−1)n }有界，但它发散.2.3 发散数列的反例例2.3 数列{}n x 与{}n y 均为发散数列，通项分别为2])1(1[n n x -+=，2])1(1[n n y --= (n =1,2,…).但0=n n y x (n=1，2，…)，因而数列{}n n y x 收敛于零.2.4 两个非负的发散数列中的反例例2.4[5] 两个非负的发散数列，其和却是一个收敛数列. 取数列,0,1,0,1,0,1...及数列，34,0,32,0,21,0... 显然，这两个数列都发散，但其对应项相加所组成的数列是,34,1,32,1,21,1... 它是一个收敛数列.2.4 有界变差数列逆命题的反例定义[1]：对于数列{}n x ,存在常数M ，使得),...2,1( ...12312=≤-++-+--n M x x x x x x n n则称这个数列是有界变差.但是，其逆命题收敛数列是有界变差数列并不成立.例2.5 令∑=--=nk k n kx 111)1(， 则有：]1)1(...312111[)1(1pn n n n x x p n n p n +-+-+++-+-=--+11...)5141()3121(11+<-+-+-+-+-+=n n n n n n 于是，按照Cauchy 收敛准则，{}n x 收敛. 但是()∞→∞→+++=-+-+=-n nx x x x x s n n n 1...211...1121 因此{}n x 不是有界变差数列.三 函数极限与性质的反例3.1函数极限的定义的反例函数极限的定义[1]：设函数()f x 在点0x 的某一个去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当x 满足不等式δ<-<00x x 时总有ε<-A x f )(那么常数A 就叫做函数()f x 当0x x →时的极限.例3.1 如果应用极限精确定义不当会产生反例⎩⎨⎧=.为无理数当为有理数；当x x x x f,1 ,)(2显然，()00f =而且对于εδε=∃∈∀,10），（，使得ε<=-)()0()(x f f x f则x 必定是有理数，由此有ε<=2)(x x f即δε=<=-x x 0这个反例说明：满足()()ε<-0x f x f 的点x ，虽然一定落在0x 的δ领域内，但是0x 的δ领域内不排斥在不满足上述不等式的点，从而破坏了0x 的连续性.3.2 无界函数与极限趋于无穷大概念混淆产生的反例定义[1]: 设f 为定义在D 上的函数，若对任何正数M ，都存在0x D ∈,使得()0f x M >则称f 为D 上的无界函数 .无界函数的定义与函数趋于无穷大的定义有些相似.然而，这两个概念有本质上的差别.由于若0x x →时，()f x →∞,则f 在0x 的每个邻域内必定无界.反之，函数f它在0x 的任何邻域内都是无界的，但当0x x →时，()f x 并不趋于无穷大.例3.2[8] xx x f 1cos 1)(=则对于无论多么大的正数M ，总有充分接近于0x =的点，使M x x>/)1cos(.例如 ππn x x n x ==/)1cos(,1则取，故当时，πMn >就有M x x >/)1cos(, 因此，函数f 在x =0的任何邻域内都是无界的.然而，π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=211n x n 若取，则当∞→n 时，01cos.0→→x x x n 此时，即f 并不趋于无穷大.因此，上述命题的逆命题并不成立.由此可见，无界函数与函数极限趋于无 穷大并不等价.3.3 不连续函数的和与积是连续函数的反例函数在0x 点连续的定义[1]：对任意给定的正数ε，总存在正数δ，当δ<-0x x 时，有()()ε<-0x f x f .我们称()x f 在点0x 连续，此时称0x 点是()x f 的连续点.由处处不连续函数之和产生的处处连续函数，两个连续函数的和一定是连续函数，其逆命题不成立.例3.3⎩⎨⎧-=. ,sin 5,sin 3)(为有理数若为无理数；若x x x x x f ⎩⎨⎧+--=. ,sin 23,sin 22)(为有理数若为无理数；若x x x x x g对于任何一个有理数'x 和一个无理数''x ，都有：1315''sin 3'sin 5''sin 3'sin 5''sin 3'sin 5)''()'(=--≥--≥+-≥--=-x x x x x x x f x f 1225''sin 2'sin 25)''sin 22()'sin 23()''()'(=--≥--≥--+-=-x x x x x g x g所以，()(),f x g x 在区间()+∞∞-,内处处不连续，然而()()2sin f x g x x +=+它在区间()+∞∞-,内连续.由处处不连续函数之积是生成的处处连续函数，两个连续函数之积是连续函数，但是反之结论就不为真.例3.4[7]⎪⎩⎪⎨⎧++=. ,11, 23)(22为有理数若为无理数；若x x x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧+++=. ,)1( , 231)(2222为有理数若为无理数；若x x x x x x g112'11)2''3()2''3('11)''()'(2222=-≥+-+≥+-+=-x x x x x f x f21211)1''(31)'1(2''31'')'1()''()'(12222222=-≥+--+≥++-+=--x x x x x x g x g所以，()(),f x g x 在区间()+∞∞-,内处处不连续，然而()()21f x g x x ⋅=+它在区间()+∞∞-,内连续.3.4周期函数的和不是周期函数的反例两个函数是周期函数，但是其和不是周期函数.例3.5[1] 如果sin sin x x α与都是()+∞∞-,上的周期函数，其中α为无理数.现证sin sin x x α+不是周期函数.证明：事实上，假如x x αsin sin +是具有非零周期T 的周期函数，那么下列恒等式对于一切实数x 都成立：.sin sin )2sin()2sin(x x T x T x ααα+=+++ sin(2)sin [sin(2)sin ]x T x x T x ααα+-=-+- cos()sin cos()sin x T T x T T ααα+=-+.sin cos sin cos T x T x αα-=若π21=x ，则最后一个方程的左端将变成0，于是0sin =aT ，因而T 是π的倍数.但因为α是无理数，所以与已知矛盾.四 级数中的常见反例4.1 级数收敛，其部分和数列有界且收敛的反例定理2[2]（柯西收敛原理）级数∑∞=1n n u 收敛的充要条件是：对任意给定的正数ε，总存在N ，使得当N n >时，对于任意的正整数，，，，...321=p 都成立着ε<++++++p n n n u u u ...21.如果级数1k k a ∞=∑收敛，那么其部分和数列有界且0lim 0n n a →=.这个命题显然是成立的，而他的逆命题却不成立，一个发散数列0n n a ∞=∑，其部分和数列有界且0lim 0n n a →=.例4.1[8] 设{}n a 为 ,...,41,41,41,41,31,31,31,21,21,1------则0lim 0n n a →=，且对每一个n ，都有01n s ≤≤，其中123n n s a a a a =+++⋅⋅⋅+然而，由于{}n s 中有无穷多个n s 取值为0，又有无穷多个n s 取值为1，因而lim n n s →∞并不存在，即级数1k k a ∞=∑发散 .4.2 条件收敛级数重新排序后发散的反例例4.2[6] (1))1(...41312111+-++-+-+nn 级数收敛. 但注意正项级数+∞→++++++ (1)21...51311n 故存在k 1，使111131...,35212k ++++>+ 存在k 2，使12115...,23214k k ++>++ 存在n k ，使.212121...3211nn k k n n +>+++- 于是将原级数各项重新排列成...21121...321...41121...32121121...3111211+-++++++-+++++-++++-nk k k k k n n 它是发散的.4.3 条件收敛级数可以不是交错级数例4.3[7]...211)1(...21512141213121212115432++-+++-+++-+++-n n n 因为.2121121]1)1(...31211[ )21...212121(]1)1(...31211[211)1(...211322）（n n n n n n n nn n S -+-++-+-=+++++-++-+-=+-+++-= 所以 1]11)1([lim lim , 1)1(,1lim 121212+=+-+=-=+=+∞→+∞→∞=∞→∑K n S S n K K S n n n n n n n n n 其中故级数收敛，但是：.)]211()1...211[(lim lim )211()1...211('221'2+∞→-++++=-++++==∞→∞→=∑n n n n n ni i nn S n u S 则 从而级数∑=ni i u 21发散，所以原级数条件收敛，但它不是交错级数.4.4 两级数收敛，但它们Cauchy 乘积发散例4.4[6]级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 都收敛，但是它们的Cauchy 乘积()111221...a b a b a b +++发散....2,1 )1(1=-==-n n b a n n n ，记： 1211...n n n n c a b a b a b -=+++则 )11...11...12111()1(...11121⋅++-⋅++-⋅+⋅-=++=--n i n i n n b a b a b a c n n n n n .因为 )1( 0)1()())1()()1((22n i i i i n n i i ni n i n i n i n i n ≤≤≥-+-=-+-=+-++--所以 ()()()n i i n i n i n i n ,...,2,11111=+--≤+-≥或 .111111=≥+-=∑∑==n i ni n ni n i c则自然级数∑∞=1n n c 发散.五 一元函数导数及其积分中的反例5.1一元函数中导数中的反例函数导数的定义[1]: 设有函数()x f y =在0x 附近有定义，对应于自变量的任意改变量x ∆，函数的改变量为()()00x f x x f y -∆+=∆.此时，如果极限()()xx f x x f lim x ylimo o x o x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0存在，则称此极限值为函数()x f 在点0x 的导数,记为()0'x f .定理3[1]： 若函数f 在点x 0 可导，则f 在点x 0 连续.可导仅是函数在该点连续的充分条件，而不是必要条件.如函数)(x f = x 在点x =0处连续，但不可导.而且，函数f 在某点可微，只能保证f 在该点连续，而不能保证f 在该点的某个邻域内连续.例5.1[6] 函数⎪⎩⎪⎨⎧=.0;)(2为有理数，为无理数，x x x x f 在x ≠0的点都间断，而x = 0处有导数f '(0) = 0.这是因为当h 是有理数时，.000)0()(=-=-hh f h f 而当 h 是无理数时，).0(00)0()(2→→=-=-h h hh h f h f 设)(x f = 0，当x 为有理数,x x x f +=2)(；当x 为无理数,则函数)(x f 也仅在x = 0处连续且可微，f '(0) = 1.5.2 一元函数中积分中的反例定理4[1]:（积分中值定理）若f 在[a ,b ]上连续，g 在[a ,b ]上不变号且可积，则在(a ,b )中存在一点ξ ，使dx x g f dx x g x f baba⎰⎰=)()()()(ξ.定理5[1]:（罗尔(Rolle ））中值定理） 若函数f 满足如下条件： (i) f 在闭区间[],a b 上连续； (ii) f 在开区间(),a b 内可导； (iii)()() f a f b =；则在(a , b )内至少存在一点'() 0f ξξ=，使得.看似这个Rolle 定理没有错误，实际上它忽略了一点即函数的定义域，存在反例.例5.2[9] ).(sin cos )(+∞<<-∞+==x x i x e x f iw此函数是处处连续可微的，但是并不存在区间(),,a b a b <使得a 与b 之间能够有某个ξ，满足等式：))((')()(a b f a f b f -=-ξ,即).)(cos sin ()sin (cos )sin (cos a b i a i a b i b -+-=+-+ξξ也就是222[(cos sin )(cos sin )][(sin cos )](),b i b a i a i b a ξξ+-+=-+-故222(cos cos )(sin sin )(),b a b a b a -+-=-则.22sin 22⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-a b a b但是这是不可能的，没有任何一个正数h 能使sin h h =.实际在我们学习过的复变函数中，中值定理是不存在的，这个反例告诉我们定义要全面理解，不能缺少一个条件.黎曼积分定义[2]: 设f 是定义在[a ,b ]上的一个函数，J 是一个确定的实数.若对任何的正数ε，总存在某一个正数δ，使得对[a ,b ]的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{ξi }，只要T <δ ，就有(),1nf x J i i i ξε∆-<∑=则称函数f 在区间[a ,b ]上可积或黎曼可积；数J 称为f 在[a ,b ]上的定积分或黎曼积分，记作().baJ f x dx =⎰我们在学习函数可积性时往往会习惯性认为黎曼可积函数一定具有原函数，但事实上，这个假设并不一定成立.例5.3[7] 如函数⎩⎨⎧-∈∈=]0,1[1]1,0[0)(x x x f ，，显然在[−1，1]上可积的，但是)(x f 在[−1，1]上没有原函数.因此，黎曼可积函数不一定具有原函数.反过来，有原函数的函数不一定黎曼可积.例5.4[7] 如函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠=.00,01sin )(34x x x x x F ，， 由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-==-.00,01cos 1sin 34)()(3234'x x x x x x x F x f ，，可见)(x F 是)(x f 的一个原函数，但是)(x f 在[−1，1]上无界，所以)(x f 在[−1，1]上不可积.例5.5 [9] 存在函数)(x f 和)(x g ，使得)(x f 在[a ，b ]上可积，)(x g 在[a ，b ]上不变号且可积，而在(a ，b )中不存在满足的等式dx x g f dx x g x f baba⎰⎰=)()()()(ξ.证： 设g (x ) =1，再设⎩⎨⎧<≤--≤<=.011;101)(x x x f ，，则,0)()(11=⎰-dx x g x f .1)(1=⎰dx x g于是，由函数f 的定义可知，不存在ξ∈(−1,1)，使.)()()()(dx x g f dx x g x f baba⎰⎰=ξ六 多元函数微积分中的反例6.1 累次极限和二重极限的相关反例二元函数在某一点（或无穷远处）的累次极限和二重极限是两个既相互联系又相互区别的两个概念，在函数连续区域内它们总是相等的，但是在其他情况下. 它往往会呈现不同的特性.例6.1 [2] 对于二元函数,,),(∞→∞→y x y x f 当它的两个累次极限存在且相等，然而它的二重极限却不存在,比如: (),,22y x xyy x f +=.00lim limlim 22==+∞→∞→∞→x y x y x xy同理.00lim limlim 22==+∞→∞→∞→y x y y x xy但是如果令时当∞→∞→=y x kx y ,，22222221kkx k x kx y x xy +=+=+ 则极限值随k 值变化而变化，故22limy x xyy x +∞→∞→不存在.累次极限不存在的二次函数的反例.例6.2[8].0,0 sin 1),(222>>+=y x yy x y x f因为取序列...2,1,0==k k y k ，π1(,),k f x y x== 若为取序列...2,1,02=+=k k y k ，ππ,)( 0 1)2(1),(22∞→→⋅++=k k x y x f ππ所以),(lim y x f y ∞→不存在，进而),(lim lim y x f y x ∞→∞→亦不存在.由于,1sin 10222xy y x <+<则根据极限定义.,1,0A x A >=∃>∀当对εε就有,11sin 1222ε=<<+Ax yy x则0),(lim =∞→∞→y x f y x .6.2 多元函数微分学其他反例多元函数微分学除极限外，还有函数的偏导数，全微分以及多元函数极值问题，我们在这主要讨论下极值的反例.函数(),f x y 在无穷多个点处有极大值，但没有极小值.例6.3 .4),(2cos y ye y x f z x --== 则cos cos sin , 2.x x f f x ye e y x y∂∂=⋅=--∂∂ 因为(),f x y 在任何一点都可微，所以它在某一点取得极值的必要条件是在该点处的偏导数为0.由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=⋅⋅.02;0sin cos cos y e ex y xx解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==.2;2e y k x π ...2,1,0±±=k 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.21;)12(e y k x π...2,1,0±±=k 而2;sin B ;sin cos 22cos 2cos 2cos 22-=∂∂==∂∂∂=⋅-⋅=∂∂=yf C xe y x f ye x xe y x f A xx x .（i ）当⎪⎩⎪⎨⎧-==.2;2e y k x π ...2,1,0±±=k 则2,0,022-==<-=C B e A ，022<-=-e AC B 故所以函数(),f x y 在这些点取得值.（ii ）当⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.21;)12(e y k x π ...2,1,0±±=k 则2,0,0212-==>=C B eA 022>=--e AC B 故所以函数(),f x y 在这些点无极值[6]. 6.3 同一函数累次积分不同的反例例6.4 (),f x y 在]1,0[],1,0[∈∈y x 上累次积分不相等⎪⎩⎪⎨⎧==≤<≤<+-= . 00 , 1;10,10 ,)(),(22222y x y x y x y x y x f 或当0x =时，.1),(11==⎰⎰dy dy y x f当0x ≠时 则有：.)(1)(2)(2)(),(102221022221022222210222221⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+--=+-=dy y x dy y x x dy y x y x x dy y x y x dy y x f .xdt dy xt y ==，则令111222200021111(,)(1)11x xf x y dy dt dt x t x t x=-=+++⎰⎰⎰ 则⎪⎩⎪⎨⎧=≤<≤<+=⎰. 0 ,1;10,10 ,11),(21x y x x dy y x f 同理⎪⎩⎪⎨⎧=≤<≤<+-=⎰. 0 ,1;10,10 ,11),(21y y x y dx y x f 故.411),(10211π=+=⎰⎰⎰dx x dy y x f dx 而.411),(121010π-=+-=⎰⎰⎰dx y dx y x f dy6.4与曲线方向无关的第二类曲线积分例6.5[2]dx y L⎰2其中.0,0,,:222222>≥=+=++a z ax y x a z y x L取L 的参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤--≤≤===.02 ; sin ,20 ; sin ,sin cos ,cos 2φπφπφφφφφa a z a y r x 若L 取逆时针方向，则,22ππφ到从-若L 取顺时针方向则.22ππφ-到从而0.sin 61sin 412 )(sin sin )sin1(2 sin cos 2 )sin cos 2(sin cos 228432232332233222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=-=-=----⎰⎰⎰⎰ππππππππφφφφφφφφφφφφφa d ad a d a a dx y L显然022=-=⎰⎰-dx y dx y LL即该曲线积分与曲线方向无关.总结反例能发现原有理论的局限性，培养学生的创造性思维，推动数学向前发展.举反例可以直接促进数学概念，新定理与新了理论的形成和发展.在数学分析发展的历史上有很多例子可以说明，如：对连续函数项级数的和函数，Cauchy还认为其和函数必连续，但人们举出了很多反例，引出了一致收敛的概念.再如：Dirichlet 函数在Riemann意义下不可积启发了异于Riemann积分的新积分理论的产生.可见，反例的构造在数学理论的发展中起着举足轻重的作用.正如奥姆斯特德所指出的“数学有两大类—证明和反例组成，而数学发展也是朝着两个主要目标—提出证明和构造反例前进.”首先反例能帮助人们澄清数学概念和定理.数学分析中的概念和定理有许多结构复杂，条件结构使人不易理解，反例则可以使概念更加明确和清晰，使理的条件，结论之间的充分性，必要性指示得一清二楚.其次，反例能帮助学生学习基础知识，提高数学修养，培养学生的创造性思维.数学是一门严密的科学，它有自己独特的思维特点和逻辑推理体系，既有严密的逻辑思维方法，也有非逻辑思维方法，以及两者综合的创造性思维方法.引导学生在深厚基础知识上科学的构造反例，从而培养他们数学发现的能力和床在性思维的能力.总之，从数学发展和数学教学的实践来看，构造反例和给出证明起着同等重要要的作用，构造反例是深化理解知识，辨析错解，培养创造性性思维的有力工具.它在发现和认识数学真理，强化基础知识的理解和掌握以及培养学生的创造性思维能力等方面的意义和作用是不容低估的.在数学分析的教学中，恰当的开发和利用反例辅助教学，引导学生合理构造反例，长期训练学生构造反例的能力，通过反例培养学生的创造性思维的能力，将能有效的提高教学质量.参考文献[1] 复旦大学数学系.数学分析第三版上册[M].北京：高等教育出版社, 2001年[2] 复旦大学数学系.数学分析第三版下册[M]. 北京：高等教育出版社, 2001年[3] 冯素芬．试论数学反例及其构造[J]．北京工业职业技术学院学报,2003，2(3):2-3．[4] 李志林. 数学分析中反例的重要应用[J]. 北京电力高等专科学校报,2008,(12):1-2.[5] 汪林. 数学分析中的问题与反例[M]. 云南：云南科技出版社,1990.[6] 邓利斌. 积分计算中的常见错误解析[J]. 郧阳师范高等专科学校学报,2006,(3):15.[7] 邓乐斌. 黎曼积分中的问题和反例[D]. 武汉: 华中师范大学,2007.[8] 程炜. 例谈反例在数学分析教学中的应用[J]. 科技信息,2009,(4):30-33.[9] 肖宏治. 反例在数学分析教学中的作用及构造分析[J]. 六盘水师范高等专科学校学报，2005,17（3）：1-5.。