e7度非定点斜碰撞振动系统的动力学分析
汽车振动分析三自由度概论
汽车振动分析三自由度概论汽车振动分析是指对汽车在运行过程中的振动进行研究和分析。
汽车在运行过程中会受到地面不平坦、发动机工作、零部件损耗等多种因素的影响，从而产生各种振动。
了解和分析汽车的振动情况对于改善驾驶舒适性、提高汽车性能、延长零部件寿命等方面具有重要意义。
在汽车振动分析中，常使用三自由度模型进行初步研究和分析。
该模型是对汽车在垂直方向（纵向）、水平方向（横向）和侧向（垂直）三个方向的振动进行建模，可以较为准确地模拟实际振动情况。
在三自由度模型中，汽车被简化为一个质点，其质量为m，质心位置为(x,y,z)。
地面和汽车之间通过弹簧和减振器连接，用来模拟悬挂系统。
弹簧的刚度为k，减振器的阻尼为c。
汽车在运行过程中会受到外界的激励力Fa，例如地面的不平坦、发动机输出的力等。
根据牛顿第二定律，可以得出以下三个方程：mx'' + cx' + kx = Famy'' + cy' + ky = Fymz'' + cz' + kz = Fz其中，x''表示汽车在x方向的加速度，x'表示汽车在x方向的速度，类推y和z。
Fa,Fy,Fz分别表示在x、y、z方向上的外界激励力。
通过求解以上方程组，可以得到汽车在三个方向上的振动响应。
为了更好地研究和分析汽车的振动情况，还需要进行模态分析。
模态分析是指对系统的固有特性进行研究和分析。
在汽车振动分析中，模态分析主要用于求解汽车的模态频率和模态振型。
汽车的模态频率是指在特定工况下，汽车振动系统的固有频率。
一般来说，模态频率越高，汽车的振动特性越好。
模态振型是指在特定模态频率下汽车的振动形态，可以用来了解汽车的振动特性和寻找可能的振动源。
对于三自由度模型而言，可以通过手工计算或使用专业的软件进行求解模态频率和模态振型。
一般来说，模态分析会得到多个不同的模态频率和模态振型，其中前几个频率和振型对应着汽车振动系统的主要特性。
非线性振动特性分析及其应用研究
非线性振动特性分析及其应用研究随着科学技术的不断发展，在各个领域都出现了越来越多的非线性系统，非线性振动特性分析的重要性也日益凸显。
非线性振动与线性振动相比，具有更加复杂的动力学特性和更为广泛的应用领域。
因此，深入研究非线性振动特性，掌握其规律和应用，对于提高系统的稳定性和可靠性具有重要意义。
一、什么是非线性振动在介绍非线性振动之前，我们需要先了解什么是线性振动。
线性振动是指系统的运动满足叠加原理，并且受到外力的作用时，系统的运动与作用力呈线性关系。
而非线性振动则不遵循叠加原理，并且系统的运动与作用力呈非线性关系。
在非线性振动中，系统的动力学行为可能表现出各种不同的特性，例如倍周期、混沌和分岔等现象。
二、非线性振动的分类根据系统的特性，非线性振动可以分为几类，包括：1. 确定性非周期振动：在确定性非周期振动中，系统运动的状态是确定的，但是其周期不固定。
2. 倍周期振动：倍周期振动是指系统的振动周期是某一固定周期的整数倍。
3. 混沌振动：在混沌振动中，系统的运动表现出无规律的、高度复杂的、看似随机的特性。
4. 分岔振动：分岔振动是指当某个系统参数变化时，系统的动力学行为产生突变并出现新的稳定状态。
三、非线性振动特性分析方法为了研究非线性振动特性，需要应用多种分析方法。
常见的非线性振动特性分析方法有以下几种：1. 哈密顿系统理论：哈密顿系统是一种描述系统动力学行为的方法，可以用于研究非线性振动的动力学特性。
2. 常微分方程数值解法：常微分方程数值解法是一种将微分方程化为差分方程，并通过计算机求解差分方程的方法，可以用于求解非线性振动方程。
3. 非线性系统分析方法：非线性系统分析方法可以用于分析非线性振动系统的动力学行为，例如Lyapunov指数、Poincaré截面等都是非线性系统分析方法。
4. 等效线性化方法：等效线性化方法可以将非线性振动系统的方程化为类似于线性系统的方程，从而用于分析非线性振动系统的动力学行为。
谐振系统的动力学响应分析与控制
谐振系统的动力学响应分析与控制1.引言谐振系统是一种具有特定频率的物理系统，在自身的固有频率作用下，能够产生较大的振幅。
谐振现象广泛存在于机械、电气、声学等领域，对于一些特定应用具有重要的意义。
本文将围绕谐振系统的动力学响应分析与控制展开讨论。
2.谐振系统的动力学特性在研究谐振系统的动态响应之前，首先需要了解谐振系统的动力学特性。
谐振系统通常由质量元件、弹簧元件和阻尼元件组成。
在无外力作用下，系统会产生固有频率，并表现出较大的振幅。
3.动态响应分析为了深入研究谐振系统的动态响应，可以利用振动力学的理论进行分析。
当外力作用于谐振系统时，系统会产生振动，振动的大小和相位取决于外力的频率和振幅。
可以通过建立谐振系统的动力学方程，采用数学模型进行研究。
4.阻尼对动态响应的影响阻尼是谐振系统中一个重要的参数，它对系统的动态响应有着显著的影响。
阻尼的大小决定了系统的振幅衰减速度和相位变化。
对于谐振系统而言，过小或过大的阻尼都会导致不利的效应，因此需要选择合适的阻尼比例。
5.控制策略谐振系统的控制有多种策略可供选择。
一种常见的方法是通过调整外力的频率来实现动态响应的控制。
外力的频率与谐振系统的固有频率匹配时，能够实现谐振效应，产生更大的振幅。
另外，还可以通过调整阻尼参数、改变刚度参数等方式进行控制。
6.实例分析为了更好地理解谐振系统的动力学响应与控制，我们可以通过一个实例进行分析。
假设有一个弹簧质量系统，其受到外力作用，在固有频率下产生谐振效应。
我们可以利用数学模型对系统的动态响应进行分析，并通过调整外力、阻尼等参数来控制系统的振动。
7.结论通过上述讨论，我们可以看出谐振系统的动力学响应分析与控制是一个复杂而有趣的研究领域。
对于谐振系统的理解和控制，对于工程设计和应用具有重要的意义。
未来的研究还可以探索更多的控制策略和方法，以进一步提高谐振系统的性能。
总之，谐振系统的动力学响应分析与控制是一个涉及到多个学科领域的复杂问题。
论文 非弹性碰撞中的斜碰问题
非弹性碰撞中的斜碰问题作者：指导教师：摘要：碰撞问题在生活中处处可见，也是物理学研究的主要对象。
如打桩.锻压.击球是通常的碰撞。
但生活中的碰撞问题介与弹性碰撞与非弹性碰撞之间，碰撞过程中存在正碰和斜碰。
从微观的角度研究热现象时，涉及分子原子间的碰撞。
通过微观粒子的碰撞去研究物质结构和粒子间相互作用的重要手段。
宇宙中的天体碰撞也是很频繁的。
在生活中交通事故汽车撞车问题也是典型的非弹性碰撞。
通过研究碰撞问题能很好的解决这些问题。
Abstract：Collision is very common in our life. It is the main object that is studied in physics such as piling forging batting. Usually collision in our life is between elastic collision and inelastic collision in the process of collision there exist point-blank collision and slope-blank collision. From the micro-thermals point of view it concerns the collision between molecules and Atomic through the phenomenon of the micro-particle collision we can study the interaction between material structure and particles. The collision between Atrophies is also very common, so the study of collision is a good method to solve these problems.关键词：正碰、斜碰、非完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞、交通事故。
随机震动对振动系统的响应分析
随机震动对振动系统的响应分析振动系统是指任何物体受到外力作用，产生一定的运动时，都会发生振动。
振动系统广泛应用于工程领域，例如桥梁、高楼大厦、机车、飞机等，都是振动系统。
在振动系统中，随机震动是一种很常见的现象，它对振动系统的影响非常大。
因此，对随机震动对振动系统的响应进行分析研究非常重要。
本文旨在探讨随机震动对振动系统的响应分析。
振动系统的特点振动系统是由质量、弹性和阻力等构成的一种物理系统。
在运动学和动力学上，振动系统具有以下几个特点：1. 周期性：振动系统的运动状态是周期性的，它重复的运动状态叫做一个周期。
周期是时间的固定间隔，每个周期的时间是相等的。
2. 稳定性：振动系统通常是稳定的，即使系统中受到干扰力，经过一段时间后，系统的振动状态还会恢复到原来的状态。
3. 非线性：振动系统通常具有非线性特点，即系统的响应与外界干扰力的大小不成比例。
4. 周期性和幅值：振动系统的周期和幅值决定了系统的动态响应特性，周期比较短的振动系统通常响应也比较迅速。
随机震动介绍随机震动是指由多个随机振动的幅值，频率和相位组成的振动信号。
这种振动通常是由自然界中的地震、风、海浪等引起的。
与其他振动信号不同，随机振动具有以下特点：1. 运动方向和幅值都发生变化：随机震动的运动方向和振幅通常都会随时间而变化，这是和周期振动信号不一样的地方。
2. 频率范围较宽：随机震动的频率范围很宽，它是由多种频率的振动信号组成的，而这些振动信号的频率范围可能相互重叠。
3. 并非确定性信号：随机震动信号并非确定性信号，它是由多种随机振动信号组成的。
因此，它的各种特性这方面难以准确预测。
随机震动对振动系统的响应通常会产生一系列的异常情况，例如提高系统的振动幅值、降低系统稳定性、引起共振等。
因此，分析随机震动对振动系统的影响非常重要。
为了分析随机震动对振动系统的影响，通常采用频谱分析方法。
频谱分析是指通过将随机振动信号的时域波形转换成频域或相干域表示，来分析振动信号的特性。
非线性动力学方法在机械系统分析中的应用
非线性动力学方法在机械系统分析中的应用在现代机械工程领域，对机械系统的性能和行为进行准确分析是至关重要的。
随着科学技术的不断发展，非线性动力学方法逐渐成为研究机械系统的有力工具。
机械系统中的非线性现象广泛存在。
例如，零部件之间的接触和摩擦、材料的非线性特性、系统的几何非线性等。
这些非线性因素使得机械系统的行为变得复杂且难以预测。
传统的线性分析方法在处理这些复杂情况时往往存在局限性，无法准确描述系统的真实动态特性。
非线性动力学方法为解决这些问题提供了新的途径。
其中，混沌理论是一个重要的分支。
混沌现象是指在确定性系统中出现的貌似随机的不规则运动。
在机械系统中，如某些旋转机械的运行过程中，可能会由于参数的变化而进入混沌状态，表现出不规则的振动和噪声。
通过对混沌现象的研究，可以更好地理解机械系统的稳定性和可靠性。
分岔理论也是非线性动力学中的关键内容。
分岔意味着系统在参数变化时，其动态行为发生质的改变。
比如，在机械传动系统中，随着负载或转速的改变，系统可能会从稳定的运行状态分岔到不稳定状态，甚至出现故障。
通过分析分岔点和分岔行为，可以提前预测系统的性能变化，为优化设计和故障诊断提供依据。
相空间重构是一种常用的非线性动力学分析技术。
它将机械系统的时间序列数据转换到高维相空间中，从而揭示系统的隐藏结构和动态特性。
通过观察相空间中的轨迹，可以判断系统是否处于稳定状态、是否存在周期运动或混沌行为。
在实际应用中，非线性动力学方法为机械系统的设计和优化带来了显著的优势。
例如，在汽车悬架系统的设计中，考虑非线性因素可以更好地改善车辆的行驶舒适性和操控稳定性。
通过对悬架系统的非线性动力学分析，可以优化弹簧和阻尼的参数，使车辆在不同路况下都能保持良好的性能。
在航空航天领域，发动机的叶片振动是一个关键问题。
由于叶片的材料特性和复杂的工作环境，其振动呈现出明显的非线性特征。
利用非线性动力学方法，可以准确地模拟叶片的振动行为，预测可能出现的故障模式，从而为发动机的设计和维护提供重要的参考。
非线性振动系统的动力学模拟和分析
非线性振动系统的动力学模拟和分析一、引言非线性振动系统是实际工程中经常遇到的一种振动模式，其动力学行为与线性振动系统有很大不同。
为了解决实际问题，需要对非线性振动系统进行深入研究，进一步分析其动力学行为。
本文将着重介绍非线性振动系统的动力学模拟和分析方法，并结合具体实例进行讲解。
二、基本概念1. 非线性振动系统非线性振动系统是指其运动方程中含有非线性项的振动系统。
其动力学行为与线性振动系统有很大不同，例如出现分岔、混沌等现象。
2. 动力学模拟动力学模拟是通过计算机模拟的方法研究动力学系统的行为。
它可以帮助我们深入理解非线性系统的物理现象，预测系统的行为以及设计系统的参数。
三、非线性振动系统动力学模拟方法1. 常微分方程方法其基本思路是通过建立非线性振动系统的运动方程，并运用数值分析方法进行求解。
假设非线性振动系统的运动方程为：$$\frac{d^2x}{dt^2}+f(x)=0$$其中，$x$为系统的位移，$f(x)$为非线性运动方程，可以将其展开为泰勒级数的形式，如下：$$f(x)=a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...$$将运动方程离散化后，可以利用数值分析方法，如欧拉法、隐式欧拉法等，进行求解。
2. 辛普森法辛普森法是一种常用的非线性振动系统动力学模拟方法。
其基本思路是利用曲面的形状来逼近曲线，进而求解非线性振动系统的运动方程。
假设非线性振动系统的运动方程为：$$\frac{d^2x}{dt^2}+f(x)=0$$其中，$x$为系统的位移，$f(x)$为非线性运动方程。
将运动方程离散化后，可以利用辛普森法进行求解。
3. 傅里叶级数方法其基本思路是将一个非线性振动系统的运动方程分解为一系列线性微分方程的和，进而用傅里叶变换的方法求解。
假设非线性振动系统的运动方程为：$$\frac{d^2x}{dt^2}+f(x)=0$$其中，$x$为系统的位移，$f(x)$为非线性运动方程。
将运动方程展开为傅里叶级数的形式后，可以用傅里叶变换求解。
非定常气动力计算与颤振分析
为了进一步求得拟合公式的解，MS 法需要先给定 R 的 矩阵元素，再由最小二乘法确定矩阵 D 和 E。首先，给定 矩阵 E，按行拟合出矩阵 D。其次，由现有的矩阵 R 和 D， 按列拟合求出矩阵 E。最后，计算拟合的精度，如果拟合的 精度不满足要求，就重复前面的拟合过程，反复迭代计算 D-E-D，直到得到满意的拟合结果。一般情况下，迭代 10
当飞行器包括控制系统时，必须要着重考虑控制系统 矩阵转换得到 ；S 为网格面积的加权矩阵，其对角项为各气
与弹性机体结构之间的耦合作用，也就是气动伺服弹性力学 动网格的面积 ；∆p 为气动面元网格的压力分布。
（ASE）。传统飞控系统通常采用 SISO 控制方式，工程中仍
根据非定常气动力理论，根据网格控制点满足的积分方
0.5
75
0.3
60
阻尼系数 频率/Hz
0.1
45
-0.1
30
-0.3
15
-0.5 0
100 200 300 速度/（m·s-1）
400 500
0
100 200 300 400 500
速度/（m·s-1）
机翼一阶弯曲
机翼一阶扭转
机翼一阶弯曲
机翼一阶扭转
机翼二阶扭转 机翼面内模态
机翼二阶弯曲
机翼二阶扭转 机翼面内模态
次即可收敛。
当求出各系数矩阵后，令 s=ik（s 为拉普拉斯算子），将
减缩频率转化为拉氏变量，气动力拟合如公式（8）所示。
Qq(k) =A0+A1s+A2s2+D（sI-R）-1Es
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二Ｌ ３ ， （ ｒ １ ＋ ｒ ｓ 。 ， ６ ２ １ ） Ｃ ｏ ｓ （ Ｏ ｏ 一 Ｓ ａ ｏ ） ，
二 １－ ・ ｒ １ 一ｒ ｓ ｒ ｓ ｏ Ｃ １ 。 Ｅ ２， ＿ １ ｒ３ ｒ４
（ １ ）
式中 ｗ 。 、 Ｗ ， 分别表示压缩阶段系统所吸收的弹性应变能与恢复阶段系统所释放的弹性应变 考虑图 １ 所示在水平面上由长度分别为 ｌ ， 和几 的无质量刚性杆 Ｏ Ｉ Ａ和０ ２ Ｂ以及质量分别为ｍ ｌ 和
溺 浴 盆 么
ｍ ２ 的 刚 性 质 点 Ａ 和 Ｂ 的 两 个 单 摆 组 成 的 系 统． 设 单
（ ９ ）
式中 Ｓ二ｆ ｔ （ ｍ ｏ ｄ （ ２ ｎ ７ ｃ ） ） Ｉ ｔ Ｅ １ ［ ￥ ＋｝ ．建立Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ － ｔ 映射 Ｐ ： ２一 Ｉ， 则对系统（ １ ， ｎ ） 周期运 动的研究转化为对 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ６ ４ 映射的不动点研究 ． 映射 Ｐ是由两个映射复合而成 ．第 １ 个映
式中
Ｅ Ｉ ＝Ｉ ｍ＋ Ｌ ２ Ｉ ［ Ｃ Ｏ Ｓ ２ （ ０ 。 一 Ｔ ｏ ） 一 ｐ ｓ ｉ ｎ （ Ｏ 。 一 （ Ｐ Ｏ ） ｃ ｏ ｓ （ ｏ 。 一 Ｔ Ｏ ） ］ ｝ １ ／ ２ ， 。 ： ＝Ｉ ｍ＋ Ｌ ２ Ｉ ［ Ｃ Ｏ Ｓ ２ （ ０ 。 一 （ Ｐ Ｏ ） ＋ ｐ ｓ ｉ ｎ （ Ｏ 。 一 Ｔ Ｏ ） ｃ ｏ ｓ （ ｏ 。 一 Ｔ ｏ ） ］ １ １ ／ ２ ．
式中ｒ １ Ｂ ， ｒ ２ Ｂ ， ｒ ３ Ｂ ， ｒ ４ 。 是系统的参量、 恢复系数和碰撞前两摆角的函 数（ 在此略） ．
（ ７ ）
这样， 根据两单摆作刚性碰撞前后角位移不变的假定， 以及碰撞前后角速度关系式（ ６ ） 和 （ ７ ） ， 可将系统的碰撞过程和非碰撞过程的状态联系起来．
性， 并 得 到了 单 碰 周 期。 次 谐 运 动 存 在 性 判 据和 其 稳 定 性 分 析的 解 析 结 果． Ｓ ｔ ｒ ｏ ｎ ｇ ｅ ［ ７ １ 对 斜 碰
撞过程进行了研究， 指出用恢复阶段和压缩阶段能量变化的比值的平方根作为斜碰撞的恢复
系数更为合理． 继之， 他〔 “ 〕 研究了 旋转单摆与固 定平面的 斜碰撞情况， 得知此时只 存在可逆的
式， 即冲量矩方程
Ｍ ｏ ＋ Ｌ ２ ［ ｃ ｏ ｓ （ Ｂ Ｏ 一 Ｔ ｏ ） 一 ｆ ｃ ｓ ｉ ｎ （ ｅ 。 一 Ｃ Ｐ Ｏ ） Ｉ （ ｐ＝ （ 。 子 ／ 。 圣 Ａ ｍ ｏ ｏ ＋ Ｌ ２ ［ ｃ ｏ ｓ （ Ｂ 。 一Ｐ Ｏ ） ＋ ｐ ｓ ｉ ｎ （ Ｂ 。 一 （ Ｐ Ｏ ） Ｉ Ｃ ｐ ｏ ｝ ， （ ３ ）
据． 根据Ｆ ｌ ｏ ｑ ｕ ｅ ｔ 理论分析了 该系统次谐运动周期解的稳定性问题， 给出了Ｈ 呷ｊ ｅ ｔ 特征乘子的计
算公式．通过数值仿真证实了该方法的有效性， 同时分析了非定点、 斜碰撞系统碰撞点位置的概 率分布情况． 关 键 词： 非定点碰撞； 斜碰撞； 次谐运动； 存在性； 稳定性； 概率分布
下面用解析方法讨论双自由度非定点无阻尼斜碰撞系统存在单碰周期 ｎ （ ｎＥＺ Ｚ） 运动 （ 即（ １ ， ｎ ） 周期运动） 的条件 ．对有阻尼斜碰撞情形可用同样方法讨论， 但结果会更复杂 ．
记Ｖ ． 二． ｚ Ｉ ， 牲 ＝ｚ ２ ， 并定义Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ＊ 截面为 Ｉ二｛ （ Ｘ Ｉ ， Ｖ Ｉ ， ｘ ２ ， Ｖ ２ ， ｔ ） Ｅ Ｒ ４ ｘ Ｓ Ｉ ｓ ｉ ｎ ｘ ， 一Ｌ ３ ｓ ｉ ｎ ｘ ２ ＝△ ｝ ，
摆与 杆 碰撞时的 摩擦系 数为产 ， 且碰 撞过程中 有切向
微滑移 ．取碰撞阶段的切换与切向微滑逆向同步， 且不计碰撞过程中微滑引起的角位移改变 ． 设摆
０ ，
Ｏ ， Ａ上的Ａ点与摆０ ２ Ｂ上距悬挂点０ ： 为 纷 的Ａ ＇ 点
发生 碰 撞时， 两 单摆的 摆角 分 别为Ｏ ｏ 和（ Ｐ ｏ ， 角 速度 分 别为０ 。 和｝ ０ ｏ ．下面 利用 能量 恢复系 数建立两 单摆碰
微滑动， 且滑动逆向与压缩一 恢复是同步的．
目 前对多自由 度（ 斜） 碰撞振动系统的研究主要在定性或数值方面， 极难获得解析结果． 特别地， 关于非定点、 斜碰撞振动系统的研究文献还尚未见到．非定点碰撞意味着系统在运动 过程中发生碰撞时， 碰撞点在碰撞物体上的位置随初始条件、 系统参数以及时间诸因素改变．
撞前后角速度之间的关系．
１ ． １ 冲Ａ矩方程 在碰撞的压缩阶段， 系统各分离体的冲量关系 如图２ 所示．分别对两单摆应用冲量矩定理， 得
图 １ 双自由度、 非定点、
斜碰扭振动系统
ｌ ｍ ｌ ｌ 圣 （ 切一 少 。 ） Ｉ Ｉ Ａ ， ， 式中 纷 ＝（ 矛＋片一 ２ ｄ ｌ 子 ｓ ｉ ｎ ０ ｏ ） １ ２ ／ ， Ｉ 是冲量 ．在恢复阶段， 设恢复阶段结束时（ 即碰撞后） 两
作者简介： 金俐（ １ ９ ６ ２ －） ， 女， 浙江瑞安人， 副教授， 博士（ 联系人． Ｔ ｅ ｌ ： 十 ８ ６ － ０ １ ０ － ８ ２ ３ １ ７ ９ ３ ７ ； Ｅ － ｍ ａ ｉ ｌ ： ｊ ｉ ｎ ｈ ｂ ｈ
＠ ｓ ｉ ｎ ａ ． ｃ ｏ ｍ ） ．
式中。 ＜ｒ ｓ ＜１ － ， Ｌ ３ ＝Ｉ Ａ 有’ ．由 式（ ４ ） 得知， 两单摆斜碰撞前后法向相对速度的 关系不仅与恢
双 自由度非定点斜碰撞振动系统的动力学分析
图 ２ 双自由度斜碰撞过程的冲Ｉ ｔ 关系
复系数有关， 而且与摩擦系数、 两摆的摆角、 摆长以及两摆的质量比等因素有关．并且系统参
数的选取应满足 即满足微滑一 逆向微滑一 回弹条件． １ ． ３ 碰撞前后的角速度关系
ｍ＋ Ｌ ２ Ｉ ［ Ｃ Ｏ Ｓ ２ （ ｏ 。 一 Ｔ Ｏ ） 一 ｐ ｓ ｉ ｎ （ Ｂ 。 一 Ｔ Ｏ ） Ｃ Ｏ Ｓ （ Ｂ 。 一 Ｓ Ｐ ｏ ） Ｉ ＞ ０ ， （ ５ ）
当摆 Ｏ Ｉ Ａ 上的Ａ 点与摆０ ２ Ｂ 上Ａ ＇ 点碰撞时， 通过两个无量纲表达式（ ３ ） 和（ （ ４ ） 可建立两单
摆在碰撞前后的角速度关系， 即
ｂ二ｒ １ ８ ｏ ＋ｒ ２ ｐ ｃ ｏ ， ０＝ ＝ｒ ３ ０ ０ ＋ｒ ４ （ Ｐ ｏ ，
式中
（ ６ ）
ｒ ， 二（ ｍ ｅ １ ＋ ｒ Ｓ Ｈ Ｅ ： 一 ｒ ｓ ｅ Ｉ Ｅ ２ ） Ｅ １ Ｘ ６ ２ ２ ，
１ ． ２ 能且耗散方程 在碰撞的压缩和恢复阶段， 系统所吸收和释放的弹性应变能等于系统在该阶段法向动能
的相应变化． 应用式（ １ ） ， 即Ｓ ｒ ｔ ｏ ｎ ｇ ｅ 按能量观点定义的 恢复系数ｒ ｓ ， 可得碰撞前后两单摆角速
度关系的第 ２ 个无量纲表达式， 即能量耗散方程
ｏ ｃ ｏ ｓ （ ９ 。 一 Ｓ ｏ ｏ ） 一 Ｌ ３＝ 一 ｒ ｓ （ ｅ ｌ ／ ｅ ｚ ） ［ Ｂ ｏ ｃ ｏ ｓ （ ０ 。 一 Ｔ ｏ ） 一 Ｌ Ａ Ｐ Ｏ Ｉ ， （ ４ ）
中图分类号： ０ １ ７ ５ ； ０ ３ ２ ２ 文献标识码： Ａ
引
言Hale Waihona Puke 碰撞振动系统所呈现的复杂动力学现象多年来一直受到学者们的密切关注．Ｓ ｈ ａ ｗ和
Ｗ ｈ ｉ ｓ ｔ ｏ ｎ 等人〔 １ － ４ 〕 对单自 由 度 碰振系 统 进行了 大 量的 研究工作， 得到了 该类系 统中 存在复杂的 动 力学 行为． 李群宏和金栋平等人［ （ ５ ， ６ 〕 研究了 双自 由 度碰振系统周期运动的 存在性和稳定
２ 次谐周期碰撞运动的存在性
如图 １ 所示的双自由度非定点斜碰撞振动系统中， 在两单摆上有旋转弹簧和阻尼器， 并受 到简谐外激振力矩的作用．为明确起见， 设单摆 ０ ２ Ｂ的杆长１ ｚ ＞１ １ ＋ ｄ ， 以 保证只可能存在摆
Ｏ ， Ａ 的 端点Ａ 与 摆杆０ ２ Ｂ 发 生碰 撞的 情形．设二 １ ＝９ ， ｘ ： 二（ Ｐ ， 非 碰 撞时 无阻 尼系 统 无量纲
应用数学和力学编委会编 重 庆 出 版 社 出 版
双 自由度非定点斜碰撞振动系统的 动力学分析’
金 俐， 陆启韶， 王 琪
（ 北京航空航天大学 理学院， 北京 １ ０ ０ ０ ８ ３ ）
（ 陈予怒推荐）
摘要： 对两个单摆组成的双自由度、 非定点、 斜碰撞振动系统的动力学行为进行了详细研究．揭
示了在双自由度、 非定点、 斜碰撞过程中恢复系数、 摩擦系数、 系统参数和碰撞前后系统状态之间 的关系．基于 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ （ 映射方法和非定点斜碰撞关系推导出该系统单碰周期 ｎ 次谐运动存在性判
当无摩擦碰撞时， ３ 种定义的恢复系数数值相等并用 ｒ 表示， 此时有 ｒ ２ ｒ ３ 一； １ ｒ ４ ＝ｒ ．
同 理， 当 摆０ ２ Ｂ 上的Ｂ 点与摆Ｏ ， Ａ 上Ｂ ＇ 点碰撞时， 两 单摆碰撞前后的 角速度关系类似地
为
８ ＝ ｒ １ Ｂ Ｖ ０ ＋ ｒ ２ Ｂ 势 。 ， 少＝ｒ ３ Ｂ ０ ０ ＋ｒ ４ Ｂ 护 。 ，
金
俐
陆
启
韶
土
琪
８ １ １
１ 双自由度非定点斜碰撞系统的碰撞过程分析
斜碰撞过程分析的目的是建立碰撞前后系统状态的关系， 恢复系数是建立这些关系的关
键因素， 它是表征碰撞的法向过程的一个至关重要的参量．在此采用能量恢复系数 ｒ ｓ ， 其可
表示为
ｒ ｓ 二 Ｖ一 瓦’
能。
／ Ｗ ，
形式运动方程为 ＋Ｘ Ｉ ＝ｆ ｃ ｏ ｓ ｃ ｏ ｔ
护 ． ． ． ‘ １ ‘
．． Ｘ 戈
ｔ － ２ ＋口 ２ ｘ ｚ 二几ｃ ｏ ｓ ｃ ｏ ｔ
门
盛 ． ． 月
（ 当ｓ ｉ ｎ ｘ ｌ 一Ｌ ３ ｓ ｉ ｎ ｘ ｚ ＜△时） ，
（ ８ ）
金