第1课时集合

第一课时 集合★ 高考趋势★集合考查重点是集合的运算以及集合之间、元素与集合之间的关系，试题难度不大，常以填空题的形式出现，表现为方程、不等式的解集，函数的定义域、值域等数集问题，或者直线、圆、平面区域、向量、复数相关的点集问题。

一 基础再现考点1、集合及其表示。

突破关键是抓住一般元素，明确元素所满足的属性：1、设集合A={(x,y) | x 一y=0}，B={(x,y) | 2x －3y+4=0}，则A∩B= ． 答:{(4,4)}解析：分析一般元素及其属性，集合Ａ、B 都是点集，两条直线的交点即是，要注意{(4,4)}与(4,4)的区别。

2、A 、B 是非空集合，定义{|,}A B x x AB x A B ⨯=∈∉且，若{|A x y ==,{|3}x B y y ==，则A B ⨯= ．答:{|3}x x <解析：在集合中定义新运算，或以课本上未出现的一些集合运算进行命题创新，也是近些年试题设计的新思路，用文字语言描述此题中集合的一般元素及其属性，可知集合A 是指函数的定义域，集合B 是指函数的值域，集合A B ⨯是指集合A 、B 合并后除去公共部分的数集，作为区间型数集，可画数轴直观处理。

此题若紧把A B ⨯改为A B -呢？3、设有限集合{|,,,}i A x x a i n i n +==≤∈∈+N N ，则1ni i a =∑叫做集合A 的和，记作.A S 若集合{|21,,4}P x x n n n +==-∈≤N ，集合P 的含有3个元素的全体子集分别为12k P P P 、、，则1ikp i S =∑= ．答:48解析：先确定集合p 的4个元素1、3、5、7，它的四个子集中，集合P 的每个元素都出现3次，故1ikp i S =∑＝3（1+3+5+7）＝48考点2、子集。

注意用韦恩图、数轴、坐标系进行观察分析 4、已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m 2－3m ≤0，x ∈R ，m ∈R }，全集为R ，若A ⊂∁R B ，则实数m 的取值范围是 答:(－∞，－2]∪[7，＋∞)．解析：化简集合后用数轴比较，化简A ＝{x|-2≤x ≤4}，B ＝{x|m －3≤x ≤m ， m ∈R }，集合∁R B ＝{x| x<m －3或 x> m ， m ∈R }，画数轴比较端点知： m ≤－2或者m －3≥ 4.本题把集合B 改为B ＝{x|x 2－(2m －3)x ＋m 2－3≤0，x ∈R ，m ∈R }呢? 则不宜化简集合B,思路是构造函数看图象。

5、已知集合},3sin |{Z n n x x A ∈==π，则集合A 的真子集的个数为 ． 答:7解析:化简集合{0,}22A =-,真子集有217n -=个 6、已知集合A ＝{}20,,x x ax a x R a R -+<∈∈，Z ＝{}整数，全集为R ，若}{0A Z R ⋂⋂=，则实数a 的取值范围是 ．答:102a -≤< 解析：即不等式20x ax a -+<解集中的整数有且只有0，令2()f x x ax a =-+，则只须(0)0(1)120(1)10f a f a f =<-=+≥=≥且且，即有102a -≤<。

7、已知,a b 均为实数，设数集41,53A x a x a B x b x b ⎧⎫⎧⎫=≤≤+=-≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，且A 、B 都是集合{}10≤≤x x 的子集.如果把n m -叫做集合{}x m x n ≤≤的“长度”，那么集合A B ⋂的“长度”的最小值是 .答:215解析：在数轴上直观描述这里的子集关系，则有401015a a b ≥+≤≥≤1且，b-且3，以及两个集合的区间长度分别是451与3，则有1015a b ≤≤≤≤1，3，分别考查以下两个最小值：minmin 14241412(),(()())(1)3515535315b a a b -=-=+--=--=即可。

思考改为最大值呢？考点3、交集、并集、补集。

8、集合2{|6}A x x x =+-, B={x| ax+1=0}, 若B ⊆A ，则a=____ ___.答:1123-0或或； 解析：分析一般元素及其属性，两个集合都是方程的解集，化简集合时，注意到集合B 为空集的情形．9、已知{}{}2230,A x x x B x x a =--<=<, 若A ⊆/B , 则实数a 的取值范围是( ) 答:[3,)+∞解析:化简{}13A x x =-<<,要使A B ⊄,只须3a ≥.10、若集合(){}(){}a x y y x N x y y x M +==-==|,,16|,2，若M N ⋂=∅，则实数a 的取值范围是 . 答：()()+∞-∞-∈,244, a解析：集合A 表示半圆，集合B 表示直线，画图求解。

二 范例剖析例1 设[]x 表示不大于x 的最大整数，集合{}2|2[]3A x x x =-=，1|288x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，求AB解：不等式1288x <<的解为33x -<<，所以(3,3)B =-. 若x A B ∈，则22[]333x x x ⎧-=⎨-<<⎩，所以[]x 只可能取值3,2,1,0,1,2---.若[]2x ≤-，则232[]0x x =+<，没有实数解；若[]1x =-，则21x =，解得1x =-；若[]0x =，则23x =，没有符合条件的解；若[]1x =，则25x =，没有符合条件的解；若[]2x =，则27x =，有一个符合条件的解x =因此，{AB =-.评析：本题以新定义（即高斯函数）为背景，考察其解集之间的运算。

比较1：{}x 表示不小于x 的最小整数，则{{}}x x -的值域是 。

比较2：设M 是由满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：“①方程0)(=-x x f 有实数根；②函数)(x f 的导数)(x f '满足1)(0<'<x f ”，则函数4sin 2)(xx x f +=与集合M 关系是 。

解：(Ⅰ)易证函数4sin 2)(xx x f +=满足条件①②，因此M x f ∈)( 例2 已知集合A ＝{ x | －1≤x ≤0}，集合B ＝{210xx ax b +⋅-<，0≤a ≤2，1≤b ≤3}． （Ⅰ）若,a b ∈N ，求A B ≠∅的概率；（Ⅱ）若,a b ∈R ，求A B =∅的概率． 解：（Ⅰ） 因为,a b ∈N ，（a ，b ）可取（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）共9组．………………………2分 令函数()21,[1,0]x f x ax b x =+⋅-∈-，则()ln 22x f x a b '=+⋅．因为[0,2],[1,3],()0a b f x '∈∈>所以，即()f x 在[1,0]-上是单调增函数．()f x 在[1,0]-上的最小值为12ba -+-．……………5分 要使A B ≠∅，只须102ba -+-<，即220ab -+>．……………7分 故（a ，b ）只能取（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）7组．所以A B ≠∅的概率为79．……………9分 （Ⅱ）因为[0,2],[1,3]a b ∈∈，所以（a ，b ）对应的区域边长为2的正方形（如图），面积为4．………………11分 由（Ⅰ）可知，要使A B =∅， 只须min ()102202bf x a a b =-+-⇒-+≥≤，所以满足A B =∅的(,)a b 对应的区域是如图阴影部分．所以S 阴影1111224=⨯⨯=．………13分所以A B =∅的概率为114416P ==． ………………………………14分比较：已知集合1{|3}2P x x =≤≤，函数22()log (22)f x ax x =-+的定义域为Q. （I ）若12[,),(2,3]23PQ P Q ==-，则实数a 的值为 ；（II ）若P Q φ=，则实数a 的取值范围为 .答：32a =-；(,4]a ∈-∞-评析：本题有一定的难度，由集合B 的元素属性判断，构造函数借助于单调性是关键，另一个难点是如何实现A B ≠∅，其实质是通过比较解集关系转化为所构造函数的最小值的范围分析。

例3 已知集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }，其中a i ∈R （1≤i ≤n ，n ＞2），l (A )表示a i ＋a j (1≤i ＜j ≤n )的所有不同值的个数．（1）已知集合P ＝{2，4，6，8}，Q ＝{2，4，8，16}，分别求l (P )，l (Q )； （2）若集合A ＝{2，4，8，…，2n }，求证：l (A )＝n (n －1)2；（3）求l (A )的最小值． 解：（1）由2＋4＝6，2＋6＝8，2＋8＝10，4＋6＝10，4＋8＝12，6＋8＝14，得l (P )＝5. ………………1分由2＋4＝6，2＋8＝10，2＋16＝18，4＋8＝12，4＋16＝20，8＋16＝24，得l (Q )＝6 ．………………2分 （2）证明：因为a i ＋a j (1≤i ＜j ≤n )共有n (n －1)2项，所以l (A )≤n (n －1)2．………………………4分 又集合A ＝{2，4，8，…，2n }，不妨设a m ＝2m ，m ＝1，2， …，n ．a i ＋a j ，a k ＋a l (1≤i ＜j ≤n ，1≤k ＜l ≤n )，abO2 1 23 1(,3)2．当j ≠l 时，不妨设j ＜l ，则a i ＋a j ＜2 a j ＝2j ＋1≤a l ＜a k ＋a l ，即a i ＋a j ≠a k ＋a l ， 当j ＝l ，i ≠k 时，a i ＋a j ≠a k ＋a l ，因此，当且仅当i ＝k ，j ＝l 时，a i ＋a j ＝a k ＋a l ． 即所有a i ＋a j (1≤i ＜j ≤n )的值两两不同，因此l (A )＝n (n －1)2．…………………8分 （3）不妨设a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n ，可得a 1＋a 2＜a 1＋a 3＜…＜a 1＋a n ＜a 2＋a n ＜a 3＋a n ＜…＜a n －1＋a n ，故a i ＋a j (1≤i ＜j ≤n )中至少有2n －3个不同的数，即l (A )≥2n －3．……………12分 事实上，设a 1，a 2，a 3，…，a n 成等差数列，考虑a i ＋a j (1≤i ＜j ≤n )，根据等差数列的性质，当i ＋j ≤n 时， a i ＋a j ＝a 1＋a i ＋j －1； 当i ＋j ＞n 时， a i ＋a j ＝a i ＋j －n ＋a n ；因此每个和a i ＋a j (1≤i ＜j ≤n )等于a 1＋a k (2≤k ≤n )中的一个，或者等于a l ＋a n (2≤l ≤n －1)中的一个．故对这样的集合A ，l (A )＝2n －3，所以l (A )的最小值为2n －3．………………………16分 评析:本题把集合问题与数列联系起来,注意集合元素的无序性和有序化处理,从而与数列问题对应起来比较：设集合{} 0 1 2 3 4 5, , , , , S A A A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i + j 被4除的余数 , ,0,1,2,3,4,5i j =.则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为 。