1.8函数的连续性与间断点
(整理)函数的连续性与间断点
1.8函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量:设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差u 2-u 1就叫做变量u 的增量, 记作∆u , 即∆u =u 2-u 1.设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x 0变到x 0+∆x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到f (x 0+∆x ), 因此函数y 的对应增量为∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0).函数连续的定义设函数y =f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量∆x =x -x 0 趋于零时, 对应的函数的增量∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0 )也趋于零, 即0lim 0=∆→∆y x , 或)()(lim 00x f x f x x =→, 那么就称函数y =f (x )在点x 0 处连续.注: ①0)]()([lim lim 0000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x ②设x =x 0+∆x , 则当∆x →0时, x →x 0, 因此0lim 0=∆→∆y x ⇔0)]()([lim 00=-→x f x f x x ⇔)()(lim 00x f x f x x =→. 函数连续的等价定义2:设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数ε , 总存在着正数δ , 使得对于适合不等式|x -x 0|<δ 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式|f (x )-f (x 0)|<ε ,那么就称函数y =f (x )在点x 0处连续.左右连续性:如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称y =f (x )在点0x 处左连续. 如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称y =f (x )在点0x 处右连续. 左右连续与连续的关系:函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续.连续函数举例:1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(-∞, +∞)内是连续的. 这是因为, f (x )在(-∞, +∞)内任意一点x 0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→.2. 函数x x f =)(在区间[0, +∞)内是连续的.3. 函数y =sin x 在区间(-∞, +∞)内是连续的.证明: 设x 为区间(-∞, +∞)内任意一点. 则有∆y =sin(x +∆x )-sin x )2cos(2sin2x x x ∆+∆=,因为当x →0时,y 是无穷小与有界函数的乘积,所以0lim 0=∆→∆y x .这就证明了函数y x 在区间∞, ∞)内任意一点x 都是连续的．4. 函数y =cos x 在区间(-∞, +∞)内是连续的.二、函数的间断点间断定义:设函数f (x )在点x 0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f (x )有下列三种情形之一:(1)在x 0没有定义;(2)虽然在x 0有定义, 但0lim x x →f (x )不存在;(3)虽然在x 0有定义且0lim x x →f (x )存在, 但0lim x x →f (x )≠f (x 0); 则函数f (x )在点x 0为不连续, 而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点.例1. 正切函数y =tan x 在2 π=x 处没有定义, 所以点2π=x 是函数tan x 的间断点.因为∞=→x x tan lim 2π, 故称2π=x 为函数tan x 的无穷间断点.例2. 函数x y 1sin =在点x =0没有定义, 所以点x =0是函数x 1sin 的间断点.当x →0时, 函数值在-1与+1之间变动无限多次, 所以点x =0称为函数x1sin 的振荡间断点.例3. 函数112--=x x y 在x =1没有定义, 所以点x =1是函数的间断点. 因为11lim 21--→x x x 2)1(lim 1=+=→x x , 如果补充定义: 令x =1时y =2, 则所给函数在x =1成为连续. 所以x =1称为该函数的可去间断点.例4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 211 )(x x x x f y . 因为1lim )(lim 11==→→x x f x x ,21)1(=f , )1()(lim 1f x f x ≠→, 所以x =1是函数f (x )的间断点.如果改变函数f (x )在x =1处的定义:令f (1)=1, 则函数f (x )在x =1 成为连续, 所以x =1也称为该函数的可去间断点.例5. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=010 00 1)(x x x x x x f . 因为1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x , 1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ,)(lim )(lim 00x f x f x x ++→→≠,所以极限)(lim 0x f x →不存在, x =0是函数f (x )的间断点. 因函数f (x )的图形在x =0处产生跳跃现象, 我们称x =0为函数f (x )的跳跃间断点.间断点的分类:通常把间断点分成两类:如果x 0是函数f (x )的间断点, 但左极限f (x 0-0)及右极限f (x 0+0)都存在, 那么x 0称为函数f (x )的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.。
函数的连续性与间断点
1.8函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量设变量u从它的一个初值u1变到终值u2终值与初值的差u2−u1就叫做变量u的增量记作Δu即Δu=u2−u1设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的当自变量x在这邻域内从x0变到x0+Δx时函数y相应地从f(x0)变到f(x0+Δx) 因此函数y的对应增量为Δy= f(x0+Δx)− f(x0)函数连续的定义设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义如果当自变量的增量Δx=x −x0趋于零时对应的函数的增量Δy= f(x0+Δx)− f(x0)也趋于零即或那么就称函数y=f(x)在点x0处连续注①②设x=x0+Δx则当Δx0时xx0因此函数连续的等价定义2设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义如果对于任意给定义的正数ε总存在着正数δ使得对于适合不等式|x−x0|<δ的一切x对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)−f(x0)|<ε那么就称函数y=f(x)在点x0处连续左右连续性如果则称y=f(x)在点处左连续如果则称y=f(x)在点处右连续左右连续与连续的关系函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续函数在区间上的连续性在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续如果区间包括端点那么函数在右端点连续是指左连续在左端点连续是指右连续连续函数举例1 如果f(x)是多项式函数则函数f(x)在区间(−+)内是连续的这是因为f(x)在(−+)内任意一点x0处有定义且.2 函数在区间[0 +)内是连续的3 函数y=sin x在区间(−+)内是连续的证明设x为区间(−+)内任意一点则有Δy sin(xΔx)sin x因为当D x0时 D y是无穷小与有界函数的乘积所以这就证明了函数y=sin x在区间(-+)内任意一点x都是连续的．4 函数y=cos x在区间(−+)内是连续的二、函数的间断点间断定义设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义在此前提下如果函数f(x)有下列三种情形之一(1)在x0没有定义(2)虽然在x0有定义但f(x)不存在(3)虽然在x0有定义且f(x)存在但f(x)f(x0)则函数f(x)在点x0为不连续而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点例1正切函数y=tan x在处没有定义所以点是函数tan x的间断点因为故称为函数tan x的无穷间断点例2 函数在点x=0没有定义所以点x=0是函数的间断点当x0时函数值在−1与+1之间变动无限多次所以点x=0称为函数的振荡间断点例3函数在x=1没有定义所以点x=1是函数的间断点因为如果补充定义令x=1时y=2 则所给函数在x=1成为连续所以x=1称为该函数的可去间断点例4 设函数因为所以x=1是函数f(x)的间断点如果改变函数f(x)在x=1处的定义令f(1)=1 则函数f(x)在x=1 成为连续所以x=1也称为该函数的可去间断点例5 设函数因为,所以极限不存在x0是函数f(x)的间断点因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点间断点的分类:通常把间断点分成两类如果x0是函数f(x)的间断点但左极限f(x0−0)及右极限f(x0+0)都存在那么x0称为函数f(x)的第一类间断点不是第一类间断点的任何间断点称为第二类间断点在第一类间断点中左、右极限相等者称为可去间断点不相等者称为跳跃间断点无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点。
11.8函数的连续性与间断点 函数的连续性与间断点
11.8函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点课时授课计划课次序号： 07一、课题：§ 1.8 函数的连续性与间断点二、课型：新授课三、目的要求：1.理解函数在一点连续、左右连续及区间上连续的概念；2.会判定函数间断点的类型；四、教学重点：连续的概念与间断点类型的判定.教学难点：间断点类型的判定.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学附册学习辅导与习题选解》，同济大学数学系编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：标准化作业八、授课记录：授课日期班次九、授课效果分析：十、教学进程（教学内容、教学环节及时间分配等） 1.复习（约5min）极限的存在准则：夹逼准则、单调有界准则；两个重要极限的应用；无穷小的比较：高阶、低阶、同阶、等价、k阶；等价无穷小替换求极限的方法.2.导入课题在实际问题中，我们遇到的函数常常具有另一类重要特性，如运动着的质点，其位移s是时间t的函数，时间产生微小改变时，质点也将移动微小的距离（从其运动轨迹来看是一条连绵不断的曲线），函数的这种特性称为函数的连续性，与连续相对立的一个概念，我们称之为间断.3.教学内容§1.8 函数的连续性与间断点一、函数的连续性（约45min）1. 增量变量x从初值x1变到终值x2，终值与初值的差叫变量x记作?x，即?x＝x1－x2.（增量可正可负）.一般地，当自变量从x0变到x，称?x?x?x0叫自变量x对于函数y?fx，而?y?fx?x0?fx0叫函数y若保持x0不变而让?x变动，一般来说，函数y的增量?y也要变动，若当?x趋于零时，?y也趋于零，即lim?y?0，此时就称函数y?fx在x0连.?x?02. 函数在一点处连续定义1 设函数y＝fx在Ux0有定义，如果lim?y?0，则称函数y＝fx在?x?0o点x0处连续.定义２设函数y＝fx在Ux0有定义，如果limfx?fx0，则称函数y＝x?x0ofx在点x0处连续.注① 上述两个定义在本质上是一致的，即函数fx在点x0连续，必须同时满足下列三个条件：（I）fx在点x0有定义，（II）limfx存在；（III）limfx?fx0.x?x0x?x0② 函数fx在点x0处连续是limfx存在的充分非必要条件.x?x0③ 函数fx在点x0处左连续、右连续的定义：fx?fx0，则函数y＝fx在点x0处左连续若lim?x?x0若limfx?fx0，则函数y＝fx在点x0处右连续?x?x0例1 设函数fx1,x?0，试问在x?0处函数fx是否连续？ x?1,0?x?0解由于f0?1，而limfx1，于是函数fx在点x?0不是左连续的， ?从而函数fx在x?0处不连续.?x2?3,x?0例2 设函数fx，问a为何值时，函数fx在点x?0处连续？?a?x,x?0解因为f0?3，且limfx?lima?x?a，limfx?limx?3?3，x?0x?0x?0x?02故由函数fx在点x?0处连续知，a?3.3. 函数在区间上连续定义3 如果函数y＝fx在某一区间上每一点都是连续的（如果此区间包含端点，且在左端点处右连续，在右端点处左连续），则称函数y＝fx在该区间上是连续的，或者说函数在该区间上是连续函数.函数y＝fx在其连续区间上的图形是一条连绵不断的曲线. 例3 证明函数y?3x?5x?3在,内连续. 证设?x0?,，由极限运算法则可知，2x?x02limfx?lim3x?5x?3?3x0?5x0?3?fx0，x?x022故y?3x?5x?3在点x0处连续，由x0的任意性可知，y?3x?5x?3在,内连续.2二、函数的间断点（约45min）定义4 若函数y＝fx在x0处不连续，则x0为函数fx的一个间断点注只要（I）（II）（III）三个条件有一个不满足，则x0为函数的间断点. 下面来观察下述几个函数的曲线在x?1点的情况，给出间断点的分类.x2?1y?y?x?1① ②x?1在x?1连续在x?1间断，x?1极限为2 ?x?1，x?1?x?1，x?1y?y?③ ④?1，x?1?x，x?1在x?1间断，x?1极限为2. 在x?1间断，x?1左极限为2，右极限为1.在x?0间断，x?0极限不存在.像②③④这样在x0点左、右极限都存在的间断点，称为第一类间断点，其中极限存在的②③称作第一类间断点的可去间断点，此时只要令y1?2，则函数在x?1就变成连续的；④被称作第一类间断点中的跳跃间断点；⑤⑥被称作第二类间断点，其中⑤也称作无穷间断点，而⑥称作震荡间断点.就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果x0是函数fx的间断点，但左极限fx0?0及右极限fx0?0都存在，那么x0称为函数fx间断点的任何间断点，称为第二类间断点.在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点. 显然，无穷间断点和振荡间断点属于第二类间断点.练习讨论下列函数的连续性，若有间断点，指出其类型.x2?1sin2x（2）fx?2 （1）fx?x?3x?2x答案：（1）x?0 可去间断点（2）x?1 可去间断点，x?2 第二类间断点4.课堂总结（约5 min）（1）连续的定义：limfx?fx0，三个条件缺一不可；x?x0（2）间断点的分类：第一类可去型、跳跃型，第二类（无穷型、振荡型）.5.布置作业标准化作业感谢您的阅读，祝您生活愉快。
函数的连续性与间断点
设函数 f (x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义，如果 函数 f (x) 在点 x0 满足下列三种情况之一，则点 x0 为
f (x) 的间断点：
①、在 x0 处没有定义；
②、在 x0 处有定义，但 lim f (x) 不存在；
xx0
③、在 x0 处有定义，且 lim f (x) 存在，但
xx0
例3 证明函数 y sin x 在 (, ) 内连续 .
证 x (, )
y sin(x x) sin x
2sin
x 2
cos(x
x 2
)
y
2
sin
x 2
cos(x
x 2
)
2
x 2
1
x
0
(x 0)
即
lim y 0
x0
这说明 y sin x 在 (, ) 内连续 .
同样可证：函数 y cos x 在 (, ) 内连续 .
五、函数的间断点
定义5 如果函数 f (x) 在点 x0 不连续， 则称 f (x)
在点 x0 处间断， 并称点 x0为函数 f (x) 的间断点或
不连续点 .
1
o
x
1
解 因为 lim f (x) lim(x 1) 1 f (0 0)
x0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1 f (0 0)
x0
x0
但
f (0 0) f (0 0)
所以是跳跃间断点 .
第二类间断点
如果函数 f (x) 在 x0 的左、 右极限至少有一个 不存在， 则称 x0 为 f (x) 的第二类间断点 .
《高等数学》函数的连续性与间断点
lim
x x0
(2
x
1)
2
x0
1，
f (x0 ) 3
所以有 x0 1，a 2
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
2、间断点及其分类
间断点
不连续点
设函数 y f (x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义，若下列情形至少一个成立，则 x0 是
f(x)的不连续点。
1）f(x)在 x0 点无定义。
y1 x
其中至少有一个是振荡，称 x0 为振荡间断点 y sin 1
x
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
f(x)在点 x0 连续
lim
xx0
f (x)
f (x0 )
lim f (x) lim f (x) f (0)
本
x0
x0
讲
lim y 0
x0
内
容
可去间断点
小
第Ⅰ类间断点
结
间
（包括） 跳跃间断点
x0
所以函数在x=0处连续。
lim f (x) lim f (x) 1
x0
x0
lim f (x) 1
x0
f(x)在点 x0 连续
lim f (x) lim f (x) f (0)
x0
x0
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
定义2 设变量 u 从它的一个初值 u1 变化到终值 u2 ，则称终值与初值的差 u2 u1
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点
本讲学习目标：
1、描述函数在一点连续的概念，列举连续的三个定义式。 2、描述函数在一点左右连续的概念。 3、描述函数在区间上连续的概念。 4、列举间断点的类型，描述其分类标准。
高数高等数学1.8函数的连续性与间断点
2
cos
2
x x y 2 sin cos( x ) 2 2
x 0, sin x x
x
x 0
0
即函数 y sin x在(, )内连续 .
同理可证 y cos x在(, )内连续 .
x 2 , x 0, 例3 讨论函数 f ( x ) 在 x 0处的 x 2, x 0, 连续性.
下列情形之一，y f ( x)在 x0不连续：
(1) f ( x)在 x0无定义；
(2) f ( x )在 x0有定义，但 lim f ( x )不存在；
x x0
(3) f ( x )在 x0有定义，且 lim f ( x )存在，但是
x x0
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
lim f ( x0 x ) f ( x0 )
yy f ( x) Nhomakorabealim y 0
y
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
左连续 右连续
x
o
x0
x
x
0 , 0, 当 x x0 x 时，有
f ( x ) f ( x0 ) y .
x U ( x0 ),
y f ( x) f ( x0 ) ---函数的增量
y
y f ( x)
y
y
x
0
x
0
x0
x 0 x x
x0
x 0 x
x
2. 函数连续的定义 定义 设函数y f ( x )在 x0的某邻域内有定义，如果
1-8 函数的连续性与间断点 (高等数学)
§1.8 函数的连续性与间断点教学内容：一．函数连续的概念定义 增量：设变量u 从它的一个初值1u 变到终值2u ，终值与初值的差21-u u 称为变量u 的增量，记为∆u ，即21∆=-u u u .定义 在某一点处的连续性：（1）设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，如果当自变量x 有增量x ∆时，函数相应的有增量y ∆， 若0lim 0x y ∆→∆=，则称函数()y f x =在点0x 处连续，0x 为()f x 的连续点.（2）设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若00lim ()()x x f x f x →=，则称()y f x =在点0x 处连续.（3）设函数()y f x =在点0x 的某邻域有定义，如果对于任意正数ε，总存在正数δ，使得当x 满足不等式0x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<，则称函数()y f x =在点0x 处连续.定义 函数在区间上的连续性：如果函数()f x 在开区间(,)a b 内每一点都连续，则称()f x 在(,)a b 内连续；如果函数()f x 在开区间(,)a b 内每一点都连续，且在左端点x a =处右连续，在右端点x b =处左连续，则称()f x 在闭区间a b [,]上连续，并称a b [,]是()f x 的连续区间.注 (1) ()f x 在左端点x a =右连续是指满足lim ()();x a f x f a +→=(2) ()f x 在右端点x b =左连续是指满足lim ()()x b f x f b -→=.定理：函数()f x 在点0x 处连续的充分必要条件是函数()f x 在点0x 处既左连续又右连续.二．函数的间断点定义函数间断点：如果函数()f x 在点0x 处不连续，则称函数()f x 在点0x 处间断，点0x 称为()f x 的间断点.第一类间断点 ()f x 在点0x 的左右极限00()f x -和00()f x +都存在的间断点为第一类间断点. 它包含两种类型：可去间断点与跳跃间断点.第二类间断点 称00()f x -和00()f x +中至少有一个不存在的间断点为第二类间断点.。
间断点和连续点的关系
间断点和连续点的关系在数学中，间断点是指函数在某个点上不连续的现象。
具体来说，如果一个函数在某个点x=a的左右两侧的极限存在，但这两个极限不相等，那么这个点就被称为间断点。
间断点有三种类型：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
首先我们来看可去间断点。
可去间断点是指函数在某个点上虽然不连续，但可以通过修改函数在该点上的定义来使得函数在该点上连续。
例如，考虑函数f(x)=x/x，当x=0时，函数的值是未定义的，但可以通过定义f(0)=1来使得函数在x=0处连续。
其次是跳跃间断点。
跳跃间断点是指函数在某个点上的左右极限存在，但不相等。
例如，考虑函数f(x)=x，当x=1时，函数的左极限是1，右极限是1，但它们不相等，所以x=1是函数f(x)的一个跳跃间断点。
最后是无穷间断点。
无穷间断点是指函数在某个点上的左右极限至少有一个是无穷大。
例如，考虑函数f(x)=1/x，当x=0时，函数的左极限是无穷大，右极限是负无穷大，所以x=0是函数f(x)的一个无穷间断点。
与间断点相对的是连续点。
连续点是指函数在某个点上连续的现象。
具体来说，如果一个函数在某个点x=a的左右两侧的极限存在且相等，那么这个点就被称为连续点。
连续点是函数中最常见的情况，大部分函数在定义域的大部分区间上都是连续的。
间断点和连续点的关系可以通过以下几个方面来描述。
首先，根据间断点的定义，我们可以得出结论：一个函数在某个点上连续当且仅当该点不是间断点。
换句话说，连续点是指函数在该点上没有间断的点。
间断点和连续点在函数图像上有明显的区别。
间断点通常表现为函数图像上的断裂或者突变，而连续点则表现为函数图像上的平滑和连贯。
通过观察函数图像，我们可以清楚地看到间断点和连续点的不同特征。
间断点和连续点在函数的性质和应用中也有所不同。
连续函数具有许多重要的性质，例如介值定理和最值定理等，这些性质在实际问题的求解中起到了重要的作用。
而间断点则可能导致函数在某些点上的性质发生变化，因此在分析函数的性质时需要特别注意这些间断点。
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●若 f
( x)在某区间上每一点都连续, 则称它在该区
间上连续 ,或称它为该区间上的连续函数 . 如果区间包括端点，那么函数在右端点连续指的 是左连续，在左端点连续是指右连续. 连续函数图形特点：一条连续而不间断的曲线.
二、 函数的间断点
函数 f ( x) 在点 x0 连续必须具备下列条件:
(1) f ( x) 在点 x0 有定义 ,即 f ( x0 ) 存在； (2) 极限 lim f ( x) 存在；
2.判断如下函数的间断点的类型
1 x 5 , x 5 f ( x) x 1, 5 x 1 1 2 ( x 1) cos 2 ,1 x x 1
f ( x)
1
0
记 x x x0 , y f ( x) f ( x0 ), y 分别称为点 x0 处自变量增量和 相应的函数增量 .
函数连续的等价定义为： 如果 lim y 0 , 则称函数在点x0 0 x 0 处连续.
y f ( x)
y
x
x0
x0 x x
定义: 如果 lim f ( x) f ( x0 )存在且等于 f ( x0 ), 即
x x0
(3) lim f ( x) f ( x0 ).
x x0
如果上述三个条件只要有一个不满足，则函数 f ( x) 在点 x0 处不连续(或间断).
考察下列函数的间断点：
x x 0 (1) f ( x) 1, x 0
2
x 2 x 0 (2) f ( x) 1, x 0
x 0 为其跳跃间断点.
(3) y tan x
x
y
y tan x 2 Nhomakorabea2
o
x
为其无穷间断点.
例:当 a 取何值时，函数
cos x, f ( x) a x,
在 x 0 处连续.
x 0, x 0,
练习： 1.确定函数
1 1 1 x 的间断点并判断其类型.
y
1 (3) y x
1 (4) y sin x
1 y sin x
0
x
间断点分类:
第一类间断点: f ( x0 ) 及 f ( x0 ) 均存在 , 若 f ( x0 ) f ( x0 ), 称 x0 为可去间断点.
若 f ( x0 ) f ( x0 ), 称 x 为跳跃间断点. 0 第二类间断点: f ( x0 ) 及 f ( x0 ) 中至少一个不存在,
第八节 函数的连续性与间断点
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
定义: 设函数 y f ( x) 在 x0 的某邻域内有定义,且 lim f ( x) f ( x0 ) , 则称函数 f ( x)在 x0 处连续，点 x0 称 x x 为连续点. 否则称f ( x) 在x0处间断，点 x0 称为间断点.
f ( x0 ) f ( x0 ), 就说函数 f ( x) 在点 x0 左连续. 如果 lim f ( x) f ( x0 ) 存在且等于 f ( x0 ), 即 x x0 f ( x0 ) f ( x0 ), 就说函数 f ( x) 在点x0 右连续.
x x0
函数 f ( x) 在点 x0 处连续的充分必要条件是 f ( x) 在点 x0 处既左连续又右连续.
其中包括 无穷间断点，振荡间断点 .
x 1 (1) y x 1
2
例如:
y
x 1 为可去间断点.
x 1 , (2) y f ( x) 0 , x 1 , x0 x0 x0
o 1
x
y
1
o
f (0 ) 1, f (0 ) 1
1
x