球的表面积和体积PPT课件
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人教版高中数学- 球的体积和表面积(共32张PPT)教育课件
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
Si
则球的体积为：V V1 V2 V3 Vn
4 R3
3
O
（四）球的表面积公式的推导
讨论：（1）如何求出每一个“准锥体”的体积呢？ 你会算吗可？以怎样处理呢？
展开讨论
“准锥体”的底面是球面的一部分， 底面是“曲”的。
O
Si
Si
hi
O
以平代曲 O
“准锥体”近似看为小棱锥,用小棱锥的体积作 为“准锥体”体积的近似值。
《球的体积和表面积》教学课件(12张PPT)
祖暅原理也就是“等积原理”，它是
由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿
子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是： 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平
行于这两个平行平面的平面所截，如果截
得两个截面的面积总相等，那么这两个几 何体的体积相等.
可以用诗句“两个胖子一般高，平行 地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然 同样胖”形象表示其内涵.利用祖暅原理可 以推导几何体的体积公式，关键是要构造 一个参照体.
你能求出下面物体的体积和表面积吗？
地球可近似地看作球体，地球的半径为 6370km.怎样计算它的体积？ 如果球的半径 为R，那么它的体积 4 V= πR3 3
地球可近似地看作球体，地球的半径为 6370km.怎样计算它的表面积 ？ 球的半径为 R， 那么球的表面积 S=4πR2
如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 （2）球的表面积等于圆柱的侧面积
一个球的体积是100cm3，试计算它的表面积 （π取3.14，结果精确到1cm2） 解：设球的半径为R，那么根据题意有： 4 πR3= 100 3 4 ×3.14×R3= 100 3 R≈2.88
球的表面积S=4πR2=4×3.14×2.882 ≈104（cm2）
一个圆锥形的空杯子上面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ着一个半球形的 冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢满杯子吗？ 解：由图可知，半球的半径为4 4 3 256 π 半球的体积为 π4 = 3 3 1 192 2 π 圆锥的体积为 πR ×12= 3 3 因此，如果冰淇淋融化了，会 溢满杯子.
证明：（1）设球的半径为R，则 圆柱的地面半径也为R， 高为2R 4 因为V球= πR3， 3 V圆柱=πR2·2R=2πR３ 2 所以V球= V圆柱 3
球的表面积和体积PPT课件[1]
![球的表面积和体积PPT课件[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/9b39083a83c4bb4cf7ecd1a4.png)
西伯利亚
问题：防城港桃花湾体育馆近似一个半球， 其室内场地（大圆）面积约1000平方米，它的 半球部分的面积是多少？
一般地，一个球的半径是R，则 大圆的面积是 ，球的表 面积是 S=
球的体积
第 一 步： 分 割
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
பைடு நூலகம்
则球的表面积： O
则球的体积为：
S i
O
第 二 步： 求 近 似 和
D1
A1 B1
C1
三、典例分析
例题3 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的 直径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.
P76 练习1、2题
四、巩固深化
1、正方体的内切球和外接球队体积比为1: 3 ___ ，表面积 ___ 3 之比为 。
2、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别 为49 cm2 和400 cm2，求球的表面积。 答案：2500 cm2
O
由第一步得：
第 S i 三 hi 步： Vi 化 为 准 S i 确 R 和
O
如果网格分得越细,则:曲底 “小锥体”就越接近小棱锥
Vi
又∵球的表面积是
4 球的体积为：V R 3 3
例题2
有一种空心钢球，质量为142g,测得 外径等于5.0cm，求它的内径（钢 的密度为7.9g/cm3,精确到0.1cm).
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
由计算器算得:
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
p76① 球的直径 为原来的2被，则体积变为 原来的几倍？ p76②
一个正方体的顶点都
D A D1 A1 D A O B B1 C O B C1 C
问题：防城港桃花湾体育馆近似一个半球， 其室内场地（大圆）面积约1000平方米，它的 半球部分的面积是多少？
一般地，一个球的半径是R，则 大圆的面积是 ，球的表 面积是 S=
球的体积
第 一 步： 分 割
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
பைடு நூலகம்
则球的表面积： O
则球的体积为：
S i
O
第 二 步： 求 近 似 和
D1
A1 B1
C1
三、典例分析
例题3 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的 直径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.
P76 练习1、2题
四、巩固深化
1、正方体的内切球和外接球队体积比为1: 3 ___ ，表面积 ___ 3 之比为 。
2、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别 为49 cm2 和400 cm2，求球的表面积。 答案：2500 cm2
O
由第一步得：
第 S i 三 hi 步： Vi 化 为 准 S i 确 R 和
O
如果网格分得越细,则:曲底 “小锥体”就越接近小棱锥
Vi
又∵球的表面积是
4 球的体积为：V R 3 3
例题2
有一种空心钢球，质量为142g,测得 外径等于5.0cm，求它的内径（钢 的密度为7.9g/cm3,精确到0.1cm).
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
由计算器算得:
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
p76① 球的直径 为原来的2被，则体积变为 原来的几倍？ p76②
一个正方体的顶点都
D A D1 A1 D A O B B1 C O B C1 C
球的表面积和体积(课件)高一数学(北师大版2019必修第二册)
D A
D A11
D
C B
O C1
B1 C
R 3a 2
S 4R2 3a 2
A
D A11
B O
C1
B1
LOGO
例 2 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的 三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为___1_4_π___．
解：作出截面图如图示.
由图可知，球的直径等于正方体D
①内切球 直径等于正方体的棱长.
切点：各个面的中心. 球心：正方体的中心.
1 R内 a
直径：相对两个面中心连线.
2
O•
O•
②棱切球 直径等于正方体一个面的对角线长.
切点：各棱的中点. 球心：正方体的中心. 直径： “对棱”中点连线
R棱
2a 2
O•
O•
③外接球 直径等于正方体的体对角线长.
球心：正方体的中心. 直径： 体对角线
2R = 2，∴R = 1.
∴
球的体积为
V球
4 3
R3
4 3
.
课堂小结 1.熟练掌握球的体积、表面积公式：
2.影响球的表面积及体积的只有一个元素， 就是球的半径.
3cm
8.5cm
8cm
解：设钢球半径为 R ,则由题意有
32 8 4 R3 32 8.5，
3
解得 R 1.5cm.
答：钢球的半径为1.5cm.
例3.已知过球面上A,B,C 三点的截面和球心的距离 为球半径的一半，且AB=BC=CA=2,求球的表面积.
解:设截面圆心为O',连结OA,
设球半径为R .则:
2.球心到截面的距离d与球的半径R和截面半径r有下 面的关系: r R2 d 2 .
人教A版高中数学必修二课件第一章1.3.2球的体积和表面积(共41张PPT)
3
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
如何求球体的体积和表面积PPT课件
1 4 2cm 2
V球 ＝4323＝332cm A
S球 ＝ 42216cm
.
C′
o
15
例3 地球和火星都可以看作近似球体，地球半径约
为6370km，火星的直径约为地球的一半。
(1)求地球的表面积和体积； (2) 火星的表面积约为地球表面积的几分之几？体积呢？
解：
S地球=4R2=4 x 637025.10x18(0km2)
V 地球
=
4 3
R3
=
4 3
x
6370
3
1.08x1120(km3)
1
2
S火 4R火2 R火2 (2R地) 1
S地=4R地2=R地2= R地2 =4
4
1
3
V火 3R火3 R火3 (2R地) 1
V地=
4 3R地3
=R地3 .
=
R地3
=8
16
1.一个球的直径为3cm，则
它的表面积是___9 ____，体
i 1 ,2, ,n
第 i 层“薄圆片”的体积是
半球的体积V 是ir i2R n n R 3 1 i n 1 2 , i 1 ,2 ,3 , ,n .
V 半 球V 1V 2
V n
n R 3 1 1 1 n 2 2 1 n 2 2 2 1 n n 2 1 2
如何求 球体的体 积和表面 积呢？
.
1
教学目标
重点难点 球的体积 球表面积
例题讲解
课堂练习
课堂小结
课后作业
.
2
教学目标
掌握球的体积、表面积公式．
掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
V球 ＝4323＝332cm A
S球 ＝ 42216cm
.
C′
o
15
例3 地球和火星都可以看作近似球体，地球半径约
为6370km，火星的直径约为地球的一半。
(1)求地球的表面积和体积； (2) 火星的表面积约为地球表面积的几分之几？体积呢？
解：
S地球=4R2=4 x 637025.10x18(0km2)
V 地球
=
4 3
R3
=
4 3
x
6370
3
1.08x1120(km3)
1
2
S火 4R火2 R火2 (2R地) 1
S地=4R地2=R地2= R地2 =4
4
1
3
V火 3R火3 R火3 (2R地) 1
V地=
4 3R地3
=R地3 .
=
R地3
=8
16
1.一个球的直径为3cm，则
它的表面积是___9 ____，体
i 1 ,2, ,n
第 i 层“薄圆片”的体积是
半球的体积V 是ir i2R n n R 3 1 i n 1 2 , i 1 ,2 ,3 , ,n .
V 半 球V 1V 2
V n
n R 3 1 1 1 n 2 2 1 n 2 2 2 1 n n 2 1 2
如何求 球体的体 积和表面 积呢？
.
1
教学目标
重点难点 球的体积 球表面积
例题讲解
课堂练习
课堂小结
课后作业
.
2
教学目标
掌握球的体积、表面积公式．
掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
球的体积和表面积 课件
● [分析] (1)求球的体积和表面积的关键是什么？ ● (2)两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ ● (3)两个铁球熔化为一个球后，哪一个量是不变的？
[解析] (1)43πR3＝332π，故 R＝2，球的表面积为 4πR2＝16π. (2)体积之比是 8∶27，则半径之比是 2∶3，表面积之比是 4∶9. (3)两个小铁球的体积为 2×43π×13＝83π，即大铁球的体积43
[知识拓展] 对球的表面积与体积公式的几点认识： (1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相 关，给定 R 都有唯一确定的 S 和 V 与之对应，故表面积和体积 是关于 R 的函数． (2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式 的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法 是不一样的． (3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面的体积是332π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
C．136π
D．634π
(2)两个球的体积之比是 8∶27，那么这两个球的表面积之
比是( )
A．2∶3
B．4∶9
C． 2∶ 3
D． 8∶ 27
(3)两个半径为 1 的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半
径为________．
球的体积和表面积
1．球的体积 ●球的半径为R，那么它的体积V＝_43_π_R_3______.
●2．球的表面积
4πR2
●球 的 半 径 为 R ， 那 么 它 的 表 面 积 S ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3．与球的关的组合体问题 (1)若一个长方体内接于一个半径为 R 的球，则 2R＝ a2＋b2＋c2(a、b、c 分别为长方体的长、宽、高)，若正方体内 接于球，则 2R＝ 3a(a 为正方体的棱长)； (2)半径为 R 的球内切于棱长为 a 的正方体的每个面，则 2R ＝a.
球体的表面积与体积-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
典例精析
题型二：球的截面问题
球的截面问题
性质1: 用一个平面去截球，截面是圆面；
性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面．
性质3: 球心到截面的距离与球的半径及截面的
半径的关系: = −
O1
例4.已知知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这
两个截面间的距离为________．
探究新知
②再探究球的表面积公式
球的体积，等于所有小棱锥的体积和
球 = + + ⋯ +
球 =
+
+ ⋯+
= ( + + ⋯ + )
= 球
∴ 球 =
球
=
×
=
极限思想
02
球体的表面积和体积公式的推导
然后代入体积或表面积公式求解.
2.关键要素：半径和球心是球的关键要素，把握住了这两点，计算球的
表面积或体积的相关题目也就轻松自如了.
典例精析
题型二：球的截面问题
例3.一平面截一球得到直径为 的圆面，球心到这个平面的距离是 ，则
该球的体积是( ).
A.
B.
应用新知
题型一：球的表面积和体积
例1.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是. ，
圆柱高. .如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要. 涂料，
那么给个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(取. )
解：一个浮标的表面积为2 × 0.15 × 0.6 + 4 × 0.152 = 0.8478(2 )，
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2 2
R 3
2
n 6 1 (n 1)( 2n 1) 3 R [1 2 ] n 6
n
[n
2
]
6
V半球 R 3 [1
(1
1 1 )( 2 ) n n ] 6
第三步：化为准确和
当n 时, 1 0. n
2 V半 球 R 3 3 4 从 而V R 3 . 3
二、探究新知
1、球的体积
如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小时会得到很多“小圆 片”，“小圆片”的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似 于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应的圆柱的体积，因此求球的 体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。
A
步骤： 第一步：分割 如图：把半球垂直于底面的半径OA作 n等分，过这些等分点，用一组平行于
4 3 ①V R 3
六、布置作业
教材习题1.3B组3.
第二步：求和
V半球 V1 V2 Vn
1 22 (n 1) 2 {1 [1 2 ] [1 2 ] [1 ]} 2 n n n n
R 3
12 2 2 (n 1) 2 [n ] 2 n n 1 2 (n 1) R 3 1 (n 1) n (2n 1) (n 1)n(2n 1)
x
3
5 3 142 3 ( ) 11.3 2 7.9 4
由计算器算得:
x 2.24
2 x 4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
五、课堂小结
1、了解球的体积、推导的基本思路：分割 →求近似和→化为标准和的方法，是一种 重要的数学思想方法—极限思想，它是今 后要学习的微积分部分“定积分”内容的 一个应用； 2、熟练掌握球的体积公式：
底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，
R “小圆片”厚度近似为 n
O
，底面是“小圆
片”的底面。riR (i 1) nRO
第i层“小圆片”下底面的 半径：
ri
R R [ ( i 1)]2 , i 1,2 , n. n
2
3 R R i 1 2 2 Vi ri [1 ( ) ], i 1,2, n n n n
球的体积
教学目标
掌握球的体积．
掌握球的体积公式的推导过程及主要思想进一步理解 分割→近似求和→精确求和的思想方法．
会用球的体积公式解快相关问题，培养学生应用数学 的能力． 能解决球有关计算问题及球的相关的几何体问题．
重点难点
教学重点
球的体积公式及应用
教学难点
球的体积公式的推导
分割 求近似和 化为准确和思想方法
4 3 定理：半径是 R的球的体积为： V R 3
练习
有一种空心钢球，质量为142g,测得 外径等于5.0cm，求它的内径（钢 的密度为7.9g/cm3,精确到0.1cm).
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
4 5 3 4 7.9 [ ( ) x 3 ] 142 3 2 3
R 3
2
n 6 1 (n 1)( 2n 1) 3 R [1 2 ] n 6
n
[n
2
]
6
V半球 R 3 [1
(1
1 1 )( 2 ) n n ] 6
第三步：化为准确和
当n 时, 1 0. n
2 V半 球 R 3 3 4 从 而V R 3 . 3
二、探究新知
1、球的体积
如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小时会得到很多“小圆 片”，“小圆片”的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似 于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应的圆柱的体积，因此求球的 体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。
A
步骤： 第一步：分割 如图：把半球垂直于底面的半径OA作 n等分，过这些等分点，用一组平行于
4 3 ①V R 3
六、布置作业
教材习题1.3B组3.
第二步：求和
V半球 V1 V2 Vn
1 22 (n 1) 2 {1 [1 2 ] [1 2 ] [1 ]} 2 n n n n
R 3
12 2 2 (n 1) 2 [n ] 2 n n 1 2 (n 1) R 3 1 (n 1) n (2n 1) (n 1)n(2n 1)
x
3
5 3 142 3 ( ) 11.3 2 7.9 4
由计算器算得:
x 2.24
2 x 4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
五、课堂小结
1、了解球的体积、推导的基本思路：分割 →求近似和→化为标准和的方法，是一种 重要的数学思想方法—极限思想，它是今 后要学习的微积分部分“定积分”内容的 一个应用； 2、熟练掌握球的体积公式：
底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，
R “小圆片”厚度近似为 n
O
，底面是“小圆
片”的底面。riR (i 1) nRO
第i层“小圆片”下底面的 半径：
ri
R R [ ( i 1)]2 , i 1,2 , n. n
2
3 R R i 1 2 2 Vi ri [1 ( ) ], i 1,2, n n n n
球的体积
教学目标
掌握球的体积．
掌握球的体积公式的推导过程及主要思想进一步理解 分割→近似求和→精确求和的思想方法．
会用球的体积公式解快相关问题，培养学生应用数学 的能力． 能解决球有关计算问题及球的相关的几何体问题．
重点难点
教学重点
球的体积公式及应用
教学难点
球的体积公式的推导
分割 求近似和 化为准确和思想方法
4 3 定理：半径是 R的球的体积为： V R 3
练习
有一种空心钢球，质量为142g,测得 外径等于5.0cm，求它的内径（钢 的密度为7.9g/cm3,精确到0.1cm).
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
4 5 3 4 7.9 [ ( ) x 3 ] 142 3 2 3