2016_2017高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数学业分层测评新人教A版选修2_2

1.3.1 函数的单调性与导数学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y ＝x ＋x ln x 的单调递减区间是( ) A ．(－∞，e －2) B ．(0，e －2) C ．(e －2，＋∞)D ．(e 2，＋∞)【解析】 因为y ＝x ＋x ln x ，所以定义域为(0，＋∞)． 令y ′＝2＋ln x <0，解得0<x <e －2，即函数y ＝x ＋x ln x 的单调递减区间是(0，e －2)， 故选B. 【答案】 B2．(2016·深圳高二检测)如图1­3­3是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )图1­3­3A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在区间(1,3)上f (x )是减函数C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数D ．在区间(3,5)上f (x )是增函数【解析】 由导函数f ′(x )的图象知在区间(4,5)上，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(4,5)上单调递增．故选C.【答案】 C3．若函数f (x )＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2D ．a ≤13【解析】 f ′(x )＝3ax 2－1.因为函数f (x )在R 上是减函数，所以f ′(x )＝3ax 2－1≤0恒成立，所以a ≤0.故选A.【答案】 A4．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2.则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)【解析】 构造函数g (x )＝f (x )－(2x ＋4)， 则g (－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f ′(x )>2. ∴g ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴g (x )是R 上的增函数． ∴f (x )>2x ＋4⇔g (x )>0⇔g (x )>g (－1)， ∴x >－1. 【答案】 B5．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪[3，＋∞)B ．[－3，3]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3， 3)【解析】 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤ 3.【答案】 B 二、填空题6．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为 __________.【解析】 令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12，又x ∈(0，π)，解得π3<x <π，所以函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫π3，π.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π7．(2016·佛山高二检测)函数y ＝13x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，则a 的取值范围是________．【解析】 y ′＝x 2－2ax ＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a )2－4>0，得a 2>1，解得a <－1或a >1.【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)8．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是__________.【解析】 若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b >0.【答案】 (0，＋∞) 三、解答题9．(2016·吉林高二检测)定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋3同时满足以下条件： ①f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数； ②f (x )的导函数是偶函数；③f (x )在x ＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直． 求函数y ＝f (x )的解析式． 【解】 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，因为f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数， 所以f ′(－1)＝3a －2b ＋c ＝0.① 由f (x )的导函数是偶函数，得b ＝0，②又f (x )在x ＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，所以f ′(0)＝c ＝－1，③ 由①②③得a ＝13，b ＝0，c ＝－1，即f (x )＝13x 3－x ＋3.10．若函数f (x )＝x 3－mx 2＋2m 2－5的单调递减区间是(－9,0)，求m 的值及函数的其他单调区间．【解】 因为f ′(x )＝3x 2－2mx ， 所以f ′(x )<0，即3x 2－2mx <0.由题意，知3x 2－2mx <0的解集为(－9,0)， 即方程3x 2－2mx ＝0的两根为x 1＝－9，x 2＝0. 由根与系数的关系，得－－2m 3＝－9，即m ＝－272.所以f ′(x )＝3x 2＋27x .令3x 2＋27x >0，解得x >0或x <－9.故(－∞，－9)，(0，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间．综上所述，m 的值为－272，函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－9)，(0，＋∞)．[能力提升]1．已知函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象如图1­3­4所示，那么y ＝f ′(x )，y ＝g ′(x )的图象可能是( )图1­3­4【解析】 由题图，知函数g ′(x )为增函数，f ′(x )为减函数，且都在x 轴上方，所以g (x )的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在增大，而f (x )的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在减小．又由f ′(x 0)＝g ′(x 0)，知选D.【答案】 D2．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a ) 【解析】 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gxg 2x .又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所以f xg x在R 上为减函数．又因为a <x <b ，所以f ag a >f x g x >f bg b，又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．因此选C.【答案】 C3．(2016·亳州高二检测)若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围为________．【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由于f (x )是R 上的单调函数，所以f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立．由于导函数的二次项系数3>0，所以只能有f ′(x )≥0恒成立．法一 由上述讨论可知要使f ′(x )≥0恒成立，只需使方程3x 2＋2x ＋m ＝0的判别式Δ＝4－12m ≤0，故m ≥13.经检验，当m ＝13时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意．所以实数m 的取值范围是m ≥13.法二 3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，即m ≥－3x 2－2x 恒成立．设g (x )＝－3x 2－2x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13，易知函数g (x )在R 上的最大值为13，所以m ≥13.经检验，当m ＝13时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意．所以实数m 的取值范围是m ≥13.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 4．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a >0)． (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 【解】 (1)∵f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，∴f ′(x )＝a 2x－2x ＋a＝－x －ax ＋ax，由于a >0，∴f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得，f (1)＝a －1≥e－1， 即a ≥e，由(1)知f (x )在[1，e]上单调递增， 要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f ＝a －1≥e－1，f ＝a 2－e 2＋a e≤e 2，解得a ＝e.。