Ch1线性规划
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运筹学Ch1线性规划全
x2
2 x4 3x5
x7 2x8 4x9 5x10 1000
x j 0, j 1,2，10
方案 1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 需求量
规格
求下料y方1(根案) 时2应注2意，1 余料1 不能1 超0过最0短毛0 坯的0 长0度；10最00 好将毛 坯的长，度最按后y2 降切的割1次最序短0排的列，2 ，不即能1 先遗切漏0 割了长方4 度案3最。长2如的果毛1方坯案0，较再多10切0，0 割用次计长 算机编程y3 排方0案，1去掉0 余料2 较长3 的0方案1，进2 行初4 选5。 1000
运筹学
Operations Research
Chapter 1 线性规划
Linear Programming
1.1 LP的数学模型 1.2 图解法 1.3 标准型 1.4 基本概念 1.5 单纯形法
Mathematical Model of LP
Graphical Method
Standard form of LP
2024年10月18日星期五
解: 设xj（j=1,2，…，5）是第j 种矿石数量，得到下列线性规划模
型
min Z 340x1 260x2 180x3 230x4 190x5
0.25x1 0.4x2 0.2x4 0.08x5 0.28 0.1x1 0.15x3 0.2x4 0.05x5 0.15
金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务 或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生 产获得最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
2024年10月18日星期五
ch01-3 线性规划PPT精品文档26页
证：首先，必要性由基可行解的定义可知.再证充分性:
设X x1,x2,L ,xnT 为LP问题的可行解,若P1,P2,L ,Pk
线性独立,则必有k m;当k m时,它们恰好构成一个基,
从而使X x1,x2,L ,xk,0,L ,0T 为相应的基可行解.
当k m时,则一定可取出m-k个与P1,P2,L ,P构成最大的 线性独立向量组,其对应的解恰为X.根据定义,X为基可行解.
的一个顶点.
凸集
凸集
不是凸集
中国农业大学经济管理学院
College of Economics & Management, CAU 4
LP的基本定理
LP问题的三大定理: ●定理1：若LP问题存在可行域,则其可行域是
凸集 ●定理2：LP问题的基可行解对应于可行域的顶
点 ●定理3：若LP问题可行域有界，LP问题的目
标函数一定可在其可行域的顶点上达到最优.
为什么?如何证明?
中国农业大学经济管理学院
College of Economics & Management, CAU 5
LP的基本定理
●定理1：
若
L P问
题
存
在
可
行
域
，
则
其
可
行
域
D
X
n
Pj x
j
b,
x
j
0
是
凸
集
.
j 1
n! m!(n
m)!
.以n=60,m=
30为例, 若计算机能够每秒处理106个,那么需要3000年才能求得最优解.
中国农业大学经济管理学院
设X x1,x2,L ,xnT 为LP问题的可行解,若P1,P2,L ,Pk
线性独立,则必有k m;当k m时,它们恰好构成一个基,
从而使X x1,x2,L ,xk,0,L ,0T 为相应的基可行解.
当k m时,则一定可取出m-k个与P1,P2,L ,P构成最大的 线性独立向量组,其对应的解恰为X.根据定义,X为基可行解.
的一个顶点.
凸集
凸集
不是凸集
中国农业大学经济管理学院
College of Economics & Management, CAU 4
LP的基本定理
LP问题的三大定理: ●定理1：若LP问题存在可行域,则其可行域是
凸集 ●定理2：LP问题的基可行解对应于可行域的顶
点 ●定理3：若LP问题可行域有界，LP问题的目
标函数一定可在其可行域的顶点上达到最优.
为什么?如何证明?
中国农业大学经济管理学院
College of Economics & Management, CAU 5
LP的基本定理
●定理1：
若
L P问
题
存
在
可
行
域
，
则
其
可
行
域
D
X
n
Pj x
j
b,
x
j
0
是
凸
集
.
j 1
n! m!(n
m)!
.以n=60,m=
30为例, 若计算机能够每秒处理106个,那么需要3000年才能求得最优解.
中国农业大学经济管理学院
ch1第一节LP模型-2016
运 筹 帷 幄 之 中
第一章
线 性 规 划及单纯形法
决 胜 千 里 之
Linear Programming
外
引言
运筹学的重要分支之一，应用最广泛的方法 之一 运筹学的最基本的方法之一，网络规划，整 数规划，目标规划和多目标规划都是以线性 规划为基础的 解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出 的费用最小或获得的收益最大
约束条件（ Constraints ）：线性等式或不等式 目标函数（ Objective function ）： z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求z极大或极小
一、问题提出及一般模型
建模条件
(1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值 （max 或 min）来表示；
一、问题提出及一般模型
例1.1 某厂生产两种产品， 解： 1.决策变量：设产品I、II的产量 下表给出了单位产品所需资 分别为 x1、x2 源及单位产品利润
2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + x2 3.约束条件： 5x2 ≤ 15 6x1+ 2x2 ≤ 24 x 1+ x 2 ≤ 5 x1， x2≥0
3x1 ＋x2 +x3 +2 x4
x1、x2 、x3 、x4 ≥0
一、问题提出及一般模型
例1.3 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航 线的货运量、货运成本如下表所示：
航线号 船队 类型 1 1 2 3 2 4 1 1 2 编队形式 拖轮 1 A型 驳船 2 — 2 — B型 驳船 — 4 4 4 货运成本 （千元／队） 36 36 72 27 货运量 （千吨） 25 20 40 20
xj 0
第一章
线 性 规 划及单纯形法
决 胜 千 里 之
Linear Programming
外
引言
运筹学的重要分支之一，应用最广泛的方法 之一 运筹学的最基本的方法之一，网络规划，整 数规划，目标规划和多目标规划都是以线性 规划为基础的 解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出 的费用最小或获得的收益最大
约束条件（ Constraints ）：线性等式或不等式 目标函数（ Objective function ）： z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求z极大或极小
一、问题提出及一般模型
建模条件
(1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值 （max 或 min）来表示；
一、问题提出及一般模型
例1.1 某厂生产两种产品， 解： 1.决策变量：设产品I、II的产量 下表给出了单位产品所需资 分别为 x1、x2 源及单位产品利润
2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + x2 3.约束条件： 5x2 ≤ 15 6x1+ 2x2 ≤ 24 x 1+ x 2 ≤ 5 x1， x2≥0
3x1 ＋x2 +x3 +2 x4
x1、x2 、x3 、x4 ≥0
一、问题提出及一般模型
例1.3 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航 线的货运量、货运成本如下表所示：
航线号 船队 类型 1 1 2 3 2 4 1 1 2 编队形式 拖轮 1 A型 驳船 2 — 2 — B型 驳船 — 4 4 4 货运成本 （千元／队） 36 36 72 27 货运量 （千吨） 25 20 40 20
xj 0
ch1线性规划-2-单纯形法130916
取初始可行基 B0 = (P3, P4, P5 )=I 这时问题已是关于基B0的典式，直接作初始单纯形表 序 号 C
CB XB x3 x4 x5 b
10
x1
18
x2
0
x3
0
x4
0
x5
0
170 100 150 0
5 2 1 10
2 3 5* 18
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
Ⅰ
0 0 Z
序 号
C
CB XB b
3 x1
2 x2
0 x3
0 x4
0 x5
0
x3
x4 x5
4
14 3
-1
3 1* 3 0
2
2 -1 2 1
1
0 0 0 1
0
1 0 0 0
0
0 1 0 1
Ⅰ
0 0 Z 0 0 3 Z
0
x3 7
Ⅱ
x4
x1
5
3
0
1 0
5*
-1 5
0
0 0
1
0 0
-3
1 -3
-9
序 号
C
CB XB x3 x2 x1 b 6 1 4 -14 x5 15/4
序 号
C
CB XB b
10
x1
18
x2
0
x3
0
x4
0
x5
Ⅱ
0 0 18
Z 0 10 18 Z
x3
x4 x2 x3
110 10 30 -540
540/7
23/5 7/5* 1/5 32/5
0 1 0 0 0 0
运筹学ch1单纯形法
Maxz CX
s.t. XAX
0
b
其中，A 的秩为m（m n）,b 0。
标准型的特征：Max型、等式约束、非负约束
2
非标准形式如何化为标准
1) Min型化为Max型
加负号
Minz CX
Maxz/ CX
因为，求一个函数 的极小点，等价于求该 函数的负函数的极大点。
f (x)
x*
f (x)
x 1, x 2 0
解：增加松弛变量 x , x , x , 则约束化为
3
4
5
9x 1 4x 2 x 3
360
s
.t
.34xx
1 1
5x 2 10x
2
x 4 200 x 5 300
x 1, x 2, x 3 , x 4 , x 5 0
易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。
第二节 单纯形法
单纯形法是求解线性规划的主要算法，1947 年由美国斯坦福大学教授丹捷格（G.B.Danzig） 提出。
尽管在其后的几十年中，又有一些算法问世， 但单纯形法以其简单实用的特色始终保持着绝对 的“市场”占有率。
1
一、单纯形法的预备知识
1.线性规划的标准型
用单纯形法求解线性规划的前提是先将模 型化为标准型表示为
m阶子矩阵，记为B；其余列构成非基矩阵，记为N。
基向量：基B中的列；其余的列称非基向量。
基变量：与基向量Pj对应的决策变量xj，记其组成的
向量为XB；与非基向量对应的变量称非基变
量，记其组成的向量为XN。
Amn p1 ... pm pm1 ... pn
基矩阵的特点: A= (
B
N)
1. 基B是可逆矩阵,即 B 0 或者 r（B）=m
s.t. XAX
0
b
其中，A 的秩为m（m n）,b 0。
标准型的特征：Max型、等式约束、非负约束
2
非标准形式如何化为标准
1) Min型化为Max型
加负号
Minz CX
Maxz/ CX
因为，求一个函数 的极小点，等价于求该 函数的负函数的极大点。
f (x)
x*
f (x)
x 1, x 2 0
解：增加松弛变量 x , x , x , 则约束化为
3
4
5
9x 1 4x 2 x 3
360
s
.t
.34xx
1 1
5x 2 10x
2
x 4 200 x 5 300
x 1, x 2, x 3 , x 4 , x 5 0
易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。
第二节 单纯形法
单纯形法是求解线性规划的主要算法，1947 年由美国斯坦福大学教授丹捷格（G.B.Danzig） 提出。
尽管在其后的几十年中，又有一些算法问世， 但单纯形法以其简单实用的特色始终保持着绝对 的“市场”占有率。
1
一、单纯形法的预备知识
1.线性规划的标准型
用单纯形法求解线性规划的前提是先将模 型化为标准型表示为
m阶子矩阵，记为B；其余列构成非基矩阵，记为N。
基向量：基B中的列；其余的列称非基向量。
基变量：与基向量Pj对应的决策变量xj，记其组成的
向量为XB；与非基向量对应的变量称非基变
量，记其组成的向量为XN。
Amn p1 ... pm pm1 ... pn
基矩阵的特点: A= (
B
N)
1. 基B是可逆矩阵,即 B 0 或者 r（B）=m
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将对线性规划的相关知识点进行总结。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用Z表示。
2. 约束条件：线性规划必须满足一系列线性约束条件，如不等式约束和等式约束。
约束条件用来限制决策变量的取值范围。
3. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值会影响目标函数的值。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数达到最大或者最小值的解称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过转换为标准形式来求解。
标准形式的线性规划问题具有以下特点：1. 目标函数为最小化问题。
2. 所有约束条件均为等式约束。
3. 决策变量为非负数。
四、线性规划的解法线性规划有多种求解方法，下面介绍两种常用的方法：1. 图形法：当问题惟独两个决策变量时，可以使用图形法求解。
首先绘制出目标函数和约束条件所构成的图形，然后通过图形的分析找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种迭代求解方法，适合于多个决策变量的线性规划问题。
它通过不断迭代改善目标函数的值，直到找到最优解为止。
五、常见应用线性规划在实际应用中有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 生产计划：线性规划可以用于确定生产计划中各种资源的最优分配，以达到最大化利润或者最小化成本的目标。
2. 运输问题：线性规划可以用于解决货物运输的最优路径和最优运输量的问题，以降低物流成本。
3. 资源分配：线性规划可以用于确定资源的最优分配，如人力资源、物资资源等，以提高资源利用效率。
4. 投资组合：线性规划可以用于确定投资组合中各项投资的最优权重，以最大化投资回报或者最小化风险。
六、总结线性规划是一种常用的数学优化方法，通过最大化或者最小化线性目标函数，在一系列线性约束条件下求解最优解。
ch1-线性规划及其单纯形法习题
min Z 5 x1 2 x2 3x3 2 x4 x1 2 x2 3x3 4 x4 7 s.t. 2 x1 2 x2 x3 2 x4 3 x 0( j 1,...., 4) j
4、已知线性规划问题 :
max Z x1 3x2 x1 x 2 x 1 2 st. x2 x1 ... x3 x4 x5 x5 0 5 10 4
X3 X1
2 a
Cj-Zj
(1)a~g的值
X1 c d b
X2 0 e -1
X3 1 0 f
x4 1/5 1 g
(2) 表中给出的解是否为最优解
5、已知某线性规划问题的初始单纯形表和用单纯刑法迭代 后得到的表如下所示，试求括弧中未知数a~l的值
项目
X4 X5 6 1
X1
(b) -1 (a)
X2
(c) 3 -1
1
2 3 4
下表中所列的解均满足约束条件1-3，试指出表中哪些是可行 解，哪些是基解，哪些是基可行解。
序号 A X1 2 X2 4 X3 3 X4 0 X5 0
B
C D E F
10
3 1 0 0
0
0 4.5 2 4
-5
2 4 5 5
0
7 0 6 2
4
4 -0.5 2 0
5 已知某线性规划问题的约束条件为
(C C)( X X ) 0
0
课后练习（一）
1 用图解法求下列线性规划问题，并指出问题具有唯一 最优解、无穷多最优解、无界界还是无可行解。
max Z 3 x1 2 x 2 2 x1 x 2 2 s.t. 3 x1 4 x 2 12 x1, x 2 0
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
它广泛应用于经济、工程、运输、资源分配等领域。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用案例。
二、基本概念1. 变量：线性规划中的决策变量表示问题中需要优化的量，可以是实数、整数或布尔值。
2. 目标函数：线性规划的目标函数是需要最小化或最大化的线性表达式，通常表示为求解最小值或最大值。
3. 约束条件：线性规划的约束条件是限制变量取值范围的线性等式或不等式。
4. 可行解：满足所有约束条件的变量取值组合称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最小值或最大值的解称为最优解。
三、模型建立线性规划的建模过程包括确定决策变量、建立目标函数和约束条件。
1. 决策变量的确定：根据问题的实际情况，确定需要优化的变量及其取值范围。
2. 目标函数的建立：根据问题的要求，将需要最小化或最大化的目标转化为线性表达式。
3. 约束条件的建立：根据问题的限制条件，将约束条件转化为线性等式或不等式。
四、求解方法线性规划可以使用多种方法求解，常见的有单纯形法和内点法。
1. 单纯形法：单纯形法是一种迭代求解方法，通过不断移动顶点来逼近最优解。
它从一个可行解开始，通过交换变量的值来改进目标函数的值，直到找到最优解。
2. 内点法：内点法是一种基于迭代的方法，通过在可行域内寻找最优解。
它通过将可行域内的点逐渐移向最优解，直到找到最优解。
五、应用案例线性规划在实际应用中具有广泛的应用场景，以下是一个简单的应用案例：假设某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，每单位产品B的利润为8元。
公司有两个车间可供生产，每个车间每天的工作时间为8小时。
产品A每单位需要1小时的生产时间，产品B每单位需要2小时的生产时间。
车间1每天最多可生产100单位产品A或80单位产品B，车间2每天最多可生产80单位产品A或60单位产品B。
公司希望确定每天的生产计划，以最大化利润。
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表1-3 下料方案
方案 规格
1
2 1 0
2
2 0 1 0.3
3
1 2 0 0.5
4
1 1 2 0.1
5
1 0 3 o.4
6
0 4 0 0
7
0 3 1 0.3
8
0 2 2 0.6
9
0 1 4 0.2
10
0 0 5 0.5
需求量
1000 1000 1000
y1(根)
y2 y3
余料（m） 0
制作与教学 武汉理工大学管理学院 熊伟
余料（m） 0 0.3 0.5 0.1 o.4 0 0.3 0.6 0.2 0.5
制作与教学 武汉理工大学管理学院 熊伟
xiongw@
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Basic Concepts Simplex Method
1.1 数学模型
Mathematical Model
制作与教学 武汉理工大学管理学院 熊伟
xiongw@
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
2013年8月19日星期一 Page 3
线性规划（Linear Programming,缩写为LP）通常研究资源 的最优利用、设备最佳运行等问题。例如，当任务或目标 确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资 金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务 或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生 产获得最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。
2 x1 x2 40 x1 1.5 x2 30
(15,10)
2 x1 x2 40 x1 1.5 x2 30 x1 0, x2 0
30
20
最优解X=(15,10) 最优值Z=8500
10
(300,400)
O
10
20
30
40
x1
制作与教学 武汉理工大学管理学院 熊伟
为了书写方便，上式也可写成：
制作与教学 武汉理工大学管理学院 熊伟
xiongw@
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
2013年8月19日星期一 Page 12
max(min)Z c j x j
怎样辨别一个模型是线性规划模型？
其特征是： 1．解决问题的目标函数是多个决策变量的
线性函数，通常是求最大值或 最小值； 2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量 的线性不等式或等式。
制作与教学 武汉理工大学管理学院 熊伟
xiongw@
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
2013年8月19日星期一 Page 11
1.1.2 线性规划的一般模型 一般地，假设线性规划数学模型中，有m个约束，有n个决策变量 xj, j=1,2…,n，目标函数的变量系数用cj表示, cj称为价值系数。约 束条件的变量系数用aij表示，aij称为工艺系数。约束条件右端的 常数用bi表示，bi称为资源限量。则线性规划数学模型的一般表达 式可写成 max(min) Z c1 x1 c2 x2 cn xn
2013年8月19日星期一 Page 8
【解】 设xj (j=1，2，…，7)为休息2天后星期一到星期日开始上 班的营业员，则这个问题的线性规划模型为
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x1 x4 x5 x6 x7 300 x x x x x 300 2 5 6 7 1 x1 x2 x3 x6 x7 350 x1 x2 x3 x4 x7 400 x1 x2 x3 x4 x5 480 x2 x3 x4 x5 x6 600 x3 x4 x5 x6 x7 550 x 0, j 1, 2, , 7 j
运筹学
Operations Research
Chapter 1 线性规划
Linear Programming
1.1 LP的数学模型 1.2 图解法 1.3 标准型 1.4 基本概念 1.5 单纯形法 Mathematical Model of LP
Graphical Method
Standard form of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
2013年8月19日星期一 Page 7
【例1-2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天， 轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表1-2所示。
表1-2 营业员需要量统计表
星期 一 二 三 四
需要人数 300 300 350 400
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
2013年8月19日星期一 Page 6
线性规划的数学模型由 决策变量 Decision variables 目标函数Objective function 及约束条件Constraints 构成。称为三个要素。
xiongw@
1.2 图解法 The Graphical Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
2013年8月19日星期一 Page 16
x2
例1-8
6
3x1 x 2 6 x x 4 1 2 x1 3x 2 6 x1 0、x 2 0
制作与教学 武汉理工大学管理学院 熊伟
xiongw@
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
2013年8月19日星期一 Page 4
1.1.1 应用模型举例
【例1-1】生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙两 种产品。按工艺资料规定，每件产品甲需要消耗材料A 2公斤， 消耗材料B 1公斤，每件产品乙需要消耗材料A 1公斤，消耗材 料B 1.5公斤。已知在计划期内可供材料分别为40、30公斤；每 生产一件甲、乙两产品，企业可获得利润分别为300、400元， 如表1－1所示。假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排 生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大。
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
2013年8月19日星期一 Page 13
1.什么是线性规划，掌握线性规划在管理中的 几个应用例子 2.线性规划数学模型的组成及其特征 3.线性规划数学模型的一般表达式。
作业：教材习题 1.1~1.6
下一节：图解法
1.2 图解法
Graphical Method
xiongw@
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
2013年8月19日星期一 Page 10
设xj(j=1,2…,10)为第j种下料方案所用圆钢的根数。则用料最少 数学模型为:
星 期 一 二
需要 人数 300 300
星 期 五 六
需要 人数 480 600
三
四
350
400
日
550
制作与教学 武汉理工大学管理学院 熊伟
xiongw@
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
min Z x j
j 1 10
2 x1 2 x 2 x3 x 4 x5 1000 x 2 x3 x 4 4 x6 3 x7 2 x8 x9 1000 1 x2 2 x 4 3 x5 x7 2 x8 4 x9 5 x10 1000 x j 0, j 1,2， 10
方案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 需求量
规格
求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好将毛 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 1000 y1(根) 坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再切割次长 y2 1 0 2 1 0 4 3 2 1 0 1000 的，最后切割最短的，不能遗漏了方案 。如果方案较多，用计 y3 0 1 0 2 3 0 1 2 4 5 1000 算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。
星期 五 六 日
需要人数 480 600 550
商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员 最少。
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1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
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1.2 图解法 The Graphical Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
2013年8月19日星期一 Page 15
x2
40
例1-7 max Z 300 x1 400 x2
max Z 300 x1 400 x2
2 x1 x2 40 x1 1.5 x2 30 x 0, x 0 2 1