线性规划考前复习2015下资料
线性规划和对偶线性问题复习
2 m 1 m 1
a 1n x n b1
x m 1 a 2n x n b 2 x m 1 a mn x n b m
m m 1
xm a x 1, x 2 , , x n 0
一、线性规划和对偶线性问题 重点复习
例题1— 生产计划问题 某厂生产两种产品，需要三种资源，已知 各产品的利润、各资源的限量和各产品的资 源消耗系数如下表：
劳动力 设备 原材料
产品A 9 4 3 产品B 4 5 10 12 资源限量 360 200 300
利润 元/kg 7
建模
问题：如何安排生产计划，使得获利最多？ 步骤： 1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg 2、确定目标函数：max Z=7X1+12X2 3、确定约束条件：人力约束 9X1+4X2≤360 设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束 3X1+10X2≤300 非负性约束 X1≥0，X2≥0
若用xij表示从Ai到Bj的运量，那么在产销平衡的条 件下，要求得总运费最小的调运方案，数学模型为：
min z cij xij
i 1 j 1 m n
m xij b j j 1,2, , n i 1 n s.t. xij aij i 1,2, , m j 1 x 0 ij
A=
1 0 0
0 0 1 0 0 1
a1m 1 a 2 m 1 a mm 1
a1n a2n 该标准型称为规范 式(以x1,…xm为基变 量的规范式) a mn
单纯形初始表为:
线性规划基础
（3）、以此表为基础，请求出最优生产方案。
4．根据单纯形表判断解的类型。
（1）
Cj
0
0
0
0
-1
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x1
10
1
1
1
0
0
-1
x5
20
0
-1
-2
-1
1
Zj
0
1
2
1
-1
Cj-Zj
0
-1
-2
-1
0
其中x5为人工变量，目标为max Z。
（2）
Cj
三．简答题
1．针对不同形式的约束（≥，=，≤）简述初始基本可行解的选取方法。
2．简述如何在单纯型表上判别问题是否具有唯一解、无穷多解、无界解或无可行解。
3．简述若标准型变为求目标函数最小，则用单纯形法计算时，如何判别问题已取得最优解。
四、解答题
1．找出下列线性规划问题的一组可行解和基本可行解。
（1）max Z = 40x1+45x2+24x3（2）min Z =x1-2x2+x3-3x4
15
20
25/ 3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
20
x2
20
0
1
-1/3
1
-2/3
15
x1
20
1
0
1
-1
1
Zj
15
20
25/3
5
2015年高考数学第一轮复习资料35(简单的线性规划问题)
学案35 简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)判断不等式Ax ＋By ＋C >0所表示的平面区域，可在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证Ax ＋By ＋C 的正负．当C ≠0时，常选用______________．对于任意的二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0(或<0)，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数，当B >0时，①A x ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0______的区域； ②Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0______的区域．(2)画不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域时，其边界直线应为虚线；画不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域时，边界直线应为实线．画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是：直线定“界”、原点定“域”．2．线性规划的有关概念(1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程)组． (2)线性目标函数——由条件列出一次函数表达式．(3)线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题． (4)可行解：满足________________的解(x ，y )． (5)可行域：所有________组成的集合．(6)最优解：使______________取得最大值或最小值的可行解． 3．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域． (2)作出目标函数的等值线．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定__________． 自我检测 1．(2011·北京东城1月检测)在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(0,1) 2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是（ ）3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则z ＝3x －2y 的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．64．(2010·浙江)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．25.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则z ＝2x －y 的最大值为 。
2015届高考二轮数学文科金版学案专题复习课件4.2线性规划、基本不等式与不等式的证明
栏 目 链 接
2
4b 3a a · b ＝7＋4 3，
4b 3a 当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．故选 D.
栏 目 链 接
高考 热点 突破
突破点1
不等式正、误的辨别与大小比较问题
栏 目 链 接
主干 考点 梳理
考点1
线性规划问题
1．设出变量 x，y，列出变量x ， y函数值为0的直线l.
栏 目 链 接
3．利用直线l确定最优解对应的点，从而求
出最优解．
主干 考点 梳理
考点2
基本不等式的应用问题
ab.
a＋b 1．基本不等式： ≥ 2
B )
栏 目 链 接
主干 考点 梳理
解析： 画出不等式表示的平面区域，如图， 由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝
－x的图象，当它的平行线经过A(2，0)时，z 取得最小值，最小值为z＝2，无最大值．故 选B.
栏 目 链 接
主干 考点 梳理
2 2 2 ． 2．若 x＞0，则 x＋x的最小值为________
栏 目 链 接
主干 考点 梳理
x＋2y≤8， 解析： 作出不等式组 0≤x≤4， 所表示的可行域 0≤y≤3， 如下图所示．
栏 目 链 接
主干 考点 梳理
直线x＝4交直线x＋2y＝8于点A(4，2)，作
直线l：z＝2x＋y，则z为直线l在y轴上的截 距，当直线经过可行域上的点A时，直线l 在y轴上的截距最大，此时z取最大值，即 zmax＝2×4＋2＝10.故选C.
解析：
栏 目 链 接
2 2 ∵x＞0⇒x＋ ≥2 2，当且仅当 x＝ ⇒x＝ 2时取等号． x x
高中数学线性规划知识复习
高中必修5线性规划最快的方法简单的线性规划问题 一、知识梳理1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划． 二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若 直 线 不 过 原点，通 常 选 择 原 点 代入检验．3. 平 移 直 线 ｙ＝－k ｘ ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一． 1.点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，则点P 坐标适合方程，即Ax 0+By 0+C=02. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax 0+By 0+C>0;当B<0时，Ax 0+By 0+C<03. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax 0+By 0+C<0;当B<0时，Ax 0+By 0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)>02.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界; ②二元一次不等式Ax+By+C ≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C ≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
2015届高考二轮复习 专题一 第2讲 不等式与线性规划
表
示的平面区域内存在点 P(x0，y0)，满足 x0－2y0＝2，求得 m 的取值范围是(
4 A.－∞， 3 2 C.－∞，－ 3
)
1 B.－∞， 3 5 D.－∞，－ 3
解析
当m≥0时，若平面区域存在，
要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆.则
租金最少为( )
思维启迪
A.31 200元
C.36 800元
B.36 000元
通过设变量将实际问
D.38 400元 题转化为线性规划问题.
解析
设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元，
x＋y≤21 y－x≤7 则 z＝1 600x＋2 400y，x、y 满足 36x＋60y≥900， x，y≥0，x、y∈N
在利用基本不等式求最值时 ,要特别注意 “ 拆、
拼、凑 ” 等技巧，使其满足基本不等式中 “ 正
思 ”( 即条件要求中字母为正数 ) 、 “ 定 ”( 不等式 维 升 的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件 华
)的条件才能应用，否则会出现错误.
变式训练2
x y (1)若点A(m，n)在第一象限，且在直线 ＋ ＝1上， 3 4 则mn的最大值为________.
(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目
思 标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标 维 函数的最优解. 升 华 (3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域
和目标函数.
变式训练 3
x>0 (1)已知实数 x，y 满足约束条件4x＋3y≤4 y≥ 0
，则 w
y＋1 ＝ 的最小值是( x A.－2 B.2
76 000v ②当 l＝5 时，F＝ 2 ＝ v ＋18v＋100 ≤ 2 76 000 76 000 ＝ ＝2 000. 20＋18 100 v· ＋18 v
2015届高考数学总复习简单的线性规划(公开课)
x
•由 x 4 y 3 0 。
x 1
求出B为（1，1)
zmin 2, zmax 29.
•若z=(x-3)2+(y-1)2,求z的最值.
x 4 y ≤ 3, 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. x ≥ 1.
•解：画出可行域如图：
•(4)若 z
二元一次不等式(组)的解 与简单的线性规划
2015•高考考纲要求
1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二 元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题， 并能加以解决．
请注意！
从考纲和考题中看，该部分内容难度不大，重点考查目标函数在线性约束条件下 的最大值和最小值问题——线性规划问题，命题形式以选择、填空为主. 新课改后， 线性规划理科每年必有 1 题，只有文科 2012 年未考及。但为了避免很多同学解出交 点带入的情况，以后高考估计会加大“形’的考察力度,故在线性规划的学习中，要 注意加强含参线性规划、非线性目标函数处理方法。
•(6)若目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有 无穷多个，求a的值
y
5
C
x-4y+3=0
A B
O
1 x=1 5
3x+5y-25=0
x
反思总结 1．利用平面区域求目标函数的最值步骤 (1)作出可行域； (2)找到目标函数对应的最优解对应点； (3)代入目标函数求最值． 2．常见的目标函数 (1)形如 z＝ax＋by 的截距型； y－a (2)形如 z＝ 的斜率型； x－b (3)形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2 的距离型． 3．线性目标函数的最值点，一般在可行域的顶点或边界上取得．
2015高考总复习数学(文)课件：5.4 简单的线性规划
解析：作出可行域，如图 D10 所示的阴 影部分. 其中 A(2,0)，B(2,3)，C(4,4)， 设 z＝F(x，y)＝kx＋y，将直线 l∶z＝kx
＋y 进行平移，可得
图 D10
x＝1， 由 3x＋5y－25＝0， x＝1， 由 x－4y＋3＝0，
作出
解得
22 A1， 5 .
图 5-4-3
解得
x－4y＋3＝0， C(1,1).由 3x＋5y－25＝0，
解得
B(5,2).
y y－0 (1)∵z＝x＝ ， x－0 ∴z 的值是可行域上的点与原点 O 连线的斜率. 2 观察图形可知，zmin＝kOB＝5. (2)∵z＝x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2， ∴z 的值是可行域上的点与原点 O 的距离的平方.结合图形 可知，dmin＝|OC|＝ 2，dmax＝|OB|＝ 29. ∴2≤z≤29. (3)∵z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2， ∴z 的值是可行域上的点与点(－3,2)的距离的平方.则 dmin ＝1－(－3)＝4，dmax＝ (－3－5)2＋(2－2)2＝8.
x＋y＞1－x－y， 故有x＋1－x－y＞y， y＋1－x－y＞x x＋y＞1， 2 1 ⇒y＜2， 1 x＜2，
1 1 1 再分别在同一坐标系中作直线 x＝2，y＝2，x＋y＝2， 易知 A 正确.
答案：A
【方法与技巧】确定二元一次不等式表示的平面区域时， 经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法：①直线定界：即 若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号， 则把直线画成实线.②特殊点定域：即在直线 Ax＋By＋C＝0 的 某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满 足不等式的，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直 线的另一侧.特别地，当 C≠0 时，常把原点作为测试点；当C
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：将一个实际问题转化为线性规划模型有以下
几个步骤： 1．确定决策变量：x1=生产桌子的数量
x2=生产椅子的数量 2．确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大
max z=50x1+30x2 3．确定约束条件：
4x1+3x2120（木工工时限制） 2x1+x2 50 （油漆工工时限制整数） 4．变量取值限制： x1 0, x2 0 （整数）
30
20 可行域
10
10 20
30 40
x1
x2
50
当该直线移到Q2点时，S（目标函
数）值达到最大：
40
Max S=50*15+30*20=1350
30
此时最优解=（15，20）
20
Q2（15，20）
可行域
10
10 20
a21x1+a22x2+….+a2nxn (=, )b2 …………………. am1x1+am2x2+….+amnxn (=, )bm x1x2….xk 0
线性规划问题的标准形式
MIN S=c1x1+c2x2+…..+cnxn s.t. a11x1+a12x2+….+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+….+a2nxn=b2 …………………. am1x1+am2x2+….+amnxn=bm x1,x2….xn 0 其中：bi 0(i=1,2,….m)
线性规划
复习
考试题型
1. 单项选择题； 2. 填空题； 3.简答题：包括证明题、画图题（图解法）、建 模题等； 4. 计算题：单纯形法，运输问题的表上作业法。
一、建数学模型
第一步：确定决策变量； 第二步：确定目标函数； 第三步：确定约束条件；
例1 生产计划问题（资源利用问题）
胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子 销售单价50元/张，椅子销售单价30元/把，生 产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工 种。生产一张桌子需要木工4小时，油漆工2 小时。生产一把椅子需要木工3小时，油漆工 1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时， 油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产 才能使每月的销售收入最大？
yi
bi
称 yi 是剩余变量
如何将一般问题化为标准形：
•若约束条件右面的某一常数项 bi<0 这时只要在bi相对应的约束方程两边乘 上-1。
如何将一般问题化为标准形：
•若约束条件右面的某一常数项 bi<0 这时只要在bi相对应的约束方程两边乘 上-1。 •若变量 xj无非负限制 引进两个非负变量xj’ xj’’ 0 令xj= xj’- xj’’
例2 将下列问题化成标准形:
Min S = -x1+2x2-3x3 s.t. x1+x2+x3 7
x1-x2-x3 -2 -3x1+x2+2x3 = 5 x1,x2 0 x3 无非负限制
Min S = - x1+2x2 - 3x4 + 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6 =7
-x1+x2+ x4-x5+x7=2 -3x1+x2+2x4-2x5 =5 x1, x2,x4,x5, x6,x7 0
•若约束条件是不等式
如何将一般问题化为标准形：
•若约束条件是不等式： aijxj bi 则它等价于
{ai1 x1
.... yi
a xin n 0yiຫໍສະໝຸດ bi称yi 是松驰变量
如何将一般问题化为标准形：
▪ 若约束条件不等式： aijxj bi
则它等价于
{ai1 x1
.... ain yi 0
x2
50
由 4x1+3x2 120
x1 0 x2 0
40
围成的区域
30
20
10 4x1+3x2 = 120
10 20
30 40
x1
x2 50
40 2x1+x2 =50
30
由 2x1+x2 50
x1 0 x2 0
20
围成的区域
10
10
25
40
x1
x2
50
同时满足：
2x1+x2 50
线性规划问题的对称形式
MIN S=c1x1+c2x2+…..+cnxn s.t. a11x1+a12x2+….+a1nxn≥（=）b1
a21x1+a22x2+….+a2nxn≥（=）b2 …………………. am1x1+am2x2+….+amnxn≥（=）bm x1,x2….xk 0
线性规划问题的对称形式
三、（二维）线性规划问题图解法：
1. 满足约束条件的变量的值，称为可行解。 2.使目标函数取得最优值的可行解，称为 最优解。
例3
max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120
2x1+x2 50 x1,x2 0
4x1+3x2 = 120, 法线方向:(4,3) 2x1+x2 = 50 , 法线方向:(2,1) (等值线) 50x1+30x2=s,法线方向:(5,3)
Q2（15，20） 凸多边形
20
可行域
10
Q1（25，0）
O（0，0） 10
20
30 40
x1
x2 50
40 30
50/3 10
可行域
一组等值线,它们平行 50x1+30x2 = s=1000
10 20
30 40
x1
x2
当S值不断增加时，该直线
50
50x1 +30x2 = S
40
沿着其法线方向向右上方移动。
40
2x1+x2 =50
4x1+3x2 120
30
x1 0 x2 0
的区域——可行域
20 可行域
10
4x1+3x2 =120
10 20
30 40
x1
x2
Q3（0，40）
40
可行域是由约束条件围成 的区域，该区域内的每一 点都是可行解，它的全体 组成问题的解集合。
30
该问题的可行域是由O，
Q1，Q2，Q3作为顶点的
线性规划数学模型的三要素：
决策变量、约束条件、目标函数
• 二、将一般形式化为标准形式
• 标准形：1. 约束条件是等式；2等式右边的 常数非负；3所有变量都有非负约束
线性规划问题的一般形式： Min(Max)S=c1x1+c2x2+…..+cnxn s.t. a11x1+a12x2+….+a1nxn (=, )b1
MAX S=c1x1+c2x2+…..+cnxn s.t. a11x1+a12x2+….+a1nxn≤（=）b1
a21x1+a22x2+….+a2nxn ≤（=） b2 …………………. am1x1+am2x2+….+amnxn ≤（=） bm x1,x2….xk 0
如何将一般问题化为标准形：
如何将一般问题化为标准形：