六种经典线性规划例题培训资料
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在实际生活中，很多问题都可以归结为线性规划问题，例如资源分配、生产计划、运输调度等。
下面我们将通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划问题的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法1、图解法对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以使用图解法来求解。
其步骤如下：（1）画出约束条件所对应的可行域。
（2）画出目标函数的等值线。
（3）根据目标函数的优化方向，平移等值线，找出最优解所在的顶点。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件所对应的可行域：对于$x ＋ 2y ＼leq 8$，当$x ＝ 0$时，＄y ＝ 4$；当$y ＝ 0$时，＄x ＝8$，连接这两点得到直线$x ＋2y ＝8$，并取直线下方的区域。
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法常见的求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法。
1、图解法适用于只有两个决策变量的线性规划问题。
步骤如下：画出直角坐标系。
画出约束条件所对应的直线。
确定可行域（满足所有约束条件的区域）。
画出目标函数的等值线。
移动等值线，找出最优解。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10 ＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件对应的直线：＄x ＋ 2y ＝ 8$，＄2x ＋ y ＝10$，以及$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，产品A每单位售价为10元，产品B每单位售价为15元。
公司有两个生产车间，分别称为车间1和车间2。
每天车间1可生产产品A 4个单位或者产品B 6个单位，车间2可生产产品A 3个单位或者产品B 2个单位。
公司每天可提供的生产时间为8小时。
每一个单位产品A的生产时间为1小时，产品B的生产时间为2小时。
每天的总生产成本为生产产品A的数量乘以5元，生产产品B的数量乘以4元。
公司希翼在满足生产能力和时间限制的前提下，最大化每天的总利润。
二、数学建模1. 定义变量设x为每天生产的产品A的数量（单位：个），y为每天生产的产品B的数量（单位：个）。
2. 建立目标函数目标函数为最大化每天的总利润。
总利润等于每天销售产品A的收入减去生产成本，再加之每天销售产品B的收入减去生产成本。
由此可得目标函数：Maximize Z = 10x + 15y - 5x - 4y化简得：Maximize Z = 5x + 11y3. 建立约束条件（1）车间1每天可生产的产品A的数量为4个单位或者产品B的数量为6个单位，即约束条件为：4x + 6y ≤ 8（2）车间2每天可生产的产品A的数量为3个单位或者产品B的数量为2个单位，即约束条件为：3x + 2y ≤ 8（3）每天的生产时间为8小时，每一个单位产品A的生产时间为1小时，产品B的生产时间为2小时，即约束条件为：x + 2y ≤ 8（4）生产数量不能为负数，即约束条件为：x ≥ 0, y ≥ 04. 整理数学模型综合以上信息，得到线性规划的数学模型如下：Maximize Z = 5x + 11ySubject to:4x + 6y ≤ 83x + 2y ≤ 8x + 2y ≤ 8x ≥ 0, y ≥ 0三、求解线性规划问题可以使用线性规划求解方法，如单纯形法或者内点法，求解以上线性规划问题，得到最优解。
根据求解结果，可以得到最大利润为XXX元，此时每天生产产品A的数量为XXX个，每天生产产品B的数量为XXX个。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述假设某公司生产两种产品A和B，每种产品的生产需要消耗不同的资源，并且每种产品的利润也不同。
公司希翼通过线性规划来确定每种产品的生产数量，以最大化利润。
二、数据采集根据公司的生产情况和资源消耗情况，我们采集到以下数据：1. 产品A的每单位资源消耗量：2单位人力，3单位材料。
2. 产品B的每单位资源消耗量：4单位人力，2单位材料。
3. 公司目前拥有的资源数量：10单位人力，12单位材料。
4. 产品A的利润：5单位。
5. 产品B的利润：8单位。
三、目标函数我们的目标是最大化利润，因此我们可以定义目标函数为：Maximize Z = 5A + 8B其中A表示生产的产品A的数量，B表示生产的产品B的数量。
四、约束条件根据资源消耗情况和拥有的资源数量，我们可以列出以下约束条件：1. 人力资源消耗约束：2A + 4B <= 102. 材料资源消耗约束：3A + 2B <= 123. 非负约束：A >= 0，B >= 0五、求解过程我们可以使用线性规划的方法来求解该问题。
首先，我们将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：Maximize Z = 5A + 8B约束条件：2A + 4B <= 103A + 2B <= 12A >= 0，B >= 0然后，我们可以使用单纯形法或者其他线性规划求解方法来求解该问题。
求解过程中，我们需要进行迭代计算，不断更新变量A和B的取值，直到找到最优解。
六、结果分析经过计算，我们得到最优解为：A = 2，B = 3此时，最大利润为：Z = 5(2) + 8(3) = 34单位根据最优解，公司应该生产2个产品A和3个产品B，以获得最大利润34单位。
七、灵敏度分析在实际情况中，资源消耗量和利润可能会发生变化。
为了评估最优解的稳定性，我们可以进行灵敏度分析。
1. 资源消耗量变化：如果人力资源消耗量增加1单位，即2A + 4B <= 11，则最优解会发生变化。
线性规划例题和知识点总结
线性规划例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在实际生活中，有很多问题都可以通过线性规划来解决，比如资源分配、生产计划、运输调度等。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值。
线性规划的数学模型通常可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_i$是约束条件的右端项。
二、线性规划的解题步骤1、建立数学模型：根据实际问题，确定决策变量、目标函数和约束条件。
2、画出可行域：将约束条件在直角坐标系中表示出来，得到可行域。
3、求出最优解：在可行域内，通过寻找目标函数的等值线与可行域边界的交点，求出最优解。
三、例题分析例 1：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产 1 单位甲产品需要消耗 A 资源 2 单位，B 资源 3 单位，可获利 5 万元；生产 1 单位乙产品需要消耗 A 资源 3 单位，B 资源 2 单位，可获利 4 万元。
现有 A 资源12 单位，B 资源 10 单位，问如何安排生产，才能使工厂获得最大利润？解：设生产甲产品$x_1$单位，生产乙产品$x_2$单位。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述假设你是一家制造公司的生产经理，你需要决定每个月生产两种产品A和B 的数量，以最大化公司的利润。
产品A和B的生产需要消耗不同的资源，并且有不同的利润率。
你需要使用线性规划来确定最佳的生产计划。
二、问题分析1. 目标：最大化利润2. 变量：产品A的生产数量（记为x），产品B的生产数量（记为y）3. 约束条件：- 资源1的消耗：每个单位产品A需要消耗3个单位的资源1，每个单位产品B需要消耗2个单位的资源1。
资源1的总量为100个单位。
- 资源2的消耗：每个单位产品A需要消耗2个单位的资源2，每个单位产品B需要消耗4个单位的资源2。
资源2的总量为80个单位。
- 生产数量的非负性：产品A和B的生产数量不能为负数。
三、数学建模1. 目标函数：最大化利润利润 = 利润率A * 产品A的生产数量 + 利润率B * 产品B的生产数量利润率A = 10，利润率B = 15目标函数：maximize 10x + 15y2. 约束条件：资源1的消耗：3x + 2y <= 100资源2的消耗：2x + 4y <= 80生产数量的非负性：x >= 0，y >= 0四、求解线性规划问题使用线性规划求解器，可以得到最佳的生产计划。
五、结果分析最佳的生产计划为：产品A的生产数量为20个单位产品B的生产数量为15个单位利润为(10 * 20) + (15 * 15) = 200 + 225 = 425六、敏感性分析通过敏感性分析，可以了解到资源量的变化对最佳生产计划和利润的影响。
1. 资源1的敏感性分析当资源1的总量增加时，最佳的生产计划和利润会发生怎样的变化？假设资源1的总量增加了10个单位，即资源1的总量为110个单位。
重新求解线性规划问题，得到新的最佳生产计划和利润。
最佳的生产计划为：产品A的生产数量为25个单位产品B的生产数量为20个单位利润为(10 * 25) + (15 * 20) = 250 + 300 = 550可以看到，资源1的增加导致了最佳生产计划中产品A和B的生产数量的增加，从而提高了利润。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述假设某公司生产两种产品：A和B。
产品A每单位售价为10元，每单位成本为5元；产品B每单位售价为8元，每单位成本为3元。
公司有两个部门进行生产，分别是部门X和部门Y。
部门X每天生产产品A需要2小时，生产产品B需要1小时；部门Y每天生产产品A需要1小时，生产产品B需要3小时。
公司每天有8小时的生产时间。
现在的问题是，如何安排生产使得公司的利润最大化？二、数学建模1. 定义变量：设部门X生产的产品A的数量为x，部门X生产的产品B的数量为y，部门Y生产的产品A的数量为z，部门Y生产的产品B的数量为w。
2. 建立目标函数：公司的利润为销售收入减去成本，即利润=10x + 8y - 5x - 3y = 5x + 5y。
3. 建立约束条件：a) 部门X每天生产产品A需要2小时，生产产品B需要1小时，部门Y每天生产产品A需要1小时，生产产品B需要3小时，公司每天有8小时的生产时间，因此有约束条件：2x + y ≤ 8，x + 3w ≤ 8。
b) 产品的数量不能为负数，因此有约束条件：x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0，w ≥ 0。
三、线性规划模型最大化目标函数：maximize 5x + 5y满足约束条件：2x + y ≤ 8x + 3w ≤ 8x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0四、求解线性规划问题可以使用线性规划求解器进行求解，例如使用MATLAB的linprog函数或者Python的scipy.optimize.linprog函数。
五、求解结果分析假设求解结果为x = 2，y = 4，z = 1，w = 1。
根据求解结果可知，部门X生产2个产品A和4个产品B，部门Y生产1个产品A和1个产品B，公司的利润最大化为5*2 + 5*4 = 30元。
六、结论通过合理安排生产，部门X生产2个产品A和4个产品B，部门Y生产1个产品A和1个产品B，公司的利润最大化为30元。
以上是关于线性规划经典例题的详细解答，希翼能对您有所匡助。
(完整word)线性规划题型总结,推荐文档
线性规划题型总结一、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x 【类型一：已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题】例1.求y x z 32+=的最大值.【类型二：已知线性约束条件，探求分式目标关系最值问题】例2.求112++=y x z 的取值范围.【类型三：已知线性约束条件，探求平方和目标关系最值问题】例3.求22)2(-+=y x z 的最值，以及此时对应点的坐标.【类型四：已知线性约束条件，探求区域面积与周长问题】例4.试求所围区域的面积与周长.【类型五：已知最优解，探求目标函数参数问题】例5.已知目标函数z ax y =+（其中0<a ）仅在（3,4）取得最大值，求a 的取值范围.【类型六：已知最优解，探求约束条件参数问题】 例6.设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≤-122y x m y x y x ，目标函数y x z 32+=在（4,6）取得最大值，求m .二、线性规划的实际应用线性规划的实际应用题型大体有两类，一类是一项任务确定后，如何统一安排，做到以最少的人力物力完成任务；另一类是在人力物力一定的条件下，如何安排使得最大化的发挥效益.两类题型是同一个问题的两面，主要依据以下步骤：1.认真分析实际问题的数学背景，将对象间的生产关系列成表格；2.根据问题设未知量，并结合表格将生产关系写出约束条件；3.结合图形求出最优解.例1.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3 mg ，乙料5 mg ；配一剂B 种药需甲料5 mg ，乙料4 mg.今有甲料20 mg ，乙料25 mg ，若A 、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?例2. 某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少？针对练习一、选择题1.下列四个命题中真命题是（ ）A .经过点P (x o ,y o )的直线都可以用方程y －y o =k (x －x o )表示；B .经过任意两不同点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)=(x －x 1)(y 2－y 1)表示；C .不经过原点的直线都可以用方程1=+by a x 表示； D .经过定点A (0,b )的直线都可以用方程y =kx +b 表示2.设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ）.A 1=+b a .B 1=-b a .C 0=+b a .D 0=-b a3.下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ） Ａ.(02)， Ｂ.(20)-，Ｃ.(02)-， Ｄ.(20)， 4.若变量x 、y 满足约束条件 1.0.20.y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则z ＝x-2y 的最大值为A.4B.3C.2D.15.在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+最大值的变化范围是（ ） A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]6.在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（）A. B.4C. D.27.某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是( )A.80B.85C. 90D.958.已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则y x 的取值范围是（ ）.A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,59 .B [)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U ，， .C (][)36-∞+∞U ，， .D [36]，二、填空题9.已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 ；10.若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为 ；11.已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。
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六种经典线性规划例
题
求线性目标函数的取值范围
x y [3,6] y 2
i O
x=2
求可行域的面积
y y
C 5 \ M O
)
13 x y
x x O x
y ) D y =2
x , 个 2
2
x + y -3 = 0s
D 、无穷大
2
2
2 2 ()
y y y y 三、求可行域中整点个数
y x B A 2x + y =5
旦y
=2
解：如图，作出可行域，△
OMBC 的面积减去梯
x
L '
x + y =2
D 、( 3,5]
ABC 的面积即为所求，由梯形 OMAC 的面积即可，选 B
(x (x (xp 0 (xp 0 中整点(横纵坐标都是整数)有 、14个
A 、[2,6]
B 、[2,5] C
解：如图，作出可行域，作直线
l 向右上方平移，过点 A ( 2,0 2，过点B ( 2,2 )时，有最大值
线性规划常见题型及解法
由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标 函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
例1、若x 、y 满足约束条件
例3、满足|x| + |y| <2的点 A 、9 个 B 、10 个 C 、 ，则z=x+2y 的取值范围是
2
0,y 0) 0, y p 0)
y 0) yp 0) 作出可行域如右图，是正方形内部(包括边界)，容易得
到整点个数为 13个，选D
()
A 、 4
B 、 1
x 解：凶+ |y| <2等价于
y 6
y 3 0表示的平面区域的面积为 2
2x 例2、不等式组 x x+2y = 0，将
时，有最小值
6，故选A。