江苏专用版高考数学专题复习专题7不等式第42练不等式的概念与性质练习文

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答案第42讲不等式选讲--高考数学习题和答案

则 (ab + 1)2 > (a + b)2 ，
即 a + b < ab + 1 ，
证毕．
11．【解析】（Ⅰ）当 a = 2 时， f (x) = | 2x − 2 | +2 . 解不等式 | 2x − 2 | +2 6 ，得 −1 x 3. 因此， f (x) ≤ 6 的解集为{x | −1 x 3} . （Ⅱ）当 x ∈ R 时， f (x) + g(x)= | 2x − a | +a+ |1− 2x |
值为 3，故当且仅当 a ≥ 3 且 b ≥ 2 时， f (x) ≤ ax + b 在[0, +∞) 成立，因此 a + b 的
最小值为 5． 4．D．【证明】由柯西不等式，得 (x2 + y2 + z2 )(12 + 22 + 22 ) ≥ (x + 2 y + 2z)2 ．
因为 x + 2 y + 2z=6 ，所以 x2 + y2 + z2 ≥ 4 ，
2010-2018 年
−2, x ≤ −1, 1．【解析】(1)当 a = 1时， f (x) =| x +1| − | x −1| ，即 f (x=) 2x, −1 < x < 1,
2, x ≥1. 故不等式 f (x) > 1 的解集为{x | x > 1}．
2 (2)当 x ∈ (0,1) 时| x +1| − | ax −1|> x 成立等价于当 x ∈ (0,1) 时| ax −1|< 1 成立．
专题十六不等式选讲
第四十二讲不等式选讲

高三数学专题复习-不等式苏教版

高三数学专题复习-不等式苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：专题复习-不等式【高考要求】掌握基本不等式与一元二次不等式。

了解线性规划二. 学法指导：1、对于解含有参数的不等式，常常需要分类讨论，分类的原则是不重复、不遗漏，最后结果要按参数的不同X 围分别表达。

（注意：此时不能取并集，这与对变量x 的分段讨论不同。

）2、不等式的应用不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式，求不等式中参数的取值X 围；另一类是建立函数关系式，利用平均值不等式求解实际问题中的最大（小）值。

运用平均值不等式求最值：（a ＞0，b ＞0）当为常数时，用求的最小值，当且仅当时“”ab a b ab a b a b +≥+==2成立。

当为常数时，用求的最大值，当且仅当a b ab a b a b ab a b +≤+⎛⎝ ⎫⎭⎪≤+=22222时“＝”成立。

注意满足条件“一正，二定，三等”。

3、不等式的证明有以下常用方法 1）比较法：（1）作差法：欲证0B A B A >-⇔>即“作差→变形（因式分解或通分）→判定符号→结论”（2）作商法：欲证()0B 1BA0B A >>⇔>> 即“作商→变形→与1比大小→结论” 2）分析法：从待证的不等式出发，寻求不等式成立的充分条件的方法叫分析法，即“执果索因”。

即“要证原不等式成立只要证…只要证已知题设正确结论”⇐⇐⇐()3）综合法：由已知条件和所学过的定义、定理、公理不断推导出所证命题成立的必要条件（由因导果），直至推导出命题的结论的方法叫综合法。

即：已知条件…结论⇒⇒⇒⇒A B在证明过程中，常用的不等式：（），，则，10022a b R a a b ∈≥-≥()（），，则2222a b R a b ab ∈+≥当且仅当时，“”成立。

a b ==（），，则32a b R a b ab ∈+≥+当且仅当时，“”成立。

a b ==（），，则422222a b R ab a b a b ∈≤+≤++()当且仅当时，“”成立。

不等式概念及性质知识点详解与练习

不等式的概念及性质知识点详解及练习一、不等式的概念及列不等式不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→≤≥≠→→表示出不等关系列出代数式设未知数步骤列不等式””、“”、“”、“”、““不等号概念 1、不等式的概念及其分类（1）定义：用“＞”、“﹤”、“≠”、“≥”及“≤”等不等号把代数式连接起来，表示不等关系的式子。

a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b 。

（2）分类：①矛盾不等式：不等式只是表示了某种不等关系，它表示的关系可能在任何条件下都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式；如2＞3，x 2﹤0②绝对不等式：它表示的关系可能在任何条件下都成立，这样的不等式叫绝对不等式； ③条件不等式：在一定条件下才能成立的不等式叫条件不等式。

（3）不等号的类型：①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小； ②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“﹤”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；注意：要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

（4）常见不等式基本语言的含义：①若x ＞0，则x 是正数；②若x ﹤0，则x 是负数；③若x ≥0，则x 是非负数；④若x ≤0，则x 是非正数；⑤若x-y ＞0，则x 大于y ；⑥若x-y ﹤0，则x 小于y ；⑦若x-y ≥0，则x 不小于y ；⑧若x-y ≤0，则x 不大于y ；⑨若xy ＞0（或yx ＞0），则x ，y 同号；⑩若xy ﹤0（或yx ﹤0），则x ，y 异号；（5）等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。

(江苏专用)2020版高考数学一轮复习加练半小时资料：专题6数列第42练数列的概念与简单表示法理

第42练数列的概念与简单表示法[基础保分练]1．数列，－，，－，…的第5项是________．234567892．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5＝________.3．已知数列{a n }满足a n ＋1＝Error!若a 1＝，则a 2019的值为________．674．数列{a n }的构成法则如下：a 1＝1，如果a n －2为自然数且之前未出现过，则用递推公式a n ＋1＝a n －2.否则用递推公式a n ＋1＝3a n ，则a 6＝________.5．已知数列{a n }(n ∈N *)满足：a 1＝1，a n ·a n ＋1＝2n ，则a 2019＝________.6．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(2n ＋1)n ，n ∈N *，则{a n }中的最大项的序号是(910)________．7．数列{a n }的通项公式a n ＝－n 2＋10n ＋11，则该数列前________项的和最大．8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝a ，a 2＝a 2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，S 56＝6，则a ＝________.9．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为____________．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ∈N *)，给出下列说法：n －98n －99①数列{a n }中的最大项和最小项分别是a 10，a 9；②数列{a n }中的最大项和最小项分别是a 9，a 10；③数列{a n }中的最大项和最小项分别是a 1，a 9；④数列{a n }中的最大项和最小项分别是a 1，a 10.其中，说法正确的是________．(填序号)[能力提升练]1．已知数列：，，，，，，，，，…，根据它的前9项的规律，这个数列的第30项为211231221341322314________．2．已知函数f (x )＝Error!记a n ＝f (n )(n ∈N *)，若{a n }是递减数列，则实数t 的取值范围是________．3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2n ＋1，若不等式2n 2－n －3<(5－λ)a n 对∀n ∈N *恒成立，则整数λ的最大值为________．4．(2019·盐城期中)已知数列{a n }满足2a n a n ＋1＋a n ＋3a n ＋1＋2＝0，其中a 1＝－，设b n ＝12，若b 3为数列{b n }中唯一最小项，则实数λ的取值范围是________．n －λan ＋15．无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *，S n ∈{2,3}，则k 的最大值为________．6．正整数数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝Error!将数列{a n }中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列{n k }，k ∈N *，n k ＋1＝________________.(用n k 表示)答案精析基础保分练1.　2.19　3.　4.15　5.21009　6.91011377．10或11解析　∵a n ＝－n 2＋10n ＋11，∴a 1＝20>0，a n ＝－n 2＋10n ＋11＝－(n －5)2＋36，当(n －5)2<36时，a n ＝－(n －5)2＋36>0，当(n －5)2>36时，a n ＝－(n －5)2＋36<0，当n ＝11时，a n ＝0，∴当S n 最大时，有n ＝10,11.8．－3或2解析　由题设可得a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1，即a n ＋3＝－a n ，故a n ＋6＝a n ，而a 1＝a ，a 2＝a 2，a 3＝a 2－a 1＝a 2－a ，a 4＝－a 1＝－a ，a 5＝－a 2，a 6＝a 5－a 4＝－a 2＋a ，所以S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，而56＝6×9＋2，所以S 56＝a 1＋a 2＝a ＋a 2＝6，解得a ＝－3，a ＝2.9．a n ＝2n －11解析　当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －(n －1)2＋10(n －1)＝2n －11，经检验a 1也满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －11.10．①解析　已知a n ＝n －98n －99＝1＋(n ∈N *)，99－98n －99设f (x )＝1＋，99－98x －99∵－>0，9998∴f (x )在(0，)和(，＋∞)上都是减函数．9999大致图象如图所示．∴当n ＝9时，a n 取得最小值；当n ＝10时，a n 取得最大值．故填①.能力提升练1．2　2.　3.4　4.(5,7)(53，4)5．4解析　对任意n ∈N *，S n ∈{2,3}，可得当n ＝1时，a 1＝S 1＝2或3；若n ＝2，由S 2∈{2,3}，可得数列的前两项为2,0；或2,1；或3,0；或3，－1；若n ＝3，由S 3∈{2,3}，可得数列的前三项为2,0,0；或2,0,1；或2,1,0；或2,1，－1；或3,0,0；或3,0，－1；或3，－1，0；或3，－1,1；若n ＝4，由S 4∈{2,3}，可得数列的前四项为2,0,0,0；或2,0,0,1；或2,0,1,0；或2,0,1，－1；或2,1,0,0；或2,1,0，－1；或2,1，－1,0；或2,1，－1,1；或3,0,0,0；或3,0,0，－1；或3,0，－1,0；或3,0，－1,1；或3，－1,0,0；或3，－1,0,1；或3，－1,1,0；或3，－1,1，－1；…；即有n >4后任一项都为0或1或－1，则k 的最大个数为4，不同的四个数均为2,0,1，－1，或3,0,1，－1.6．n k ＋1＝3n k ＋1，或n k ＋1＝n k ＋3k (k ＝1,2,3…)解析　因为a 1＝1，n ≥1，a 2＝1＋1＝2，a 3＝2＋2＝4，由题设可知a n ＋1＝1⇒a n ＝n ＋1，而通过计算不难看出其规律：要么被3整除余1，即3n k ＋1的形式，要么是3k ＋n k 的形式，故n k ＋1＝3n k ＋1，或n k ＋1＝n k ＋3k (k ＝1,2,3，…)．。

江苏专用2020版高考数学大一轮复习第七章不等式推理与证明数学归纳法7.1不等关系与不等式教案含解析

第七章不等式、推理与证明、数学归纳法§7.1 不等关系与不等式考情考向分析以理解不等式的性质为主，在高考中主要以填空题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合．属低档题．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝ba －b <0⇔a <b(a ，b ∈R )(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a>b ab ＝1⇔a ＝ba b <1⇔a <b(a ∈R ，b >0)2．不等式的基本性质概念方法微思考1．若a >b ，且a 与b 都不为0，则1a 与1b的大小关系确定吗？提示不确定．若a >b ，ab >0，则1a <1b，即若a 与b 同号，则分子相同，分母大的反而小；若a >0>b ，则1a >1b，即正数大于负数．2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (4)a >b >0，c >d >0⇒a d >b c.( √ ) (5)ab >0，a >b ⇔1a <1b.( √ )题组二教材改编2．[P3练习T1]若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的________条件．答案充分不必要解析a －b >0⇒a >b ⇒a >b ⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0≠a －b >0.3．[P66练习T1]雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t 应满足的关系式是________．答案 4.5t <28000解析由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t <28000.题组三易错自纠4．若a >b >0，c <d <0，则下列一定正确的序号为________． ①a c －b d >0；②a c －b d <0；③a d >b c ；④a d ac ，又∵cd >0，∴bd cd >ac cd ，即b c >ad. 当a ＝5，c ＝－5，b ＝4，d ＝－4时，易知①②不正确．5．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案充分不必要解析若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．6．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是__________．答案 (－π，0)解析由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<α－β<0.题型一比较两个数(式)的大小例1(1)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b与q ＝a ＋b 的大小关系为________．答案 p ≤q解析 (作差法)p －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b ＝(b 2－a 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1b＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a )ab，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0. 若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q . 综上，p ≤q .(2)若P ＝a ＋3－a ＋2，Q ＝a ＋2－a ＋1(a >0)，则P ，Q 的大小关系是________．答案 P <Q解析 Q －P ＝(a ＋2－a ＋1)－(a ＋3－a ＋2) ＝1a ＋2＋a ＋1－1a ＋3＋a ＋2>0，所以P <Q .(3)若a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 c b ；b c ＝5ln44ln5＝log 6251024>1，所以b >c .即c e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c b >0，比较a a b b与a b b a的大小．解 ∵a a b b a b b a ＝a a －b b a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b，又a >b >0，故ab>1，a －b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b>1，即a a b ba b b a >1，又a b b a >0，∴a a b b >a b b a，∴a a b b 与a b b a 的大小关系为a a b b >a b b a. 思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． (3)函数的单调性法．跟踪训练1(1)已知p ∈R ，M ＝(2p ＋1)(p －3)，N ＝(p －6)(p ＋3)＋10，则M ，N 的大小关系为________．答案 M >N解析因为M －N ＝(2p ＋1)(p －3)－[(p －6)(p ＋3)＋10]＝p 2－2p ＋5＝(p －1)2＋4>0，所以M >N .(2)若a >0，且a ≠7，则77a a和7a a 7的大小关系为________．答案 77a a>7a a 7解析 77a a7a a 7＝77－a a a －7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a ，则当a >7时，0<7a<1,7－a <0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a >1，∴77a a >7a a 7；当0<a <7时，7a>1,7－a >0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a >1，∴77a a >7a a 7. 综上，77a a>7a a 7. 题型二不等式的性质1．若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，因为b <0，所以ab ac ；②c (b －a )<0；③cb 2<ab 2；④ac (a －c )>0. 答案 ①解析由c 0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立．3．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c log a (b －c )．其中所有正确结论的序号是________．答案 ①②③解析由不等式性质及a >b >1，知1a <1b，又c <0，∴c a >c b，①正确；构造函数y ＝x c，∵c <0，∴y ＝x c在(0，＋∞)上是单调递减的，又a >b >1，∴a c b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，③正确．思维升华常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．题型三不等式性质的应用命题点1 应用性质判断不等式是否成立例2已知a >b >0，给出下列四个不等式： ①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为________．(填序号) 答案 ①②③解析由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立；∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2 ＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0，∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36，a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立．命题点2 求代数式的取值范围例3已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18. 引申探究1．若将本例条件改为－1<x <y <3，求x －y 的取值范围．解 ∵－1<x <3，－1<y <3， ∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4. 又∵x <y ，∴x －y <0，∴－4<x －y <0，故x －y 的取值范围为(－4,0)．2．若将本例条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围．解设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3， ∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232.思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法 ①逐一给出推理判断或反例说明．②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．(2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练2(1)若a 1b ； ②a 2<ab ； ③|b ||a |<|b |＋1|a |＋1； ④a n>b n(n ∈N *)．答案 ③解析 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知①②④项均不正确；③项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，∵a b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接) 答案 z >y >x解析方法一由题易知，x >0，y >0，z >0，又y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x . 同理，z >y ，∴z >y >x .方法二令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .1．下列命题中，正确的序号是________． ①若a >b ，c >d ，则ac >bd ； ②若ac >bc ，则a >b ； ③若a c 2b ，c >d ，则a －c >b －d . 答案 ③解析 ①取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知①错误； ②当c <0时，ac >bc ⇒a 0，所以a g (x )解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，则f (x )>g (x )．3．对于0<a <1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a )>log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a<11a a +； ④a1＋a>11aa+.其中正确的不等式是________．(填序号) 答案 ②④解析当0<a <1时，函数y ＝log a x 与y ＝a x均为(0，＋∞)上的减函数． ∵0<a <1，∴1＋a <1＋1a，∴②④正确．4．若6<a <10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是________．答案 (9,30)解析 ∵c ＝a ＋b ≤3a 且c ＝a ＋b ≥3a2，∴9<3a2≤a ＋b ≤3a <30.5．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s ，t 的大小关系为________．答案 t ≤s解析 s －t ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t .6．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2 解析 ∵－π2<α<π2，∴－π<2α<π.∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2，∴－3π2<2α－β<3π2.又α－β<0，α<π2，∴2α－β<π2.∴－3π2<2α－β<π2.7．已知a ＋b >0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是________．答案 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2 ＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.∵a ＋b >0，(a －b )2≥0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b2＋b a2≥1a ＋1b.8．已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②a c >bc；③a 2>b 2，其中能成为a >b 的充分条件的是________．答案 ①解析由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a b 的充分条件． 9．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： ①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0， ∴c a －d b ＝bc －adab>0，∴①正确；∵ab >0，又c a －db>0，即bc －adab>0，∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．10．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，则T 1与T 2的大小关系为________．答案 T 1<T 2解析 T 1－T 2＝(cos1cos α－sin1sin α)－(cos1cos α＋sin1sin α)＝－2sin1sin α<0.故T 1<T 2.11．(1)若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋d d ； (2)已知c >a >b >0，求证：ac －a >b c －b. 证明 (1)∵bc ≥ad ，bd >0，∴c d ≥a b ，∴c d ＋1≥a b ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋d d. (2)∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.⎭⎪⎬⎪⎫由a >b >0⇒1a <1b ，c >0⇒c a <c b ⇒ ⎭⎪⎬⎪⎫c －a a <c －b b，c －a >0，c －b >0⇒a c －a >b c －b . 12．已知1<a <4,2<b <8，试求a －b 与a b 的取值范围．解因为1<a <4,20，x ＋y >0，则⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，y >0，由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <2，0<y <2，又xy <4，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <2，0<y <2.14．(2018·江苏无锡天一中学质检)设f (x )＝ln x,0<a p ；④p ＝r >q .答案 ②解析由于b >a >0，所以a ＋b 2>ab >0，所以ln a ＋b 2>ln ab ，则q >p .而p ＝ln ab ＝12(ln a ＋ln b )＝r ，故②正确．15．设0b ln a ；②a ln b b e a .答案 ②④解析令y ＝ln x x ，0<x <1.则y ′＝1－ln x x 2，可见函数y ＝ln x x 在(0,1)上单调递增．所以ln b b <ln a a，②正确．令f (x )＝e x x ，0<x <1，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2<0，所以函数f (x )＝e x x在(0,1)上单调递减，又因为0b e a ，故②④正确． 16．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c <2a ，求c a的取值范围．解由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧ a c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1c a ，1＋c a >b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1<b a ＋c a <2，－1<c a －b a <1，两式相加，得0<2×c a <3，∴c a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32.。

(江苏专用)高考数学大一轮复习第七章不等式第42讲基本不等式及其应用学案

—————————— 新学期新成绩新目标新方向 ——————————第42讲基本不等式及其应用考试要求 1.基本不等式的证明过程(A 级要求)；2.利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(C 级要求).应关注利用基本不等式把等式转化为不等式，然后研究最值问题.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)当a ≥0，b ≥0时，a ＋b2≥ab .( )(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( )(3)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为2.( )(5)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x≥2的充要条件.( ) 解析 (2)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(3)函数y ＝x ＋1x值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为－5.(5)x >0且y >0是x y ＋y x≥2的充分条件. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×2.(教材改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________. 解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81. 答案 813.(教材改编)若0<x <1，则x （3－2x ）的取值范围是________. 解析由0<x <1知3－2x >0，故x （3－2x ）＝12·2x （3－2x ） ≤12·2x ＋（3－2x ）2＝324，当且仅当x ＝34时，上式等号成立.∴0<x （3－2x ）≤324. 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，3244.(必修5P106习题16改编)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝1，那么1x ＋1y的最小值为____________.解析因为x >0，y >0，x ＋2y ＝1，所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (x ＋2y )＝1＋2＋2y x ＋xy≥3＋22y x ·x y＝3＋22，当且仅当x 2＝2y 2时取得最小值3＋2 2. 答案 3＋2 25.(教材改编)①若x ∈(0，π)，则sin x ＋1sin x≥2；②若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b ；③若x ∈R ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥4.其中正确结论的序号是________.解析 ①因为x ∈(0，π)，所以sin x ∈(0，1]，所以①成立；②只有在lg a >0，lg b >0，即a >1，b >1时才成立；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ＝|x |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x ≥2|x |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x＝4，当且仅当x ＝±2时“＝”成立.答案 ①③知识梳理1.基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. (3)适用于求含两个代数式的最值. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号).(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，(a ，b ∈R ).(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ). (以上不等式要根据条件合理选择其中之一) 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3.算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等. 4.利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24(简记：和定积最大).考点一利用基本不等式求最值(多维探究) 命题角度1 配凑法求最值【例1－1】 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________. (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________.(3)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.解析 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋（4－3x ）22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号.(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(3)由于x >1，故y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立. 答案 (1)23 (2)1 (3)23＋2命题角度2 常数代换或消元法求最值【例1－2】 (1)(2018·盐城模拟)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________.(2)(一题多解)(2018·南京模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________.(3)(2017·苏州期末)已知ab ＝14，a ，b ∈(0，1)，那么11－a ＋21－b 的最小值为________.解析 (1)由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y ＝1，且x >0，y >0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4y x＋xy＋4≥4＋4＝8.当且仅当4y x ＝yx，即x ＝4，y ＝2时等号成立.(2)法一 (消元法) 由已知得x ＝9－3y1＋y.因为x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3，所以x ＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y＋3(y ＋1)－6≥2121＋y·3（y ＋1）－6＝6，当且仅当121＋y ＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 法二 ∵x ＞0，y ＞0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立.设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. (3)因为b ＝14a，a ∈(0，1)，所以11－a ＋21－b ＝11－a ＋21－14a ＝11－a ＋24a －1＋2＝2a ＋1－4a 2＋5a －1＋2. 令2a ＋1＝t ，则a ＝t －12，原式＝t －t 2＋9t 2－92＋2＝192－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋92t ＋2≥192－2t ·92t＋2＝4＋423，当且仅当t ＝322，即a ＝32－24∈(0，1)时取等号，故原式的最小值为4＋423.答案 (1)8 (2)6 (3)4＋423规律方法 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.易错警示 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.【训练1】 (1)(一题多解)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________.(2)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b取最小值时，a 的值为________. 解析 (1)法一由x ＋3y ＝5xy 及x ，y 均为正数可得15y ＋35x＝1， ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎪⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5. (当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5.法二由x ＋3y ＝5xy ，得x ＝3y5y －1，∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋95＋45－4y 5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15 ≥135＋23625＝5，当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)∵a ＋b ＝2，b >0， ∴12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b＝a ＋b 4|a |＋|a |b＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2b 4|a |×|a |b ＝a 4|a |＋1，当且仅当b 4|a |＝|a |b时等号成立.又a ＋b ＝2，b >0， ∴当b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值. 答案 (1)5 (2)－2考点二基本不等式的综合应用【例2】 (1)设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg z 4lg x ＋lg zlg y 的最小值为________.(2)设正四面体ABCD 的棱长为6，P 是棱AB 上的任意一点(不与点A ，B 重合)，且点P 到平面ACD ，平面BCD 的距离分别为x ，y ，则3x ＋1y的最小值是________.解析 (1)由题意得z 2＝xy ，lg x >0，lg y >0， ∴lg z 4lg x ＋lg z lg y ＝12（lg x ＋lg y ）4lg x ＋12（lg x ＋lg y ）lg y ＝18＋lg y 8lg x ＋12＋lg x 2lg y ＝58＋lg y 8lg x ＋lg x 2lg y ≥58＋2116＝98，当且仅当lg y 8lg x ＝lg x2lg y ，即lg y ＝2lg x ，即y ＝x 2时取等号.(2)过点A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，则O 为△BCD 的重心，所以OB ＝23×32×6＝2，所以AO ＝（6）2－（2）2＝2. 又V P －BCD ＋V P －ACD ＝V A －BCD ，所以13S △BCD ·y ＋13S △ACD ·x ＝13S △BCD ·2，即x ＋y ＝2.所以3x ＋1y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1y (x ＋y )＝12⎝⎛⎭⎪⎫4＋x y ＋3y x ≥2＋3，当且仅当x ＝3－3，y ＝3－1时取等号.答案 (1)98(2)2＋ 3规律方法 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 【训练2】 (1)(2018·泰州模拟)已知a >b >1且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为________.(2)(2018·苏、锡、常、镇四市调研)若实数x ，y 满足xy >0，则xx ＋y ＋2yx ＋2y的最大值为________.解析 (1)因为2log a b ＋3log b a ＝7，所以2(log a b )2－7log a b ＋3＝0，解得log a b ＝12或log a b＝3，因为a >b >1，所以log a b ∈(0，1)，故log a b ＝12，从而b ＝a ，因此a ＋1b 2－1＝a ＋1a －1＝(a －1)＋1a －1＋1≥3，当且仅当a ＝2时等号成立. (2)因为xy >0，所以xx ＋y ＋2y x ＋2y ＝x （x ＋2y ）＋2y （x ＋y ）（x ＋y ）（x ＋2y ）＝x 2＋4xy ＋2y 2x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xyx 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1x y ＋3＋2y x≤1＋13＋22＝4－22，当且仅当x y ＝2y x ，即x 2＝2y 2时取等号.答案 (1)3 (2)4－2 2考点三利用基本不等式解决恒成立及实际应用问题【例3－1】若不等式x ＋2xy ≤a (x ＋y )对任意的实数x ，y ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的最小值为________.解析由题意得a ≥x ＋2xyx ＋y ＝1＋2yx 1＋yx恒成立.令t ＝y x (t >0)，则a ≥1＋2t 1＋t 2，再令1＋2t ＝u (u >1)，则t ＝u －12，故a ≥u1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫u －122＝4u ＋5u－2. 因为u ＋5u ≥25(当且仅当u ＝5时等号成立)，故u ＋5u－2≥25－2，从而0<4u ＋5u－2≤425－2＝5＋12，故a ≥5＋12，即a min ＝5＋12. 答案5＋12【例3－2】 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b恒成立，则m 的最大值为________.(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.解析 (1)由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋1b＝9b a＋ab＋6.又a >0，b >0，所以9b a ＋a b ＋6≥29＋6＝12(当且仅当9b a ＝ab时等号成立)，∴m ≤12，∴m 的最大值为12.(2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞. 答案 (1)12 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞规律方法 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.【训练3】 (2018·苏北四市联考)如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4 m ，最低点B 离地面2 m ，观察者从距离墙x (x >1)m ，离地面高a (1≤a ≤2)m 的C 处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB ＝θ.(1)若a ＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？ (2)若tan θ＝12，当a 变化时，求x 的取值范围.解 (1) 当a ＝1.5时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，则BD ＝0.5，且θ＝∠ACD －∠BCD ，由已知观察者离墙x m ，且x >1，则tan ∠BCD ＝0.5x ，tan ∠ACD ＝2.5x，所以tan θ＝tan (∠ACD －∠BCD )＝ 2.5x －0.5x 1＋2.5×0.5x 2＝2x 1＋1.25x 2＝2x ＋1.25x ≤2254＝255，当且仅当x ＝52>1时取等号. 又tan θ在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以当观察者离墙52m 时，视角θ最大. (2)由题意得tan ∠BCD ＝2－a x ，tan ∠ACD ＝4－ax，又tan θ＝12，所以tan θ＝tan (∠ACD －∠BCD ) ＝2x x 2＋（a －2）·（a －4）＝12，所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x . 当1≤a ≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3，所以0≤－x 2＋4x ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ≤0，x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x ≤1或3≤x ≤4，因为x >1，所以3≤x≤4. 所以x 的取值范围是[3，4].一、必做题1.(教材改编)已知a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的序号是________. ①a 2＋b 2>2ab ；②a ＋b ≥2ab ；③1a ＋1b>2ab；④b a ＋a b≥2.解析因为a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以①错误；对于④，因为ab >0，所以b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2.对于②，③，当a <0，b <0时，明显错误. 答案 ④2.(教材改编)用长为16 cm 的铁丝围成一个矩形，则所围成的矩形的最大面积是________ cm 2.解析设矩形长为x cm(0<x <8)，则宽为(8－x )cm ，面积S ＝x (8－x ).由于x >0，8－x >0，可得S ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8－x 22＝16，当且仅当x ＝8－x ，即x ＝4时，S max ＝16.所以矩形的最大面积是16 cm 2. 答案 163.当x >0时，函数f (x )＝2xx 2＋1有最________值，为________. 解析由于x >0，所以f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1时取等号. 答案大 14.(2018·盐城模拟)函数y ＝x 2＋2x 2＋1的最小值为________.解析 y ＝x 2＋1＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x ＝0时，y 取到最小值2. 答案 25.某民营企业的一种电子产品，2015年的年产量在2014年基础上增长率为a ；2016年计划在2015年的基础上增长率为b (a ，b ＞0)，若这两年的平均增长率为q ，则q 与a ＋b2的大小关系是________.解析设2014年的年产量为1，则2016年的年产量为(1＋a )(1＋b )， ∴(1＋q )2＝(1＋a )(1＋b )， ∴1＋q ＝（1＋a ）（1＋b ）≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b2， ∴q ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，取“＝”.答案 q ≤a ＋b26.(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________.解析 a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4(前一个等号成立条件是a 2＝2b 2，后一个等号成立的条件是ab ＝12，两个等号可以同时取得，则当且仅当a 2＝22，b 2＝24时取等号). 答案 47.设f (x )＝x 2＋x ＋1，g (x )＝x 2＋1，则f （x ）g （x ）的取值范围是________. 解析 f （x ）g （x ）＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，当x ＝0时，f （x ）g （x ）＝1；当x >0时，f （x ）g （x ）＝1＋1x ＋1x ≤1＋12＝32；当x <0时，x ＋1x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≤－2，则f （x ）g （x ）＝1＋1x ＋1x ≥1－12＝12. ∴f （x ）g （x ）∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 8.(2017·吉林九校第二次联考)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是________.解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a a －1>0，解得a >1.同理可得b >1，∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9（a －1）＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，∴最小值为6. 答案 69.(2018·扬州一模)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x＋1y －2z的最大值为________.解析由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1.答案 110.已知函数f (x )＝x 2＋3x －a(x ≠a ，a 为非零常数).(1)解不等式f (x )<x ；(2)设x >a 时，f (x )有最小值为6，求a 的值.解 (1)f (x )<x ，即x 2＋3x －a<x ，整理为(ax ＋3)(x －a )<0.当a >0时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3a (x －a )<0，∴解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3a <x <a ；当a <0时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3a (x －a )>0，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >－3a，或x <a .(2)设t ＝x －a ，则x ＝t ＋a (t >0).∴f (t )＝t 2＋2at ＋a 2＋3t＝t ＋a 2＋3t＋2a≥2t ·a 2＋3t＋2a＝2a 2＋3＋2a .当且仅当t ＝a 2＋3t，即t ＝a 2＋3时，等号成立，即f (x )有最小值2a 2＋3＋2a . 依题意有2a 2＋3＋2a ＝6，解得a ＝1. 二、选做题11.(一题多解)(2018·南通模拟)设实数x ，y 满足x 24－y 2＝1，则3x 2－2xy 的最小值是________.解析法一因为x 24－y 2＝1，所以3x 2－2xy ＝3x 2－2xy x 24－y 2＝3－2yx 14－⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2，令k ＝y x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则3x 2－2xy ＝3－2k 14－k 2＝4（3－2k ）1－4k 2，再令t ＝3－2k ∈(2，4)，则k ＝3－t 2，故3x 2－2xy ＝4t －t 2＋6t －8＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋8t ＋6≥46－28＝6＋42，当且仅当t ＝22时等号成立.法二令t ＝3x 2－2xy ，则y ＝3x 2－t 2x ，代入方程x 24－y 2＝1并化简得8x 4＋(4－6t )x 2＋t 2＝0，令u ＝x 2≥4，则8u 2＋(4－6t )u ＋t 2＝0在[4，＋∞)上有解，从而由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（4－6t ）2－32t 2≥0，6t －416>0，得t 2－12t ＋4≥0，解得t ≥6＋42，当取得最小值时，u ＝2＋322满足题意. 法三因为x 24－y 2＝1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－y ，所以令x 2＋y ＝t ，则x 2－y ＝1t，从而⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ，则3x 2－2xy ＝6＋2t 2＋4t2≥6＋42，当且仅当t 2＝2时等号成立.答案 6＋4 212.(2018·南京模拟)一位创业青年租用了如图所示的一块边长为1百米的正方形田地ABCD 来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC ，CD 上分别取点E ，F (不与正方形的顶点重合)，连接AE ，EF ，FA ，使得∠EAF ＝45°.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF 部分规划为蜂巢区，△CEF 部分规划为蜂蜜交易区.若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？解设阴影部分面积为S ，三个区域的总投入为T .则T ＝2×105·S ＋105·(1－S )＝105·(S ＋1)，所以只要求S 的最小值即可得T 的最小值. 设∠EAB ＝α(0°<α<45°)，在△ABE 中，因为AB ＝1，∠B ＝90°，所以BE ＝tan α，则S △ABE ＝12AB ·BE ＝12tan α.又∠DAF ＝45°－α，所以S △ADF ＝12tan(45°－α).所以S ＝12[tan α＋tan(45°－α)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＋1－tan α1＋tan α.令x ＝tan α∈(0，1)，则S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 1＋x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x －1x ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ＋1－1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋1）＋2x ＋1－2≥12(22－2)＝2－1. 当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时取等号. 此时T ＝2×105，所以三个区域的总投入T 的最小值约为2×105元.。

高考数学总复习第七篇不等式《第42讲基本不等式及其应用(2)》课件理苏教版

3．过定点P(1,2)的直线在x轴与y轴正半轴的截距分别为a，b，则ab的最小值为________． 1 2 1 2 解析由题意可得＋＝1(a＞0，b＞0)则＋＝1≥2 a b a b 解得ab≥8. 1 2 当且仅当＝，即a＝2，b＝4时取等号． a b 答案 8 2 ， ab
4．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成 a＋b2 等比数列，则的最小值是________． cd a＋b2 解析由题知a＋b＝x＋y，cd＝xy，x＞0 ，y＞0 ，则＝ cd x＋y2 2 xy2 ≥ ＝4，当且仅当x＝y时取等号． xy xy 答案 4
考向三
不等式在解析几何中的应用
【例3】►已知直线x＋a2y＋1＝0与直线(a2＋1)x－by＋3＝0互相垂直，a，b∈R且ab≠0，则 |ab |的最小值是________． [审题视点] 由直线垂直可得出a，b之间的关系．解析 1 ， a2
1 1 ∴|ab |＝ a1＋ 2＝a＋ ≥2 a a
当a＜0时，不等式的解集为{x|x＞0}． (3)∵f(x)＋2x≥0(x＞0)，即
2 2 1 1 ＋2x≥ .要满足此不等式恒成立只需 x ＋2x min大于或等于即 x a a
可， 2 而＋2x≥2 x 2 ×2x＝4，当且仅当x＝1时取等号． x
1 1 所以4≥ ，解得a＜0或a≥ . 4 a
因为两直线垂直，则满足a2＋1－ba2＝0.所以b＝1＋
1 |a |· ＝2，故|ab |的最小值是2. |a |
答案
2
在用不等式解决几何问题时，首先要几何问题代数化，再用不等式的相关知识来解决．
【训练3】
(2011· 江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原

(江苏专用)2017版高考数学专题7 不等式 48 不等式的概念及性质理

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学专题7 不等式 48 不等式的概念及性质理1．(2015·金华十校联考)设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋a >b ＋b”的________条件． 2．已知实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是________．①1x 2＋1>1y 2＋1；②ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)；③sin x >sin y ；④x 3>y 3. 3．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b，则M ，N 的大小关系是________． 4．设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则d 与AB 的大小关系为________．5．已知a >0，b >0，记M ＝a 2b ＋b 2a，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系为________． 6.(2015·江西南昌八中上学期第三次月考)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b＋1c，则T 与0的大小关系是________． 7．若存在x 使不等式x －me x >x 成立，则实数m 的取值范围为________．8．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围是________．9．已知a ，b ，c ∈R ，给出下列命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ab ≠0，则a b ＋b a ≥2；③若a >b >0，n ∈N *，则a n >b n ；④若log a b <0(a >0，a ≠1)，则(a －1)(b －1)<0.其中真命题的个数为________．10．已知0<a 0；②2a －b <12；③log 2a ＋log 2b <－2；④2a b ＋b a <12. 11．已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是__________________．12．如下图所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示为__________________．13．设a>0且a≠1，则log a(a3＋1)与log a(a2＋1)的大小关系为____________________．14．已知a，b，c∈{正实数}，且a2＋b2＝c2，当n∈N，n>2时，c n与a n＋b n的大小关系为________．答案解析1．充分不必要解析方法一因为a ＋1a －(b ＋1b )＝a －b ab －ab，所以若a >b >1，显然a ＋1a －(b ＋1b)＝a －b ab －ab >0，则充分性成立；当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．方法二令函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1x 2，可知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，所以“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的充分不必要条件． 2．④解析因为0<a <1，a x <a y ，所以x >y .采用赋值法判断，①中，当x ＝1，y ＝0时，12<1，①不成立；②中，当x ＝0，y ＝－1时，ln 1<ln 2，②不成立；③中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，③不成立；④中，因为函数y ＝x 3在R 上是增函数，④成立．3．M >N解析 ∵0<a <1b，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0， ∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab 1＋a 1＋b>0，∴M >N . 4．d ≤AB5．M ≥N解析 a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 2a －b ＋b 2b －a ab ＝a －b 2a ＋b ab≥0.故M ≥N . 6.T <0解析由a ＋b ＋c ＝0，abc >0，知三数中一正两负，不妨设a >0，b <0，c <0，则T ＝1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc＝ab ＋c b ＋a abc ＝ab －c 2abc. ∵ab <0，－c 2<0，abc >0，∴T <0.7．(－∞，0)解析由x －me x >x 得：－m >e x ×x －x (x >0)，令f (x )＝e x ×x －x (x >0)，则－m >f (x )min .f ′(x )＝e x ×x ＋e x ×12x －1≥2×e x－1>0(x >0)，所以f (x )为(0，＋∞)上的增函数，所以f (x )≥f (0)＝0，－m >0，m <0.8．[－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5.∴－1≤a －b ≤6.9．2解析当c ＝0时，ac 2＝bc 2＝0，所以①为假命题；当a 与b 异号时，a b <0，b a<0，所以②为假命题；③为真命题；若log a b <0(a >0，a ≠1)，则有可能a >1,01，即(a －1)(b －1)<0，所以④是真命题．综上，真命题有2个．10．③解析若0<a <1，此时log 2a <0，①错误； a －b <0，此时2a －b <1，②错误；由a b ＋ba >2ab ·b a ＝2,2a b ＋b a>22＝4，④错误；由a ＋b ＝1>2ab ，即ab <14，因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )<log 214＝－2.故③正确． 11．a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1解析 a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，因为a 1≤a 2，b 1≥b 2，所以a 1－a 2≤0，b 1－b 2≥0，于是(a 1－a 2)(b 1－b 2)≤0，故a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1.12.12(a 2＋b 2)>ab (a ≠b ) 解析图(1)所示广告牌的面积为12(a 2＋b 2)，图(2)所示广告牌的面积为ab ，显然不等式可表示为12(a 2＋b 2)>ab (a ≠b )． 13．log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)解析 (a 3＋1)－(a 2＋1)＝a 2(a －1)，①当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；②当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，∴总有log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)．14．c n >a n ＋b n解析 ∵a ，b ，c ∈{正实数}，∴a n ，b n ，c n >0. 而a n ＋b n c n ＝(a c )n ＋(b c)n . ∵a 2＋b 2＝c 2，则(a c )2＋(b c )2＝1，∴0<a c <1,02，∴(a c )n <(a c )2，(b c )n <(b c )2. ∴a n ＋b n c n ＝(a c )n ＋(b c )n <a 2＋b 2c 2＝1. ∴a n ＋b n <c n.。

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（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题7 不等式第42练不
等式的概念与性质练习文
1．(2016·镇江模拟)设A ＝
2a ＋2b ，B ＝a ＋b
(a ＞0，b ＞0)，则A ，B 的大小关系是________． 2．(2017·河南六市第一次联考)若1a ＜1
b
＜0，则下列结论不正确的是________．(填序号)
①a 2＜b 2；②ab ＜b 2
；③a ＋b ＜0；④|a |＋|b |＞|a ＋b |.
3．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中，能使log b 1b ＜log a 1
b
＜
log a b 成立的条件的序号是________．
4．(2016·济南模拟)已知实数x ，y 满足a x ＜a y
(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是________．(填序号) ①
1x 2
＋1＞1
y 2＋1
； ②ln(x 2
＋1)＞ln(y 2
＋1)； ③sin x ＞sin y ； ④x 3
＞y 3
.
5．若x ＞y ，a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤a y ＞b
x
这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．
6．(2016·北京西城区模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
a ，a ≤
b ，
b ，a ＞b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
b ，a ≤b ，
a ，a ＞
b .
若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则下列结论正确的是________．
①a ∧b ≥2，c ∧d ≤2; ②a ∧b ≥2，c ∨d ≥2； ③a ∨b ≥2，c ∧d ≤2; ④a ∨b ≥2，c ∨d ≥2.
7．(2016·常州模拟)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2
，c －b ＝4－4a ＋a 2
，则a ，b ，
c 的大小关系是______________．
8．设a ＞0，且a ≠1，P ＝log a (a 3－1)，Q ＝log a (a 2
－1)，则P 与Q 的大小关系是________． 9．对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式： ①log a (1＋a )＜log a (1＋1a )；
②log a (1＋a )＞log a (1＋1
a
)； ③a 1＋a
＜a 1＋1a ；
④a
1＋a
＞a 1＋1a
.
其中成立的是________．
10．(2016·苏州模拟)设a ＞b ＞c ＞0，x ＝a 2
＋b ＋c
2
，y ＝b 2＋c ＋a
2
，z ＝
c 2＋a ＋b
2
，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“＞”连接)
11．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2
≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3
y
4的最大值是________．
12．(2017·辽宁五校联考)三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，则b
a
的取值范围是________．
13．(2016·南京模拟)如图所示的两种广告牌中，图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示为______________．
14．已知－12＜a ＜0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2
，C ＝11＋a ，D ＝11－a ，则A ，B ，C ，D 的大小关系
是________．(用“＞”连接)
答案精析
1．A ＞B 2.④ 3.② 4.④ 5．②④
解析令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x ＞y ，a ＞b ，
∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．
∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③不成立．
∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2
－2
＝－1， ∴a y ＝b
x
，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立． 6．③
解析不妨设a ≤b ，c ≤d ，则a ∨b ＝b ，c ∧d ＝c .若b ＜2，则a ＜2，∴ab ＜4，与ab ≥4矛盾，
∴b ≥2.故a ∨b ≥2.
若c ＞2，则d ＞2，∴c ＋d ＞4，与c ＋d ≤4矛盾， ∴c ≤2.故c ∧d ≤2.故③正确． 7．c ≥b ＞a
解析 ∵c －b ＝4－4a ＋a 2
＝(a －2)2
≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2
， ∴2b ＝2＋2a 2
，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2
－a ＋1＝(a －12)2＋34＞0.
∴b ＞a ，∴c ≥b ＞a . 8．P ＞Q
解析由题意可知a ＞1.
∴(a 3
－1)－(a 2
－1)＝a 2
(a －1)＞0， ∴a 3
－1＞a 2
－1，
∴log a (a 3－1)＞log a (a 2
－1)，即P ＞Q . 9．②④
解析因为0＜a ＜1，所以(1＋a )－(1＋1a
)＝
a ＋
a －a
＜0，则1＋a ＜1＋1
a
，可知
②④成立． 10．z ＞y ＞x
解析方法一 y 2
－x 2
＝2c (a －b )＞0，∴y ＞x . 同理，z ＞y ，∴z ＞y ＞x .
方法二令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，
z ＝26，故z ＞y ＞x .
11．27
解析由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4
y
2≤81.
又3≤xy 2
≤8，∴18≤1xy 2≤13
，
∴2≤x 3y 4≤27.又x ＝3，y ＝1满足条件，这时x 3
y 4＝27.
∴x 3
y
4的最大值是27. 12．[23，32
]
解析两个不等式同时除以a ，得
⎩⎪⎨⎪⎧
1≤b a ＋c
a
≤2， ①b a ≤1＋c a ≤2·b a ， ②
将②乘(－1)，得
⎩⎪⎨⎪⎧
1≤b a ＋c
a ≤2，－2·b
a ≤－1－c a ≤－b
a
，
两式相加，得1－2b a ≤b a －1≤2－b a ，解得23≤b a ≤32.
13.12
(a 2＋b 2
)＞ab 解析 (1)中S 1＝12a 2＋12b 2＝12
(a 2＋b 2
)，
(2)中S 2＝ab ，
应有S 1＞S 2，即12(a 2＋b 2
)＞ab .
14．C ＞A ＞B ＞D
解析由已知得－12＜a ＜0，不妨取a ＝－1
4，
这时A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝4
5.
由此猜测：C ＞A ＞B ＞D . ∵C －A ＝11＋a －(1＋a 2
)
＝－a a 2＋a ＋1＋a ＝
－a a ＋
122
＋34]1＋a
.
又∵1＋a ＞0，－a ＞0，(a ＋12)2＋3
4＞0，∴C ＞A .
∵A －B ＝(1＋a 2
)－(1－a 2
)＝2a 2
＞0，∴A ＞B . ∵B －D ＝1－a 2－11－a
＝
a
a 2－a －1－a
＝
a
a －
122－5
4
]1－a
.
又∵－1
2＜a ＜0，∴1－a ＞0.
又∵(a －12)2－54＜(－12－12)2－5
4＜0，
∴B ＞D .
综上所述，C ＞A ＞B ＞D .。

江苏专用版高考数学专题复习专题7不等式第42练不等式的概念与性质练习文

答案第42讲 不等式选讲--高考数学习题和答案

高三数学专题复 习-不等式苏教版