高斯消元法
高斯消元法(完整)
高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。
那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。
一、线性方程组设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组（3.1） 其中系数，常数都是已知数，是未知量（也称为未知数）。
当右端常数项, , …, 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当== … == 0时，即（3.2） 称为齐次线性方程组。
由n 个数, , …, 组成的一个有序数组（, , …, ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的, , …, 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（, , …, ）为方程组（3.1）的一个解。
显然由=0,=0, …, =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。
（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。
因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。
）非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为：AX = B其中A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，X = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21，B = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n b b b 21 称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。
将系数矩阵A 和常数矩阵B 放在一起构成的矩阵][B A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m mn m m n n b b b a a a a a a a a a 21212222111211 称为方程组（3.1）的增广矩阵。
高斯消元法详解
高斯消元法详解高斯消元法是一种线性代数中用于解决线性方程组的方法。
它的基本思想是通过一系列的行变换将一个线性方程组转化为一个上三角矩阵，然后通过回带求解出未知数的值。
高斯消元法的基本步骤如下：1. 将待求解的线性方程组写成增广矩阵形式，即将系数矩阵和常数向量合并成一个矩阵。
2. 选取第一行第一列元素不为零的行作为主元行，通过初等行变换将该行化为主元，即使该行第一列元素为1，其余元素为0。
3. 对于每个未被选中的行，将其第一列元素通过初等行变换化为0。
具体做法是将该行乘以主元所在行第一列的相反数，并加到主元所在行上。
4. 重复步骤2和3直到所有未被选中的行都被化为0或者无法选取主元。
5. 回带求解出未知数的值。
从最后一行开始，依次代入已经求出来的未知数值并计算出当前未知数值。
需要注意的是，在进行高斯消元法时需要注意以下几点：1. 当选择主元时应尽量避免选取小数作为主元，因为小数的精度有限，可能会导致计算误差。
2. 当系数矩阵中存在多个相同的行时，需要将它们合并成一个行，以减少计算量。
3. 在进行回带求解时，应注意未知数的顺序和求解的顺序应该一致。
高斯消元法可以用于求解任意大小的线性方程组，但是当方程组的规模很大时，计算量会非常大。
此外，在某些情况下高斯消元法可能会出现无法选取主元或者主元为0的情况，此时需要采用其他方法进行求解。
总之，高斯消元法是一种简单而有效的线性方程组求解方法，在实际应用中得到了广泛的应用。
熟练掌握高斯消元法可以提高我们在科学计算和工程设计中的能力和水平。
第三讲 高斯消元法
高斯消元法3 高斯消元法高斯消元法以著名德国数学家Carl Friedrich Gauss(1777-1855)命名. Gauss被认为是历史上最重要的数学家之一，他在数学的众多分支，如数论、代数、分析、微分几何等以及统计学、物理学、天文学、大地测量学、地理学、电磁学、光学等领域都有重要的贡献. Gauss还享有“数学王子”的美誉.值得一提的是，这种解线性方程组的消元法最早出现在中国古代数学著作《九章算术》中，相关内容在大C. F. Gauss约公元前150年前就出现了.先看简单的例子：例3.1例3.2问：什么时候消元法停止呢？例3.3例3.4无解无穷多解小结：若消元过程中出现或则消元法中止.线性方程组的解有下列三种情况：1.有唯一解；2.无解；3.有无穷多解.有唯一解行图：两直线相交，有唯一交点列图：两列向量不共线无解行图：两直线平行，无交点列图：两列向量共线有无穷多解行图：两直线重合列图：两列向量共线例3.5上述求解过程可以推广到含个未知量个方程的情形.Gauss消元法的步骤：(1) 若方程组的第一个主元位置为则交换方程以得到第一个主元；(2) 用第一个方程的倍数消去第一个主元下方所有系数；(3) 确定第二个主元，继续以上消元过程；(4) 最后得到含一个未知量的方程，回代得方程组的解.个方程有个主元方程组有唯一解.消元中止方程组无解或有无穷多解(即出现或).例3.6个方程个未知量消元法成功个主元•若将系数矩阵第二行第二列元素由换成则消元法第二步要暂停，需先交换第二三行.•若将系数矩阵第三行第三列元素由换成则消元法中止，得不到第三个主元.个方程个未知量时,消元法成功是可逆上三角阵是可逆矩阵.已用来描述线性方程组.目标：用尽可能简洁的方式来描述对方程组消元化简的过程.回顾：设为行列的方阵, 为维向量.矩阵乘向量特别，的第个分量再看例3.6消元法第一步：第二个方程减去第一个方程的倍.我们想用一个矩阵实现这步消元.消元法第二步：第三个方程减去第二个方程的倍.•恰是单位矩阵的第二行减去第一行的倍得到的.•恰是单位矩阵的第三行减去第二行的倍得到的.称这样的矩阵为消去矩阵(elimination matrix), 这是一类初等矩阵(elementary matrix).注：单位矩阵(identity matrix) 与任何维向量相乘需定义矩阵与的乘法运算, 使上式成立.这种运算需满足定义：验证：••小结：消去过程消去矩阵同时左乘系数矩阵和常数项3.2 消元法的矩阵表示：置换阵若主元位置为零，需先交换方程再换元.再看例3.5交换第一、二方程交换第一、二行问：是否存在矩阵使3.2 消元法的矩阵表示：置换阵•满足要求.•为单位矩阵交换第一、二行得到的.•将单位阵的第行交换得到的矩阵是置换阵(permutation matrix).小结：将矩阵的第行交换.对方程组, 消元法涉及以下三种同解变形：(1)把一个方程减去另一个方程的倍数；(2)交换两个方程；(3)用一个非零数乘一个方程.相应地对增广矩阵作以下三种行变换：(1)把一行减去另一行的倍数；(2)交换两行；(3)用一个非零数乘一行.由单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵称为初等矩阵.例：为初等矩阵.对线性方程组作消元法，实质上是对矩阵作消元或换行.称矩阵为增广矩阵(augmented matrix).例：计算小结：对线性方程组的消元过程，即为一系列初等矩阵左乘增广矩阵例3.7 令为三阶矩阵.则的第二行减去第一行的倍.的第二行与第三行交换.小结：“左乘换行，右乘换列”.的第一列减去第二列的倍的第二列与第三列交换。
gaussjordan消元法
高斯-约当消元法（Gauss-Jordan elimination）是线性代数中的一种用于解线性方程组的方法。
它是高斯消元法（Gauss elimination）和约当消元法（Jordan elimination）的结合，通过进行一系列行变换将矩阵化为阶梯形或行最简形，从而求得线性方程组的解。
1. 高斯-约当消元法的基本思想高斯-约当消元法的基本思想是通过一系列行变换将系数矩阵变换为阶梯形或行最简形，从而求出线性方程组的解。
这些行变换包括交换方程的次序、用一个非零常数乘以一个方程、用一个非零常数乘以一个方程加到另一个方程。
2. 高斯-约当消元法的具体步骤高斯-约当消元法的具体步骤可以分为以下几步：（1）将线性方程组的系数矩阵和增广矩阵写出来；（2）通过行变换将系数矩阵化为阶梯形或行最简形；（3）通过回代求解得到线性方程组的解。
3. 高斯-约当消元法的优点与高斯消元法相比，高斯-约当消元法的优点在于它不仅可以解决系数矩阵为方阵的情况，还可以解决系数矩阵不为方阵的情况。
高斯-约当消元法适用范围更广。
另外，高斯-约当消元法在计算机求解线性方程组时也具有较高的效率，因此在实际应用中被广泛采用。
4. 高斯-约当消元法的应用高斯-约当消元法广泛应用于工程、物理学、计算机科学等领域。
在工程领域，高斯-约当消元法常用于解决结构分析、电路分析、传热传质问题等方面。
在物理学领域，高斯-约当消元法常用于解决运动学、动力学、静电学、磁场学等问题。
在计算机科学领域，高斯-约当消元法常用于解决图形学、计算机图形学、模式识别、人工智能等问题。
5. 总结高斯-约当消元法是一种高效、准确的线性方程组求解方法，它的基本思想是通过一系列行变换将系数矩阵化为阶梯形或行最简形，从而求得线性方程组的解。
在实际应用中，高斯-约当消元法被广泛应用于工程、物理学、计算机科学等领域，并展现出了较高的效率和准确性。
值得指出的是，高斯-约当消元法具有较强的通用性，并不仅限于方阵的情况，因此在实际应用中更加灵活和实用。
求向量组的秩的三种方法
求向量组的秩的三种方法一、概述向量组的秩，即向量组中线性无关向量的个数。
秩是线性代数中非常重要的概念，涉及到向量组的基、解空间及解的唯一性等概念。
本文将详细介绍求向量组秩的三种方法：高斯消元、矩阵的秩和行列式的秩，同时附上实例说明。
二、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种基本方法，用于消元、求解下三角矩阵和上三角矩阵。
在求向量组秩时，可以将向量组构成增广矩阵，通过高斯消元将其变为简化阶梯形矩阵，然后根据主元的数量，即非零行数，即可得到向量组的秩。
对于向量组：\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}构成增广矩阵：\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix}通过高斯消元可得简化阶梯形矩阵：\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}可知主元是1，非零行数是1，因此向量组的秩是1。
三、矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中非常基础的概念之一，也是求向量组秩的一种方法。
矩阵的秩是指在矩阵的行（或列）空间中，线性无关的向量的个数。
对于一个m\times n矩阵A，如果它的秩为r，则有以下三条性质：1. 行秩：A的行空间的秩为r；2. 列秩：A的列空间的秩为r；3. 行列式：A的任意r\times r子式的行列式不为0，而r+1阶子式的行列式为0。
由此可知，对于一个向量组，可以将其构成矩阵，然后求出矩阵的秩来得到向量组的秩。
对于向量组：\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}构成矩阵：A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix}通过对A做初等行变换，得到简化阶梯形矩阵：R=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}可知A的秩为1，因此向量组的秩也为1。
高斯消元法
高斯消元法
从高斯消元法的全过程可以看到，在利用其对方程组 进行变换的时候，发生改变的是方程组的系数及自由项， 所以我们可以用原方程组的增广矩阵进行相应的初等行变 换进行代替：
高斯消元法
当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形 矩阵后，要写出相应的方程组，然后用回代 的方法求出解．如果用矩阵将回代的过程表 示出来，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵 进一步简化，使其最终化成一个特殊的矩阵， 从这个特殊矩阵中就可以直接解出或“读出” 方程组的解．
高斯消元法
再将方程(4-3)的（-2）倍加到方程(4-2)，方程(4-3)的3倍加 到方程(4-4)，得
高Hale Waihona Puke 消元法用回代的方式可得方程组的解为
上例的解法可以用于任意线性方程组.从解的过程中可以 看出，对线性方程组我们可施行下列三种运算对方程组进行 化简：
（1）交换某两个方程的次序. （2）某一方程两端乘以一非零常数. （3）某一方程两端乘以同一常数加到另一方程上.
高斯消元法
【例4-5】
解线性方程组
解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵A化成阶梯形矩阵， 再求解，即
阶梯形矩阵的第三行000－2所表示的方程为0x1+0x2+0x3= －2．由该方程可知，无论x1,x2,x3取何值，都不能满足这个方程， 因此原方程组无解．
高斯消元法
【例4-6】
解线性方程组
高斯消元法
高斯消元法
高斯消元法
对于线性方程组，常用的求解方法 是高斯消元法，它的基本思想是通过对 方程组做同解变形，简化未知量的系数， 从而得到与原方程组同解且易直接求解 的阶梯形方程组，从而得到整个方程组 的解.下面举例说明其解法.
高斯消元法
线性方程组的几种求解方法
线性方程组的几种解法线性方程组形式如下：常记为矩阵形式其中一、高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。
现举例说明如下：（一）消元过程第一步：将(1)/3使x1的系数化为1 得再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得由(3)-4×(1)(1)得)1(32)2(......3432=+xx)1(321)1(......23132=++xxx第二步：将(2)(1)除以2/3，使x 2系数化为1，得再将(3)(1)式中x 2系数化为零，即 由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2)，得第三步：将(3)(2)除以18/3，使x 3系数化为1，得经消元后，得到如下三角代数方程组：（二）回代过程由(3)(3)得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2)得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1)得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T（三）、用矩阵演示进行消元过程第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式第二步：然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作（1） 将某行同乘或同除一个非零实数（2） 将某行加入到另一行 （3） 将任意两行互换第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形)3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63)18-=x )2(32)2(......02=+x x )1(32)3( (63)10314-=--x x示例：（四）高斯消元的公式综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为1．消元（1）令a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n）b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n）（2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n）a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n）b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n）2．回代若a nn(n) ≠0x n = b n(n) / a nn(n)x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n )（五）高斯消元法的条件消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。
高斯消元法(完整)
高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。
那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。
一、线性方程组设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m11112211211222221122+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.1） 其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。
当右端常数项b 1,b 2, …, b m 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m = 0时，即a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.2） 称为齐次线性方程组。
由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。
显然由x 1=0, x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。
（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。
因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。
）非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为：AX = B其中A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，X = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21，B = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n b b b 21 称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。
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高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。
那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。
一、线性方程组设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m m n n m11112211211222221122+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.1）其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。
当右端常数项b 1, b 2,…, b m 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m =0时，即a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m m n n 11112212112222112200+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.2）称为齐次线性方程组。
由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。
显然由x 1=0,x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。
（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。
因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。
） 非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为：AX = B其中A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m nn a a a a a a a a a212222111211，X = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x xx 21，B = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n b b b 21 称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。
将系数矩阵A 和常数矩阵B 放在一起构成的矩阵][B A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m m n m m n n b b b a a a a a a a a a21212222111211 称为方程组（3.1）的增广矩阵。
齐次线性方程组（3.2）的矩阵表示形式为：AX = O二、高斯消元法（下面介绍利用矩阵求解方程组的方法，那么矩阵初等行变换会不会改变方程组的解呢？我们先看一个定理。
）定理3.1 若用初等行变换将增广矩阵][B A 化为][D C ，则AX = B 与CX = D 是同解方程组。
证 由定理3.1可知，存在初等矩阵P 1, P 2, …, P k ，使 P k …P 2P 1()A B = ()C D 记P k …P 2P 1 = P ，则P 可逆，即P -1存在。
设X 1为方程组A X = B 的解，即 A X 1 = B 在上式两边左乘P ，得 P A X 1 = PB 即 C X 1= D 说明X 1也是方程组C X = D 的解。
反之，设X 2为方程组C X = D 的解，即 C X 2= D 在上式两边左乘P -1，得 P -1C X 2= P -1D 即 A X 2 = B 说明X 2也是方程组AX = B 的解。
因此，方程组A X = B 与C X = D 的解相同，即它们是同解方程组。
（证毕）(由定理3.1可知，求方程组（3.1）的解，可以利用初等行变换将其增广矩阵][B A 化简。
又有第二章定理2.10可知，通过初等行变换可以将][B A 化成阶梯形矩阵。
因此，我们得到了求解线性方程组（3.1）的一般方法：)用初等行变换将方程组（3.1）的增广矩阵][B A 化成阶梯形矩阵，再写出该阶梯形矩阵所对应的方程组，逐步回代，求出方程组的解。
因为它们为同解方程组，所以也就得到了原方程组（3.1）的解。
这种方法被称为高斯消元法，（下面举例说明用消元法求一般线性方程组解的方法和步骤。
）例1 解线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341234215320342221+--=-+--=-++=-++-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.3）解 先写出增广矩阵][B A，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即][B A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------11122241130235111211②①③①④①+-+-+−→−−−()()132⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------13340577401114011211 ③②④②++-−→−−−()1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------22200666001114011211④③+−→−−−()13⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----00000666001114011211上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组，最后一个增广矩阵表示的线性方程组为x x x x x x x x x 1234234342141666+--=---=+=⎧⎨⎪⎩⎪将最后一个方程乘16，再将x 4项移至等号的右端，得x x 341=-+将其代入第二个方程，解得212=x再将x x 23,代入第一个方程组，解得2141+-=x x因此，方程组（3.3）的解为⎪⎩⎪⎨⎧+-==+-=1212143241x x x x x （3.4）其中x 4可以任意取值。
由于未知量x 4的取值是任意实数，故方程组（3.3）的解有无穷多个。
由此可知，表示式（3.4）表示了方程组（3.3）的所有解。
表示式（3.4）中等号右端的未知量x 4称为自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）称为方程组（3.3）的一般解，当表示式（3.4）中的未知量x 4取定一个值（如x 4=1），得到方程组（3.3）的一个解（如x 112=-，x 212=，x 30=，x 41=），称之为方程组（3.3）的特解。
注意，自由未知量的选取不是唯一的，如例1也可以将x 3取作自由未知量。
如果将表示式（3.4）中的自由未知量x 4取一任意常数k ，即令x 4= k ，那么方程组（3.3）的一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==+-=kx k x x k x 432112121 ，其中k 为任意常数。
用矩阵形式表示为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k k k x x x x 121214321=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0121211101k （3.5） 其中k 为任意常数。
称表示式（3.5）为方程组（3.3）的全部解。
（用消元法解线性方程组的过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后，要写出相应的方程组，然后再用回代的方法求出解。
如果用矩阵将回代的过程表示出来，我们可以发现，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化，使其最终化成一个特殊的矩阵，从这个特殊矩阵中，就可以直接解出或“读出”方程组的解。
例如，）对例1中的阶梯形矩阵进一步化简，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----000666001114011211③①③②③162++−→−−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00111002004011011②①②141+-−→−−−()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000011100210010211001上述矩阵对应的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=+==+1212143241x x x x x 将此方程组中含x 4的项移到等号的右端，就得到原方程组（3.3）的一般解，⎪⎩⎪⎨⎧+-==+-=1212143241x x x x x （3.4） 其中x 4可以任意取值。
例2 解线性方程组 x x x x x x x x x x x x 123123123123234235743992588+-=+-=+-=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵[]B A化成阶梯阵，再求解。
即 []B A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----8852993475324321→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0210735011104321→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------1100220011104321→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000110011104321→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000110020107021→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000110020103001 一般解为x x x 123321===⎧⎨⎪⎩⎪例3 解线性方程组x x x x x x x x x 1231231231242253++=-+-=+-=⎧⎨⎪⎩⎪解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵[]B A 化成阶梯阵，再求解。
即 []B A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---315224211111→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--13333301111→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--2033301111阶梯形矩阵的第三行“0, 0, 0, -2”所表示的方程为：0002123x x x ++=-，由该方程可知，无论x 1，x 2，x 3取何值，都不能满足这个方程。
因此，原方程组无解。
三、线性方程组的解的判定前面介绍了用高斯消元法解线性方程组的方法，通过例题可知，线性方程组的解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无解。
从求解过程可以看出，方程组（3.1）是否有解，关键在于增广矩阵[A B ]化成阶梯非零行的行数与系数矩阵A 化成阶梯形矩阵后非零行的行数是否相等。
因此，线性方程组是否有解，就可以用其系数矩阵和增广矩阵的秩来描述了。
定理3.9 线性方程组（3.1）有解的充分必要是=。
推论1 线性方程组有唯一解的充分必要条件是r A ()＝r A B ()= n 。
推论2 线性方程组有无穷多解的充分必要条件是r A ()＝r A B ()<n 。
（将上述结论应用到齐次线性方程组（3.2）上，则总有r A ()＝r A B ()。
因此齐次线性方程组一定有解。
并且有）例4 判别下列方程组是否有解？若有解，是有唯一解还是有无穷多解？(1) x x x x x x x x x x x x 12312312312323117236324+-=---+=-+=-++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ (2)x x x x x x x x x x x x 123123123123231127236325+-=---+=-+=-++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ (3) x x x x x x x x x x x x 12312312312323117236325+-=---+=-+=-++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解 (1) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即[A B ]=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------42136132711111321→ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------2977028770421011321→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------10000700421011321 因为 r A B ()= 4，r A ()=3，两者不等，所以方程组无解。