第四章 章末优化总结

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2．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆，出厂价为 1.2 万 元/辆，年销售量为 1 000 辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加 投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为 0.75x，同时预计年销售量增加的比例为 0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年 销售量． (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例 x 应在什么范围？
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(1)通话 2 小时，两种方案的话费分别为 116 元、168 元． 3 3 3 (2)因为 fB(n＋1)－fB(n)＝ (n＋ 1)＋18－ n－18＝ ＝0.3(元)(n>500)， 10 10 10 所以方案 B 从 500 分钟以后，每分钟收费 0.3 元． (3)由题图知，当 0≤x≤60 时，有 fA(x)<fB(x)． 当 x>500 时，fA(x)>fB(x)， 880 当 60<x≤500 时，由 fA(x)>fB(x)，得 x> ， 3 880 即当通话时间在( ，＋∞)时，方案 B 比方案 A 优惠． 3
答案：A
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章末检测
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[解析] 令 t＝x2－1，且 y1＝t2－|t|，y＝－k，在同一坐标系作出函数 y1＝t2－|t|，y＝ －k 的图像，如图所示．
当 k＝0 时，函数 y1＝t2－|t|，y＝－k 的图像有 3 个交点：－1,0,1，相应地，应有 x2 －1＝1，x2－1＝－1，x2－1＝0，则此时方程有 5 个不同实根；
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1．下列说法正确的有________． ①对于函数 f(x)＝x2＋mx＋n，若 f(a)>0，f(b)>0，则函数 f(x)在区间(a，b)内一定没 有零点． ②函数 f(x)＝2x－x2 有两个零点． ③若奇函数、偶函数有零点，其和为 0. ④当 a＝1 时，函数 f(x)＝|x2－2x|－a 有三个零点．
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当 k<0 时，此时－k>0，函数 y1＝t2－|t|，y＝－k 的图像有 2 个交点，此时 t2－|t|＋k 1＋ 1－4k 1＋ 1－4k 3＋ 1－4k 2 2 ＝0， Δ＝1－4k>0， 从而|t|＝ ， 则|x －1|＝ ， 即x＝ 或 2 2 2 1－ 1－4k <0(舍去)，则此时方程有 2 个不同的实根； 2 1 1 2 2 当 k＝ 时，函数 y1＝t －|t|，y＝－k 的图像有 2 个交点，且 |x －1|＝ ，则此时方程有 4 2 4 个不同实根； 1 当 0<k< 时，函数 y1＝t2－|t|，y＝－k 的图像有 4 个交点，从而原方程有 8 个不同实 4 根．从而假命题的个数为 0.故选 A.
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(2)设 t＝ex，则 h(t)＝t2＋|t－a|(显然 t∈[1,3])． 当 a≤1 时，h(t)＝t2＋t－a 在区间[1,3]上是增函数，所以 h(t)的最小值为 h(1)＝2－a. 当 1<a≤2
2 t －t＋a 2时，h(t)＝ 2 t ＋t－a
[答案] A
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3．若方程|ax|＝x＋a(a>0)有两个解，则 a 的取值范围是( A．(1，＋∞) C．(0，＋∞) B．(0,1) D．∅
)
解析：对 a 分三种情况讨论，画出图像，结合图像求解．分三种情况，在同一坐标系中 画出 y＝|ax|和 y＝x＋a 的图像如图．结合图像可知方程|ax|＝x＋a 有两个解时，有 a>1.
1≤t≤a . a<t≤3
因为函数 h(t)在区间[a,3]上是增函数，在区间[1，a]上也是增函数， 又函数 h(t)在[1,3]上为连续函数， 所以函数 h(t)在[1,3]上为增函数， 所以 h(t)的最小值为 h(1)＝a. 综上可得：当 a≤1 时，g(x)的最小值为 2－a； 当 1<a≤2 2时，g(x)的最小值为 a.
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返回 的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题：①存在实数 k， 使得方程恰有 2 个不同的实根；②存在实数 k，使得方程恰有 4 个不同的实根；③存 在实数 k，使得方程恰有 5 个不同的实根；④存在实数 k，使得方程恰有 8 个不同的 实根．其中假命题的个数是( A．0 C．2 ) B．1 D．3
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设 g(x)＝e2x＋|ex－a|，x∈[0，ln 3]，其中 a≤2 2. (1)当 a＝1 时，函数 g(x)是否存在零点，若存在，求出所有零点；若不存在，说明理由． (2)求函数 g(x)的最小值．
[解析] (1)当 a＝1 时，设 t＝ex(显然 t∈[1,3])， 则 h(t)＝t2＋t－1， 令 h(t)＝t2＋t－1＝0， －1＋ 5 －1－ 5 解得 t＝ 或 t＝ 都不满足 t∈[1,3]， 2 2 ∴函数 g(x)不存在零点．
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[解析] 由题图可知 M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD. 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为 fA(x)，fB(x)，则 980≤x≤60 fA(x)＝ 3 x＋80x>60； 10 1680≤x≤500， fB(x)＝ 3 x＋18x>500. 10
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网络 体系构建
专题 归纳整合
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专题一 函数零点与其对应方程根的关系及应用 根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个函数是 否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．从图形上 说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标．函数的零点、方程的 根、函数图像与x轴的交点三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可 以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转 化，思考时要多加注意．
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解析：①错，如图(1)．
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②错，应有三个零点． ③对，奇函数、偶函数图像与 x 轴的交点关于原点对称，其和为 0. ④设 u(x)＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|，如图(2)要使 f(x)＝|x2－2x|－a 有三个零点，∴a＝1.
答案：③④
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电信局为了配合客户的不同需要，设有 A、B 两种优惠方案，这两种方案的 应付话费 ( 元 ) 与通话时间 ( 分钟 ) 之间的关系如图所示 ( 实线部分 )( 注：图中 MN ∥ CD)．试问：
(1)若通话时间为 2 小时，按方案 A、B 各付话费多少元？ (2)方案 B 从 500 分钟以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案 B 才会比方案 A 优惠？
000>0，
2 －60x ＋20x>0， 即 0<x<1.
解不等式组，得 0<x<0.33. 故为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例 x 的取值范围是 0<x<0.33.
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专题三 分类讨论思想 1．需分类讨论的情形：(1)涉及的数学概念是分类定义的．(2)运用的数学定理、公式 或运算性质、法则是分类给出的．(3)求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能 的．(4)数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同的结果．(5)较复杂 的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略． 2．分类讨论的步骤：(1)确定讨论的对象以及被讨论对象的全体．(2)合理分类，统一 标准，不重不漏．(3)逐段逐类讨论，分级进行．(4)归纳总结，得出整个题目的结论．
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专题二 函数模型及其应用 函数模型在实际问题中有重要和广泛的应用，尤其是解决实际问题中的最大、最 小、最多、最少、最省等问题． 解决此类问题的关键是理解透题意，选择合适的函数模型，建立函数关系式，利 用函数的性质，通过数学问题解决实际问题． 已知函数模型的应用问题，采用待定系数法或代入法求出函数关系式，然后去解 其他问题．
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解析：(1)由题意得 y＝[1.2× (1＋0.75x)－1× (1＋x)]×[1 000× (1＋0.6x)](0<x<1)， 整理，得 y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1)． (2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，根据题意必须满足
y－1.2－1×1 0<x<1，