(暑假一日一练)2020年高中数学第二章2.1空间2.1.1平面优化练习新人教A版必修2
【高中数学】第二章 2.1.1
第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1平面[学习目标] 1.了解平面的概念及表示方法.2.理解平面的公理1，公理2，公理3.3.会用符号语言准确表述几何对象的位置关系．[知识链接]1．在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、重合．2．点和直线的位置关系有点在直线上和点在直线外．[预习导引]1．平面的概念(1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．(2)平面的画法①水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.(3)平面的表示法图①的平面可表示为平面α，平面ABCD，平面AC或平面BD.2．点、线、面之间的关系(1)直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.图形题的依据要点一三种语言的转换例1用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于P A，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝P A，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图①.(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图②.规律方法 1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．2．根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．跟踪演练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.解(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.要点二点线共面问题例2证明：两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内．证明方法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．方法二(重合法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．规律方法在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．(2)重合法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内．跟踪演练2已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．证明如图所示．由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面．要点三点共线与线共点问题例3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线．证明 ∵MN ∩EF ＝Q ， ∴Q ∈直线MN ，Q ∈直线EF ， 又∵M ∈直线CD ，N ∈直线AB ， CD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD . ∴M 、N ∈平面ABCD ，∴MN ⊂平面ABCD .∴Q ∈平面ABCD . 同理，可得EF ⊂平面ADD 1A 1. ∴Q ∈平面ADD 1A 1.又∵平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝AD ， ∴Q ∈直线AD ，即D 、A 、Q 三点共线． 规律方法 点共线与线共点的证明方法：(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．跟踪演练3 如图所示，已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且BG GC ＝DHHC＝2.求证：直线EG ，FH ，AC 相交于同一点．证明 ∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD 且EF ＝12BD .又∵BG GC ＝DHHC＝2，∴GH ∥BD 且GH ＝13BD ，∴EF ∥GH 且EF >GH ，∴四边形EFHG 是梯形，其两腰所在直线必相交， 设两腰EG ，FH 的延长线相交于一点P ， ∵EG ⊂平面ABC ，FH ⊂平面ACD ， ∴P ∈平面ABC ，P ∈平面ACD ， 又∵平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴P ∈AC ，故直线EG ，FH ，AC 相交于同一点.1．下列命题中正确的个数是( ) ①一个平面长4米，宽2米； ②2个平面重叠在一起比一个平面厚； ③一个平面的面积是25平方米；④将一个平面内的一条直线延长，它就会伸出这个平面． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 几何中的平面是无限延展的，不可进行所有类型的度量，容易判断所有命题都不对． 2．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是( )答案 D解析 画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示．3．若点Q 在直线b 上，b 在平面β内，则Q ，b ，β之间的关系可记作( ) A ．Q ∈b ∈β B ．Q ∈b ⊂β C ．Q ⊂b ⊂β D ．Q ⊂b ∈β 答案 B解析 ∵点Q (元素)在直线b (集合)上，∴Q ∈b .又∵直线b (集合)在平面β(集合)内，∴b ⊂β，∴Q∈b⊂β.4．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________. 答案C解析∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.5．(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面．(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面．答案(1)4(2)7解析(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面．(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面．1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个公理的作用，体会先部分再整体的思想．一、基础达标1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述正确的个数是()①A∈a，a⊄α⇒A∉α；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③A∉a，a⊂α⇒A∉α；④A∈a，a⊂α⇒A⊂α. A．0 B．1 C．2 D．3答案 A解析①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A ∉a，a⊂α，但A∈α；④不正确，“A⊂α”表述错误．2．在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案 A解析A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；BCD都是平面的基本性质公理．3．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合答案 C解析∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β.由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β＝A的写法错误．4．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中()A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线答案 B解析如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A、B、D不共线．5．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.答案∈解析因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l. 6．平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β，且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________.答案直线PR解析如图，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.又R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.7．已知△ABC在平面α外，直线AB∩α＝P，直线AC∩α＝R，直线BC∩α＝Q，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．证明∵直线AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又∵AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.则由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．故P，Q，R三点共线于平面ABC与平面α的交线．二、能力提升8．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是()A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，A，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面答案 D解析在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M.∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴选项A，B，C均正确，D不正确．9．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．答案共线解析∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．答案36解析正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．11. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：(1)E，F，D1，C四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图，分别连接EF，A1B，D1C.∵E，F分别是AB和AA1的中点，∴EF 綊12A 1B .又A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1D 1CB 为平行四边形． ∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1. ∴EF 与CD 1确定一个平面，∴E ，F ，D 1，C 四点共面．(2)∵EF 綊12CD 1，∴直线D 1F 和CE 必相交．设D 1F ∩CE ＝P ，∵D 1F ⊂平面AA 1D 1D ，P ∈D 1F ， ∴P ∈平面AA 1D 1D .又CE ⊂平面ABCD ，P ∈EC ， ∴P ∈平面ABCD .∴P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点． 又平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝AD ， ∴P ∈AD ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点． 三、探究与创新12. 如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB >CD ，S 是直角梯形ABCD 所在平面外一点，画出平面SBD 和平面SAC 的交线．解 很明显，点S 是平面SBD 和平面SAC 的一个公共点，即点S 在交线上．由于AB >CD ，则分别延长D 和BD 交于点E ，如图所示，∵E ∈AC ，AC ⊂平面SAC ， ∴E ∈平面SAC .同理，可证E ∈平面SBD .∴点E 在平面SBD 和平面SAC 的交线上，则连接SE ，直线SE 就是平面SBD 和平面SAC 的交线．13．在棱长是a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AA 1、D 1C 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l . (1)画出交线l ；(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求PB 1的长； (3)求点D 1到l 的距离．解 (1)如图，延长DM 交D 1A 1的延长线于点Q ，则点Q 是平面DMN 与平面A 1B 1C 1D 1的一个公共点．连接QN ，则直线QN 就是两平面的交线l .(2)∵M 是AA 1的中点，MA 1∥DD 1， ∴A 1是QD 1的中点． 又∵A 1P ∥D 1N ，∴A 1P ＝12D 1N .∵N 是D 1C 1的中点，∴A 1P ＝14D 1C 1＝a4，∴PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝34a .(3)过点D 1作D 1H ⊥PN 于点H ，则D 1H 的长就是点D 1到l 的距离．∵QD 1＝2A 1D 1＝2a ，D 1N ＝a2，∴D 1H ＝D 1Q ·D 1N QN ＝2a ·a 24a 2＋a24＝21717a . 即点D 1到l 的距离是21717a .高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.1.1向量的概念学案新人教B版必修4
2．1.1 向量的概念1.了解平面向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，两个向量相等的含义． 3.掌握向量的几何表示．1．向量的定义及表示方法 (1)向量：具有大小和方向的量． (2)向量的表示方法2．与向量有关的概念(1)零向量：长度等于零的向量，记作0. (2)向量共线或平行基线：通过有向线段AB →的直线，叫做向量AB →的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．共线向量的方向相同或相反．向量a 平行于b ，记作a ∥b ．(3)相等向量：两个向量a 和b 同向且等长，即a 和b 相等，记作a ＝b . (4)向量的长度(模)如果AB →＝a ，那么AB →的长度表示向量a 的大小，也叫做a 的长(或模)，记作|a |. 3．用向量表示点的位置任给一定点O 和向量a (如图)，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA →常叫做点A 相对于点O 的位置向量．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的模是一个正实数．( ) (2)向量就是有向线段．( ) (3)向量AB →与向量BA →是相等向量．( )(4)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (5)零向量是最小的向量．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 2．已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是M D ．终点是M 答案：D3.如图，在⊙O 中，向量OB →、OC →、AO →是( )A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量 答案：C4．若A 地位于B 地正西方向5 km 处，C 地位于A 地正北方向5 km 处，则C 地相对于B 地的位移是________．解析：如图所示C 地相对于B 地的位移是西北方向5 2 km.答案：西北方向5 2 km向量的概念[学生用书P34]下列关于向量的说法正确的个数是( )①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同，长度相等的两个非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线．A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】 起点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；起点相同，长度相等的两个非零向量的终点不一定相同，其终点在一个圆上，故②不正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．【答案】 D对于概念性题目，关键把握好概念的内涵与外延，正确理解向量共线、向量相等的概念，清楚它们的区别与联系．给出下列几种说法：①若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ； ②若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ③若两向量有相同的基线，则两向量相等． 其中错误说法的序号是______．解析：①错误．共线向量是指向量的基线互相平行或重合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等．②错误．向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小．③错误．两向量有相同的基线表示两向量共线(或平行)，但两向量的大小和方向都不一定相同．答案：①②③向量的表示[学生用书P34]一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【解】 (1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反， 故AB →与CD →共线， 即AB ∥CD . 又|AB →|＝|CD →|，所以四边形ABCD 为平行四边形． 所以|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．用有向线段表示向量的步骤在如图所示的坐标纸中，每个小正方形的边长为1，画出下列向量．(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向；(2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向； (3)|BC →|＝6，点C 在点B 正东方向． 解：(1)(2)(3)如图：相等向量与共线向量[学生用书P35]如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．【解】 (1)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →. (2)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(3)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，FA →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.相等向量与共线向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c .[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．如图所示的▱ABCD ，OA →＝a ，OB →＝b .(1)与OA →的模相等的向量有多少个？ (2)与OA →的模相等且方向相反的向量有哪些？ (3)写出分别与OA →、AB →共线的向量．解：(1)与OA →的模相等的向量有OC →，AO →，CO →三个向量． (2)与OA →的模相等且方向相反的向量为OC →，AO →.(3)与OA →共线的向量有AO →，AC →，OC →，CO →，CA →；与AB →共线的向量有DC →，CD →，BA →.1．向量既有大小又有方向，但不能比较大小，向量的模是数量，可以比较大小．对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的．2．平行(共线)概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这里的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，与是否在一条直线上无关．向量平行与直线平行的区别1．直线的平行具有传递性，即a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c .2．向量的平行不具有传递性，即若a ∥b ，b ∥c ，则未必有a ∥c ，因为若b ＝0，它与任意向量共线，故a ，c 两向量不一定共线．1．下列物理量：①速度；②位移；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定，具备了向量的两个要素，所以是向量；而路程、密度只有大小没有方向，所以不是向量．故选B.2．下列关于零向量的说法不正确的是( ) A ．零向量是没有方向的向量 B ．零向量的方向是任意的 C ．零向量与任一向量平行 D ．零向量只能与零向量相等解析：选A.零向量的方向是任意的，是有方向的．3．如图，小正方形的边长为1，则|AB →|＝________；|CD →|＝________；|EF →|＝________．解析：根据勾股定理可得|AB →|＝32，|CD →|＝26， |EF →|＝2 2. 答案：3 226 2 24．在四边形ABCD 中，若AB →∥CD →，且|AB →|≠|CD →|，四边形ABCD 为________． 解析：由题意可知，对边AB 与CD 平行且不相等，故四边形ABCD 为梯形．答案：梯形, [学生用书P103(单独成册)])[A 基础达标]1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等； ④与非零向量a 共线的单位向量是a |a|. A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或－a|a|，故④也是错误的． 2．若a 为任一非零向量，b 的模为1，给出下列各式： ①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1. 其中正确的是( ) A ．①④ B ．③ C ．①②③D ．②③解析：选B.①中，|a |的大小不能确定，故①错误；②中，两个非零向量的方向不确定，故②错误；④中，向量的模是一个非负实数，故④错误；③正确．选B.3．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为1解析：选D.A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则两向量共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．4．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形解析：选C.由BA →＝CD →，知AB ＝CD 且AB ∥CD ， 即四边形ABCD 为平行四边形． 又因为|AB →|＝|AD →|， 所以四边形ABCD 为菱形．5．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A ．AB →＝OC → B ．AB →∥DE → C ．|AD →|＝|BE →|D ．AD →＝FC →解析：选D.由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →、FC →不共线，故AD →≠FC →，故选D. 6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．解析：因为正方形的对角线长为22， 所以|OA →|＝ 2. 答案： 27．给出下列三个条件：①|a |＝|b |；②a 与b 方向相反；③|a |＝0或|b |＝0，其中能使a ∥b 成立的条件是________．解析：由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向， 即①不能够使a ∥b 成立； 因为a 与b 方向相反时，a ∥b ， 即②能够使a ∥b 成立； 因为零向量与任意向量共线， 所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是②③. 答案：②③8．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 不共线， 所以AB →与BC →不共线． 又m 与AB →，BC →都共线， 所以m ＝0. 答案：09．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a .(1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么． 解：(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如图所示．10．如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.证明：因为AB →＝DC →， 所以|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD ， 所以四边形ABCD 是平行四边形， 所以|DA →|＝|CB →|且DA ∥CB .同理可得，四边形CNAM 是平行四边形， 所以CM →＝NA →. 所以|CM →|＝|NA →|， 所以|MB →|＝|DN →|， 又DN →与MB →的方向相同， 所以DN →＝MB →.[B 能力提升]11．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是( ) A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C ．BD →的模恰为DA →模的3倍 D ．CB →与DA →不共线解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中CB →，DA →所在直线平行，向量方向相同，故共线．12．如图所示，已知四边形ABCD 是矩形，O 为对角线AC 与BD 的交点，设点集M ＝{O ，A ，B ，C ，D }，向量的集合T ＝{PQ →|P ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，则集合T 有________个元素．解析：以矩形ABCD 的四个顶点及它的对角线交点O 五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有20个．但这20个向量中有8对向量是相等的，其余12个向量各不相等，即为AO →(OC →)、OA →(CO →)，DO →(OB →)，BO →(OD →)，AD →(BC →)，DA →(CB →)，AB →(DC →)，BA →(CD →)，AC →，CA →，BD →，DB →，由元素的互异性知T 中有12个元素．答案：1213．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向沿东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求向量AD →的模．解：(1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示：(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)．所以|AD →|＝55米．14．(选做题)如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B ，点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →；(2)求|BC →|的最大值与最小值．解：(1)画出所有的向量AC →，如图所示．(2)由第一问所画的图知，①当点C 位于点C 1和C 2时，|BC →|取得最小值12＋22＝5；②当点C 位于点C 5和C 6时，|BC →|取得最大值42＋52＝41.所以|BC →|的最大值为41，最小值为 5.。
(暑假一日一练)2020学年高二数学下学期第二次月考试题(新版)人教新目标版
高二第2学期第2次考试数学试题一、单选题1．在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们这平面向量集合上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个向量，，当且仅当“”或“且”，按上述定义的关系“”，给出下列四个命题：①若，，，则；②若，，则；③若，则对于任意的，；④对于任意的向量，其中，若，则．其中正确的命题的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 12．如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（）A. B. C. D.3．设函数，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4．已知函数是定义在上的偶函数，且满足若函数有六个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.5．已知， 分别是双曲线：（，）的左、右焦点，若上存在一点使得，则的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D.6．函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则在上的最小值是（ ）A. B. C. D.7．设函数满足，且是上的增函数，则，，的大小关系是（ ） A.B.C.D.8．已知O 为锐角ABC ∆的外心， 3AB =u u u v ， 23AC =u u u v 若AO x AB y AC =+u u u v u u u v u u u v，且9128x y +=.记1l OA OB =⋅u u u v u u u v ， 2l OB OC =⋅u u u v u u u v ， 3l OA OC =⋅u u u v u u u v，则（ ）A. 213l l l <<B. 321l l l <<C. 312l l l <<D. 231l l l <<9．已知ABC ∆得内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且a b c <<， P 点在ABC ∆所在平面上的投影恰好是ABC ∆的重心G ，设平面,,PAB PAC PCB 与底面ABC 所成的锐二面角分别为,,αβγ，则（ ）A. αβγ>>B. αβγ<<C. αβγ==D. αγβ<<10．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动点， Q 为2C 上的动点， w 是OP OQ ⋅u u u v u u u v的最大值. 记(){,|P Q P Ω=在1C 上， Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=u u u v u u u v，则Ω中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个11．已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++， *n N ∈，则“存在*k N ∈， 使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ） A. 0a ≥ B. 0b ≤ C. 0c = D. 20a b c -+= 12．已知(){|0}M fαα==, (){|0}N g ββ==,若存在M α∈， Nβ∈，使得n αβ-<，则称函数 ()f x 与 ()g x 互为“n 度零点函数”.若()231x f x -=-与()2x g x x ae =-互为“1 度零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ）A. 3294,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 242,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 3349,e e ⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题13．已知函数在其定义域上不单调，则的取值范围是__________． 14．在平面四边形中，，，，，则的最大值为__________．15．已知0,0a b >>，则2222629ab abb a b a+++的最大值是__________．16．如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合{}1234,,,P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“”的点分布在P l 的两侧. 用()1P D l 和()2P D l 分别表示P l 一侧和另一侧的“”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直线P l 中有且只有一条满足()()12P P D l D l =，则Ω中所有这样的P 为________三、解答题17．已知函数，，，为自然对数的底数.（Ⅰ）若函数在上存在零点，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数在处的切线方程为.求证：对任意的，总有.18．已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于，两点，与椭圆相交于，两点，当且时，求的面积的取值范围．参考答案BCCDC DADAD 11．A 12．B 13．14． 15．3 16．1P 、3P 17．（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析.（Ⅰ）易得.若，有，不合题意；若，有，，满足题设；若，令，得∴在上单调递减；在单调递增， 则，∴.又满足题设，综上所述，所求实数.（Ⅱ）证明：易得，，则由题意，得，解得.∴，从而，即切点为.将切点坐标代入中，解得. ∴.要证，即证（，只需证）.令，.则由，得，∴在上单调递减；在上单调递增，∴.又由，得∴在上单调递增；在上单调递减，∴.∴，显然，上式的等号不能同时取到.故对任意的，总有.18．(1);(2).（1）∵，则为线段的中点，∴是的中位线，又，∴，于是，且，解得，，∴椭圆的标准方程为．（2）由（1）知，，由题意，设直线的方程为，，，由得，则，．．∵，∴，解得．由消得，设，，则．设，则，其中，∵关于在上为减函数，∴，即的面积的取值范围为．。
(暑假一日一练)2020年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法优化练习新人教A版选修2-2
2.3 数学归纳法[课时作业] [A 组 基础巩固]1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：边数最少的凸n 边形是三角形． 答案：C2．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n·1·3…(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左边需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1解析：当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时， 左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋1＋k )(2k ＋2) ＝(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k )(2k ＋1)×2， 故需增乘的代数式为2(2k ＋1)． 答案：B3．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形对角线的条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析：增加一个顶点，就增加n ＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f (n ＋1)＝f (n )＋1＋n ＋1－3＝f (n )＋n －1.故应选C.答案：C4．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N)能被8整除时，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1可变形为( )A ．56·34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)B ．34·34k ＋1＋52·52kC ．34k ＋1＋52k ＋1D ．25(34k ＋1＋52k ＋1)解析：34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝81×34k ＋1＋25×52k ＋1＝56×34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)．答案：A 5．已知f (n )＝1n －1＋1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (1)2，则( ) A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝1＋12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n ＋2项，当n ＝2时，f (2)＝1＋12＋13＋14D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝1＋12＋13＋14解析：由条件可知，f (n )共有项数为n 2－(n －1)＋1＝n 2－n ＋2项，且n ＝2时，f (2)＝11＋12＋13＋14.故选C.答案：C6．凸k 边形内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 解析：将k ＋1边形A 1A 2…A k A k ＋1的顶点A 1与A k 相连，则原多边形被分割为k 边形A 1A 2…A k 与三角形A 1A k A k ＋1，其内角和f (k ＋1)是k 边形的内角和f (k )与△A 1A k A k ＋1的内角和π的和，即f (k ＋1)＝f (k )＋π.答案：π7．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算出a 2，a 3，a 4后，归纳猜想得出a n 的表达式为________．解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1， ∴a 2＝a 13a 1＋1＝27，a 3＝a 23a 2＋1＝213，a 4＝a 33a 3＋1＝219，于是猜想a n ＝26n －5.答案：a n ＝26n －5(n ∈N *)8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n (n ∈N *)．(1)计算a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明． 解析：(1)a 1＝1，a 2＝a 11＋a 1＝12，a 3＝a 21＋a 2＝13，a 4＝a 31＋a 3＝14. (2)由(1)的计算猜想：a n ＝1n.下面用数学归纳法进行证明： ①当n ＝1时，a 1＝1，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即a k ＝1k，那么，a k ＋1＝a k 1＋a k ＝1k1＋1k＝1k ＋1， 即当n ＝k ＋1时等式也成立． 由①②可知，对任意n ∈N *都有a n ＝1n.9．用数学归纳法证明： 122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明：(1)当n ＝2时，左边＝122＝14，右边＝1－12＝12.因为14<12，所以不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k ， 则当n ＝k ＋1时， 122＋132＋142＋…＋1k 2＋1k ＋12<1－1k＋1k ＋12＝1－k ＋12－kk k ＋12＝1－k 2＋k ＋1k k ＋12<1－k k ＋1k k ＋12＝1－1k ＋1. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．[B 组 能力提升]1．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f (n )，则最大的m的值为( )A．30 B．26C．9 D．6解析：因为f(1)＝36＝4×9，f(2)＝108＝12×9，f(3)＝360＝40×9，所以f(1)，f(2)，f(3)都被9整除，推测最大的m值为9.答案：C2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析：对于A项，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A项错误．对于B项，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B项错误．对于C项，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C项错误．对于D项，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D项．答案：D3．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.答案：54．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n＞4时，f(n)＝________(用n表示)．解析：f(2)＝0，f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f(3)－f(2)＝2，f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，……f(n)－f(n－1)＝n－1.累加，得f(n)－f(2)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝2＋n －12(n －2)．∴f (n )＝12(n ＋1)(n －2)．答案：5 12(n ＋1)(n －2)5．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论． 解析：当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1， 当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4， 当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9， 当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16， 由此可以猜想， 2n ＋2>n 2(n ∈N *)成立． 下面用数学归纳法证明： (1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边>右边， 所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6， 右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9， 所以左边>右边． 不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥3，且k ∈N *)时，不等式成立， 即2k＋2>k 2，那么当n ＝k ＋1时， 2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2.又因：2k 2－2－(k ＋1)2＝k 2－2k －3 ＝(k －3)(k ＋1)≥0， 即2k 2－2≥(k ＋1)2，故2k ＋1＋2>(k ＋1)2成立．原不等式成立．根据(1)和(2)知，原不等式对于任何n ∈N *都成立．6．已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－12b n .(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由．解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27.因为{a n }的公差大于0，所以a 5>a 2， 所以a 2＝3，a 5＝9. 所以d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1，即a n ＝2n －1.因为T n ＝1－12b n ，所以b 1＝23.当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1，所以b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －(1－12b n －1)，化简得b n ＝13b n －1.所以{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，即b n ＝23·(13)n －1＝23n .所以a n ＝2n －1，b n ＝23n .(2)因为S n ＝1＋2n －12×n ＝n 2，所以S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n2.下面比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，所以1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，所以1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，所以1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，所以1b 4>S 5，猜想：n ≥4时，1b n>S n ＋1.下面用数学归纳法证明：①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时1b k>S k ＋1，即3k2>(k ＋1)2， 那么，1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3 ＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，1b n>S n ＋1也成立．由①②可知，对任何n ∈N *，n ≥4，1b n>S n ＋1都成立．综上所述，当n ＝1,2,3时，1b n<S n ＋1；当n ≥4时，1b n>S n ＋1.。
2020高中数学 第二章2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.1 离散型随机变量学案 新人教A版选修2-3
2.1.1 离散型随机变量学习目标：1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点)2.了解随机变量与函数的区别与联系．(易混点)3.能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义．(难点)[自主预习·探新知]1．随机变量(1)定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．思考：随机变量与函数有怎样的关系？[提示](1)定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．(2)特征：①可用数值表示．②试验之前可以判断其出现的所有值．③在试验之前不能确定取何值．④试验结果能一一列出．思考：离散型随机变量的取值必须是有限个吗？[提示]离散型随机变量的取值可以是有限个，例如取值为1,2，…，n；也可以是无限个，如取值为1,2，…，n，….[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．(3)离散型随机变量的取值是任意的实数．()[解析](1)√因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．(2)√因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.(3)×由离散型随机变量的定义可知它的取值能够一一列出，因此离散型随机变量的取值是任意的实数的说法错误．[答案](1)√(2)√(3)×2．下列变量中，是离散型随机变量的是( )【导学号：95032116】A．到2019年10月1日止，我国发射的人造地球卫星数B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高C．某人在车站等出租车的时间D．某人投篮10次，可能投中的次数D[根据离散型随机变量的定义：其可能取到的不相同的值是有限个或可列为有限个，即可以按一定次序一一列出，试验前可以判断其出现的所有值．选项A、B、C的数值均有不确定性，而选项D中，投篮10次，可能投中的次数是离散型随机变量．]3．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )A．1,2,3，…，6 B．1,2,3，…，7C．0,1,2，…，5 D．1,2，…，5B[由于取到白球游戏结束，由题意可知X的可能取值为1,2,3,4,5,6,7.]4．下列随机变量不是离散型随机变量的是________.【导学号：95032117】①某景点一天的游客数X；②某手机一天内收到呼叫次数X；③水文站观测到江水的水位数X；④某收费站一天内通过的汽车车辆数X.[解析]①②④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此都是离散型随机变量；③中X可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故③不是离散型随机变量．[答案]③[合作探究·攻重难]随机变量的概念A．取到产品的件数B．取到正品的件数C．取到正品的概率D．取到次品的概率(2)判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．①北京国际机场候机厅中明天的旅客数量；②2018年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；③2018年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；④体积为1 000 cm3的球的半径长．(1)B[A中取到的产品的件数是一个常量不是变量，C、D也是一个定值，而B中取到正品的件数可能是0,1,2，是随机变量．](2)[解]①旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．②所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．③动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．④球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．[规律方法]随机变量的辨析方法1．随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．2．随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．[跟踪训练]1．判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某天腾讯公司客服接到咨询电话的个数；(2)标准大气压下，水沸腾的温度；(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．[解](1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2，…出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(2)标准大气压下，水沸腾的温度100℃是定值，所以不是随机变量．(3)获得的奖次可能是1,2,3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(4)体积为64 cm3的正方体的棱长为4 cm为定值，不是随机变量．离散型随机变量的判定(1)某教学资源网站一天内的点击量．(2)你明天上学进入校门的时间．(3)某市明年下雨的次数．(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差.【导学号：95032118】[思路探究]根据随机变量的实际背景，判断随机变量的取值是否可以一一列出，从而判断是否为离散型随机变量．[解](1)某教学资源网站一天内的点击量可以一一列出，是离散型随机变量．(2)你明天上学进入校门的时间，可以是某区间内任意实数，不能一一列出，不是离散型随机变量．(3)某市明年下雨的次数可以一一列出，是离散型随机变量．(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量．[规律方法]离散型随机变量判定的关键及方法(1)关键：判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出．(2)具体方法：①明确随机试验的所有可能结果；②将随机试验的试验结果数量化；③确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．2．给出下列四种变量(1)某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X.(2)某人射击2次，击中目标的环数之和记为X.(3)测量一批电阻，在950 Ω和1 200 Ω之间的阻值记为X.(4)一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.其中离散型随机变量的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个B[(1)某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X，X是离散型随机变量；(2)某人射击2次，击中目标的环数之和记为X，X是离散型随机变量；(3)测量一批电阻，阻值在950 Ω～1 200 Ω之间，是连续型随机变量；(4)一个在数轴上运动的质点，它在数轴上的位置记为X，X不是随机变量．故离散型随机变量个数是2个．]3．有下列问题：(1)某单位一天来往的人数X；(2)从已编号的5张卡片中(从1号到5号)任取一张，被取出的卡片号数X；(3)一天内的温度为X；(4)某人一生内的身高为X；(5)全民运动会上，一选手进行射箭比赛，击中目标得10分，未击中目标得零分，用X表示该选手在比赛中的得分；(6)某林场树木最高达50米，此林场树木的高度X.上述问题中的X是离散型随机变量的是________．[解析](1)，(2)，(5)都可以一一列出，故都是离散型随机变量，而(3)，(4)都是连续型随机变量，不能一一列出，(6)也不能一一列出，树木高度有无限多个，也不是离散型随机变量．[答案](1)，(2)，(5)随机变量的可能取值及试验结果1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？[提示]可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？[提示]X＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？[提示]“ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.【导学号：95032119】[思路探究]分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果[解](1)X＝0表示取5个球全是红球；X＝1表示取1个白球，4个红球；X＝2表示取2个白球，3个红球；X＝3表示取3个白球，2个红球．(2)X＝3表示取出的球编号为1,2,3.X＝4表示取出的球编号为1,2,4；1,3,4或2,3,4.X＝5表示取出的球编号为1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.母题探究：1.(变换条件、改变问法)在本例(1)条件下，规定取出一个红球赢2元，而每取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？[解]ξ＝10表示取5个球全是红球；ξ＝7表示取1个白球，4个红球；ξ＝4表示取2个白球，3个红球；ξ＝1表示取3个白球，2个红球．2．(改变问法)本例(2)中，“最大”改为“最小”，其他条件不变，应如何解答？[解]X可取1,2,3.X＝3表示取出的3个球的编号为3,4,5；X＝2表示取出的3个球的编号为2,3,4或2,3,5或2,4,5；X＝1表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或1,2,4或1,3,4或1,2,3.[规律方法]用随机变量表示随机试验的结果的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．4．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)在2018年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X ；(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示． [解] (1)X 可能取值0,1,2,3,4,5，X ＝i 表示面试通过的有i 人，其中i ＝0,1,2,3,4,5.(2)ξ可能取值为0,1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标； 当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．[当 堂 达 标·固 双 基]1．袋中有2个黑球、6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( ) A ．取到的球的个数 B ．取到红球的个数 C ．至少取到一个红球D ．至少取到一个红球的概率B [A 的取值不具有随机性，C 是一个事件而非随机变量，D 中概率值是一个定值而非随机变量，只有B 满足要求．]2．下列变量中，不是随机变量的是( )【导学号：95032120】A ．2020年奥运会上中国取得的金牌数B ．2018年冬奥会上中国取得的奖牌数C ．某人投篮2次，投中的次数D ．某急救中心每天接到的呼救次数B [2018年我国冬奥会上取得的奖牌数是一个具体的数字，不是随机变量，其他三个均为随机变量．] 3．随机变量X 是某城市1天之中发生的火警次数，随机变量Y 是某城市1天之内的温度，随机变量ξ是某火车站1小时内的旅客流动人数．这三个随机变量中不是离散型随机变量的是( )A ．X 和ξB ．只有YC ．Y 和ξD ．只有ξB [某城市1天之内的温度不能一一列举，故Y 不是离散型随机变量．]4．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为12，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________.【导学号：95032121】[解析] 甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次． [答案] 0,1,2,35．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．[解] 根据题意可知，ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出．。
2019-2020学年高中数学人教A版必修2练习：第二章 2.1 2.1.1 平面 课下检测 Word版含解析
一、选择题1．(2012·临沂高一检测)下列说法：(1)铺得很平的一张白纸是一个平面；(2)平面是矩形或平行四边形的形状；(3)两个平面叠在一起比一个平面厚．其中正确的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：由平面的概念可知，它是平滑、无厚度、宽窄无限延展的，是一个抽象概念，(1)、(2)、(3)都不符合平面的概念，所以都不正确．答案：A2．已知空间中四点，如果其中任意三点都不共线，则经过其中三个点的平面共有( )A．一个或两个B．一个或三个C．两个或三个D．一个或四个解析：根据条件，这四点要么在同一平面上，要么每三点确定一个平面即共有四个平面．答案：D3．(2012·大连高一检测)已知点A，直线a，平面α，①A∈a，a⊄α⇒A∉α；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③A∉a，a⊂α⇒A∉α；④A∈a，a⊂α⇒A⊂α.以上命题表达正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：①中若a与α相交，且交点为A，则结论不正确；②中“a∈α”符号不对；③中A可以在α内，也可以在α外，故不正确；④符号“A⊂α”错误．答案：A4．如图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ与β的交线必过( )A．点AB．点BC．点C，但不过点DD．点C和点D解析：根据基本性质判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．二、填空题5．如图所示，平面ABEF记作平面α，平面ABCD记作平面β，根据图形填写：(1)A∈α，B__________α，E________α，C__________α，D__________α；(2)α∩β＝__________；(3)A∈β，B__________β，C__________β，D________β，E__________β，F__________β；(4)AB__________α，AB________β，CD__________α，CD__________β，BF__________α，BF_______ ___β.答案：(1)∈∈∉∉(2)AB(3)∈∈∈∉∉(4)⊂⊂⊄⊂⊂⊄6．点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的交点有________个．解析：由公理3可知，平面ABC与平面α相交，交点有无数个．答案：无数7．下列说法①空间三条直线两两平行，则三条直线在同一个平面内；②空间三条直线两两相交，则三条直线在同一个平面内；③空间四点E，F，G，H在同一平面内，则直线EF与GH可能平行，也可能相交．其中正确的序号是________．解析：三棱柱的三条侧棱两两平行，但三条侧棱所在直线不在同一平面内，故①错；若三条直线交于同一点，则三条直线可能不在同一平面内，故②错；同一平面内的两条直线不平行，就相交，故③正确．答案：③8．空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是__ ______．解析：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中①AA1∩AB＝A，AA1∩A1B1＝A1，直线AB，A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1)．②AA1∩AB＝A，AA1∩A1D1＝A1，直线AB，AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1)．③三条直线AB，AD，AA1交于一点A，它们可以确定三个平面(平面ABCD，平面ABB1A1和平面ADD1A1)．答案：1或2或39．将下面符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示． α∩β＝l ，A ∈l ，AB ⊂α，AC ⊂β.解：文字语言叙述为：点A 在平面α与平面β的交线l 上，AB 、AC 分别在平面α，β内． 如图：10．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为A 1A 的中点．求证：(1)E 、F 、D 1、C 四点共面；(2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．证明：(1)分别连接EF ，A 1B ，D 1C .∵E ，F 分别是AB 和AA 1的中点，∴EF 綊12A 1B . 又A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1D 1CB 为平行四边形．∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1.∴EF 与CD 1确定一个平面，∴E ，F ，D 1，C 四点共面．(2)由(1)可得EF 綊12CD 1， ∴直线D 1F 和CE 必相交，设D 1F ∩CE ＝P .∵D 1F ⊂平面AA 1D 1D ，P ∈D 1F ，∴P ∈平面AA 1D 1D .又CE ⊂平面ABCD ，P ∈EC ，∴P ∈平面ABCD .∴P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点．∴P∈AD.∴CE，D1F，DA三线共点．。
部编版2020学年高中数学第二章平2.3.1平面向量基本定理优化练习新人教A版必修0
2.3.1 平面向量基本定理[课时作业] [A 组 基础巩固]1．已知e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是( ) A ．e 1和e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2和e 2－2e 1 C ．e 1－2e 2和4e 2－2e 1D ．e 1＋e 2和e 1－e 2解析：∵e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，故不能作为基底． 其余三组均不共线． 答案：C2．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是( ) A ．已知实数λ1，λ2，则向量λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内B ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对C ．若有实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0D ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2不一定存在解析：选项A 中，由平面向量基本定理知λ1e 1＋λ2e 2与e 1，e 2共面，所以A 项不正确；选项B 中，实数λ1，λ2有且仅有一对，所以B 项不正确；选项D 中，实数λ1，λ2一定存在，所以D 项不正确；很明显C 项正确． 答案：C3．四边形OABC 中，CB →＝12OA →，若OA →＝a ，OC →＝b ，则AB →＝( )A ．a －12bB.a2－b C ．b ＋a2D ．b －12a解析：AB →＝AO →＋OC →＋CB →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选 D.答案：D4．若P 为△OAB 的边AB 上一点，且△OAP 的面积与△OAB 的面积之比为1∶3，则有( ) A.OP →＝OA →＋2OB →B.OP →＝2 OA →＋OB →C.OP →＝23OA →＋13OB →D.OP →＝13OA →＋23OB →解析：因为△OAP 的面积与△OAB 的面积之比为1∶3，所以AP →＝13AB →，所以OP →－OA →＝13(OB →－OA →)，所以OP →＝23OA →＋13OB →.答案：C5．已知|OA →|＝2，|OB →|＝3，∠AOB ＝120°，点C 在∠AOB 内，∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n＝( )A.32B. 3C.233D.32解析：如图，过点C 作CM ∥OB ，CN ∥OA ， 则OC →＝OM →＋ON →，设|ON →|＝x ，则|OM →|＝2x ， OC →＝2x ·OA →|OA →|＋x ·OB→|OB →|＝xOA →＋33xOB →，所以m ＝x ，n ＝3x 3，所以m n ＝x3x3＝ 3. 答案：B6．若|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与b 的夹角为________． 解析：如图，OA →＝a ，OB →＝b ，BA →＝a －b ， 因为|a |＝|b |＝|a －b |，所以OA ＝OB ＝AB ， 所以a 与b 的夹角为∠AOB ＝60°. 答案：60°7.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析：设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，得a ＝23(2 AF →－AE →)，b ＝23(2 AE →－AF →)，又因为AC →＝a ＋b ，所以AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，所以λ＋μ＝43.答案：438．如图所示，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示AG →＝________.解析：AG →＝AE →－GE →＝AB →＋BE →－GE →＝a ＋12b －12FE →＝a ＋12b －12×12DB →＝a ＋12b －14(a －b )＝34a ＋34b.答案：34a ＋34b9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点， 且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．解析：NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．10．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值． 解析：(1)由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，如图，令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1∶4.(2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN →，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.[B 组 能力提升]1．在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ，μ的值分别是( ) A.16，13 B.13，16 C.12，13D.14，16解析：AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)，因为AH ⊥BC ，∠ABC ＝60°， 所以BH ＝1，所以BH ＝13BC ，故AM →＝12AB →＋12BH →＝12AB →＋16BC →＝12AB →＋16(AC →－AB →)＝13AB →＋16AC →， 故λ＝13，μ＝16.答案：B2．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →＝( ) A ．a ＋λb B ．λa ＋(1－λ)b C ．λa ＋bD.11＋λa ＋λ1＋λb 解析：因为OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋λPP 2→＝OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)＝OP 1→＋λOP 2→－λOP →， 所以(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→，所以OP →＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λB.答案：D3．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°解析：∵|a |＝|b |＝|c |≠0，且a ＋b ＝c ， ∴如图所示就是符合题设条件的向量， 易知OACB 是菱形，△OBC 和△OAC 都是等边三角形． ∴a 与b 的夹角为120°. 答案：B4．已知e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，且AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，如果A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________．解析：BD →＝CD →－CB →＝2e 1－e 2－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2.因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ，使AB →＝λBD →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－4λ，解得k ＝－8.答案：－85．如图所示，PQ 过△AOB 的重心G ，设OA →＝a ， OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b.求证：1m ＋1n＝3.解析：连接OG 并延长，交AB 于M (图略)， 则M 是AB 的中点，由G 为△OAB 的重心得：OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ， QG →＝OG →－OQ →＝13(a ＋b )－n b ，＝13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－n b. ∵P ，G ，Q 三点共线， ∴PG →＝λQG →，即⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ3a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－n λb.∵a ，b 不共线，∴由平面向量基本定理得：⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝λ3，13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－n λ⇒m ＋n ＝3mn ，∴1m ＋1n＝3.6．如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及线段AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动， 且OP →＝xOA →＋yOB →. (1)求x 的取值范围；(2)当x ＝－12时，求y 的取值范围．解析：(1)因为OP →＝xOA →＋yOB →，以OB 和OA 的反向延长线为两邻边作平行四边形，由向量加法的平行四边形法则可知OP 为此平行四边形的对角线，当OP 长度增大且靠近OM 时，x 趋向负无穷大，所以x 的取值范围是(－∞，0)．(2)如图所示，当x ＝－12时，在OA 的反向延长线取点C ，使OC ＝12OA ，过C 作CE ∥OB ，分别交OM 和AB 的延长线于点D ，E ，则CD ＝12OB ，CE ＝32OB ，要使P 点落在指定区域内，则P 点应落在DE 上， 当点P 在点D 处时OP →＝－12OA →＋12OB →，当点P 在点E 处时OP →＝－12OA →＋32OB →，所以y 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.。
高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数的概念2.1.2函数的表示方法优化训练苏教版必修1
函数表示方法5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.函数f(x)=，求解:〔1〕点〔3,14〕在f(x)图象上吗？〔2〕当x ＝4时，求f(x)值；〔3〕当f(x)＝2时，求x 值.解:〔1〕因为≠14,所以点〔3,14〕不在函数f(x)图象上.〔2〕f(x)＝=-3.〔3〕由=2，解得x=14.2.画出以下函数图象：〔1〕f(x)=〔2〕g(x)=3n+1,n∈{1,2,3}.思路解析:画函数图象一般采用描点法，要注意定义域限制.解:〔1〕函数f(x)图象如以下图所示:〔2〕函数g(x)图象如以下图所示:100 cm 2等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长3倍，那么把它高y 表示成x 函数为( )A ．y ＝50x(x ＞0) B.y ＝100x(x ＞0)C.y ＝x 50 (x ＞0)D.y ＝x100 (x ＞0) 思路解析:由·y＝100,得2xy ＝100. ∴y＝x50 (x ＞0). 答案:C10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.以下图形是函数y ＝-|x|(x∈［-2，2］)图象是( )思路解析：y=-|x|=其中y=-x(0≤x≤2)是直线y=-x 上满足0≤x≤2一条线段(包括端点)，y=x 是直线y=x 上满足-2≤x＜0一条线段(包括左端点)，其图象在原点及x 轴下方.答案：B 2.f(x1)=11+x ，那么f(x)解析式为( ) A. 11+x B.x x +1 C.1+x x D.1＋x思路解析:令u=x1，用换元法，同时应注意函数定义域.∵x≠0且x≠-1，那么x=u 1，u≠0，u≠-1.∴f(u)=(u≠0，且u≠-1),即f(x)＝1+x x (x≠0且x≠-1). 答案:C3.求实系数一次函数y=f(x)，使f ［f(x)］=4x+3.思路解析:设f(x)=ax+b 〔a≠0〕，用待定系数法.解:设f(x)=ax+b(a≠0),∴f［f(x)］=a·f(x)+b=a(ax+b)+b=a 2x+ab+b.∴a 2x+ab+b=4x+3.∴∴或∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.4.在学校洗衣店中每洗一次衣服〔4.5 kg 以内〕需要付费4元，如果在这家店洗衣10次以后可以免费洗一次.〔1〕根据题意填写下表：〔2〕“费用c 是次数n 函数〞还是“次数n 是费用c 函数〞 〔3〕写出函数解析式,并画出图象.思路解析:此题考察阅读理解能力,当 n≤10时,c=4n ；当10<n≤21时,c=4〔n-1〕.解:〔1〕〔2〕费用c 是次数n 函数，因为对于次数集合中每一个元素〔次数〕，在费用集合中都有唯一元素〔费用〕与它对应.但对于费用集合中每一个元素〔费用〕，在次数集合中并不都是只有唯一一个元素与它对应.如40元就有10次与11次与它对应.〔3〕函数解析式为c=,,11,,10),1(4,4**N n n N n n n n ∈≥∈≤⎩⎨⎧-且且其图象如图:5.用长为l 铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形框架，假设矩形底边长为2x ，求此框架围成面积y 与x 函数关系式，并指出其定义域. 思路解析：求函数定义域，如果是实际问题除应考虑解析式本身有定义外，还应考虑实际问题有意义，如此题注意到矩形长2x 、宽a 必须满足2x ＞0与a ＞0，即l-πx -2x>0.解：由题意知此框架围成面积是由一个矩形与一个半圆组成图形面积，而矩形长AB=2x ，宽为a.所以有2x ＋2a ＋πx=l，即a=2l -2πx-x ，半圆直径为2x ，半径为x.所以y=22x π＋(2l -2πx-x)·2x=-(2＋2π)x 2＋lx. 根据实际意义知2l -2πx-x ＞0，又∵x＞0，解得0＜x ＜，即函数y=-(2＋2π)x 2＋lx 定义域是{x|0＜x ＜}.6.如右图，某灌溉渠横断面是等腰梯形，底宽2 m ，渠深1.8 m ，边坡倾角是45°.〔1〕试用解析表达式将横断面中水面积A m 2表示成水深h m 函数； 〔2〕画出函数图象;〔3〕确定函数定义域与值域.思路解析:利用等腰梯形性质解决问题.解:〔1〕由，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为〔2+2h 〕 m ，高为h m ，∴水横断面面积A==h 2+2h .〔2〕函数图象如下确定:由于A=〔h+1〕2-1，对称轴为直线h=-1，顶点坐标为〔-1，-1〕，且图象过〔0，0〕与〔-2，0〕， 又考虑到0＜h ＜1.8，∴函数A=h 2+2h 图象仅是抛物线一局部，如下图.〔3〕定义域为{h |0＜h ＜1.8},值域由函数A=h 2+2h=〔h+1〕2-1图象可知，在区间〔0，1.8〕上函数为增函数，所以0＜A ＜6.84. 故值域为{A|0＜A ＜6.84}.快乐时光得不偿失一条狗跑进一家肉店，从柜台上叼起一块肉就跑.肉店老板认出那是邻居一只狗，那个邻居是一名律师.肉店老板向邻居打去了 问：“嘿，如果你狗从我肉店里偷去了一块肉，你愿意赔我肉钱吗？〞律师答复说：“当然可以，那你说多少钱？〞“7.98元.〞肉店老板答复说.几天后，肉店老板收到了一张7.98元支票，随那张支票寄来还有一张发票，上面写道：律师咨询费150美元.30分钟训练(稳固类训练，可用于课后)1.设f(x)=那么f ［f(21)］( ) A.21 B.13459 D.4125 思路解析:f ［f(21)］=f(-23)=. 答案:B2.由于水污染日益严重，水资源变得日益短缺.为了节约用水，某市政府拟自2007年始对居民自来水收费标准调整如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨6元；当用水超过4吨时，超过局部每吨增收3元.那么某户居民所交水费y元与该月此户居民所用水量x吨之间函数关系式为…( )A.y=6xB.y=C.y=D.y=9x-12思路解析:当用水量0≤x≤4时，水费y=6x；当用水量x>4时，水费y=24+9×〔x-4〕=9x-12.应选B.答案:B3.甲、乙两厂年产值曲线如右图所示，那么以下结论中，错误是……( )思路解析:由图象可知，在1993年、1996年、2002年两厂产值一样，而在1993年以前，甲厂产值明显低于乙厂，而在1995年至2000年时，乙厂年产值增长那么要比甲厂快，所以B选项错.答案:B4.函数f(x)图象如右图所示，那么f(x)解析式是____________.思路解析:∵f(x)图象由两条线段组成，要重点注意是端点值是否可以取到.答案:f(x)＝5.(2006安徽高考，理)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,假设f(1)=-5,那么f(f(5))=___________.思路解析:由f(x+2)=,得f(x+4)= =f(x),所以f(5)=f(1)=-5,那么f(f(5))=f(-5)=f(-1)==-51.答案:- 51 6.f(1-x )=x ，求f(x).思路解析:设1-x =t ，用换元法，同时应注意函数定义域. 解:设1-x=t ，那么x=(1-t)2.∵x≥0，∴t≤1.∴f(t)=(1-t)2(t≤1).∴f(x)=(x -1)2(x≤1).7.设函数f(x)满足f(x)+2f(x 1)=x 〔x≠0〕，求f(x).思路解析:以x 1代换x ，解关于x 1、x 方程组，消去x 1.解:∵f(x)+2f(x 1)=x ， ① 以x 1代换x 得f(x 1)+2f(x)= x 1. ②解①②组成方程组得f(x)=.8.某家庭今年一月份、二月份与三月份煤气用量与支付费用如下表所示：该市煤气收费方法是：煤气费＝根本费＋超额费＋保险费.假设每月用量不超过最低限度A 米3，只付根本费3元与每户每月定额保险C 元，假设用气量超过A 米3，超过局部每立方米付B 元，又知保险费C 不超过5元，根据上面表格求A 、B 、C.思路解析：此题支付费用为每月用气量分段函数，先写出函数解析式，再求A 、B 、C.解：设每月用气量为x 米3，支付费用为y 元，那么得y=,,0,)(3,3A x A x C A x B C >≤≤⎩⎨⎧+-++ 由0＜C≤5有3＋C≤8.由第二、第三月份费用都大于8，即用气量25米3，35米3都大于最低限度A 米3，那么⎩⎨⎧=+-+=+-+.19)35(3,14)25(3C A B C A B 两式相减，得B=0.5.∴A=2C＋3.再分析一月份用气量是否超过最低限度，不妨设A ＜4，将x=4代入3＋B(x-A)＋C,得3＋0.5［4-(3＋2C)］＋C=4.由此推出3.5=4，矛盾.∴A≥4.一月份付款方式选3＋C,∴3＋C=4，即C=1.将C=1代入A=2C ＋3，得A=5.∴A=5，B=0.5，C=1.9.设二次函数f(x)满足f(2+x)＝f(2-x)，且f(x)＝0两个实根平方与为10，f(x)图象过点(0，3)，求f(x)解析式.思路解析:要求二次函数解析式，一般用待定系数法先设f(x)＝ax2+bx+c(a≠0)，然后根据条件列出关于a、b、c方程组，求解即可.解:∵f(2+x)＝f(2-x)，代入f(x)＝ax2+bx+c化简可得b＝-4a.∵f(x)图象过点(0，3)，∴f(0)＝c＝3.∴f(x)＝ax2-4ax+3.∵ax2-4ax+3＝0两实根平方与为10，6.∴a=1.∴f(x)＝x2-4x+3.∴10＝x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16-a10.如右图，动点P从边长为4正方形ABCD顶点B开场，顺次经C、D、A绕边界运动，用x表示点P行程，y表示△APB面积，求函数y=f〔x〕解析式.思路解析:由P点运动方向知当P运动到BC、CD、DA上时，分别对应解析式不同，因此这是个分段函数.解:由，得y=11.某小型自来水厂蓄水池中存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池注入自来水60吨，假设蓄水池向居民小区不连续供水，且t小时内供水总量为1206t吨〔0≤t≤24〕.〔1〕供水开场几小时后，蓄水量最少最少蓄水量是多少吨〔2〕假设蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，试问一天24小时内有多少小时会出现供水紧张现象并说明理由.解:〔1〕设t小时蓄水量y吨，所以y=400+60t-120t6〔0≤t≤24〕.令t=m〔0≤m≤26〕，y=60m2-1206m+400=60〔m-6〕2+40.∴t=6小时时，蓄水量最少为40吨.〔2〕由y ＜80，得60t-120t 6 +400＜80.故一天中有8小时会出现供水紧张现象.12.如右图，动点P 从边长为1正方形ABCD 顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示P 点运动路程，y 表示PA 长，求y 关于x 函数解析式.思路解析:P 在A 、B 间运动，即0≤x≤1时，y=x.P 在B 、C 间运动，即1<x≤2时，y=221)1(22+-=+-x x x . P 在C 、D 间运动时，同理,得y=1061)3(22+-=+-x x x ，2<x≤3. P 在D 、A 间运动时，y=4-x ，3<x≤4.综上，得y 关于x 函数为y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤<+-≤≤.43,4,32,106,21,22,10,22x x x x x x x x x x。
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2.1.1 平面
[课时作业]
[A组基础巩固]
1．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱
有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合条件的棱共有
5条．
答案：C
2．下列命题：①圆上三点可以确定一个平面；②圆心和圆上两点可以确定一个平面；
③四条平行线不能确定五个平面；④不共线的五点，可以确定五个平面，必有三点共线．其中假命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由公理可知，①显然正确；若圆上两点为直径的两个端点，则圆心和圆上两点不能确定一个平面，②不正确；四条平行线只能确定一个，四个或六个平面，③正确；④不共线的五点，可以确定五个平面，必有三点共线，不正确，比如四棱锥．故选B.
答案：B
3．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若EF与HG交于点M，则( )
A．M一定在直线AC上
B．M一定在直线BD上
C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D．M不在直线AC上，也不在直线BD上
解析：由题意得EF在平面ABC内，HG在平面ACD内，∴EF与HG交于点M一定落在面ABC 与面ACD的交线AC上．
答案：A
4．已知下列三个命题：①若点P不在平面α内，A，B，C三点都在平面α内，则P，A，B，C四点不在同一平面内；②两两相交的三条直线在同一平面内；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：当A，B，C三点都在平面α内，且三点共线时，P，A，B，C四点在同一个平面内，故①不是真命题；三棱锥的三条侧棱所在的直线两两相交，但三条直线不在同一平面内，故②不是真命题；两组对边分别相等的四边形也可能是空间四边形，故③不是真命题．
答案：A
5．用一个平面截正方体所得的截面图形不可能是( )
A．六边形B．五边形
C．菱形D．直角三角形
解析：可用排除法，正方体的截面图形可能是六边形、五边形、菱形，故选D.
答案：D
6.如图所示，平面ABEF记作平面α，平面ABCD记作平面β，根据图形填
写：
(1)A∈α，B________α，E________α，C________α，D________α；
(2)α∩β＝________；
(3)A∈β，B________β，C________β，D________β，E________β，F________β；
(4)AB________α，AB________β，CD________α，CD________β，BF________α，BF________β.
答案：(1)∈∈∉∉(2)AB(3)∈∈∈∉∉(4)⊂⊂⊄⊂⊂⊄
7．如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1.
(1)AC∩BD＝____________；
(2)平面AB1∩平面A1C1＝________；
(3)A1B1∩B1B∩B1C1＝________.
解析：由图形可知，AC∩BD＝O，
平面AB1∩平面A1C1＝A1B1，
A1B1∩B1B∩B1C1＝B1.
答案：(1)O(2)A1B1(3)B1
8．下列说法：
①空间三条直线两两平行，则三条直线在同一个平面内；
②空间三条直线两两相交，则三条直线在同一个平面内；
③空间四点E、F、G、H在同一平面内，则直线EF与GH可能平行，也可能相交．
其中正确的序号是________．
解析：三棱柱的三条侧棱两两平行，但三条侧棱所在直线不在同一平面内，故①错；若三条直线交于同一点，则三条直线可能不在同一平面内，故②错；同一平面内的两条直线不平行，就相交，故③正确．
答案：③
9.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明
理由．
(1)由点A，O，C可以确定一个平面；
(2)由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.
解析：(1)不正确．因为点A，O，C在同一条直线上，故不能确定一个
平面．
(2)正确．因为点A，B1，C1不共线，所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1，所以点D∈平面AB1C1.所以由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.
10．在正方体ABCDA1B1C1D1中，
(1)点B，C1，D是否在同一平面内？
(2)画出平面AC1与平面BC1D的交线，平面ACD1与平面BC1D的交线．
解析：(1)∵点B，C1，D不共线，由公理2可知，点B，C1，D可确定平面BC1D，∴点B，C1，D在同一平面内．
(2)如图，连接AC，BD交于点O；连接DC1，CD1交于点E；连接OE，OC1.
∵AC∩BD＝O，D1C∩DC1＝E，O∈平面AC1，O∈平面BC1D，且C1∈平面AC1，C1∈平面BC1D，∴平面AC1∩平面BC1D＝OC1.
同理，平面ACD1∩平面BC1D＝OE.
[B组能力提升]
1．正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是( )
A．三角形 B．四边形 C．五边形D．六边形
解析：如图所示，作GR∥PQ交C1D1于G，延长QP与CB延长线交于
M，连接MR交BB1于E，连接PE.
同理延长PQ交CD延长线于N，
连接NG交DD1于F，连接QF.
∴截面PQFGRE为六边形．
故选D.
答案：D
2．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有( )
A．3个B．4个
C．6个D．7个
解析：把不共面的四个定点看作四面体的四个顶点，平面α可以分为两类：
第一类：如图(1)所示，四个定点分布在α的一侧一个，另一侧三个，此类中α共有4个．
第二类：如图(2)所示，四个定点分布在α的两侧各2个，此类中α共3个．
综上α共有4＋3＝7(个)．
答案：D
3.如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面
α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.
求证：P，Q，R三点共线．
证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，
∴AB∩CD＝P.
∴AB，CD可确定一个平面，设为β.
∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，
∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.
∴AC⊂β，BD⊂β，平面α，β相交．
∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，
∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点，
∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．
4.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD>BC，P，Q，M，
N分别为AA1，BB1，CC1，DD1上的点，设PQ与NM的交点为
S，AB与DC的交点为R，A1B1与D1C1的交点为G.求证：R，
S，G三点共线．
证明：因为P，Q，M，N分别为AA1，BB1，CC1，DD1上的点，
PQ∩MN＝S，
所以S∈MN，MN⊂平面CC1D1D，S∈PQ，PQ⊂平面AA1B1B，所以S∈平面CC1D1D，且S∈平面AA1B1B，
所以S在平面AA1B1B与平面CC1D1D的交线上．
同理可证：R，G也在平面AA1B1B与平面CC1D1D的交线上，所以R，S，G三点共线．。