高一数学上册第4章幂函数、指数函数和对数函数4.1幂函数的性质与图像2课件沪教
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沪教版(上海)数学高一上册-4.1 幂函数的性质与图像课件 教学课件
在（0，+∞)上是增函
数。
k< 0
（1）图象都过（1，1）点； （2）在第一象限内，函数值随
x 的增大而减小，即在 （0，+∞）上是减函数。 （3）在第一象限，图象向上与
y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。
观察
• 通过计算机快速作图，我们观察到更多的 幂函数图象。请注意幂函数的指数变化， 带来的幂函数图形在第一象限的变化
4、1幂函数性质与图像
一、 幂函数的定义：
一般地，函数
y=xk (k为常数，k∈Q)
叫做幂函数.
定义：函数y=xk(k为常数，k∈Q) 叫做幂函数. 概念辨析
1.指出下列哪些函数是幂函数：
(1) y x × (2) y x0 √ (3)y 3x ×
(5)
y
2
x3
√
(6)y (x 1)2 ×
，非奇非偶
(4) y
x 4 3
3
1 x4
定义域为
(5) y
x
1 2
1
定义域为
x
，偶函数 ，非奇非偶函数
研究 幂函数在第一象限的图像
图像
y x y y=x3 y=x2
k
y
y=x-4/3
y=x-1
1
y=x1/2
1
y=x-1/2
0
1
X
0
1
X
k>0
性质
（1）图象都过（0，0）点和 （1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值 随x 的增大而增大，即
2.若幂函数的图象经过点(2, 8 )
(4)y x 2 ×
则这个函数的解析式为________________。
二、幂函数的性质与图像 研究函数的定义域，奇偶性和单调性，
数。
k< 0
（1）图象都过（1，1）点； （2）在第一象限内，函数值随
x 的增大而减小，即在 （0，+∞）上是减函数。 （3）在第一象限，图象向上与
y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。
观察
• 通过计算机快速作图，我们观察到更多的 幂函数图象。请注意幂函数的指数变化， 带来的幂函数图形在第一象限的变化
4、1幂函数性质与图像
一、 幂函数的定义：
一般地，函数
y=xk (k为常数，k∈Q)
叫做幂函数.
定义：函数y=xk(k为常数，k∈Q) 叫做幂函数. 概念辨析
1.指出下列哪些函数是幂函数：
(1) y x × (2) y x0 √ (3)y 3x ×
(5)
y
2
x3
√
(6)y (x 1)2 ×
，非奇非偶
(4) y
x 4 3
3
1 x4
定义域为
(5) y
x
1 2
1
定义域为
x
，偶函数 ，非奇非偶函数
研究 幂函数在第一象限的图像
图像
y x y y=x3 y=x2
k
y
y=x-4/3
y=x-1
1
y=x1/2
1
y=x-1/2
0
1
X
0
1
X
k>0
性质
（1）图象都过（0，0）点和 （1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值 随x 的增大而增大，即
2.若幂函数的图象经过点(2, 8 )
(4)y x 2 ×
则这个函数的解析式为________________。
二、幂函数的性质与图像 研究函数的定义域，奇偶性和单调性，
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第四章4.1 幂函数的性质与图像课件
0 k 1
y
k 1
y
非奇非偶
O
y
x
O
y
x
O
x
y
O
x
y
O
x
O
x
y
O
x
O
x
奇
y
偶
O
x例3．请找出①y来自2x53
②y x4
, 0
④y
0,
x3
0, ⑤y
x
1 2
,0 0, 0,
③y x6
R
⑴是奇函数，且在 0, 上单调递减的为_④__y___x_3
⑵是偶函数，且在 0, 上单调递增的为_③__y___x_6
2
例2：研究幂函数 y x3 的定义域，奇
偶性，单调区间，值域．
1
练习2：研究幂函数 y x2 、y x2
的定义域，奇偶性，单调区间，值域
函数
yx
y x1 y x2
2
y x3
1
y x2
y x2
图像
定义域
R
(, 0) (0, )
R
R
[0, ) (,0) (0,)
奇偶性 奇
奇
偶
偶
非奇 非偶
y x y x1 y x2
2
1
y x3 y x2
例1：判断下列函数是否为幂函数
3
⑴ y x2
⑶ y x1.5
⑵ y 2x2
1
⑷ y x2
⑸ y x0
练习1：
已知函数 y t 1 xt2t为幂函数，
求 t 的值及函数解析式．
2
例2：研究幂函数 y x3 的定义域，奇
偶性，单调区间，值域．
高一数学上册 第4章 幂函数、指数函数和对数函数 4.1 幂函数的性质与图像1课件 沪教版
-5
1
-6
y x -6
2
y x2
-2
-2
-6
？能否根据幂函数-3 的奇偶性给出 -3 k的规律
-4
？幂函数还有没有-4 其他不同类-5 型的图像 -5
-6
6
8
10
8
10
19
7
5
5
6
4
4
四、幂函5 数的奇3偶性
3
4
3
2
2
奇数
0
k 奇数 -6
-8
-4
-12
-6-2
2
1
7
-10
-4
-1 6
-2
5 -3
0.1
1
2
3
4
5
1
2
1
2
0.7 1.0
1.4
0.3 1.0
4.0
y xk,k 0 图像必过 (0, 0), (1,1) 在 [0, ) 上为增函数
在 x 1 的右侧：
6
7
指数越大图像位置越高
在 x 1, x 0 之间则相反
3
1.7 9.0
x3
0.0
0.1 1.0
8.0 27.0
12
二、幂函数的图像研究
k 1
k 1
2.2
2
0 k 1
1.8
1.6
1.4
1.2
1
k 0
0.8
-1
-8 -10
-6
-6
-10 -4
0.6
0.4 7
k0
0.2
6
6
-0.5
0.5
1
1.5
沪教版(上海)数学高一上册-4.1幂函数的性质和图像(2)精品课件
4.1幂函数的性质和图像(2)
幂函数 y xk ( k 0 , k Q )
y
y xb y x
y xa
1
O1
x
例1. 判断下列函数是否是幂 函数：
（1）f (x) 2x2
4
(4) f (x) 3x 3
( 2) f (x)
1 x3
(3) f (x) 1 ; x
1
(5) f (x) (2x)2 (6) f (x) x3 1
y
O
x
(3) y x3
y
O
x
幂函数 y xk (k 0 , k Q) 的图像及性质：
y
1 O1
1
yx 2
y=x-1 y=x-2
x
幂函数y=xk (k<0，x>0)的图像及性质：
(1)图像都经过点(1,1)；
(2)在第一象限上都是单调递减的；
当x→+∞时，图(像3无限)趋当近于x轴x. →0时，图像无限趋近于y轴；
(3)当x→0时，图像无限趋近于y轴；
当x→+∞时，图像无限趋近于x轴. 研究下列幂函数的性质及图像:
当x→+∞时，图像无限趋近于x轴.
(4)当x>1时，指数越大，图象越向上；
(4)当x>1时，指数越大，图象越向上； 幂函数
的图像及性质：
(4)当x>1时，指数越大，图象越向上；
(1)图像都经过点(1,1)；
o
x
y x3
y
o
x
3
y x2
y
o
x
2
y x3
y
o
x
1
y x3
y
o
x
幂函数 y xk ( k 0 , k Q )
y
y xb y x
y xa
1
O1
x
例1. 判断下列函数是否是幂 函数：
（1）f (x) 2x2
4
(4) f (x) 3x 3
( 2) f (x)
1 x3
(3) f (x) 1 ; x
1
(5) f (x) (2x)2 (6) f (x) x3 1
y
O
x
(3) y x3
y
O
x
幂函数 y xk (k 0 , k Q) 的图像及性质：
y
1 O1
1
yx 2
y=x-1 y=x-2
x
幂函数y=xk (k<0，x>0)的图像及性质：
(1)图像都经过点(1,1)；
(2)在第一象限上都是单调递减的；
当x→+∞时，图(像3无限)趋当近于x轴x. →0时，图像无限趋近于y轴；
(3)当x→0时，图像无限趋近于y轴；
当x→+∞时，图像无限趋近于x轴. 研究下列幂函数的性质及图像:
当x→+∞时，图像无限趋近于x轴.
(4)当x>1时，指数越大，图象越向上；
(4)当x>1时，指数越大，图象越向上； 幂函数
的图像及性质：
(4)当x>1时，指数越大，图象越向上；
(1)图像都经过点(1,1)；
o
x
y x3
y
o
x
3
y x2
y
o
x
2
y x3
y
o
x
1
y x3
y
o
x
沪教版(上海)高中数学高一上册第四章4.1幂函数的性质与图像课件
c
1 b
c
例4.已知f (x) (m2 4m 4)xm2 ， m1 当m取何值时，f (x)是幂函数， 并说明该函数的单调性。
例5.若(a
3
3) 5
3
(1 2a) 5
求实数a的取值范围。 当k<0时，图像随x增大而下降。
如果k<0,则幂函数的图像过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数;
幂函数的定义
一般地，函数y xk k是常数，k Q
叫做幂函数，其中x是自变量，k是常数。
定义分析：
1、幂函数的解析式可以写成y xk的形式，
k是常数，k Q,只有1项，且系数为1.
2、定义域与k的值有关系.
例1、判断下列函数哪些是幂函数。
(1) y 1 x2
(3) y 2x
(2) y 2x2 (4) y 1(x 0)
1 a
c
与
1 b
c
解：(1)y x0.8在0， 上是增函数， a b 0, c 0
5.2 5.3 5.20.8 5.30.8
(2)
y
x
2
5在
0，
上是减函数，
2
2
2.5 2.7 2.5 5 2.7 5
(3)因为c 0,所以y xc在0， 上是减函数
ab0
ac bc
即： 1a
幂所函有数 的的幂定函义数域在、(0,奇+∞偶)都性有、定单义调,性并，且因函函数数图式像中都k通的过不点同(1而,1各); 异.
不不如当管管果k<指 指 k0>时数数0,，则是是图幂多多像函少少随数,,图图x的增像像图大都都像而经经过下过过点降哪哪(。0个个,0定定),(点点1,??1)并在(0,+∞)上为增(函-1数,-;1)-1
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第四章4.1幂函数课件
1
在同一坐标系内画出函数 y x 3 和y Nhomakorabea1
x2
的图象·
1
y x y x2 y x3 y x2
1
y x3
y
x 1
y
1
x2
定义域 R
R
R 0, R x x 0 0,
值域 R 0, R 0, R x x 00,
奇偶性
奇
偶
奇
非
奇
奇
非
单调性 R
0, , 0
R
0,
R
0, , 0
(B)
5
y x3
5
(C) y x 4
4
(D) y x 3
变式1: 以上函数中，既是偶函数，又在区间 0, 内是增函数
的是哪一个?
变式2: 以上函数中，既是奇函数，又在区间 , 0 内是减函数
的是哪一个?
变式3: 试写出一个幂函数，使其既是偶函数，又在区间 , 0
内是减函数的解析式。
变式4：如果幂函数 y xm22m3 (m Z) 的图象关
(1) y x (2) y (2 x ) 3 2、如果正方形的面积为S,那么正方形的边长 a与面积有何关系？
(2)在(0,+∞)上单调递增；
3
（2）其定义域为
；
变式3: 试写出一个幂函数，使其既是偶函数，又在区间
内是减函数的解析式。
下列函数中，既是奇函数，又在区间
内是增函数的是( )
最早，在数学上给予幂现实意义的是明末数学家徐光启的译著《几何原本》中称“自乘之数为幂”。
于y轴对称，且与x、y轴均无交点，求此幂函数的解析 式。
变式5：试写出一个函数的解析式，使之满足： （1）由两个幂函数组成的和函数；
高一数学上册 第4章 幂函数、指数函数和对数函数 4_2 指数函数的图像与性质1课件 沪教版
x x
都是指数函数.
思考 常数 a 的范围的限定的必要性？
y a x ,(a 0, a 1) 是否为指数函数？
ex : y a 2 3a 3 a x 是指数函数，求a.
三、指数函数的定义
问题 ：函数 y 2 3 x 是指数函数吗？ 指数函数的解析式y= a 中，a 的系数是1. 有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如
(3) y (2)x
(4) y 3x
(5) y 1x
(6) y 2
x 1
答案：（1） ，（2）， （4）是指数函数。
例1.完成下列表格，并描点作图.
x
2 1
1 x y( ) 2
y2
x
y3
x
4
2
1
1 4 1 2
1
1 9 1 3
1
1 x y( ) 2
y
y 3x y 2x
y ax (a 1)
y 2x
0 a 1 时，在 R 上是减函数.
(4)y轴右，底数越大，图像越高 y轴左，底数越大，图像越低 (5)
x
1
1 x y a 与 y ( ) 的图像关于 y 轴对称. a
O
x
例2.利用指数函数的性质，比较大小. 1.2 0.8 0.6 0.5 1.73 3 0 . 8 (3) 1.5 与 (1) 2 与 2 (2) 0.6 与 0.6 (1) 解： y 2 是 R 上的增函数，且 3 1.73 3 1.73 2 2
x
x
y a k
x
(a 0且a 1, k z)
(a 0, 且a 1)
x
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如
都是指数函数.
思考 常数 a 的范围的限定的必要性？
y a x ,(a 0, a 1) 是否为指数函数？
ex : y a 2 3a 3 a x 是指数函数，求a.
三、指数函数的定义
问题 ：函数 y 2 3 x 是指数函数吗？ 指数函数的解析式y= a 中，a 的系数是1. 有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如
(3) y (2)x
(4) y 3x
(5) y 1x
(6) y 2
x 1
答案：（1） ，（2）， （4）是指数函数。
例1.完成下列表格，并描点作图.
x
2 1
1 x y( ) 2
y2
x
y3
x
4
2
1
1 4 1 2
1
1 9 1 3
1
1 x y( ) 2
y
y 3x y 2x
y ax (a 1)
y 2x
0 a 1 时，在 R 上是减函数.
(4)y轴右，底数越大，图像越高 y轴左，底数越大，图像越低 (5)
x
1
1 x y a 与 y ( ) 的图像关于 y 轴对称. a
O
x
例2.利用指数函数的性质，比较大小. 1.2 0.8 0.6 0.5 1.73 3 0 . 8 (3) 1.5 与 (1) 2 与 2 (2) 0.6 与 0.6 (1) 解： y 2 是 R 上的增函数，且 3 1.73 3 1.73 2 2
x
x
y a k
x
(a 0且a 1, k z)
(a 0, 且a 1)
x
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如
沪教版(上海)数学高一上册-4.1 幂函数的性质与图像课件 最新课件PPT
• 努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。我受过 章。知世故而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世界深深的恶意，然后开启 意人生。第二名就意味着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累的时候，你正在 果每个人都理解你，那你得普通成什么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 自己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永远不要大于本事。你那能叫活着么？你那“你 藏着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是家教的问题，和未成年没关系。总 那为什么不能是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果今天我取得了成功，一 了全部努力。阳光里做个孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度再少年世界 钱带父母去看看人情世故要看透，赤子之心不能丢。所有的人都在努力，不是只有你受 没有物质，但生活不行你才二十岁，你可以成为任何想成为的人。人生就像一杯茶，不 总会苦一阵子。中学时候本子上写的一句话：想看日出的人，必须守到拂晓。对人只说 抛一片心。看到的不要全信，知道的不要都说。我20岁，没有什么输不起，也没有什么 20岁和即将20岁的我们。小时候觉得这个世界不公平，后来发现这个世界就是不公平， 情，它会让你更努力……成熟不是心变老而且泪在打转还在笑。越努力，越幸运。牛羊 只会独行。智者寡言”越来越懂这句话了我只负责精彩，上天自有安排。你凭什么不努 不要到处宣扬自己的内心，这世上不止你一个人有故事。既然选择了远方，便只顾风雨 律，就有多自由。我喜欢海，可我不能跳海；我喜欢你，可我不能一直不要脸。提高一 一生不喜与人抢，但得到的也不会让。一百张嘴里一百个我，我是天使但也是恶魔。你 的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。一时的忍耐是为了更广阔的自由，一时的纪律约 成功。越是复杂的人，对简单越有特殊的需求；越是自己内心肮脏的人，越喜欢纯净的 自己，就发现不了别人的优点；过于赞赏别人的优点，就会看不见自己的长处。失去金 失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。谎言容易越说越爽，因为谎言比现实 言像多米诺骨牌一样，说一个慌要十个谎来圆，最后难以自拔。有些烦恼，只有你丢掉 轻的机会每个人心中所希望的，与最终所抵达的，都会有一段距离，这才是生活。成功 而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。财富是猫的尾巴，只要勇往直前，财富就 不要说没体力，不要说对手肘子硬，不要说球太滑，你只需做好基本功。就算对手难缠 多，就算他嘴里不干净，你只需做好基本功。创业前的准备，创业过程中的坚持都至关 始说你是疯子的时候，你离成功就不远了……当你感到悲哀痛苦时，最好是去学些什么 你永远立于不败之地。等待的方法有两种：一种是什么事也不做空等，一种是一边等一 动。互联网上失败一定是自己造成的，要不就是脑子发热，要不就是脑子不热，太冷了 一定能含笑收获。关于人的因素：这点相当重要。不管是蒙是骗还是软硬兼施，都一定 的相对稳定性。人员流失就像放血，开始没什么感觉，却会要你的命。地球是运动的，
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4.1.1 幂函数的性质与图像
4.1.2 幂函数的性质与图像
例1.根据幂函数 y x, y 1 的图像，在同一坐标系
x
中作函数 y x 1, y 1 1 的图像.
x 1
y x 1 y x
1
y x 向 x 轴负方向平移1单位 y x 1
例1.根据幂函数
y
例2.利用例1中函数图像，解不等式： x a,(a 1)
x 1
解： x a
x 1
a
x a
a 1
结合图像可知：
x a, (a 1) 的解集
x 1
为 (1, a ) 解毕
a 1
例3.作函数
y
|
x
1 | 1
的大致图像，并解不等式
1 1 | x | 1
解：y 1 是偶函数， | x | 1
3)
1 3
(1
2a)
1 3
a 3 1 2a 0 或 0 a 3 1 2a 或
a 3 0 1 2a
解得：a (, 4) ( 1 ,3)
解毕
2
(选用)例4.阅读不等式 (a 3)3 (1 2a)3 的解法.
尝试解不等式:
(a
3)
1 3
(1
2a)
1 3
解法二：因为 y x3在 (, )
(a
3)
1 3
(1
2a)
1 3
[(a
3)
1 3
]3
[(1
2a)
1 3
]3
1 1 a 3 1 2a
, 4) ( 1 ,3) 解毕 2
因此先作 y 1 , x 0 的图像 x 1
根据图像可知 1 1 的解集为 | x | 1
(, 1) {0} (1, ) 解毕
(选用)例4.阅读不等式 (a 3)3 (1 2a)3 的解法.
尝试解不等式: (a
3)
1 3
(1
2a)
1 3
解：因为 y x3 在(, )
上是单调增函数，
(a 3)3 (1 2a)3
a 3 1 2a a (4, )
解毕
(选用)例4.阅读不等式 (a 3)3 (1 2a)3 的解法.
尝试解不等式:
(a
3)
1 3
(1
2a)
1 3
解：因为
y
x
1 3
在
(0,
)
,
(,
0)
(a
1 x
的图像，在同一坐标系中作
函数 y 1 1的图像.
x 1
y 1 1 x 1
y1 x
y1 x
向 x 轴正方向平移1单位 y 1 1 向 y 轴正方向平移1单位 x 1
例2.利用例1中函数图像，解不等式： x 1 x 1
y x 1
y x 1
1
3
解： x 1 x 1 x 1 (x 1)2 x 3 或 0 结合图像可得 x 1 x 1 的解集为 [1,3)
4.1.2 幂函数的性质与图像
例1.根据幂函数 y x, y 1 的图像，在同一坐标系
x
中作函数 y x 1, y 1 1 的图像.
x 1
y x 1 y x
1
y x 向 x 轴负方向平移1单位 y x 1
例1.根据幂函数
y
例2.利用例1中函数图像，解不等式： x a,(a 1)
x 1
解： x a
x 1
a
x a
a 1
结合图像可知：
x a, (a 1) 的解集
x 1
为 (1, a ) 解毕
a 1
例3.作函数
y
|
x
1 | 1
的大致图像，并解不等式
1 1 | x | 1
解：y 1 是偶函数， | x | 1
3)
1 3
(1
2a)
1 3
a 3 1 2a 0 或 0 a 3 1 2a 或
a 3 0 1 2a
解得：a (, 4) ( 1 ,3)
解毕
2
(选用)例4.阅读不等式 (a 3)3 (1 2a)3 的解法.
尝试解不等式:
(a
3)
1 3
(1
2a)
1 3
解法二：因为 y x3在 (, )
(a
3)
1 3
(1
2a)
1 3
[(a
3)
1 3
]3
[(1
2a)
1 3
]3
1 1 a 3 1 2a
, 4) ( 1 ,3) 解毕 2
因此先作 y 1 , x 0 的图像 x 1
根据图像可知 1 1 的解集为 | x | 1
(, 1) {0} (1, ) 解毕
(选用)例4.阅读不等式 (a 3)3 (1 2a)3 的解法.
尝试解不等式: (a
3)
1 3
(1
2a)
1 3
解：因为 y x3 在(, )
上是单调增函数，
(a 3)3 (1 2a)3
a 3 1 2a a (4, )
解毕
(选用)例4.阅读不等式 (a 3)3 (1 2a)3 的解法.
尝试解不等式:
(a
3)
1 3
(1
2a)
1 3
解：因为
y
x
1 3
在
(0,
)
,
(,
0)
(a
1 x
的图像，在同一坐标系中作
函数 y 1 1的图像.
x 1
y 1 1 x 1
y1 x
y1 x
向 x 轴正方向平移1单位 y 1 1 向 y 轴正方向平移1单位 x 1
例2.利用例1中函数图像，解不等式： x 1 x 1
y x 1
y x 1
1
3
解： x 1 x 1 x 1 (x 1)2 x 3 或 0 结合图像可得 x 1 x 1 的解集为 [1,3)