范德蒙行列式应用三则
[整理版]范德蒙行列式及其应用
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范德蒙行列式及其应用摘要:在高等代数中，行列式无疑是一个重点和难点。
它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.关键词:范德蒙行列式；多项式；线性变换一． 范德蒙行列式定义及性质1.范德蒙行列式的定义定义1 关于变元1x ,2x n x 的n 阶行列式122221211112111n n n n n n nx x x D x x x x x x ---=(1)叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式，记作n V （1x ,2x ,…n x ）.2.我们用定理证明范德蒙德行列式已知在错误！未找到引用源。
级行列式中，第错误！未找到引用源。
行（或第错误！未找到引用源。
列）的元素除错误！未找到引用源。
外都是零，那么这个行列式等于错误！未找到引用源。
与它的代数余子式错误！未找到引用源。
的乘积错误！未找到引用源。
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中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的错误！未找到引用源。
倍得错误！未找到引用源。
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根据上述定理错误！未找到引用源。
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提出每一列的公因子后得错误！未找到引用源。
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阶范德蒙行列式，用错误！未找到引用源。
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是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得错误！未找到引用源。
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范德蒙德行列式举例
范德蒙德行列式举例
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲范德蒙德行列式。
你知道吗，这范德蒙德行列式就像是一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门呢！比如说，咱来看看这个例子。
假设现在有三个数 1、2、3，按照范德蒙德行列式的规则去计算，哇塞，就能得出一个特别的结果。
这不就像你在一个迷宫里，到处找出口，突然找到了那把关键的钥匙，一下子就走出去啦！再比如，碰到一堆数字，乱糟糟的，毫无头绪，但用范德蒙德行列式一规整，嘿，清晰了！这多有意思啊！就好像原本是一团乱麻，被一下子理顺了。
我之前碰到过一个很复杂的数学问题，左思右想半天没个头绪，那感觉，真的太难受了啊！后来发现可以用范德蒙德行列式来解决，哎呀呀，当时那个兴奋啊！就跟在黑暗中突然看到了亮光一样。
再想想，这范德蒙德行列式不就是数学世界里的秘密武器嘛！它能把复杂的变得简单，把不可能变成可能。
别人还在纠结的时候，你一拍脑袋，嘿，用范德蒙德行列式呀！那得多牛啊！就像是你掌握了别人都不知道的绝招。
说真的，范德蒙德行列式真的好神奇，好有趣！它能让我们看到数学的魅力和美妙之处。
一旦你了解了它，尝试去运用它，你就会发现，哇，原来数学还能这么好玩！这范德蒙德行列式就是数学领域的一颗璀璨明珠啊，等着我们去发掘，去探索，去感受它的独特魅力！所以啊，一定要好好了解下范德蒙德行列式哟！。
范德蒙行列式在多项式和线性变换中的应用
2020.36科学技术创新范德蒙行列式在多项式和线性变换中的应用韩荣梅(内蒙古科技大学包头师范学院数学科学学院,内蒙古包头014000)1范德蒙行列式在多项式中的应用分析多项式中求根类的题目时,范德蒙行列式和一些特殊的性质能提升解决问题的效率,亦能间接的帮助我们解出问题的结果,让解题过程更清晰,易懂。
例1:假设f (x )=b 0+b 1x 1+b 2x 2…+b n x n ,若f (x )至少有n+1个不同的根,则f (x )=0。
证明:取x 1,x 2,…,x n+1为f (x )的n+1个根,且各不相同。
代入得:(1)其中b 1,b 2,…,b n 做未知量。
其中的系数行列式中x i ≠x j (i≠j )。
该式又为范德蒙行列式,故而:所以方程组(1)只有零解。
从而b 0=b 1=b 2=…=b n =0,即f (x )=0。
例2:在数域F 中,设b 1,b 2,…,b n 为互不相同的数,而c 1,c 2,…,c n 为数域F 中的任意一列不全为零的确定的数。
则存在唯一的数域F 上的次数小于n 的多项式f (x ),使f (b i )=c i (i =1,2,…,n )证明:设f (x )=d 0+d 1x+…d n-1x n-1由题f (b i )=c i (i =1,2,…,n )可知:(2)由题可知b 1,b 2,…,b n 之间都是不同的,这样它就变成了一个范德蒙行列式。
那么其结果就为:故而有唯一的解,且解为次数小于n 的多项式,f (x )=d 0+d 1x+…d n-1x n-1,能让f (b i )=c i (i =1,2,…,n )不难发现,范德蒙行列式在多项式中的应用方法很便捷,可以通过创建向量组等方法,亦或者通过取不同的根引入多项式中,将系数看作未知量。
得到一个系数行列式。
就构造了新的范德蒙行列式。
然后通过范德蒙行列式,直接得到结果或一些性质或者是证明结果。
2范德蒙行列式在线性变换中的应用线性变换是高等代数中的一个难点。
范德蒙行列式应用三则
范德蒙行列式应用三则
范德蒙行列式是一种有用的数学工具，它可以用来解决各种复杂的数学问题。
它的应用非
常广泛，可以用来解决几何、代数、统计学等问题。
下面我们就来看看范德蒙行列式的三
个应用实例。
首先，范德蒙行列式可以用来解决几何问题。
例如，如果我们想要求解一个三角形的面积，我们可以使用范德蒙行列式来计算。
我们只需要输入三角形的三个顶点的坐标，就可以得
到三角形的面积。
其次，范德蒙行列式也可以用来解决代数问题。
例如，如果我们想要求解一个多项式的根，我们可以使用范德蒙行列式来计算。
我们只需要输入多项式的系数，就可以得到多项式的根。
最后，范德蒙行列式也可以用来解决统计学问题。
例如，如果我们想要求解一个数据集的协方差，我们可以使用范德蒙行列式来计算。
我们只需要输入数据集的数据，就可以得到数据集的协方差。
总之，范德蒙行列式是一种非常有用的数学工具，它可以用来解决几何、代数、统计学等问题。
它的应用非常广泛，可以为我们解决各种复杂的数学问题提供帮助。
范德蒙德行列式的研究与应用
范德蒙德行列式的研究与应用给定n个数$x_1,x_2,...,x_n$，范德蒙德行列式定义为：$$\begin{vmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \\\end{vmatrix}$$1.行列式的值只与$x_1,x_2,...,x_n$有关，而与n无关。
2.当$x_1,x_2,...,x_n$中存在两个数相同时，行列式的值为0。
3.当$x_1,x_2,...,x_n$中的数互不相同时，行列式的值为：$$\prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)$$其中$\prod$表示乘积。
1.插值多项式：给定n个互不相同的点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)$，根据这些点来构造一个插值多项式可以使用范德蒙德行列式。
具体而言，可以通过以下公式计算出多项式的系数：$$\begin{bmatrix}x_1^0 & x_1^1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\x_2^0 & x_2^1 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\x_n^0 & x_n^1 & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_0\\a_1\\\vdots \\a_{n-1}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\\vdots \\y_n\\\end{bmatrix}$$其中，$a_0,a_1,...,a_{n-1}$为待求的多项式系数。
范德蒙行列式经典例题
范德蒙行列式经典例题范德蒙行列式是19世纪的数学家哈勒•范德蒙提出的一种数学思想，它可以用来解决许多数学问题。
范德蒙行列式的经典应用是用来解决二元一次方程，而这样就给出了许多可以用来练习的例题。
下面将介绍列出几个范德蒙行列式经典例题：一、解决一元二次方程题目：2x2+7x+1=0解：通过范德蒙行列式，可得：|2 7||1 0|令左边矩阵的行列式D = 2*0-7*1 = -7则根据范德蒙行列式，可求出：x1= D/2= -7/2x2= (-7+-√49)/4即根为x1=-3.5，x2=-1.5二、解决多元一次方程题目：2x+y+6z=17 , 5x-y-3z=2 , 4x+3y-2z=1解：通过范德蒙行列式，可得：|2 1 6||5 -1 -3||4 3 -2|令左边矩阵的行列式D = (2*(-1)*(-2)-1*5*(-3)+6*3*4) = 28 则根据范德蒙行列式，可求出：x1= (17*(-2)*(-3)-2*(-1)*6+1*5*4)/D= 6x2= (17*(-1)*4-2*3*6+1*(-3)*5)/D= 4x3= (17*2*3-2*(-1)*(-3)+1*(-1)*(-2))/D= 3三、应用范德蒙行列式进行微积分题目：求∫sin2(x)dx解：利用范德蒙行列式，可得：| sin 2x -1 || cos 2x 0 |令左边矩阵的行列式D = sin2x * 0 - (-1) * cos2x = cos2x则根据范德蒙行列式，则可求得∫sin2(x)dx= sin2x + c,其中c为常数。
四、直角梯形面积计算题目：梯形ABCD的对角线AB和CD的长分别为2 cm 和4 cm，且∠BAC=45°，求梯形ABCD的面积S。
解：通过范德蒙行列式，可得：|2 tan45°||4 0 |令左边矩阵的行列式D = (2 * 0 - tan45° * 4) = -2因此面积S = D / 2 = -1由此可看出，梯形ABCD的面积为1平方厘米。
范德蒙德行列式的几点应用
第2讲 范德蒙德行列式的几点应用我们知道，n 阶范德蒙德行列式()2111121222121111n n n ijj i nn nnnx x x x x x V x x x x x --<-==-∏≤≤，当这些i x 两两互异时，0n V ≠．这个事实有助于我们理解不少结果．例1 证明一个n 次多项式之多有n 个互异根． 证 设()2012n n f x a a x a x a x =++++有1n +个互异的零点121,,,n x x x +，则有()20120n i i i n i f x a a x a x a x =++++=，1 1i n +≤≤．即这个关于01,,,n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式()211122221121111101nn ijj i n n n n n x x x x x x x x x x x <++++=-≠∏≤≤，因此0120n a a a a =====．这个矛盾表明()f x 至多有n 个互异根． 例2 设12,,,n a a a 是n 个两两互异的数．证明对任意n 个数12,,,n b b b ，存在惟一的次数小于n 的多项式()L x ：()1nj i i j ii jx a L x b a a =≠-=-∑∏，使得()i i L a b =，1 i n ≤≤．证 从定义容易看出()L x 的次数小于n ，且()i i L a b =，故只需证明唯一性即可． 设()210121n n f x c c x c x c x --=++++满足()i i f a b =，1 i n ≤≤，即这个关于0121,,,,n c c c c -的线性方程组的系数行列式()21111212221211101n n ijj i nn nnna a a a a a a a a a a --<-=-≠∏≤≤，故0121,,,,n c c c c -是唯一的，必须()()f x L x =．这个例子就是有名的拉格朗日插值公式．例3 设()()()121,,,n f x f x f x -是1n -个复系数多项式，满足 ()()()121211|n n n n n n x x f x xf x x f x ---++++++，证明()()()1211110n f f f -====．证 设()()()()()211211n n n n n n f x xf x x f x p x x x ---+++=+++，取22cossini n nππω=+，分别以21,,,n x ωωω-=代入，可得这个关于()()()1211,1,,1n f f f -的齐次线性方程组的系数行列式()()()22221211101n n n n n ωωωωωω-----≠，因此()()()1211110n f f f -====．例4 设n 是奇数，()()()121,,,n f x f x f x -是1n -个复系数多项式，满足()()()123221211|n n n n n n n n x x x f x xf x x f x -------+-++++，证明()()()1211110n f f f --=-==-=．证 注意到当n 是奇数时，()()123111n n n n x x x x x ---+=+-+-+，可按照例3的思路完成证明．例5 设A 是个n 阶矩阵，证明A 的属于不同特征值的特征向量线性无关．证 设12,,,r λλλ是A 的两两不同的r 个特征值，非零向量12,,,r ααα适合i i i A αλα=，1 i r ≤≤，假设11220r r x x x ααα+++=，那么有()11220j r r A x x x ααα+++=，1 1j r -≤≤．即()1110r r rjjj i i i i i i i i i i A x x A x ααλα===⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑，注意到()0j ir rλ⨯≠，必须11220r r x x x ααα====，于是120r x x x ====，这证明了12,,,r ααα线性无关．例6 计算行列式()()()()()()()()()111212122211121111n n n n n n n x x x x x x D x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---=，其中()11kk k k nk x x a xa ϕ-=+++．解 注意到下面的等式： 即得()1n ijj i nD x x <=-∏≤≤．例7 计算行列式1212111111111n n n x x x D x x x n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中()()11!x x x x k k k --+⎛⎫= ⎪⎝⎭．解 直接利用例6可得()()111!2!1!n ijj i nD x x n <=--∏≤≤． 例8 设12,,,n a a a 是正整数，证明n 阶行列式。
范德蒙行列式及其应用
范德蒙行列式及其应用1 预备知识定义1.1)133(]1[p121211112111,n n n n n nx x x D x x x n x x x ---⋯⋯=,⋯⋯⋯⋯⋯⋯叫做 的阶范德蒙行列式.12111121111212111n i i i n i i i n n n n nx x x D n x x x x x x x x x ---+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯叫做阶准范德蒙行列式.定理1.2)133(]1[p ∏≤≤≤-=ni j jin x x D 1)(．证明 方法一)133(]1[p由n D 的最后一行开始,每一行减去它的相邻的前一行乘以1x ,并由行列式的展开定理可得递推公式111312)())((----=n n n D x x x x x x D Λ,其中1-n D 是n x x x Λ32的n-1阶范德蒙行列式,由以上递推公式可求得∏≤≤≤-=ni j jin x x D 1)(．证明 方法二将n D 看作系数与121,,-n x x x Λ有关,未知量是n x 的一元多项式．则当)1,,2,1(-==n i x x i n Λ时,0=n D ．所以121,,-n x x x Λ是n D 的根,所以,)1,2,1()(-=-n i D x x n i n Λ．又因为当j i ≠时,1),(=--j n i n x x x x ,所以*---=-)())()((12121n n n n n n x x x x x x x x x g D ΛΛ另一方面,如果将n D 按最后一列展开,可知道, n D 是n x 的n-1次多项式,且1-n n x 项的系数是n-1阶范德蒙行列式12122212111nn n n n nx x x D x x x ----⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯与*可比较得 )(211n n x x x g D Λ=-．因此1121)())((-----=n n n n n n D x x x x x x D Λ；同理22122111)())((---------=n n n n n n D x x x x x x D Λ；依似类推,最后有)(1212x x D D -=．又因为11=D ,所以∏≤≤≤-=ni j jin x x D 1)(．另外利用行列式的性质可推得n 阶范德蒙行列式的性质)1(]2[p 性质1 若将n D 逆时针旋转ο90,可得值为 n n n D 2)1()1(--．性质2 若将n D 顺时针旋转ο90,可得值为n n n D 2)1()1(--．性质3 若将n D 旋转ο180,可得值为n D ．2 范德蒙行列式在行列式计算中的应用2.1 简单变形 例1 计算()()()()11111nnn a a a n D a a a n -⋯-⋯⋯⋯⋯=-⋯-⋯解 由范德蒙行列式性质3得!)())()((111∏∏∏=≤≤≤≤≤≤=-=---=nk ni j ni j k j i i a j a D例2 计算n+1阶行列式211111111112122222222221111111111nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a b a b a b a b a a b a b a b a b D a a b a b a b a b ---+++++++++⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解 从第i 行提取公因子)1,,2,1(+=n i a ni Λ,就可以得到转置的n+1阶范德蒙行列式,于是()111b nnn i iji j i n D a b =≤<≤+=-∏∏例3 计算行列式2111111212222221111n n n n n nn n x x x x x x x x x x D x x x x x ---⋯-⋯-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯-解 从第i 行提取公因子)1,,2,1(1+=-n i x x i iΛ,然后再把第1列加到第2列,之后再把第2列加到第3列,⋯,再把第n-1列加到第n 列,就得到n 阶范德蒙行列式,于是()111nii j i j i ni x D x x x =≤<≤=--∏∏．例4 计算行列式()()()()()()11112122221222212221111n nnnn n n n n n n n n n n n D n n n n ----⋯--⋯--=⋯⋯⋯⋯⋯--⋯⋯解 由范德蒙行列式性质得()()()()()()()()12111111112122212122221222n n n n n n nnnn n n n n D n n n n n n n n +----⋯--⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-⋯--⋯--()1!nn =-1!2!⋯2.2 升阶法求解 例1 计算n 阶行列式221111222222221*********n n n n n n n n n n n n nnnnx x x x x x x x D x x x x x x x x --------⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⋯⋯解 将D 升阶为下面的n+1阶行列式221111112212222212211111122122111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x ----+-----------⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∆=⋯⋯⋯既插入一行与一列,使1+∆n 是关于x x x x n ,,,21Λ的n+1阶范德蒙行列式,此处x 是变数．于是∏≤≤≤+----=∆ni j j in n x xx x x x x x 1211)()())((Λ,故1+∆n 是一个关于x 的n 次多项式,它可以写成{}ΛΛ++++-+-=∆-≤≤≤+∏12111))(1()(n n n ni j j in x x x x x x x．另一方面,将1+∆n 按其第n+1行展开,既得Λ+-+-=∆-+≤≤≤+∏11211)1()(n n n ni j j in Dx x x x,比较1+∆n 中关于1-n x的系数,既得∏≤≤≤-+++=ni j j in x xx x x D 121)()(Λ．例2 计算211122222111111111nnnnnnx x x x x x D x x x ++++++=+++L L L LL LL解 将行列式增加第一行第一列并保持行列式值不变21112100011111111nnnn nx x x D x x x +++=+++L L L L LL LL把第一列乘以-1分别加到其它的列得21112111111n n n n n x x x D x x x ---=L L L L L L L L 把第一行拆分得2211111122200011111111nn n n nn nnn nx x x x x x D x x x x x x =-L L L L LL L L L L L L L L LL第一个行列式按第一行展开提取i x 后为n 阶范德蒙行列式,第二个行列式为1n +阶范德蒙行列式()()()111121nniijijii j i nj i ni D x x x x x x =≤≤≤≤==----∏∏∏∏p p()()11121n ni i i j i i j i nx x x x ==≤≤⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦∏∏∏p2.3 套用定理法求解 定理 2.3.1()12121211111211112121111,2,3,1n i n in i i i i p p p n n p p p i i i n n n n nx x x D x x x D i n x x x x x x x x x -----+⋯+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯==⋯=⋯-⋯⋯⋯⋯⋯⋯∑其中i p p p x x x -Λ21是1,2,3,⋯,n 中()n i -个数的正序排列,∑-in p p p x x x Λ21表示()n i -阶排列和,nD 为n 阶范德蒙行列式． W证明过程大部分是用数学归纳法给出其计算结果的,本文用代数教程中广泛使用的升阶法证明 证明 ()i 在行列式1+i D 中第1i +行和()1n +列相应的元素．考虑()1n +阶范德蒙行列式()122222121111121211111111121111n n i i i i ni i i i n i i i i n n n nnx x x x x x x x f x D x x x x x x x x x x x x x x x x ----++++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯==⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()()()()213111n x x x x x x xx --⋯--()()()3222n x x x x xx -⋯--⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ()n x x -=()()()()121n ijj i nxx x x x x x x ≤<≤--⋯--∏ )(*()ii 由()*式的两端,分别计算多项式()f x 中i x 项的系数．在()*式的左端,由行列式计算得,ix 项的系数为行列式中该元素对应的代数余子式()()()()()111,11111i n i n i n i i A D D ++++++++=-=-在()*式的右端,由多项式计算得,由12,,n x x x ⋯为()0f x =的n 个不同根,根据根与系数的关系,ix 项的系数为()()()1212110,1,2,1nnn in i p p p ij p p p j i na x x x xx i n --⋯≤<≤=-⋯-=⋯-∑∏其中i p p p x x x -Λ21是1,2,3,⋯,n 中()n i -个数的正序排列,i p p p x x x -Λ21表示()n i -阶排列和．()iii 比较()f x 中i x 项的系数计算行列式1i D +,因为()*式的左右端i x 项的系数应相等,所以 ()()()12121111n in ii nn ii p p p ij p p p j i nD x x x xx --+-+⋯≤<≤-=-⋯-∑∏ ()()121211n in ii p p p ij p p p j i nD x x x xx --+⋯≤<≤=⋯-**∑∏()()1212110,1,2,1n nn ii p p p n p p p D x x x D i n -+⋯=-⋯=⋯-∑定理得证．利用定理可以计算各阶准范德蒙行列式,简便易行． 例1计算准范德蒙行列式1234562222221234564444444123456555555123456666666123456111111a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a aaaaaa=解 由定理,因为6,3,n i ==所以()123123416p p p ij p p p j i D a a a aa ≤<≤=-=∑∏()()12312445616ijj i a a a a a a a a a a a ≤<≤++⋯+-∏．可以看出升阶法求解中的例1套用定理求解更简单．3 范德蒙行列式在其它方面的应用例1设()21211112111111,1n n n n n n x x x a a a p x a a a ------⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯其中121,n a a a -,⋯是互不相同的数．(1)由行列式定义,说明()p x 是一个1n -次多项式； (2)由行列式的性质求()p x 的根．证明（1）将()p x 按第一行展开知它是x 的多项式,又1n x-的系数为()11n +-乘以一个范德蒙行列式,其值不为零（因为i a 互异）,故()p x 为关于x 的1n -次多项式． （2）取()1,2,i x a i n ==⋯,则行列式两行相同其值为零,即有()0i p a =,故121,n a a a -,⋯是()p x 的全部根．例2 设()112n n f x a a x a x-=+++L 011,,,n εεε-L 为全部的n 次单位根,证明：()()()123112211132011345122341n n nn n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a D f f f a a a a a a a a a a εεε-------==L L L L L L LL L L L L证明 令ε为n 次原根,且假定()0,1,1iji n εε==-L 用范德蒙行列式()()()()212124211111111111n n n n n n εεεεεεεεε------∆=L L L L LLL LL左乘D ,再从每列分别提出()()()111,,n f ff εε-L 即得()()()()()()()()()()()()()()()()()()()111212121111111111n n n n n n n n n n f f f f f f D f f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεε----------∆==∆L L L L L LLL因为0∆≠,所以()()()()()()1101n n D f ff f f f εεεεε--==LL ．只要熟悉了范德蒙行列式使用的形式和使用技巧,便可以很好地应用范德蒙行列式了．例3 如果n 次多项式()21121n n n n n o f x a a x a x a x a x ---=+++++L 有1n +个不同的根,那么()0f x ≡．证明 设121,,n x x x +L 是()f x 的1n +个不同的根,则有2111211112112222221112111100n n n n n o n nn n n o n n n n n n n n o n a a x a x a x a x a a x a x ax a x a a x a x a x a x --------+-+++⎧+++++=⎪+++++=⎪⎨⎪⎪+++++=⎩L L L L L L L L L L L L L L L L L L 上式可看作1n +个未知量10,,,n n a a a -L 1n +个方程的齐次线性方程组．其系数行列式为()2111222211121111101n n n ijj i n n n n n x x x x x x D x x x x x +≤≤++++==-≠∏p L L L L LLLL所以上式只有零解．即1100,n n a a a a -=====L 也就是说()0f x ≡.。
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=
i =1
6
1 ≤i < j ≤n
Π
( xj - xi )
证明 记上式左端为 D , 为证明上述等式 , 构 造 n + 1 阶范德蒙行列式 1 1 1 … 1 1 x1 x2 x3 … xn x
x1 V n+1 = x1 x1
2
+ +
a1 x 1 a1 x 2
+ +
a2 x 1 a2 x
的余子式 , 将
n- 1
不难发现 D n + 1 为 n + 1 阶范德蒙行列式 , 由定 理得
D n+1 =
1 ≤i < j ≤n +1
V n + 1 = A 1 , n +1 + A 2 , n +1 x + … + A n , n + 1 x A n + 1 , n +1 x
n n- 1
+
Π
( xj - xi )
xn xn
2
…
n- 1
…
n- 1
…
n- 1
…
n- 1
… xn
对于行列式 V 5 ,按第五列展开得
V 5 = A 15 + A 25 x + A 35 x + A 45 x + A 55 x
2 3 3 4 4
称为 n 阶范德蒙 ( Vandermonde ) 行列式 , 由于 T 行列式 V n = V n ,因此范德蒙行列式也可写为
x2 x2 x2
2
1
x3 x3 x3
2
… … … …
1
xn xn
2
因此 D = 6 x i
i=1
1 ≤i < j ≤n
Π
( xj - xi ) 。
2 n 2. 3 设 f ( x ) = ao + a1 x + a2 x + …+ a n x
…
n- 2 n n
…
n- 2 n
…
n- 2 n
…
n- 2 n
第 17 卷第 4 期 北华航天工业学院学报 Vol117 No14 2007 年 8 月 Journal of Nort h China Institute of Aerospace Engineering Aug12007
范德蒙行列式应用三则
将上式展开为 x 的四次多项式得 x 的系数为 - ( b - a ) ( c - a) ( d - a ) ( c - b) ( d - b) ( d ( a + b + c + d) c) ・ 因此所求行列式的值为 D = ( b - a ) ( c - a) ( d - a ) ( c - b) ( d - b) —
… xn
x1
x2 xi
x3
xn
证明 : 如果 f ( x ) 有 n + 1 个不同的根 ,则 f ( x ) 为零多项式 ,即 f ( x ) = 0 。 证明 由题设知 f ( x ) 有 n + 1 个不同的根 ,不 妨设为 x 1 , x 2 , …, x n + 1 , 其中 x i ≠ x j ( i ≠j ) , 将其 分别代入函数 f ( x ) 表达式 ,得 n + 1 个方程如下 :
— 39
—
2 应 用 2. 1 计算行列式
又由定理可得 V 5 = ( b - a ) ( c - a ) ( d - a ) ( c - b) ( d - b ) ( d
- c) ( x - a ) ( x - b) ( x - c ) ( x - d ) ・
收稿日期 : 2007 - 06 - 15 作者简介 : 张文治 (1970 - ) , 男 , 讲师 , 硕士 , 河北保定人 , 主 要从事典型群及代数组合的研究 。
x1 Vn = x1 x1
2
的值 。 解 为了计算上述行列式 , 我们构造 5 阶范德 蒙行列式如下 : 1 1 1 1 1
a V5 = a a a
2 3 4
b b b b
2 3 4
c c c c
2 3 4
d d d d
2 2 3 4
x x x x
2 3 4
x2 x2 x2
2
x3 x3 x3
2
… …
2 2 2
2
+ +
… + … +
an x 1 an x 2
n
n n
= =
0 0
… … … … …
+ a1 x n +1 + a2 x n + 1 + … + a n x n + 1 = 0
x2 x2 x2
2
x3 x3 x3
2
…
xn
2
x x x
2
将 ao , a1 , a2 , …, + a n 看作未知量得上述方程 组的系数行列式为
3
— 38
第4期
张文治等 : 范德蒙行列式应用三则
2007 年 8 月
n- 1
( d - c) ・ ( a + b + c + d)
因此在 V n + 1 中 x
i =1
的系数为
( xj - xi )
此方法也称为加边法 。
2. 2 证明 1
x1 x1 x1
2
6
n
xi
1 ≤i < j ≤n
n
Π
1
2 4
d d d
2 4
= D
…Hale Waihona Puke 1…xn…
xn
2
… … xn
n- 1
则有 Vn =
也即行列式 D 的值为 V 5 的按第五列展开式中
x 系数的相反数 。
1 ≤i < j ≤n
Π
( xj - xi )
( 证明参见文献 [ 1 ] ) .
并且有 V n = 0 Ζ x i = x j ( i ≠j ,1 ≤i < j ≤n ) .
也即 行 列 式 D 等 于 n + 1 阶 范 德 蒙 行 列 式 n- 1 V n + 1 的展开式中 x 的系数的相反数 。 下面求 V n + 1 的展开式中 x
V n+1 =
1 ≤i ≤n
n- 1
参考文献 :
[ 1 ] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 . 高等代数 ( 第二版) [ M ] . 北京 : 高等教育出版社 . 1987. 79 - 80. [ 2 ] 牛莉 . 线性代数 [ M ] . 北京 : 中国水利水电出版社 ,2005. [ 3 ] 陈建华 . 经济应用数学 — 线性代数 [ M ] . 北京 : 高等教育
的系数 。
由定理可得行列式 V n + 1 的值为
1 ≤i < j ≤n
Π
( xj - xi ) ( x - xi )
n i =1
n- 1 对 Π ( x - x i ) 展开得 x 的系数为 - 6 x i ,
出版社 ,2004.
Three Appl ications of Vandermonde Determinents
1
D n+1 = x1 x2 x1 x2
2 2
…
n- 2 n- 1 n
…
n- 2 n- 1 n
…
n- 2 n- 1 n
…
n- 2 n- 1 n n
…
n- 2 n- 1 n
… xn … xn …
n- 1
… …
x1 x2
n
n n
1
x1
x2
x3
x
x
…
1
…
x n+1
…
x n+1
2
… … x n+1
则行列式 D 为 V n + 1 中元素 x 行列式 V n + 1 按第 n + 1 列展开得
1 1
Vn = x1 x2 x3 x1 x2 x3
2 2 2
= M 15 - M 25 x + M 35 x - M 45 x + M 55 x
… x1 … x2 … x3
n- 1 n- 1 n- 1
分析上式中 x 的系数知 1 1 1 1
M 45 = a a a
3 2 4
3
1
b b b
2 4
c c c
ZHAN G Wen2zhi ZHAO Yan
( Fundamental Science Department , Nort h China Institute of Aerospace Engineering , Langfang 065000 , China) Abstract : This paper analyzes how to construct a vandermonde derteminant to calculate and prove t hree application problems of der2 teminants. Key words :determinant ; vandermonde
其中 x
A n , n+1
的系数 2 n +1 = ( - 1) M n , n+1 = - M n , n+1 = - D ,
由于 x i ≠ x j ( i ≠j ) , 因此 D n + 1 ≠0 , 由克莱姆