【金版教程】2017届高考理科数学二轮复习训练：1-5-3-1 圆锥曲线中的范围、存在性和证明问题.doc

1.[2015·兰州双基过关]已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝63，过C 1的左焦点F 1的直线l ：x －y ＋2＝0被圆C 2：(x －3)2＋(y －3)2＝r 2(r >0)截得的弦长为2 2.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设C 1的右焦点为F 2，在圆C 2上是否存在点P ，满足|PF 1|＝a 2b 2|PF 2|？若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)；若不存在，说明理由．解 (1)∵直线l 的方程为x －y ＋2＝0， 令y ＝0，得x ＝－2，即F 1(－2,0)，∴c ＝2，又∵e ＝c a ＝63，∴a 2＝6，b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 1的方程为x 26＋y 22＝1.(2)∵圆心C 2(3,3)到直线l ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|3－3＋2|2＝2，又直线l ：x －y ＋2＝0被圆C 2：(x －3)2＋(y －3)2＝r 2(r >0)截得的弦长为22， ∴r ＝d 2＋⎝⎛⎭⎫2222＝2＋2＝2， 故圆C 2的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4.设圆C 2上存在点P (x ，y )，满足|PF 1|＝a 2b 2|PF 2|，即|PF 1|＝3|PF 2|，且F 1，F 2的坐标分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则 x ＋2 2＋y 2＝3 x －2 2＋y 2，整理得⎝⎛⎭⎫x －522＋y 2＝94，它表示圆心是C ⎝⎛⎭⎫52，0，半径是32的圆．∵|CC 2|＝⎝⎛⎭⎫3－522＋ 3－0 2＝372， 故有2－32<|CC 2|<2＋32，故圆C 与圆C 2相交，有两个公共点．∴圆C 2上存在两个不同的点P ，满足|PF 1|＝a 2b2|PF 2|.2.[2015·云南统测]已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＋2x ＋1＋x 2＋y 2－2x ＋1＝4，经过点(－1,0)作斜率为k 的直线l ，l 与曲线C 交于A 、B 两点，l 与直线x ＝－4交于点D ，O 是坐标原点．(1)若OA →＋OD →＝2OB →，求k 的值；(2)是否存在实数k ，使△AOB 为锐角三角形？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)由x 2＋y 2＋2x ＋1＋x 2＋y 2－2x ＋1＝4得 x ＋1 2＋y 2＋ x －1 2＋y 2＝4>2.∴曲线C 是以F 1(－1,0)、F 2(1,0)为焦点，4为长轴长的椭圆． ∴曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1，即3x 2＋4y 2＝12.∵直线l 经过点(－1,0)，斜率为k ，∴直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)． ∵直线l 与直线x ＝－4交于点D ，∴D (－4，－3k )． 设A (x 1，kx 1＋k )，B (x 2，kx 2＋k )．由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12y ＝k x ＋1 得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.由OA →＋OD →＝2OB →得2x 2－x 1＝－4.由2x 2－x 1＝－4和x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2得x 1＝43＋4k 2，x 2＝－4＋8k 23＋4k 2.∵x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，∴43＋4k 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋8k 23＋4k 2＝4k 2－123＋4k 2，化简得4k 4－k 2－5＝0， 解得k 2＝54或k 2＝－1<0(舍去)．∴k 2＝54，解得k ＝±52.(2)由(1)知，A (x 1，kx 1＋k )、B (x 2，kx 2＋k )，x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.∵OA →＝(x 1，kx 1＋k )，OB →＝(x 2，kx 2＋k )，OA →·OB →＝x 1x 2＋(kx 1＋k )(kx 2＋k ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k 2(x 1＋x 2)＋k 2 ＝－5k 2－123＋4k 2<0，∴∠AOB >π2.∴不存在实数k ，使△AOB 为锐角三角形.3.[2015·甘肃诊断]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32.(1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B 、D 两点，已知A (1,0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．解 (1)依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32，∵a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝2a ，∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m >0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 2－y 23＝1，得2x 2－2mx －m 2－3＝0， ∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，∵DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1， ∴m ＝0(舍)或m ＝2，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72，M 点的横坐标为x 1＋x 22＝1，∵DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0， ∴AD ⊥AB ，∴过A 、B 、D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径， ∵M 点的横坐标为1， ∴MA ⊥x 轴， ∵|MA |＝12|BD |，∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.4.[2015·南宁适应性测试(二)]已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线l ：y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N .(1)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(2)是否存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过点N ？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解 (1)证法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2中，得2x 2－kx －2＝0，∴x 1＋x 2＝k2.∵x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫k 4，k 28. ∵(2x 2)′＝4x ，∴(2x 2)′⎪⎪⎪x ＝k4＝k ，即抛物线在点N 处的切线的斜率为k .∵直线l ：y ＝kx ＋2的斜率为k ，∴切线平行于AB .证法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2中，得2x 2－kx －2＝0， ∴x 1＋x 2＝k2.∵x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫k 4，k 28. 设抛物线在点N 处的切线l 1的方程为y －k 28＝m ⎝⎛⎭⎫x －k 4， 将y ＝2x 2代入上式得2x 2－mx ＋mk 4－k 28＝0，∵直线l 1与抛物线C 相切，∴Δ＝m 2－8⎝⎛⎭⎫mk 4－k 28＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －k )2＝0，∴m ＝k ，即l 1∥AB .(2)假设存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过点N . ∵M 是AB 的中点，∴|MN |＝12|AB |.由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝12[k (x 1＋x 2)＋4]＝12⎝⎛⎭⎫k 22＋4＝k 24＋2， ∵MN ⊥x 轴，∴|MN |＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168.∵|AB |＝1＋k 2· x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫k 22－4× －1 ＝12k 2＋1·k 2＋16.∴k 2＋168＝14k 2＋1·k 2＋16，∴k ＝±2，∴存在实数k ＝±2，使以AB 为直径的圆M 经过点N .5.[2015·潍坊一模]已知点M 是圆心为C 1的圆(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点，点C 2(1,0)，若线段MC 2的中垂线交MC 1于点N .(1)求动点N 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋t 是圆x 2＋y 2＝1的切线且l 与N 点轨迹交于不同的两点P 、Q ，O 为坐标原点，若OP →·OQ →＝μ，且23≤μ≤45，求△OPQ 面积的取值范围．解 (1)由线段MC 2的中垂线交MC 1于点N ，得|MN |＝|NC 2|， 则|NC 1|＋|NC 2|＝|NC 1|＋|NM |＝22>|C 1C 2|＝2，所以动点N 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，以22为长轴长的椭圆， 故2a ＝22，2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，得b 2＝1， 所以动点N 的轨迹方程为：x 22＋y 2＝1.(2)因为直线y ＝kx ＋t 是圆x 2＋y 2＝1的切线， 所以|t |1＋k2＝1，即t 2＝k 2＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以Δ＝(4kt )2－4(1＋2k 2)(2t 2－2)＝8k 2>0， 即k 2>0，所以k ≠0，所以x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1·x 2＝2t 2－21＋2k 2，所以y 1·y 2＝(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝k 2x 1·x 2＋t ·k (x 1＋x 2)＋t 2＝t 2－2k 21＋2k 2，又t 2＝1＋k 2，所以x 1·x 2＝2k 21＋2k 2，y 1·y 2＝1－k 21＋2k 2所以OP →·OQ →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝1＋k 21＋2k2＝μ，又23≤μ≤45， 所以23≤1＋k 21＋2k 2≤45，即13≤k 2≤1， 又|PQ |＝1＋k 2· x 1＋x 2 2－4x 1·x 2 ＝2·2 k 4＋k 24 k 4＋k 2＋1，令λ＝k 4＋k 2， 因为13≤k 2≤1，所以λ∈⎣⎡⎦⎤49，2，|PQ |＝22λ4λ＋1＝2·12－12 4λ＋1 在⎣⎡⎦⎤49，2上为递增函数．所以425≤|PQ |≤43.又因为直线PQ 与圆x 2＋y 2＝1相切，所以点O 到PQ 的距离为1，所以S △OPQ ＝12|PQ |，即225≤12|PQ |≤23，故△OPQ 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤225，23.6.[2015·太原一模]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是点F 1、F 2，其离心率e ＝12，点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2内切圆面积的最大值为4π3. (1)求a 、b 的值；(2)若A 、B 、C 、D 是椭圆上不重合的四个点，且满足F 1A →∥F 1C →，F 1B →∥F 1D →，AC →·BD →＝0，求|AC →|＋|BD →|的取值范围．解 (1)由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，△PF 1F 2内切圆面积取最大值，设此时△PF 1F 2内切圆半径为r ，则πr 2＝4π3，r ＝233.此时S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|OP |＝bc ，又∵S △PF 1F 2＝12·(|F 1F 2|＋|F 1P |＋|F 2P |)·r ＝233(a ＋c )，∴bc ＝233(a ＋c )，∵e ＝12，∴a ＝2c ，∴b ＝23，a ＝4.(2)∵F 1A →∥F 1C →，F 1B →∥F 1D →，AC →·BD →＝0，∴直线AC 与BD 垂直相交于点F 1，由(1)得椭圆的方程为x 216＋y 212＝1，则F 1的坐标为(－2,0)，①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得|AC →|＋|BD →|＝6＋8＝14， ②当直线AC 的斜率k 存在且k ≠0时，其方程为y ＝k (x ＋2)， 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2 x 216＋y212＝1， 消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2x 1x 2＝16k 2－483＋4k2，∴|AC →|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝24 k 2＋13＋4k 2，此时直线BD 的方程为y ＝－1k(x ＋2)．同理，由⎩⎨⎧y ＝－1kx ＋2x 216＋y212＝1，可得|BD →|＝24 k 2＋13k 2＋4，∴|AC →|＋|BD →|＝24 k 2＋1 4k 2＋3＋24 k 2＋13k 2＋4＝168 k 2＋1 23k 2＋4 4k 2＋3，令t ＝k 2＋1(k ≠0)，则t >1，∴|AC →|＋|BD →|＝16812＋t －1t2， ∵t >1，∴0<t －1t 2≤14，∴|AC →|＋|BD →|∈⎣⎡⎭⎫967，14. 由①②可知，|AC →|＋|BD →|的取值范围是⎣⎡⎦⎤967，14.。