概率论和数理统计 方差分析与正交试验设计
概率论与数理统计8-3
通过比较，选取B1和 C2，于是得到最优工艺条件为 A2 B1C2 现进行方差分析。总偏差平方和的分解公式为 ST = S A + S B + SC + S A×B + S A×C + S B×C + S E , (3.1)
其中计算公式为
ST =
n
∑
i =1
yi
2
1 n − (∑ yi ) 2 n i =1
（5）按原来考虑的因素、水平和交互作用去选择正交表， 若无正好适用的正交表可选，简便且可行的办法是适当修 改原定水平数。 （6）对某因素或某交互作用的影响是否确实存在没有把握 的情况下，选择L 的情况下，选择L表式常为选大表还是小表而犹豫。若条件 许可，应尽量选大表，让影响存在的可能性较大的因素和 交互作用各占适当的列。某因素或某交互作用的影响是否 真的存在，留到方差分析进行显著性检验是再做讨论。这 样既可以减少试验的工作量，又不致于漏掉重要的信息。 4.正交表的表头设计 4.正交表的表头设计 所谓表头设计，就是确定试验所考虑的因素和交互作用，在 正交表中该放在哪一列的问题。一般 （1）有交互作用时，表头设计必须严格地按规定处理。 （2）若试验不考虑交互作用，按规定进行表头设计，只不过 将有交互作用的列先视为空列，待试验结束后再加以判断。
三、正交表
1.各列水平数均相同的正交表 1.各列水平数均相同的正交表 单一水平正交表。 各列水平数均相同的正交表，也称单一水平正交表 单一水平正交表 2.各列水平数均相同的正交表 各列水平数均相同的正交表 各列水平数不相同的正交表，也称混合水平正交表 混合水平正交表。 混合水平正交表 3.选择正交表的基本原则 3.选择正交表的基本原则 一般都是先确定试验的因素、水平和交互作用，后选 择适用的L表。主要因素多安排几个水平，次要因素可少安 排几个水平。 （1）先看水平数。 （2）每一个交互作用在正交表中应占一列或两列。 （3）要看试验精度的要求。 （4）若试验费用很昂贵，或试验的经费很有限，或人力和 时间都比较紧张，则不宜选试验次数太多的L表.
概率论与数理统计_正交试验设计
第12章 正交试验设计前面介绍了单因素与双因素试验的方差分析，但是在实际问题中遇到的因素往往超过两个，需要考察各个因素对试验结果是否有显著影响。
从理论上讲可以导出多因素的方差分析法，但是一来公式会变得很复杂，二来总试验次数也要明显增多。
例如，考虑7个因素的试验，每个因素有6个水平，若在每一种组合水平上都做一次试验，需要做27993667次试验，这是根本不可能的！ 为了减少试验次数，希望在所有组合水平中挑选一部分出来，在这些组合水平上做试验，即局部地进行试验。
正交试验设计是利用一套现成的规格化的表—正交表，科学地安排试验和分析试验结果的一种数理统计方法，该方法的主要优点是能在很多试验条件中选出代表性强的少数试验方案，同时通过对这少数试验方案的结果进行分析，从中找出最优方案。
正交表1944年起源于美国。
第二次世界大战后在日本开发了使用正交表进行试验设计的技术体系，并在日本全国进行大力普及推广、应用，取得了显著的经济效益。
实践证明，正交设计是促进生产率提高的一种有效手段，目前已经广泛应用于科学研究、产品设计、工艺改革等技术领域以及经营、计划等管理领域。
§12.1 正交试验设计一、正交表正交表记为)(mn r L ，表示至多安排m 个因素，每个因素有r 种水平，共作n 次试验的正交表。
下面就是两个常用的正交表)3(49L ，)2(78L 。
)3(49L )2(78L其中符号含义如下： L —正交表符号；n —试验次数（正交表的行数）； r —水平数；m —因素个数（正交表的列数）。
从上面两个正交表容易看出它们具有如下性质：（1）表中任何一列所含不同的数字出现的次数相同。
如表)3(49L 每一列有三个不同的数字“1”、“2”、“3”，它们各出现3次。
（2）将表中任意两列同一行的两个数字看成有序数对，每种数对出现的次数相同。
如表)3(49L 的有序数对为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9个，它们各出现一次。
实验设计的方差分析与正交试验
实验设计的方差分析与正交试验一、实验设计中的方差分析方差分析（analysis of variance，ANOVA）是一种统计方法，用于比较不同组之间的均值差异是否具有统计学上的显著性。
在实验设计中，方差分析主要被用来分析因变量（dependent variable）在不同水平的自变量（independent variable）中的变化情况。
通过比较不同组之间的方差，判断是否存在显著差异，并进一步分析差异的原因。
1. 单因素方差分析单因素方差分析是最简单的方差分析方法，适用于只有一个自变量的实验设计。
该方法通过比较不同组之间的方差来判断各组均值是否有差异。
步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和自变量。
（2）设计实验，确定各组的样本个数。
（3）进行实验，并收集数据。
（4）计算各组的平均值和总平均值。
（5）计算组内方差和组间方差。
（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。
2. 多因素方差分析多因素方差分析是在单因素方差分析的基础上，增加了一个或多个自变量的情况下进行的。
这种方法可以用来分析多个因素对因变量的影响，并判断各因素的主效应和交互效应。
步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和多个自变量。
（2）设计实验，确定各组的样本个数。
（3）进行实验，并收集数据。
（4）计算各组的平均值和总平均值。
（5）计算组内方差、组间方差和交互方差。
（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。
二、正交试验设计正交试验设计是一种设计高效实验的方法，可以同时考虑多个因素和各个因素之间的交互作用，并通过较少的试验次数得到较准确的结果。
1. 正交表的基本原理正交表的设计是基于正交原理，即每个因素和其他所有因素的交互效应都是独立的。
通过正交表设计实验，可以确保各因素和交互作用在样本中能够均匀地出现，从而减少误差来源，提高实验结果的可靠性。
2. 正交试验设计的步骤（1）确定要研究的因素和水平。
正交试验设计及其方差分析
例 9. 8 提高某化工产品转化率的试验 . 某种化工产品的转化率可能与反应温度A，反应时间B，某两 种原料之配比C和真空度D有关.为了寻找最优的生产条件，因此 考虑对 A ， B ，C ， D 这4个因素进行试验.根据以往的经验，确 定各个因素的3个不同水平，如表9-19所示 .分析各因素对产品的 转化率是否产生显著影响，并指出最好生产条件.
3
显然 T Tij ,j =1，2，3，4.此处 i 1
T11 大致反映了A1 对试验结果的影响, T21 大致反映了A2 对试验结果的影响, T31 大致反映了A3 对试验结果的影响, T12 , T22 和 T32 分别反映了B1 , B2 , B3 对试验结果的影响,
T13 , T23 和T33 分别反映了C1, C2 , C3 对试验结果的影响, T14 , T24 和 T34 分别反映了D1, D2 , D3 对试验结果的影响.
Rj 反映了第j列因素的水平改变对试验结果的影响大小, Rj 越大反映第j列因素影响越大.上述结果列表 of range) 由极差大小顺序排出因素的主次顺序:
这里, Rj值相近的两因素间用“、”号隔开,而Rj 值相差较 大的两因素间用“;”号隔开.由此看出,特别要求在生产过程中 控制好因素B，即反应时间.其次是要考虑因素A和D，即要控制 好反应温度和真空度.至于原料配比就不那么重要了.
(2 ) 表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同 . 如 表 L4 (23) 中任意两列，数字1 ， 2 间的搭配是均衡的 .
凡满足上述两性质的表都称为正交表(Orthogonal table).
常用的正交表有L9(34)， L8(27)，L16(45)等,见附表7. 用正 交表来安排试验的方法,就叫正交试验设计. 一般正交表)
数理统计 第4章 方差分析、正交试验设计
r
ni
i i 1 1 ni 2 nni i i
r
组间离差平方和之和。 组间离差平方和之和。 于是，总离差平方和被分解为组内离差平方和
Q QT QE QA QE 、 QA 、 Q T QE QA QE 、 QA QE A E A 于是，总离差平方和被分解为组内离差平方和与 于是，总离差平方和被分解为组内离差平方和与 QT QE Q Q QA QT QE QA QT T E A E A
Q Q1 Q2 Qr ， 其中 Qi 是 Y1 ,Y2 ,,Yn 的线性组合的
平方和 （即非负定二次型） ，自由度为 f j ， j 1,2,, r ， 则有： Q1 , Q2 ,, Qr 相互独立，且
Q j ~ 2 ( f j ) n f1 f 2 f r .
X ij ~ N ( , 2 )
X ij
~ N (0,1)
i 1,2,, r ， j 1,2,, ni 且相互独立，
于是 Q (
i 1 j 1
r
ni
X ij
)2 ~ 2 (n) ,
且有
Q 1
2
1
[( X
i 1 j 1 r ni i 1 j 1
1 r E( X ) ni i ； n i 1
水平
Ai 的均值： X i
1 ni
r
X
j 1
ni
ij
~ N ( i ,
2
ni
)；
( X ij X )2 ； 离差平方总和： QT
i 1 j 1
ni
2 QT ( X ij X ) ； 离差平方总和： i 1 j 1
正交设计与方差分析
正交设计适用于多因素、多水平的试验安排，而方差分析 适用于检验数据间的差异和因素显著性。
04
正交设计与方差分析的实例
正交设计实例
实验设计
正交设计是一种实验设计方法， 通过选择合适的正交表，安排多 因素多水平的实验，以最小实验 次数获得尽可能多的信息。
特点
正交设计具有均衡分散、整齐可 比的特点，能够快速有效地找到 最优方案。
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复合正交设计
适用于多个因素，每个因素有多个水平的实验。
混合水平正交设计
适用于某些因素水平较多，而其他因素水平较少 的实验。
02
方差分析简介
方差分析的定义
• 方差分析（ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两 个或多个组之间的平均值差异是否显著。它通过分析数据 的变异来源，将总变异分解为组间变异和组内变异，从而 评估不同组之间的差异是否具有统计意义。
适用范围有限
正交设计主要适用于多因素、多水平的实验设计，对于其他类型 的实验可能不太适用。
对实验条件要求较高
正交设计要求实验条件相同，对于实验条件不易控制的情况可能不 太适用。
对实验结果分析要求较高
正交设计需要对实验结果进行复杂的统计分析，对于数据分析能力 要求较高。
正交设计与方差分析的发展趋势
多元化
正交设计与方差分析在未来的应用前景
科学研究
正交设计与方差分析在科学研究领域的应用将会越来越广泛，特别是在生物、化学、物理 等领域。
工业生产
工业生产中需要进行大量的实验研究和数据分析，正交设计与方差分析可以为工业生产提 供有效的实验设计和数据分析方法。
数据分析
正交设计与方差分析作为一种统计分析方法，在数据分析领域的应用将会越来越广泛。
第十章 方差分析与正交试验设计
第十章方差分析与正交试验设计方差分析与试验设计是英国统计学家和遗传学家费希尔进行农业试验发展起来的通过试验获取数据并进行分析的统计方法。
方差分析讨论的是生产和科学试验中有哪些因素对试验结果有显著作用，哪些因素没有显著作用。
讨论的是一个因素对试验结果是否有影响称为一元方差分析，讨论的是多个因素对试验结果是否有影响称为多元方差分析．对于因素多于两个的方差分析，公式变得相当复杂，试验次数较多，我们介绍一个试验次数少的试验设计方案，正交试验设计。
10．1 一元方差分析人们常常通过试验来考察了解各种因素对产品或成品的性能，成本、产量等的影响，我们把性能、成本、产量等统称为试验指标。
有些指标可以直接用数量表示，称为定量指标；不能直接用数量表示的，称为定性指标，可按评定结果打出分数或评出等级，这时就能用数量表示了。
在试验中，影响试验指标的原因称为因素。
因素在试验中所处的各种状态称为因素的水平，某个因素在试验中需要考察它的几种状态，就称它为几水平的因素。
在生产实践和科学试验中，人们经常要研究这样的问题：如果改变生产条件是否会对产品（指标）产生显著影响?如果改变试验条件是否会对试验结果（指标）产生显著影响?方差分析的作用就在于通过对试验数据的统计分析，从而推断试验数据间的差异是由于生产条件的改变还是由于随机误差的影响，并分析出最佳的试验条件。
为此弄清楚方差分析处理问题的基本思想，下面举例说明。
例10.1.1 某灯泡厂用四种不同配料方案制成的灯丝生产四批灯泡,在每批，其中下标i表示第i批灯泡中取若干个做寿命试验，它们的寿命分别记为xij灯泡，第二个下标j表示第j次试验。
具体数据如下表10.1.1 四批灯泡的寿命试验表响。
在这里灯泡的寿命就是指标，灯泡品种就是因子，四种不同品种的灯泡就是四个水平,因此这是一个单因子四水平试验。
我们将每一种配料制成的灯泡，其寿命看成同一总体，而不同品种的灯泡就是不同总体，因而出现四个不同总体。
概率论和数理统计 正交试验设计
§6.3
正交试验设计
正交试验设计:处理多因素、多水平试验的一种有效的方法．它利用 一种规格化的数表——正交表，从全面试验中挑选出部分有代表性 的点进行试验，这些有代表性的点具备“均匀分散、齐整可比”的 特点，不仅使试验次数大大减少，还便于进行进一步的统计分析． 在试验中,根据试验目的而确定的衡量试验结果的特征量称为指标. 如：产品的质量参数（如重量、尺寸、速度、温度、寿命等）， 也可以是成本、效率等， 按其性质来分可分为定性指标和定量指标两类．通常我们研究的 是定量指标. 影响试验指标的试验条件(要素或原因)称为因素(或因子)，因素 在试验中所处的各种状态称为因素的水平． 在试验中可以人为地加以调节和控制的因素称为可控因素．由于 自然、技术和设备等条件的限制，暂时还不能为人们控制和调节 的因素（如气温、降雨量等）称为不可控因素．
6.3.2 正交表 正交表是一种专门用于安排多因素多水平试验的特殊表格．
正交表用符号
Ln ( r m )
其中字母L表示正交表，其它3个字母表示3个正整数 . n 表示试验的次数，也是正交表的行数；
m 表示试验最多可安排的因素的个数，也是正交表的列数； r 表示各因素的水平数.
正交表 L8 (27 )
4 1 2 3 3 1 2 2 3 1
4
5 6 7 8
1 2 2 2 2 1 1
2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2
正交表具有如下基本特点： （1）表中任一列中，不同数字出现的次数相同．如在表L8(27) 中，数字1,2在每列中均出现4次. （2）表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同．如 表L8(27)中任意两列，数字1,2间的搭配是均衡的. 凡满足上述两个性质的表都称为正交表 . 常用的正交表，2水平的有 L4 (23 )，L8 (27 )，L12 (211 )，L16 (215 ) 3水平的有 L9 (3 )，L27 (3 ) 3水平以上的有
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水平：
因素 可控因素 因素所处的状态.
不可控因素
单因素试验： 在一项试验中只有一个因素改变.
多因素试验： 在一项试验中有多个因素在改变.
置信区间为 1 1 X j X k t 2 ( n s ) S E ( ) . n j nk
S E ST S A 395.46
ST , S A , S E的自由度依次为17， ， ，结果载于下表 13 14
方差来源 平方和 自由度 均方 F比
进行n j ( n j 2)次独立试验, 得到如下表 的结果 .
观察结果
水平
A1 X 11
A2
X 12
As X 1s
X 21
X n1 1
X 22
X 2s
X n2 2
X ns s
样本总和
T1
X 1
T2 X 2
T s
X s
样本均值
总体均值
1
2
s
假设:
第六章 方差分析与正交试验设计
§1 单因素方差分析 §2 多因素方差分析 §3 正交试验设计
要求：理解方法思想，掌握方法要领，会简单应用 。
第一节
单因素试验的方差分析
一、单因素试验
二、方差分析数学模型
一、单因素试验
化工产品的数量和质量影响因素：原料成分、原料剂量，反应温 度、压力、溶液浓度、反应时间、机器设备、操作水平等
2 j 1 i 1 s
s
s
j 1
j 1
效应平方和
6、SE ,SA 的统计特性
SE
( X ij X j )2 是N ( j , 2 )的样本方差的n j 1倍,
i 1
n j j 1 i 1
s
nj
( X i 1 X 1 )2 ( X is X s )2 , ( X ij X j )
s
nj
S E ST S A .
,
例4设有三台机器,用来生产规格相同的铝合金薄板.取样,测量 取 ）： 薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结果如下表所示. （ 0.05
机器Ⅰ
0.236 0.238 0.248 0.245 0.243
பைடு நூலகம்
机器Ⅱ
0.257 0.253 0.255 0.254 0.261
机器Ⅲ
0.258 0.264 0.259 0.267 0.262
检验假设 H 0 : 1 2 3 , H 1 : 1 , 2 , 3不全相等 s 3, n1 n2 n3 5, n 15 解 3 5 3 .8 2 T2 2 0.963912 0.001 245 33, ST X ij 15 15 j 1 i 1
2、方差分析例题 例1、设有三台机器,用来生产规格相同的铝合金薄板.取样,测 量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结果如下表所示.
试验指标:薄板的厚度 因素:机器 水平:不同的三台机器是因 素的三个不同的水平.假定 除机器这一因素外,其他条 件相同,属于单因素试验. 机器Ⅰ 0.236 机器Ⅱ 0.257 机器Ⅲ 0.258
9、S T 、S A 和S E 的简便计算公式
记T j X ij , j 1,, s,
i 1 nj
T X ij ,
j 1 i 1 s nj 2
s
nj
2 2 ST X ij n X 2 X ij T n j 1 i 1 j 1 i 1 s s T2j T2 2 2 , SA nj X j nX n j 1 n j j 1
H 1 : 1 2 s 0,
H 0 : 1 , 2 , , s不全为零 .
5、平方和的分解 数据的总平均
总偏差平方和（总变差）
2 ST ( X ij X ) s nj
1 X X ij n j 1 i 1
水平A j下的样本平均值
自由度 2 12 14
均方 0.00052667 0.000016
F比 32.92
F 32.92 F0.05 ( 2,12) 3.89. 在水平0.05 下拒绝 H 0
各机器生产的薄板厚度有显著差异. 在MATLAB中的求解 函数:anova1 格式:p=anova1(x)
说明:对样本X中的多列数据进行单因素方差分析,比较各列的均值,返回“零假设”成 立的概率值,如果概率值接近于零,则零假设值得怀疑,表明各列的均值事实上是不同的
3、单因素方差分析模型假设 1.检验假设 H 0 :
X ij j ij , ij～N (0, 2 ) , 各 ij 独立, , i 1, 2, , n j , j 1, 2, , s j 与 2 均未知.
1 2 s , H1 : 1 , 2 , , s不全相等.
T2j T2 1 3.82 0.00105333, (1.212 1.28 2 1.312 ) SA 15 n 5 j 1 n j S E ST S A 0.000192.
3
方差来源 因素 误差 总和
平方和 0.00105333 0.000192 0.00124533
0.238 0.248 0.245 0.243
0.253 0.255 0.254 0.261
0.264 0.259 0.267 0.262
试验目的:考察各台机器所生产的薄板的厚度有无显著的 差异.即考察机器这一因素对厚度有无显著的影响. 结论:如果厚度有显著差异，表明机器这一因素对 厚度的影响是显著的.
1.各个水平A j ( j 1,2,, s )下的样本 X1 j , X 2 j ,, X n j j
来自具有相同方差 2 ,均值分别为 j ( j 1,2,, s ) 的正态总体N ( j , 2 ) , j与 2均未知 ;
2.不同水平A j下的样本之间相互独立 .
2、单因素试验方差分析的数学模型 因为X ij～N ( j , 2 ), 所以X ij ～N (0, 2 ). j 记X ij j ij 表示随机误差 , 那么X ij 可写成
s
s
2 2 2 2 n j ( j ) n j 1 n nj
s
( s 1) 2 2 n j j n 2 n j j2 n 2
j 1 j 1
s
s
( s 1) 2 n j j2
j 1
s
S A与S E 独立 , H 0为真时,
SA
2 ( s 1). 2 ～
7、假设检验问题的拒绝域 检验假设 H 1 : 1 2 s 0, H 0 : , , , 不全为零 .
1 2
s
S A ( s 1) . 选用统计量 F S E (n s)
源程序: x=[0.236,0.238,0.248,0.245,0.243; 0.257,0.253,0.255,0.254,0.261; 0.258,0.264,0.259,0.267,0.262]; p=anova1(x’)
10、未知参数的估计
由于
E ( S E ) ( n s ) 2 .
2.估计未知参数1 , 2 , , s , 2 .
4、单因素方差分析模型改进
记n n j ,
j 1
s
总平均
1 s nj j . n j 1
表示水平 A j 下的总体 平均值与总平均的差异 .
j j ,
j 1,2,, s.
n1 1 n2 2 ns s 0 (1)改进的模型
s
其中n n j .
j 1
根据 2 分布的性质可以得到 ，
～
S E 的自由度为n s ;
E ( S E ) ( n s ) 2 .
E ( S A ) E[ n j X 2j nX 2 ] n j E ( X 2j ) nE ( X 2 )
j 1 j 1
ij～N (0, 2 ) , 各 ij 独立 , i 1, 2, , n j , j 1, 2,, s , 2 j 与 均未知.
原数学模型 X ij j ij ,
改写为 X ij j ij ,
ij～N (0, 2 ),
i 1, 2,, n j ,
n j j 0.
j 1
s
各 ij 独立, j 1, 2,, s ,
(2)改进的假设 原检验假设 H 0 : H1 : 等价于检验假设
1 2 s , 1 , 2 , , s不全相等.
3、解决的问题 关于例1的讨论 设总体均值分别为1 , 2 , 3 . 检验假设 H 0 : 1 2 3 ,
H 1 : 1 , 2 , 3不全相等.
问题：检验同方差的多个正态总体均值是否相等. 解决方法：方差分析法 二、方差分析数学模型 1、方差分析元素表
设因素A有s个水平A1 , A2 , , As , 在水平A j ( j 1,2,, s )下,
ˆ 2
不论H 0 是否为真,
E ( X ) ， E ( X j ) j , j 1,2,, s
SE 是 2的无偏估计 . n s
ˆ 故 X , j X j 分别是和 j的无偏估计 . ˆ