高中数学人教B版选修2-1练习：3-1-4空间向量的直角坐标运算a
人教版高中数学选修2-1练习：3-1-4空间向量的直角坐标运算b
4课后课时精练一、选择题a1a2a31．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则b1＝b2＝b3是a∥b的()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件a 1a2a3分析：设＝＝＝k，易知a∥ b.即条件拥有充足性．a1a2a3又若 b＝0时， b＝(0,0,0)，虽有 a∥b，但条件b1＝b2＝b3明显不成立，所以条件不具备必需性．答案： A2.[2014 锦·州高二检测 ] 已知 A(4,1,3)，B(2，－ 5,1)，C(3,7，λ)，→→若AB⊥AC，则λ的值为 ()A. －13B. －14C. 14D. 13→分析：此题主要考察空间向量垂直的观点．因为AB＝(－2，－6，→→ →－2)，AC＝(－1,6，λ－3)，由AB·AC＝0 可得2－36－2(λ－3)＝0，解得λ＝－ 14，应选 B.答案： B3.如下图的几何体ABCDE 中， DA⊥平面 EAB，CB∥DA ，EA ＝A B＝DA＝2CB，EA⊥AB，M 是 EC 的中点．则下述结论正确的一项是()A.DM ⊥EBB.DM ⊥ECC.DM ⊥EMD.DM ⊥BA分析：此题主要考察利用空间向量法判断线线垂直．以A为坐标原点建立如下图的空间直角坐标系，并设EA＝DA＝ AB＝2CB＝ 2，则→13 E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,1)，D(0,0,2)，M(1,1，2)，DM ＝(1,1，－2)，→→→1→EB＝ (－ 2,2,0)，EC＝(－2,2,1)，EM＝(－1,1，2)，AB＝ (0,2,0)，仅有→→DM ·EB＝0，进而得 DM⊥EB，应选 A.答案： A4. [2014 湖·北省八校联考 ]已知 A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O 为→ →坐标原点，点 D 在直线 OC 上运动，则当 DA ·DB 取最小值时，点 D的坐标为 ()4 4 48 4 8A. ( 3，3，3)B. ( 3，3，3)4 4 88 8 4C. (3，3，3)D. (3，3，3)分析：此题主要考察空间向量的坐标运算以及数目积运算，考察→ →函数思想．点 D 在直线 OC 上运动，因此可设 OD ＝(a ，a,2a)，DA ＝→→ →(1 － a,2 － a,3 － 2a) ， DB ＝ (2－a,1－ a,2－2a)，DA · ＝(1－a)(2－a)DB→ → ＋(2－a)(1－a)＋(3－2a)(2－2a)＝6a 2－16a ＋10，所以 a ＝4时DA ·3 DB2→ 4 4 8最小为－ 3，此时 OD ＝ (3，3，3)，应选 C.答案： C5．已知 a ＝(sin θ，cos θ，tan θ)，b ＝(cos θ，sin θ， 1)且a ⊥b ， tan θ则 θ等于 ()πA ．－4π B.4πC ．2k π－2(k ∈Z )πD ．k π－4(k ∈Z )分析： 注意此题中 θ不是 a 、b 的夹角，故有无数个 θ的值知足条件．2sin θcos θ＝－ 1，sin 2θ＝－ 1，π2θ＝2kπ－2(k∈Z)，1θ＝kπ－4π(k∈Z)．答案： D6．已知三棱柱 ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC1所成的角的余弦值为 ()35A. 4B. 473C. 4D.4分析：解法一：设 BC 的中点为 D，连结 A1D，AD，易知θ＝∠A1AB 即为异面直线 AB 与 CC1所成的角，由三角余弦定理，易知 cosθADAD 3＝cos∠A1AD·cos∠DAB＝·＝.A1A AB4解法二：由题意 A1D⊥平面 ABC，又 D 为 BC 中点，∴ AD⊥ BC，故以 D 为坐标原点 DA、DB、DA1所在直线为 x、y、z 轴成立直角坐标系，设侧棱长与底面边长均等于 a，3a1则 D(0,0,0)，A(2 a,0,0)，B(0，2，0)，A1(0,0，2a)，→→ 3a ，a ，0)． AA 1＝(－ 3a,0，1a)，AB ＝(－2 22 2 异面直线 AB 与 CC 1 所成的角为∠ A 1AB.→ →3 2∴ cos ∠A＝ AA 1·AB ＝ 4a＝31AB→ → a ·a .4 |AA 1| ·|AB|答案： D二、填空题7. 已知四边形 ABCD 为平行四边形， 且 A(4,1,3)，B(2，－5，1)，C(3,7，－ 5)，则极点 D 的坐标为 ________．→ →分析： 由四边形 ABCD 是平行四边形知 AD ＝BC ，设 D(x ，y ，z)，→ →则 AD ＝(x －4，y －1，z －3)，BC ＝(1,12，－ 6)，x －4＝1，x ＝5，所以 y －1＝12，解得 y ＝13，z －3＝－ 6，z ＝－ 3，即 D 点坐标为 (5,13，－ 3)．答案： (5,13，－ 3)8．已知边长为 4 的正方形 ABCD 所在平面外一点 P 与正方形的中心 O 的连线 PO 垂直于平面 ABCD ，且 PO ＝6，则 PO 的中点 M 到 △PBC 的重心 N 的距离为 ________．分析：此题主要考察利用空间向量求两点间的距离． 成立如下图的空间直角坐标系，则 B(2,2,0)，C(－2,2,0)，P(0,0,6)，由题意得，→， N(0 ， 4，2)，则 MN ＝(0，4，－ 1)，M(0,0,3) 3 3→ 2＋ 4 2＋ －2＝5于是 |MN ＝ 0| 33.故 M 到△ PBC 的重心 N 的距离为 53.5答案： 39．已知向量 a ＝(0，－ 1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝ 29，且 λ>0，则 λ＝________.分析： ∵a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，∴ λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)．22∵ |λa ＋b |＝ 29，∴ 16＋(1－λ) ＋λ＝29.∴ λ＝3 或 λ＝－ 2.∵λ>0，∴ λ＝3.答案： 3三、解答题10．已知 a ＝(3,5，－ 4)，b ＝(2,1,8)．计算： (1)(a ＋b ) ·(a －b )；(2)( a ＋b )2；(3)与 a 共线的单位向量．解： (1)(a ＋b ) ·(a －b )＝a 2－b 2＝ (9＋25＋16)－(4＋1＋64)＝－ 19.(2) a ＋b ＝(5,6,4)，|a ＋b |2＝52＋62＋42＝77.(3) ∵|a |＝ 32＋52＋ － 2＝5 2，∴与 a 共线的单位向量为a1a 0＝±＝± (3,5，－ 4)3 22 2 2＝(±10 ，±2 ，? 5 )，即 a 0＝( 3 2 2 2 23 22 2 210 ， 2 ，－5 )或(－ 10 ，－ 2 ，5 )． 11．[2014 吉·林高二测试 ]已知 P 是正方形 ABCD 外一点， M ，NPMBN1分别是 PA ，BD 上的点，且 MA ＝ND ＝2.(1)求证：直线 MN ∥平面 PBC ；(2)若∠ PAD ＝45°且 PD ⊥平面 ABCD ，求异面直线 MN ，PD 所成角的余弦值．→ → → → →→ →→ → 解： (1)MN ＝MP ＋PB ＋BN ＝－ 1 ＋PB ＋1＝－ 1 －BP )3PA3BD3(BA→1→→2→1→1→1→＋PB ＋3(BA ＋BC)＝3PB ＋3BC ＝3PB ＋3PC ，→→→取 BC 的中点为 G，则 PB＋PC＝2PG，→ 2→所以 MN ＝3PG，故 MN∥PG，又 PG? 平面 PBC，MN?平面 PBC，故 MN∥平面 PBC.(2)由四边形 ABCD 为正方形且 PD⊥平面 ABCD 知， DA，DC，DP 两两垂直，以 D 为坐标原点， DA，DC，DP 所在直线分别为 x，y，z 轴成立空间直角坐标系，设 DA＝3，则 A(3,0,0)， P(0,0,3)，→→则 M(1,0,2)，N(2,2,0)，得 NM ＝(－1，－ 2,2)，DP＝(0,0,3)，→→→ →NM·DP62故 cos〈NM，DP〉＝→ →＝3×3＝3，|NM| ·|DP |MN，PD 所成角的余弦值为2故异面直线3.12．如右图，正四棱锥 S－ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是 SA的中点， O 为底面 ABCD 的中心．(1)求 CE 的长；(2)求异面直线 BE 与 SC 所成角的余弦值；(3)若 OG⊥SC，垂足为 G，求证： OG⊥BE.解：→ → →如图，以 O 为原点，以 OA 、OB 、OS 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴成立空间直角坐标系．因为侧棱长为2，底面边长为3，E 为 SA 的中点，62666 所以 A( 2 ，0,0)，S(0,0， 2 )，C(－ 2 ，0,0)，B(0， 2 ，0)，E( 4 ，20， 4 )．→ 3 6 2(1)CE ＝( 4 ，0， 4 )，→ 3 6 2＋02＋2 2＝ 14 所以 |CE ＝|442 .→662 →62(2)因为 BE ＝( 4，－2 ， 4 )，SC ＝(－ 2 ，0，－ 2 )，所以 cos→ →〈 BE ，SC 〉＝→ →BE ·SC → → ＝ |BE| ·|SC|－1 12× 2＝－ 2，1故异面直线 BE 和 SC 所成角的余弦值为 2. → →(3)因为 G 在 SC 上，所以 SG 与 SC 共线，→ →62→ → → 2可设 SG ＝λSC ＝(－＝OS ＋SG ＝(0,0， )2 λ， ，－λ，则OG22)＋(－6λ， ，－2 λ2 02 )＝ (－6λ， ，2 －λ ．2 0 2 (1 ))→ → → →又 OG ⊥SC ，所以 OG ·SC ＝0，3 11即 2λ－ 2(1－λ)＝0，所以 λ＝4，→ 6 3 2 所以 OG ＝(－ 8 ，0， 8 )．→ 6，－6，2→ → 6 ＋0＋ 6＝0， 又 BE ＝(，所以· ＝－4 2 4 )OG BE3232→ →所以 OG ⊥BE ，即 OG ⊥BE.。
高中数学人教B版高二数学选修2-1检测 3.1.4空间向量的直角坐标运算
一、选择题1．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( )A ．向量AB →的坐标与点B 的坐标相同B ．向量AB →的坐标与点A 的坐标相同C ．向量AB →与向量OB →的坐标相同D ．向量AB →与向量OB →－OA →的坐标相同【解析】 因为A 点不一定为坐标原点，所以A 不对，B 、C 都不对，由于AB →＝OB →－OA →，故D 正确．【答案】 D2．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)、B (2，－5,1)、C (3,7，λ)，若AB →⊥AC →，则( )A ．λ＝28B. λ＝－28 C ．λ＝14 D ．λ＝－14 【解析】 由题意可得AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1,6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝(－2)×(－1)＋(－6)×6＋(－2)(λ－3)＝0.∴λ＝－14.【答案】 D3．已知向量a ＝(2，－3,5)与向量b ＝(－4，x ，y )平行，则x ，y 的值分别是( )A ．6和－10B ．－6和10C ．－6和－10D ．6和10【解析】 ∵a ∥b ，∴2－4＝－3x ＝5y ， ∴x ＝6，y ＝－10.故选A.【答案】 A 4．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )则|b －a |的最小值是( ) A.55 B.555 C.355 D.115【解析】 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，∴|b －a |＝ (1＋t )2＋(2t －1)2＋02＝ 5(t －15)2＋95.∴当t ＝15时，|b －a |min ＝355.【答案】 C5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°(O 为坐标原点)，则λ的值为( )A ．±66B.66 C ．－66 D ．±6【解析】 ∵OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，∴(OA →＋λOB →)·OB →＝λ＋λ＝2λ，|OA →＋λOB →|＝1＋2λ2，|OB →|＝ 2. ∴cos 120°＝2λ1＋2λ2·2＝－12， ∴λ＝－66，故选C.【答案】 C二、填空题6．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为________．【解析】 ∵AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)，∴|AB →|＝32，|AC →|＝2，AB →·AC →＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，∴cosAB →，AC →＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12， ∴AB →，AC →＝60°.【答案】 60°7．(2013·南通高二检测)已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ＞0，则λ＝________.【解析】 ∵a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，∴λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)．又∵|λa ＋b |＝29，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29，∴λ＝3或－2.又∵λ＞0，∴λ＝3.【答案】 38．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若PA →⊥AB →， PA →⊥AC →，则P 点的坐标为______．【解析】 PA →＝(－x,1，－z )，AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)， 由PA →⊥AB →，得x －1＋z ＝0，由PA →⊥AC →，得－2x －z ＝0.解得x ＝－1，z ＝2.【答案】 (－1,0,2) 三、解答题9．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a 的坐标．【解】 设a ＝(x ，y ，z )，AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，x 2＋y 2＋z 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．10．已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1,3,1)，求：(1)(a －2b )·(2a ＋b )；(2)以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．【解】 (1)a －2b＝(3，－2，－3)－2(－1,3,1)＝(5，－8，－5)，2a ＋b ＝2(3，－2，－3)＋(－1,3,1)＝(5，－1，－5)．∴(a －2b )·(2a ＋b )＝(5，－8，－5)·(5，－1，－5)＝5×5＋(－8)×(－1)＋(－5)×(－5)＝58.(2)∵cosa ，b ＝a ·b |a ||b |＝－1222×11＝－6211， ∴sin a ，b ＝1－cos 2a ，b ＝1－72121＝711. ∴S ▱＝|a |·|b |sina ，b ＝22×11×711＝7 2.∴以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为7 2.11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，问当点N 位于AB 何处时，MN ⊥MC 1?【解】 以A 为坐标原点，棱AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a ，则M (0,0，a 2)，C 1(a ，a ，a )，N (x,0,0)．MC 1→＝(a ，a ，a 2)，MN →＝(x,0，－a 2)，MN →·MC 1→＝xa －a 24＝0，得x ＝a 4.所以点N 的坐标为(a 4，0,0)，即N 为AB 的四等分点且靠近A 点时，MN ⊥MC 1.。
2019-2020学年高中数学人教B版选修2-1课件： 3.1.4 空间向量的直角坐标运算
(2)运算结果:空间向量的加法、减法、数乘坐标运算 结果依然是一个向量;空间向量的数量积坐标运算的结 果是一个实数.
3.对空间两个向量平行与垂直的两点说明 (1)类比平面向量平行、垂直:空间两个向量平行、垂 直与平面两个向量平行、垂直的表达式不一样,但实质 是一致的. (2)转化:判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线 对应的方向向量是否平行或垂直.
3.空间向量平行和垂直的条件
(1)a∥b(b≠0)⇔a=λb,用坐标表示为:
_a_1____b_1_,
a∥b(b3____b_3_,
a1 a2 a3
当b与三个坐标平面都不平行时,a∥b⇔_b_1___b_2 __b_3__.
(2)a⊥b⇔a·b=0.用坐标表示为: a⊥b⇔_a_1_b_1+_a_2_b_2_+_a_3b_3_=_0_.
(2)空间向量的坐标与点的坐标的联系 ①起点在原点的向量,坐标与终点坐标相同; ②起点不在原点的向量,坐标是终点坐标减去起点对应 坐标.
2.对空间向量坐标运算的两点说明 (1)类比平面向量坐标运算:空间向量的加法、减法、 数乘和数量积与平面向量的类似,学习中可以类比推广. 推广时注意利用向量的坐标表示,即向量在平面上是用 唯一确定的有序实数对表示,即a=(x,y).而在空间中则 表示为a=(x,y,z).
(2)若向量 AB =(x1,y1,z1),则点B的坐标是(x1,y1,z1) 吗?
提示:不一定.由向量的坐标表示知,若向量 AB的起点 A与原点重合,则B点坐标为(x1,y1,z1),若向量 AB 的起 点A不与原点重合,则B点坐标就不是(x1,y1,z1).
【自我总结】 1.对空间向量的坐标的两点说明 (1)空间向量坐标的本质 a=(x,y,z)的本质是a=xi+yj+zk,其中{i,j,k}是单位正 交基底.
【步步高】高中数学 3.1.4空间向量的直角坐标运算同步训练 新人教B版选修2-1
3.1.4 空间向量的直角坐标运算一、基础过关1．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点A 的坐标为(－1，2,1)，点B 的坐标为(1,3,4)，则( ) A.AB →＝(－1,2,1)B.AB →＝(1,3,4)C.AB →＝(2,1,3)D.AB →＝(－2，－1，－3)2．与向量m ＝(0,2，－4)共线的向量是( ) A ．(2,0，－4)B ．(3,6，－12)C ．(1,1，－2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1 3．设A (3,3,1)、B (1,0,5)、C (0,1,0)，则AB 的中点M 到C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B .532 C.532 D.1324．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( )A ．30° B．45° C．60° D．90°5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x 等于( )A ．4B ．－4 C.12D ．－6 6．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为( )A.65B.652C ．4D ．8 二、能力提升7．与a ＝(2，－1,2)共线且满足a·z ＝－18的向量z ＝__________.8．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________.9．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，DD 1＝3，则AC →与BD 1→夹角的余弦值是________．10．单位向量a ＝(x ，y,0)与向量c ＝(1,1,1)的夹角为π4，求：x ＋y 与xy 的值． 11．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．12．已知正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面的边长为3，E 是SA 的中点，求BE →与SC →的夹角．三、探究与拓展13．已知a ＝(5,3,1)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，t ，－25且a 与b 的夹角为钝角．求t 的取值范围．答案1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A7．(－4,2，－4)8．120°9．－37070 10．解 ∵a 与c 的夹角为π4. ∴cos π4＝a·c |a||c |＝x ，y ，0·1，1，1x 2＋y 2·3＝22.化简得x ＋y ＝62·x 2＋y 2.①又|a |2＝x 2＋y 2＝1，②将②代入①，得x ＋y ＝62，从而(x ＋y )2＝32，∴xy ＝14.11．解 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∴∠BAC ＝60°，∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0， a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3， 解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．12．解 建立如图所示的空间直角坐标系．由于AB ＝3，SA ＝2，可以求得SO ＝22.则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，0，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22.由于E 为SA 的中点，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－34，24，所以BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－334，24，SC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，－22，因为BE →·SC →＝－1，|BE →|＝2，|SC →|＝2， 所以cos 〈BE →，SC →〉＝－12×2＝－12，所以〈BE →，SC →〉＝120°.13．解 由已知得a·b ＝5×(－2)＋3t ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＝3t －525.∵a 与b 的夹角为钝角，∴a·b <0且〈a ，b 〉≠180°. 由a·b <0，得3t －525<0，∴t <5215.若a 与b 的夹角为180°，则存在λ<0，使a ＝λb (λ<0)，即(5,3,1)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，t ，－25，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝λ·－23＝λt 1＝λ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，解得t ＝－65.所以t 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－65∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，5215.。
人教新课标版-数学-高二-数学人教B版选修2-1学案 3.1.4 空间向量的直角坐标运算
数学人教B选修2-1第三章3.1.4 空间向量的直角坐标运算1．了解空间向量坐标的定义．2．掌握空间向量的坐标运算．3．会利用向量的坐标关系，判定两个向量共线或垂直．4．会计算向量的长度及两向量的夹角．1．空间向量的坐标表示(1)单位正交基底．建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引________向量i，j，k，这三个互相________的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做________．【做一做1－1】设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，则|e1|＋|e2|＋|e3|＝__________.(2)空间向量的坐标表示．在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在______实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组__________叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a＝__________.【做一做1－2】向量0的坐标为__________．向量的坐标与点的坐标表示方法不同，如向量a＝(x，y，z)，点A(x，y，z)．2．空间向量的直角坐标运算(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则容易得到a＋b＝____________；a－b＝____________；λa＝______________；a·b＝____________.(2)向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝OB－OA＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．【做一做2】设a＝(1,2,3)，b＝(1,1,1)，则2a＋b＝__________.3．空间向量平行和垂直的条件设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a∥b(b≠0)⇔__________⇔__________，当b1，b2，b3都不为0时，a∥b⇔__________；(2)a⊥b⇔__________⇔__________.【做一做3】设a＝(1,2,3)，b＝(1，－1，x)，a⊥b，则x＝__________.4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝____________，|b |＝____________，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝________________________. 设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |＝____________.【做一做4】向量a ＝(2，－1，－1)，b ＝(1，－1,0)的夹角余弦值为__________，||a －b ＝__________.(1)空间向量的坐标是空间向量的一种形式．在坐标形式下的模长公式，夹角公式，向量平行和垂直的条件与在普通基底下相同，仅仅是形式不同；(2)空间向量在坐标形式下同样可以用来求距离(长度)，夹角，证明垂直和平行关系等．如何理解空间向量的坐标及其运算？剖析：(1)注意空间向量的坐标与向量终点的坐标的区别与联系．向量的坐标是其终点与起点坐标的差量．只有以原点为起点的向量，向量的坐标才等于向量终点的坐标．(2)空间向量的坐标运算和平面向量基本一致，只是多了一个竖坐标．(3)坐标形式下向量的计算就是指坐标的运算．题型一 空间向量的坐标运算【例1】设向量a ＝(3,5,－4)，b ＝(2,1,8)，计算3a －2b ，(a ＋b )·(a －b )．分析：利用空间向量的坐标运算先求3a,2b ，a ＋b ，a －b ；再进行相关运算．反思：空间向量的坐标运算首先进行数乘运算然后再进行加减运算，最后进行数量积运算，先算括号内的后算括号外的．题型二 空间向量的平行与垂直问题【例2】设向量a ＝(1，x,1－x )，b ＝(1－x 2，－3x ，x ＋1)，求满足下列条件时，实数x 的值．(1)a ∥b ；(2)a ⊥b .分析：解答本题可先由a ∥b ，a ⊥b 分别建立x 的方程，再解方程即可．反思：要熟练掌握向量平行和垂直的条件，借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算．在应用坐标形式下的平行条件时，一定注意结论成立的前提条件，在条件不明确时，要分类讨论．在解答本题时易出现由a ∥b ⇔1－x 21＝－3x x ＝x ＋11－x⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝－3x ＋11－x＝－3⇔x ＝2的错误，导致此错误的原因是忘记了这个结论成立的前提条件是1，x,1－x 都不是0.题型三 空间向量的夹角及长度公式的应用【例3】已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1,－1,5)，求以AB ，AC 为邻边的平行四边形面积．分析：已知三点A ，B ，C 的坐标，先求AB ，AC ，|AB |，|AC |，AB ·AC ，再求cos 〈AB ，AC 〉，sin 〈AB ，AC 〉，从而得到结论．反思：运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的基本思路是：①建立空间坐标系；②求出相关点的坐标和向量坐标；③结合公式进行计算；④将计算的向量结果转化为几何结论．1．若A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，令a ＝CA ，b ＝CB ，则a ＋b 对应的坐标为( )A ．(5,－9,2)B ．(－5,9,－2)C ．(5,9,－2)D ．(5,－9,－2)2．下面各组向量不平行的是( )A ．a ＝(1,0,0)，b ＝(－3,0,0)B ．c ＝(0,1,0)，d ＝(1,0,1)C ．e ＝(0,1,－1)，f ＝(0,－1,1)D ．g ＝(1,0,0)，h ＝(0,0,0)3．(2010·广东高考，理10)已知a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)且(c －a )·2b ＝－2，则x 的值为( )A ．3B ．4C ．2D ．14．若A (2,0,1)，B (3,4，－2)，则|AB |＝__________.5．向量a ＝(2，－3，3)，b ＝(1,0,0)，则cos 〈a ，b 〉＝__________.6．已知向量a ＝(－2,2,0)，b ＝(－2,0,2)，求向量n 使n ⊥a 且n ⊥b .答案：基础知识·梳理1．(1)单位 垂直 坐标向量【做一做1－1】3(2)唯一 (a 1，a 2，a 3) (a 1，a 2，a 3)【做一做1－2】(0,0,0)2．(1)(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) (a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3) (λa 1，λa 2，λa 3) a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3【做一做2】(3,5,7)3．(1)a ＝λb a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3(2)a ·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0【做一做3】134．a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23 b ·b ＝b 21＋b 22＋b 23 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2【做一做4】32 2典型例题·领悟【例1】解：3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(9－4,15－2，－12－16)＝(5,13，－28)；a ＋b ＝(3,5，－4)＋(2,1,8)＝(3＋2,5＋1，－4＋8)＝(5,6,4)；a －b ＝(3,5，－4)－(2,1,8)＝(3－2，5－1，－4－8)＝(1,4，－12)，(a ＋b )·(a －b )＝(5,6,4)·(1,4，－12)＝5×1＋6×4＋4×(－12)＝5＋24－48＝－19.【例2】解：(1)①当x ＝0时，a ＝(1,0,1)，b ＝(1,0,1)，a ＝b ，满足a ∥b .②当x ＝1时，a ＝(1,1,0)，b ＝(0，－3,2)，不满足a ∥b ，∴x ≠1.③当x ≠0，x ≠1时，由a ∥b ⇔1－x 21＝－3x x ＝x ＋11－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2＝－3，x ＋11－x ＝－3⇔x ＝2.综上所述，当x ＝0，或x ＝2时，a ∥b .(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴(1，x,1－x )·(1－x 2，－3x ，x ＋1)＝0⇔1－x 2－3x 2＋1－x 2＝0，解得x ＝±105. ∴当x ＝±105时，a ⊥b . 【例3】解：∵A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)，∴AB ＝(－2,1,6)－(0,2,3)＝(－2，－1,3)，AC ＝(1，－1,5)－(0,2,3)＝(1，－3,2)． ∴|AB |＝(－2)2＋(－1)2＋32＝14， |AC |＝12＋(－3)2＋22＝14， AB ·AC ＝(－2，－1,3)·(1，－3,2)＝－2＋3＋6＝7.∴cos 〈AB ，AC 〉＝A B →·A C →|AB →||AC →|＝12， ∴sin 〈AB ，AC 〉＝32，以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积S ＝|AB →||AC →|sin 〈AB ，AC 〉＝7 3.随堂练习·巩固1．B a ＝CA →＝(2，－4，－1)－(3，－4,1)＝(－1,0，－2)， b ＝CB →＝(－1,5,1)－(3，－4,1)＝(－4,9,0)，故a ＋b ＝(－5,9，－2)．2．B A 项中b ＝－3a ，a ∥b ，C 项中f ＝－e ，f ∥e ，D 项中h ＝0， ∴h ∥g .3．C ∵(c －a )·2b ＝(0,0,1－x )·(2,4,2)＝－2，∴2(1－x )＝－2，x ＝2.4．26 |AB →|＝(3－2)2＋(4－0)2＋(－2－1)2＝26. 5．12 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝2×1＋0＋022＋(－3)2＋(3)212＋02＋02＝12. 6．解：设n ＝(x ，y ，z )，则n ·a ＝(x ，y ，z )·(－2,2，0)＝－2x ＋2y ＝0，n ·b ＝(x ，y ，z )·(－2,0,2)＝－2x ＋2z ＝0. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋2y ＝0，－2x ＋2z ＝0，可得y ＝x ，z ＝x . 于是向量n ＝(x ，x ，x )＝x (1,1,1)，x ∈R .。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-1-4空间向量的直角坐标运算
3.1.4空间向量的直角坐标运算一、选择题1．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是( )A ．(－65，－45，－85)B ．(65，－45，－85)C ．(－65，－45，85)D ．(65，45，85)[答案] A[解析] 设C (a ，b ，c )，∵AB →＝(－3，－2，－4) ∴25(－3，－2，－4)＝(a ，b ，c )， ∴(a ，b ，c )＝⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85.故选A.2．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标为( ) A ．(1,3,2)B ．(－1，－3,2)C ．(－1,3，－2)D ．(1，－3，－2) [答案] C[解析] (－1,3，－2)＝－a ，与a 共线．3．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 夹角的余弦为89，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255[答案] C[解析] a·b ＝2－λ＋4＝6－λ |a |＝5＋λ2，|b |＝9. cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝6－λ5＋λ2·9＝8955λ2＋108λ－4＝0，解得λ＝－2或λ＝255. 4．若△ABC 中，∠C ＝90°，A (1,2，－3k )，B (－2,1,0)，C (4,0，－2k )，则k 的值为( ) A.10 B ．－10 C ．2 5D ．±10[答案] D[解析] CB →＝(－6,1,2k )，CA →＝(－3,2，－k )则CB →·CA →＝(－6)×(－3)＋2＋2k (－k ) ＝－2k 2＋20＝0，∴k ＝±10.5．已知A (3,5,2)，B (－1,2,1)，把AB →按向量(2,1,1)平移后所得向量是( ) A ．(－4，－3,0) B ．(－4，－3，－1) C ．(－2，－1,0)D ．(－2，－2,0)[答案] B[解析] AB →＝(－4，－3，－1)，而平移后的向量与原向量相等，∴AB →平移后仍为(－4，－3，－1)．故选B.6．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3是a ∥b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 当a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3时，a ∥b ，但是a ∥b ，不一定a 1b 1＝a 2b 2＝a3b 3成立，如a ＝(1,0,1)，b ＝(2,0,2)．7．正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB .则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45[答案] D[解析] 建立如图所示坐标系由题意设A (1,0,0)，B (1,1,0)． D 1(0,0,2)，A 1(1,0,2)．由AD 1→＝(－1,0,2)，A 1B →＝(0,1，－2)． ∴cos 〈AB 1→，AD 1→〉＝－45·5＝－45，∴异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45，故选D.8．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．1B.15C.35D.75[答案] D[解析] ∵k a ＋b ＝(k －1，k,2) 2a －b ＝(3,2，－2)∴(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －4＝0， ∴k ＝75.9．若两点的坐标是A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB →|的取值范围是( ) A ．[0,5] B ．[1,5] C ．(1,5)D ．[1,25][答案] B [解析] |AB →|＝(3cos α－2cos θ)2＋(3sin α－2sin θ)2 ＝13－12cos(α－θ)∈[1,5]．10．已知O 为坐标原点，OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，34，13 B.⎝⎛⎭⎫12，32，34 C.⎝⎛⎭⎫43，43，83D.⎝⎛⎭⎫43，43，73[答案] C[解析] 设Q (x ，y ，z )，因Q 在OP →上，故有OQ →∥OP →，可得x ＝λ，y ＝λ，z ＝2λ， 则Q (λ，λ，2λ)，QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， 所以QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－43)2－23，故当λ＝43时，QA →·QB →取最小值．二、填空题11．已知a ＝(2，－3,0)，b ＝(k,0,3)，<a ，b >＝120°，则k ＝________. [答案] －39[解析] ∵2k ＝13·k 2＋9×⎝⎛⎭⎫－12 ∴16k 2＝13k 2＋13×9∴k 2＝39，∴k ＝±39.∵k <0，∴k ＝－39.12．已知点A 、B 、C 的坐标分别为(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若PA →⊥AB →，PA →⊥AC →，则P 点的坐标为______________．[答案] (－1,0,2)[解析] PA →＝(－x,1，－z )，AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋z ＝0，－2x －z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1z ＝2，∴P (－1,0,2)．13．已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，AP →＝12(AB →－AC →)，则点P 的坐标是________．[答案] (5，12，0)[解析] ∵CB →＝(6,3，－4)，设P (a ，b ，c )则(a －2，b ＋1，c －2)＝(3，32，－2)，∴a ＝5，b ＝12，c ＝0，∴P (5，12，0)．14．已知向量a ＝(2，－1,2)，则与a 共线且a ·x ＝－18的向量x ＝________. [答案] x ＝(－4,2，－4)[解析] 设x ＝(x ，y ，z )，又a·x ＝－18， ∴2x －y ＋2z ＝－18①又∵a ∥x ，∴x ＝2λ，y ＝－λ，z ＝2λ② 由①②知：x ＝－4，y ＝2，z ＝－4， ∴x ＝(－4,2，－4)． 三、解答题15．已知A 、B 、C 三点坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求满足下列条件的P 点坐标．(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12AB →－AC →)．[解析] AB →＝(2,6，－3)，AC →＝(－4,3,1)．(1)OP →＝12(6,3，－4)＝(3，32，－2)，则P 点坐标为(3，32，－2)．(2)设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)．又∵12(AB →－AC →)＝AP →＝(3，32，－2)，∴x ＝5，y ＝12z ＝0.故P 点坐标为(5，12，0)．16．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)设|c |＝3，c ∥BC →，求c . (2)求a 与b 的夹角．(3)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k . [解析] (1)∵c ∥BC →，BC →＝(－2，－1,2)． 设c ＝(－2λ，－λ，2λ)，∴|c |＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3， ∴λ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)a ＝AB →＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)， b ＝AC →＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)． ∴cos<a ，b >＝a·b|a|·|b|＝(1，1，0)·(－1，0，2)2×5＝－1010.∴a 和b 的夹角为<a ，b >＝π－arccos1010. (3)k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． 又(k a ＋b )⊥(k a －2b )，则k (a ＋b )·(k a －2b )＝0， ∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝k 2＋k －2＋k 2－8＝0， ∴k ＝2或k ＝－52.17．正四棱柱AC 1中，底面ABCD 是边长为4的正方形，A 1C 1与B 1D 1交于点N ，BC 1与B 1C 交于点M ，且AM ⊥BN ，建立空间直角坐标系．(1)求AA 1的长； (2)求<BN →，AD 1→>；(3)对于n 个向量a 1，a 2，…，a n ，如果存在不全为零的n 个实数λ1，λ2，…，λn ，使得λ1a 1＋λ2a 2＋…＋λn a n ＝0成立，则这n 个向量a 1，a 2，…，a n 叫做线性相关，不是线性相关的向量叫线性无关，判断AM →，BN →，CD →是否线性相关，并说明理由．[解析] (1)以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设AA 1的长为a ，则B (4,4,0)，N (2,2，a )，BN →＝(－2，－2，a )，A (4,0,0)，M (2,4，a 2)，AM →＝(－2,4，a 2)，由BN →⊥AM →得BN →·AM →＝0，即a ＝2 2. (2)BN →＝(－2，－2,22)，AD 1→＝(－4,0,22)， cos 〈BN →，AD 1→〉＝BN →·AD 1→|BN →||AD 1→|＝63，〈BN →，AD 1→〉＝arccos 63.(3)由AM →＝(－2,4，2)，BN →＝(－2，－2,22)，CD →＝(0，－4,0)， λ1(－2,4，2)＋λ2(－2，－2,22)＋λ3(0，－4,0)＝(0,0,0) 得λ1＝λ2＝λ3＝0，则AM →，BN →，CD →线性无关．18．如图所示，AB 和CD 是两条异面直线，BD 是它们的公垂线，AB ＝CD ＝a ，点M ，N 分别是BD ，AC 的中点．求证：MN ⊥BD .[证明]由点M ，N 分别为BD ，AC 的中点可知MN →＝12(MA →＋MC →)＝12(MB →＋BA →＋MD →＋DC →)， ∵MB →＋MD →＝0， ∴MN →·BD →＝12(BA →＋DC →)·BD →＝12(BA →·BD →＋DC →·BD →)， ∵BA →⊥BD →，DC →⊥BD →， ∴BA →·BD →＝0，DC →·BD →＝0. ∴MN →·BD →＝0， ∴MN ⊥BD .。
【高二】【数学】【人教B版选修2-1】3.1.4空间向量的直角坐标运算
【感悟情境】1.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________，a －b ＝________，λa ＝________，|a |＝________.(2)向量坐标的求法①一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝________，|||AB＝________.2．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔________. 3．平面向量数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则 ①a ·b ＝________； ②a ⊥b ⇔________； ③|a |＝________； ④cos<a ·b >＝________. 【新知讲授】一、空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标表示 (1)单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，j ，k ，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k }，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i ，j ，k 都叫做坐标向量．(2)空间向量的坐标表示对于空间中任一向量a ，存在唯一实数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，a 1i ，a 2j ，a 3k 分别为向量a 在i ，j ，k 方向上的分向量，有序实数组(a 1，a 2，a 3)叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标上．上式可简记作：a ＝(a 1，a 2，a 3)．2．空间向量的直角坐标运算(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)，a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3.(2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB ＝OB－OA ＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．练习 若A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，令a ＝CA ，b ＝CB，则【知识补充】a ＋b 对应的坐标为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2) 二、平行和垂直的条件设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． 1．向量平行的坐标表示a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3.当b 与三个坐标平面都不平行时，a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3.2．向量垂直的坐标表示a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.以上两个条件就把判定向量间的位置关系转化成了代数式的计算，把几何问题代数化，使问题变得简单明了．已知a ＝(1,2,3)，b ＝(1,0,1)，c ＝a －2b ，d ＝m a ＋b ，求实数m 的值，使得：(1)c ⊥d ；(2)c ∥d .三、向量夹角与向量长度的坐标计算公式 1．两个向量的夹角公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23，|b |＝b ·b ＝b 21＋b 22＋b 23，cos<a ，b >＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23. 2．向量长度的坐标计算公式 设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则 AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2. 这个公式也是空间中两点间的距离公式．练习 向量a ＝(2，－3，3)，b ＝(1,0,0)，则cos<a ，b >＝________. 四、空间向量夹角的应用 a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， 则cos<a ，b >＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21·x 22＋y 22＋z 22， (1)当<a ，b >∈(0，π2)时，cos<a ，b >>0，(2)当<a ，b >∈(π2，π)时，cos<a ，b ><0，(3)当<a ，b >＝0时，cos<a ，b >＝1>0.(4)当<a ，b >＝π时，cos<a ，b >＝－1<0.综上可知：(1)cos<a ，b >>0是a 与b 的夹角为锐角的必要但不充分条件； (2)cos<a ，b ><0是a 与b 的夹角为钝角的必要但不充分条件．3.1.4空间向量的直角坐标运算练习 已知a ＝(5,3,1)，b ＝(－2，t ，－25)，若a 与b 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．【例题习题】例1.已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求满足下列条件的P 点坐标．(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12(AB →－AC →)．练1(1)已知在如图所示的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，若以{AB ，AD ，1AA}为基底，则向量AE 的坐标为________，向量AF的坐标为________，向量1AC的坐标为________．（2）如图所示，在三棱锥O －ABC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，E ，F 分别为AC ，BC 的中点，建立以OA ，OB ，OC方向上的单位向量为正交基底的空间直角坐标系Oxyz ，求EF 中点P 的坐标．例2 若a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .练2在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 为正方形ABCD 的中心，用坐标法证明向量1OA AM ⊥.例3 如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求异面直线BA 1与CB 1所成角的余弦值． .练3在长方体AC 1中，底面ABCD 是边长为4的正方形，A 1C 1与B 1D 1交于N ，BC 1与B 1C 交于点M ，且AM →⊥BN →，建立空间直角坐标系．(1)求AA 1→的长； (2)求cos<BN →，AD 1→>.例4 已知a ＝(1，－2,1)，b ＝(1,1,2)，若b ＝b 1＋b 2，且b 1∥a ，b 2⊥a ，求b 1.练4已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c 的坐标．【课堂小结】空间向量的坐标运算⎩⎪⎨⎪⎧空间向量的坐标表示(掌握)空间向量的直角坐标运算(掌握)空间向量平行和垂直的条件(掌握)两个向量夹角与长度的坐标计算公式(掌握)。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-1 3.1.4 空间向量的直角坐标运算》
3.1.4 空间向量的直角坐标运算教学设计熊岳高级中学数学组张嫱3.1.4空间向量的直角坐标运算一、教材分析本节课《空间向量的直角坐标运算》位于人教B版选修2-1第三章第一节的第四小节.立体几何的问题中，坐标法是其中一个非常重要的方法.本节课学习的内容可以用来判断空间向量的平行和垂直，可以计算空间向量的夹角及模长，为空间向量在立体几何中的应用奠定了基础.因此，本节课的内容十分重要，对学生学好立体几何起了关键性的作用.二、教学目标分析1、知识与技能目标：了解空间向量坐标的定义，掌握向量的加法、减法、数乘和数量积的坐标运算，会利用向量的坐标关系判定向量的平行与垂直.2、过程与方法目标：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解.3、情感、态度与价值观目标：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质.教学重点：向量的加法、减法、数乘和数量积的坐标运算.教学难点：空间向量坐标的定义及应用.三、学习对象分析本节课面对的是高中二年级的学生，这个阶段的学生具备一定的数学学习能力，思维活跃。
在必修五这本教材中，学生已经学过了平面向量，同时已经掌握了平面向量的直角坐标运算，教师及时抓住学生熟悉的心理开展教学，就会取得很好的教学效果.四、教法和学法分析 1、教法分析遵循“教师的主导作用和学生的主体地位相统一的教学规律”，本节课采用启发式的教学方法 ,并充分利用多媒体辅助教学.通过复习平面向量的相关知识，教师引导学生一个向量在平面和空间中的表达方式虽然不同，但是实质没有改变，在二维、三维空间都是这样定义的，不同点仅是向量在维数不同时具有不同的表达形式.在教学过程中，教师启发学生用类比的方法，鼓励学生主动思考、自主探索出结论，这对于学生记住结论有很大的帮助. 2、学法分析学生通过类比的方法发现结论，利用结论解决问题. 五、教学过程 （一）复习引入（1）在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量1e ，2e ，这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{}21,e e .（2）在坐标平面xOy 内，任作一向量a （用有向线段AB 表示），由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对),(21a a ，使得2211e a e a a +=，),(21a a 就是向量a 在基底{}21,e e下的坐标，即)(21a a a =.【设计意图】：由同学们熟悉的问题引入，利用学生类比的方法学习新知识.在回答问题的过程中，复习旧知，从而引入本节课内容.（二）新课讲解 由教师给出概念 1、空间直角坐标系（1）建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，j ，k ，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}k j i ,,，这个基底叫做单位正交基底.（2）单位向量i ，j ，k 都叫做坐标向量.（3）空间直角坐标系Oxyz ，也常说成空间直角坐标系[]k j i O ,;.在空间直角坐标系中，任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组),,(321a a a ，使k a j a i a a 321++=，i a 1，j a 2，k a 3分别为向量a 在i ，j ，k 方向上的分向量，有序实数组),,(321a a a 叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，简记作),,(321a a a a =，),,(321a a a a ↔. 跟踪训练1已知空间直角坐标系[]k j i O ,;，求下列向量的坐标： （1）k j i a 543-+= （4）j i d 3221+= （2）k j i b 352++-= （5）i e 8= （3）k i c +=8 （6）j f 8=【设计意图】：及时进行训练，利于检验学生的学习效果，巩固概念.温故知新1大屏幕显示问题，教师提问，学生回答 向量的直角坐标运算（1）设),(21a a a =，),(21b b b =，则),(2211b a b a b a ++=+ ),(2211b a b a b a --=-),(21a a a λλλ=2211b a b a b a +=⋅（2）已知),(11y x A ，),(22y x B ，则),(1212y y x x AB --=【设计意图】：一个向量在平面和空间中的表达方式虽然不同，但是实质没有改变，在二维、三维空间定义的实质是相同的.通过复习平面向量的直角坐标运算，便于学生学习空间向量的直角坐标运算.教师鼓励学生用类比的方法，自主得出结论. 2、空间向量的直角坐标运算 设),,(321a a a a =，),,(321b b b b =，则),,(332211b a b a b a b a +++=+ ),,(332211b a b a b a b a ---=-),,(321a a a a λλλλ=332211b a b a b a b a ++=⋅学生说出结果后，由大屏幕显示出正确结果【设计意图】：学生在这个过程中能充分体会到类比这个学习方法，同时能收获到学习的乐趣.教师给出问题，和学生们共同完成，教师显示书写过程例1：已知)0,1,1(=a ，)1,1,0(=b ，)1,0,1(=c ，b a p -=，c b a q -+=2， 求：p ，q ，q p ⋅.【设计意图】：及时检验、巩固学习到的知识.跟踪训练21、已知)1,2,3(-=a ，)2,3,5(-=b ，求 （1）b a +； （2）b a 23-； （3）b a ⋅； （4）)3()2(b a b a -⋅+2、若)2,0,1(A ，)1,1,3(-B ，则=AB 温故知新2由大屏幕显示，教师提问，学生回答 平面向量平行和垂直的条件： 设),(21a a a =，),(21b b b =， （1）向量平行的条件a //b ⇔01221=-b a b a如果向量b 不平行于坐标轴，即01≠b ，02≠b ，则a //b ⇔2211b a b a = （2）向量垂直的条件02211=+⇔⊥b a b a b a3、空间向量平行和垂直的条件 （1）空间向量平行的条件：设),,(321a a a a =，),,(321b b b b =，则a //b （0≠b ）⇔⎪⎩⎪⎨⎧===332211ba b a b a λλλ当b 与三个坐标平面都不平行时，a //b ⇔332211b a b a b a == （2）空间向量垂直的条件：0=⋅⇔⊥b a b a0332211=++⇔⊥∴b a b a b a b a例2：设)1,5,1(-=a ，)5,3,2(-=b ， （1）若)(b a k +//)3(b a -，求k ； （2）若)(b a k +⊥)3(b a -，求k ； 教师给出问题，详细讲解，认真板书例3：已知向量)0,2,2(-=a ，)2,0,2(-=b ，求向量n 使a n ⊥，b n ⊥. 跟踪训练3：已知向量)1,0,1(-=a ，)1,1,0(-=b ，求向量n 使a n ⊥，b n ⊥.【设计意图】：这个问题是求平面法向量的方法，对于空间向量在立体几何中的应用十分重要，所以要加强训练，要求学生熟练掌握.课堂小结1、向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示，表示时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算.2、空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，只是对了一个坐标分量的运算.3、利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直，可以求向量的模以及两个向量的夹角.4、几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系，利用数量积解决.布置作业教材93页习题3-1 A 3、6、7、9、10、12习题3-1 B 1、5、6板书设计。
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03课堂效果落实
1. [2014·福建省福州一中月考]已知向量a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(3，－6,3)，则b 等于( )
A. (2，－4,2)
B. (－2,4,2)
C. (－2,0，－2)
D. (2,1，－3)
解析：本题主要考查空间向量的坐标运算．b ＝(a ＋b )－a ＝(3，－6,3)－(1，－2,1)＝(2，－4,2)，故选A.
答案：A
2. [2014·山东省济宁市质检]已知向量a ＝(2，－3,5)与b ＝(4，x ，y )平行，则x ，y 的值分别为( )
A. 6和－10
B. －6和10
C. －6和－10
D. 6和10
解析：本题主要考查空间两向量平行的坐标表示．因为向量a ＝(2，－3,5)与b ＝(4，x ，y )平行，所以42＝x －3＝y
5，解得x ＝－6，y ＝
10，故选B.
答案：B
3．已知：a ＝(1,0,1)，b ＝(－2，－1,1)，c ＝(3,1,0)，则|a －b ＋2c |等于( )
A ．310
B ．210 C.10
D ．5
解析：a －b ＋2c ＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)＝(1＋2＋6,0＋1＋2,1－1＋0)＝(9,3,0)，∴|a －b ＋2c |＝
92＋32＝310.
答案：A
4．[2014·人大附中期中考试]△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0，2)，B (－32，12，2)，
C (－1,0，2)，则角A 的大小为________． 解析：本题主要考查空间向量所成角.AB →＝(－32，1
2，0)，AC →＝(－1,0,0)．则cos A ＝AB →·AC →
|AB →|·|AC →|
＝321×1
＝3
2，故角A 的大小为30°.
答案：30°
5．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值．
解：以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y
轴、z 轴，建立空间直角坐标系，
则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，B 1(4,4,3)，C (0,4,0)，得A 1B →
＝(0,4，－3)，B 1C →＝(－4,0，－3)．设A 1B →与B 1C →的夹角为θ，则cos θ＝A 1B →·B 1C →
|A 1B →|·|B 1C →|
＝925，
∴A 1B →与B 1C →的夹角即异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为9
25.。