因式分解及分式的计算测验题(题型全)

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北师大版八年级数学下册因式分解和分式方程单元测试题练习题

《因式分解》课堂测试题时间：2015年6月12日星期五总分：60分建议用时：45分钟班级：__________ 姓名：_____________ 座位号：__________ 分数__________一.选择题(5个小题，每小题2分，共10分)1.下面分解因式正确的是（）A.x 2+2x+1=x （x+2）+1B.（x 2﹣4）x=x 3﹣4xC.ax+bx=（a+b ）xD.m 2﹣2mn+n 2=（m+n ）22.下列式子从左到右变形是因式分解的是（）A.()2a 4a 21a a 421+-=+-B.()()2a 4a 21a 3a 7+-=-+C.()()2a 3a 7a 4a 21-+=+-D.()22a 4a 21a 225+-=+-3.下列式子是因式分解的是（）A.x （x ﹣1）=x 2﹣1B.x 2﹣x=x （x+1）C.x 2+x=x （x+1）D.x 2﹣x=x （x+1）（x ﹣1）4.把a 3﹣2a 2+a 分解因式的结果是（）A.a 2（a ﹣2）+aB.a （a 2﹣2a ）C.a （a+1）（a ﹣1）D.a （a ﹣1）25.把x 2y ﹣2y 2x+y 3分解因式正确的是（）A.y （x 2﹣2xy+y 2）B.x 2y ﹣y 2（2x ﹣y ）C.y （x ﹣y ）2D.y （x+y ）2二.填空题(25个小题，每小题2分，共50分)1.分解因式: 2a a -= ．2.分解因式: x 2﹣25= ．3.分解因式: x 2+2x= ．4.分解因式: x 2－4= ．5.分解因式: 25x 20-= ．6.分解因式: x 3﹣4x= ．7.分解因式: 225xy x -= ．8.分解因式: =-2282b a ．9.分解因式: 2ab 4ab 4a -+= ．10.分解因式: 23a 6a 3++= ．11.分解因式: 2a 3-8a= ．12.分解因式: 3a 4a -= ．13.分解因式: 34x 36x -= ．14.分解因式: 2ax 2ax 3a +-= ．15.分解因式: ax 2﹣9a= ．16.分解因式: 322a 8a 8a -+= ．17.分解因式: x 2y ﹣2xy 2= ．18.分解因式: a 3-ab 2= ．19.分解因式: 2327x - = ．20.分解因式: 2a 3ab += .21.分解因式：x 2+3x （x ﹣3）﹣9= .22.分解因式3x 2y －27y= .23.将多项式m 2n －2mn ＋n 因式分解的结果是．24.若ab=2，a ﹣b=﹣1，则代数式a 2b ﹣ab 2的值等于．25.已知m 2-n 2=6，m+n=3，则m-n 的值是．《分式方程》课堂测试题时间：2015年6月15日星期一总分：60分建议用时：45分钟班级：__________ 姓名：_____________ 座位号：__________ 分数__________一.选择题(5个小题，每小题3分，共15分)1.分式方程210x 2x-=-的根是（） A.x 1= B.x 1=- C.x 2= D.x 2=-2.分式方程213x 1x 1=--的解是（） A.x=﹣1 B.x=1 C.x=2 D.无解 3.将分式方程12x x 2=-去分母后得到的整式方程，正确的是（） A.x ﹣2=2x B.x 2﹣2x=2x C.x ﹣2=x D.x=2x ﹣4 4.解分式方程2x 23x 11x ++=--时，去分母后变形为（） A.()()2x 23x 1++=- B.()2x 23x 1-+=-C.()()2x 231 x -+=-D.()()2x 23x 1-+=-5.关于x 的分式方程7m 3x 1x 1+=--有增根，则增根为（） A.x=1 B.x=－1 C.x=3 D.x=－3二.填空题(7个小题，每小题3分，共21分)1.分式方程120x -=的解为 .2.分式方程1222x x x+=--的解是___________． 3.若关于x 的方程ax 110x 1+-=-有增根，则a 的值为． 4.若分式方程x m 2x 11x-=--有增根，则这个增根是 _. 5.若关于x 的方程ax 41x 2x 2=+--无解，则a 的值是．6.杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x 千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为．7.小明上周三在超市恰好用10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多用了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他上周三买了x 袋牛奶，则根据题意列得方程为．8.（7分）解方程：2x 21x 2x 4-=-- 9.（7分）解方程：3x 51x x 1=---10.（10分）2013年4月20日，雅安发生7.0级地震，某地需550顶帐蓬解决受灾群众临时住宿问题，现由甲、乙两个工厂来加工生产．已知甲工厂每天的加工生产能力是乙工厂每天加工生产能力的1.5倍，并且加工生产240顶帐蓬甲工厂比乙工厂少用4天．①求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少顶帐蓬？②若甲工厂每天的加工生产成本为3万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元，要使这批救灾帐蓬的加工生产总成本不高于60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？。

(因式分解分式)单元测试卷

（因式分解\分式）单元测试卷一、填空题：（每空格2分，共42分）1、直接写出因式分解的结果：①2332255y x y x -= ②_________________22=+++n n na a a ③_____________________942=-x ④=+-3632a a 2、若是完全平方式162+-mx x ，那么m=________。

若n x x ++1242是一个完全平方式，则n = 。

3、如果_________;,2,52222=+=+==+y x xy y x xy y x 则4、利用因式分解简便计算（必须写出完整计算过程）①____________________________________________75.225.722=－②______________________________________1443824382=+⨯+=5、多项式.____________96922的公因式是与++-x x x6、分式22-+x x 等于0,则x . 当x 时,分式354-+x x 有意义. 7、 ab a 21,312的最简公分母是 . 3912+-m m m 与的最简公分母是 . 8、分式方程331-=-+x k x x 无解，则k=______. 9、分式方程134313=---+x x x 的解是_______. 10、件商品，进价为50元，售价为a 元，利润率为_____________.11、一项工作，甲要5小时才可完成，乙要x 小时完成，若甲乙合作, 3小时可完成_____________12、某班学生到距学校12千米的烈士陵园扫墓,一部分人骑自行车先行,经0.5时后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是自行车的3倍,求自行车和汽车的速度.若设自行车的速度为x 千米/时，根据以上条件可列分式方程：_______________________________13、种原料和乙种原料的每千克单价比是2：3，将价值200元的甲种原料有价值100元的乙混合后，单价为9元，求甲的单价。

初中数学因式分解试卷

一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列多项式中，可以进行因式分解的是（）A. 3x^2 - 2x + 1B. x^2 + 2x + 5C. x^2 - 4x + 4D. x^2 + 3x - 42. 将多项式3x^2 - 6x + 3分解因式，正确的是（）A. 3(x^2 - 2x + 1)B. 3(x^2 + 2x + 1)C. 3(x - 1)^2D. 3(x + 1)^23. 下列多项式中，提取公因式x^2后，剩余部分为（）A. x^2 - 4B. x^2 + 4C. x^2 - 2xD. x^2 + 2x4. 将多项式x^2 - 9分解因式，正确的是（）A. (x + 3)(x - 3)B. (x - 3)(x + 3)C. (x + 3)^2D. (x - 3)^25. 将多项式x^2 - 4y^2分解因式，正确的是（）A. (x + 2y)(x - 2y)B. (x - 2y)(x + 2y)C. (x + 2y)^2D. (x - 2y)^2二、填空题（每题3分，共15分）6. 将多项式2x^2 - 4x + 2分解因式，得到：______。

7. 将多项式x^2 - 6x + 9分解因式，得到：______。

8. 将多项式3x^2 - 9x + 3分解因式，得到：______。

9. 将多项式x^2 - 4y^2分解因式，得到：______。

10. 将多项式x^2 - 25分解因式，得到：______。

三、解答题（每题10分，共30分）11. 分解因式：x^2 - 5x + 6。

12. 分解因式：2x^2 - 4x - 6。

13. 分解因式：x^2 - 6x + 8。

四、应用题（每题10分，共20分）14. 某商店卖出两件商品，第一件商品售价为x元，第二件商品售价为y元。

已知第一件商品售价比第二件商品高5元，两件商品的总售价为100元。

求第一件商品和第二件商品的售价。

15. 某学校组织学生参加运动会，共有50名学生参加。

因式分解与分式测试题及答案-用卷

因式分解与分式测试题1一、选择题（本大题共17小题，共51.0分）1.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）A. B. C. D.2.下列分解因式正确的是（）A. B.C. D.3.把多项式分解因式，得，则a，b的值分别是A. ,；B. ,；C. ,；D. ,；4.若多项式x2+2ax+4能用完全平方公式进行因式分解，则a值为（）A. 2B.C.D.5.多项式12ab3c+8a3b的各项公因式是（）A. B. 4abc C. D. 4ab6.把8a3-8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A. B. C. D.7.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A. B.C. D.8.下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A. B.C. D.9.下列四个分式中，是最简分式的是（）A. B. C. D.10.若分式的值为零，那么x的值为（）A. 或B.C.D.11.下列各式：，，，，（x+y）中，是分式的共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.分式与的最简公分母是（）A. abB. 3abC.D.13.若分式的值为零，则x的值是（）A. 1B.C.D. 214.使分式有意义的x的取值范围是（）A. B. C. D.15.化简-等于（）A. B. C. D.16.下列各式中，从左到右变形正确的是（）A. B. C. D.17.分式中的x，y同时扩大2倍，则分式的值（）A. 不变B. 是原来的2倍C. 是原来的4倍D. 是原来的二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）18.因式分解：a2b-4ab+4b=______．19.把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是______．20.已知a+b=3，ab=-1，则3a+ab+3b= ______ ，a2+b2= ______ ．21.分解因式：x3-4x=______．22.分解因式：9-b2=______．23.已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为______ ．24.已知=1，则的值等于______．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）25.分解因式：（1）6xy2-9x2y-y3；（2）16x4-1．26.化简：÷•．27.（1）（1-）÷．（2）+÷．（3）（-）÷（1-）（4）-a-1．28.分解因式：（1）3x-12x2（2）a2-4ab+4b2（3）n2（m-2）-n（2-m）（4）（a2+4b2）2-16a2b2．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】根据完全平方公式，可得答案．本题考查了因式分解，熟记公式是解题关键．【解答】解：4x2+4x+1=（2x+1）2，故D符合题意；故选D．2.【答案】C【解析】【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式各式分解因式后，即可作出判断．【解答】解：A.原式=（a+3）（a-3），错误；B.原式=-a（4-a），错误；C.原式=（a+3）2，正确；D.原式=（a-1）2，错误；故选C．3.【答案】A【解析】【分析】此题考查了因式分解-十字相乘法，以及多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．【解答】解：根据题意得：x2+ax+b=（x+1）（x-3）=x2-2x-3，则a=-2，b=-3，故选A4.【答案】C【解析】【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出a的值．【解答】解：∵多项式x2+2ax+4能用完全平方公式进行因式分解，∴2a=±4，解得：a=±2．故选C．5.【答案】D【解析】【分析】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“-1”．根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．【解答】解：12ab3c+8a3b=4ab（3b2c+2a2），4ab是公因式.故选D．6.【答案】C【解析】解：8a3-8a2+2a=2a（4a2-4a+1）=2a（2a-1）2．故选：C．首先提取公因式2a，进而利用完全平方公式分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了因式分解的意义与方法，熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键.先把各个多项式分解因式，即可得出结果.【解答】∵a2-1=（a+1）（a-1），a2+a=a（a+1），a2+a-2=（a+2）（a-1），（a+2）2-2（a+2）+1=（a+2-1）2=（a+1）2，∴结果中不含有因式a+1的是选项C.故选C.8.【答案】D【解析】解：A、（3-x）（3+x）=9-x2，是整式的乘法运算，故此选项错误；B、（y+1）（y-3）≠（3-y）（y+1），不符合因式分解的定义，故此选项错误；C、4yz-2y2z+z=2y（2z-zy）+z，不符合因式分解的定义，故此选项错误；D、-8x2+8x-2=-2（2x-1）2，正确．故选：D．分别利用因式分解的定义分析得出答案．此题主要考查了因式分解的定义，正确把握定义是解题关键．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查最简分式的概念，涉及因式分解，分式的基本性质，本题属于基础题型．分子分母没有公因式即可为最简分式.【解答】解：A.，最简分式；B.原式==x+1，故B不是最简分式；C.原式=，故C不是最简分式；D.原式==a+b，故D不是最简分式.故选A.10.【答案】C【解析】解：∵分式的值为零，∴x2-1=0，x+1≠0，解得：x=1．故选：C．直接利用分式的值为0，则分子为0，分母不能为0，进而得出答案．此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，根据分式的定义进行判断．【解答】解：下列各式：，，，，（x+y）中，是分式为，，（x+y），一共有3个分式，故选C．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查了最简公分母，掌握最简公分母的求法是解题的关键．先找系数的最小公倍数3，再找字母的最高次幂．【解答】解：分式与的最简公分母是3a2b2.故选C.13.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了分式的值为零，正确把握相关定义是解题关键，直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为零，∴|x|-1=0，x+1≠0，解得：x=1．故选：A．14.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确记忆相关定义是解题关键；直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案．【解答】解：∵使分式有意义，∴x-3≠0，解得：x≠3．故选B．15.【答案】B【解析】解：原式=+=+==，故选：B．原式第二项约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是熟练掌握分式的基本性质．根据分式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A.，故本选项错误；B.，原式不成立，故本选项错误；C.原式成立，故本选项正确；D.=，故本选项不正确．故选C．17.【答案】B【解析】【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以（或除以）一个不为0的数（或式），分式的值不变.根据分式的基本性质得到x，y同时扩大2倍时，分子扩大4倍，分母扩大2倍，则分式的值是原来的2倍．【解答】解：∵分式中的x，y同时扩大2倍,∴分子扩大4倍，分母扩大2倍，∴分式的值是原来的2倍.故选B.18.【答案】b（a-2）2【解析】解：原式=b（a2-4a+4）=b（a-2）2，故答案为：b（a-2）2原式提取b，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19.【答案】a（x+a）2【解析】解：ax2+2a2x+a3=a（x2+2ax+a2）=a（x+a）2，故答案为：a（x+a）2首先提取公因式a，然后将二次三项式利用完全平方公式进行分解即可．本题考查了因式分解的知识，解题的关键是能够首先确定多项式的公因式，难度不大．20.【答案】8；11.【解析】【分析】此题主要考查了完全平方公式以及分组分解法分解因式，正确将原式变形是解题关键．直接利用分组分解法将原式变形，再结合完全平方公式将原式变形，进而将已知代入求出答案．【解答】解：∵a+b=3，ab=-1，∴3a+ab+3b=3（a+b）+ab=3×3-1=8；a2+b2=（a+b）2-2ab=9+2=11．故答案为8；11．21.【答案】x（x+2）（x-2）【解析】【分析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：x3-4x，=x（x2-4），=x（x+2）（x-2）．故答案为x（x+2）（x-2）．22.【答案】（3+b）（3-b）【解析】解：原式=（3+b）（3-b），故答案为：（3+b）（3-b）原式利用平方差公式分解即可．此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．23.【答案】160【解析】解：∵x+y=10，xy=16，∴x2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160．故答案为：160．首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．24.【答案】0【解析】解：∵=1，∴b-a=ab，∴a-b=-ab，∴==0．故答案是0．先根据已知条件可求出a-b=-ab，再把a-b的值整体代入所求式子计算即可．本题考查了分式的化简求值、整体代入的思想．解题的关键是先求出a-b的值．25.【答案】解：（1）原式=-y（y2-6xy+9x2）=-y（y-3x）2；（2）原式=（4x2+1）（4x2-1）=（4x2+1）（2x+1）（2x-1）．【解析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式利用平方差公式分解即可．26.【答案】解：原式=••=（a-1）•=a+1．【解析】此题考查了分式的乘除法，分式乘除法的关键是约分，约分的关键是找出公因式.原式利用除法法则变形，约分即可得到结果.27.【答案】解：（1）原式＋=1；（2）原式；（3）原式＋＋＋；＋（4）原式.【解析】本题考查了分式的混合运算，需掌握的知识点：分式的混合运算的顺序和法则，分式的约分、通分以及因式分解；熟练掌握分式的混合运算顺序和因式分解是解决问题的关键.（1）首先通分计算括号里面，进而根据分式的加减乘除混合运算顺序进行约分计算即可；（2）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行因式分解和约分；（3）首先通分计算括号里面再根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行因式分解和约分；（4）根据分式的加减法法则进行计算，注意通分.28.【答案】解：（1）原式=3x（1-4x）；（2）原式=（a-2b）2；（3）原式=n2（m-2）+n（m-2）=n（m-2）（n+1）；（4）原式=（a2+4b2+4ab）（a2+4b2-4ab）=（a+2b）2（a-2b）2．【解析】此题考查了提公因式法及运用公式法因式分解，熟练掌握提公因式法及运用公式法因式分解是解本题的关键．（1）原式提取公因式即可得到结果；（2）原式利用完全平方公式分解即可；（3）原式变形后，提取公因式即可得到结果；（4）原式利用完全平方公式及平方差公式分解即可．。

因式分解练习题及答案

因式分解练习题及答案在初中数学学习中，因式分解是一个重要的概念和技巧。

因式分解是将一个代数式写成若干个因式的乘积的过程，对于解决代数方程、简化复杂的代数式以及寻找多项式的零点都有重要的作用。

为了帮助大家更好地掌握因式分解的方法和技巧，以下是一些因式分解的练习题及答案。

练习题1：因式分解基础1. 将代数式完全分解：a) 4x^2 - 9b) x^2 - 6x + 9c) 2x^3 - 8x^2 + 8x - 322. 将代数式因式分解：a) x^2 - 5x + 6b) 9x^2 - 16c) x^3 + 83. 判断以下代数式是否可以进一步因式分解：a) 3x^2 - 3x + 1b) 4x^3 + 2x^2 + 4x + 2c) x^4 - 81练习题2：因式分解中的公式1. 利用差平方公式，将以下代数式因式分解：a) x^2 - 16b) 4x^2 - 9c) 16x^2 - 4y^22. 利用完全平方公式，将以下代数式因式分解：a) x^2 + 2x + 1b) x^2 - 10x + 25c) 4x^2 + 12x + 93. 利用立方差公式，将以下代数式因式分解：a) 27 - 8x^3b) 8x^3 - 27答案：练习题1：1. a) (2x + 3)(2x - 3)b) (x - 3)^2c) 2(x - 4)(x^2 + x + 4)2. a) (x - 2)(x - 3)b) (3x - 4)(3x + 4)c) (x + 2)(x^2 - 2x + 4)3. a) 不可以进一步因式分解b) 不可以进一步因式分解c) (x^2 + 9)(x - 3)(x + 3)练习题2：1. a) (x - 4)(x + 4)b) (2x - 3)(2x + 3)c) 4(x + y)(4x - y)2. a) (x + 1)^2b) (x - 5)^2c) (2x + 3)^23. a) (3 - 2x)(9 + 4x + 2x^2)b) (2x - 3)^3通过这些练习题和答案，你可以更好地掌握因式分解的方法和技巧。

因式分解50题(配完整解析)

因式分解50题（配完整解析）考点卡片一．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．二．因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．22平方差公式：a ﹣b ＝（a +b ）（a ﹣b ）；222完全平方公式：a ±2ab +b ＝（a ±b ）；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．三．因式分解-分组分解法1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．例如：①ax +ay +bx +by ＝x （a +b ）+y （a +b ）＝（a +b ）（x +y ）22②2xy ﹣x +1﹣y 22＝﹣（x ﹣2xy +y ）+12＝1﹣（x ﹣y ）＝（1+x ﹣y ）（1﹣x +y ）四．因式分解-十字相乘法等借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．2①x +（p +q ）x +pq 型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x 2+（p +q ）x +pq ＝（x +p ）（x +q ）2②ax +bx +c （a ≠0）型的式子的因式分解这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1•a 2，把常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1•c 2，并使a 1c 2+a 2c 1正好是一2次项b ，那么可以直接写成结果：ax +bx +c ＝（a 1x +c 1）（a 2x +c 2）．五．实数范围内分解因式实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．例如：x ﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解2x 2﹣2＝x 2﹣（2）2＝（x+2）（x-2）一．填空题（共5小题）1．因式分解：-2x 2+2x =．2．因式分解：a 3+2a =．3．分解因式：8x 2-8xy +2y 2=．4．分解因式：ab 2+a 2b =．5．因式分解2x 2y -8y =．二．解答题（共45小题）6．分解因式（1）n 2(m -2)-n (2-m )（2）(a 2+4b 2)2-16a 2b 2．7．因式分解（1）(2a +b )2-(a +2b )2（2）16x 4-8x 2y 2+y 48．已知m -2n =-2，求下列多项式的值：（1）5m -10n +10m 2（2）+n 2-mn -3．49．因式分解：(x 2-3)2+2(3-x 2)+1．10．因式分解：m 2(m -4)2+8m (m -4)+16．11．分解因式：4(a +2)2-9(a -1)2．12．(x 2+4)2-16x 2．13．因式分解：(x -6x )+18(x -6x )+81．14．分解因式：（1）x 4-2x 2+1；（2）a 4-8a 2b 2+16b 4；（3）(a 2+4)2-16a 2；（4）(m 2-4m )2+8(m 2-4m )+16．15．分解因式（1）x -4xy +4y （2）4a -12ab +9b （3）a b +2ab +1．16．（1）计算：(2x -y +z )(2x -y -z )（2）分解因式：25(a +b )2-16(a -b )217．分解因式：(x +3)2-(x -3)2．18．(x -5y )2-(x +5y )219．分解因式：（1）3ax 2-6axy +3ay 2；（2）(3m +2n )2-(2m +3n )2．20．分解因式：（1）(a -b )(x -y )-(b -a )(x +y )（2）5m (2x -y )2-5mn 221．分解因式：（1）-3x 2+6xy -3y 2；222222222（2）(a +b )(a -b )+4(b -1)．22．因式分解（1）9a 2(x -y )+4b 2(y -x )；（2）4a (b -a )-b 223．因式分解：（1）a 4-16；（2）ax 2-4axy +4ay 2．24．将下列各式分解因式：（1）-25ax 2+10ax -a （2）4x 2(a -b )+y 2(b -a )25．分解因式：（1）5x 2+10x +5（2）(a +4)(a -4)+3(a +2)26．因式分解（1）9m 2-25n 214（3）2x 2y -8xy +8y（2）m 2-mn +n 2（4）(y 2-1)2+6(1-y 2)+927．把下列各式因式分解：（1）12x 4-6x 3-168x 2（2）a 5(2-3a )+2a 3(3a -2)2+a (2-3a )3（3）abc (a 3+b 3+c 3+2abc )+(a 3b 3+b 3c 3+c 3a 3)28．分解因式（1）16-a 4（2）y 3-6xy 2+9x 2y（3）(m +n )2-4m (m +n )+4m 2（4）9-a 2+4ab -4b 229．因式分解（1）-a 2-a（2）(x +y )(5m +3n )2-(x +y )(m -n )2（3）(a 2+6a )2+18(a 2+6a )+81（4）x 2-4x -y 2+4．30．把下列各式分解因式：（1）(a 2+a +1)(a 2-6a +1)+12a 2；（2）(2a +5)(a 2-9)(2a -7)-91；124242（4）(x -4x +1)(x +3x +1)+10x 4；31．分解因式：（1）12abc -2bc 2（2）2a 3-12a 2+18a （3）9a (x -y )+3b (x -y )（4）(x +y )2+2(x +y )+1（3）xy (xy +1)+(xy +3)-2(x +y +)-(x +y -1)2；（5）2x 3-x 2z -4x 2y +2xyz +2xy 2-y 2z ．（6）(a+b)(a-b)+4(b-1)32．将下列各式因式分解：（1）a4-16（2）16(a-b)2-9(a+b)2（3）x2-1+y2-2xy（4）(m+n)2-2(m2-n2)+(m-n)2．（5）x2-5x+6（6）x2-5x-6（7）x2+5x-6（8）x2+5x+6．33．分解因式（1）-3x3-6x2y-3xy2；（2）(a2+9)2-36a2（3）25m2-(4m-3n)2；（4）(x2-2x)2-2(x2-2x)-3．34．因式分解：（1）x2-5x-6（2）9a2(x-y)+4b2(y-x)（3）y2-x2+6x-9（4）(a2+4b2)2-16a2b235．把下列多项式分解因式：（1）27xy2-3x121x+xy+y22222（3）a-b-1+2b（4）x2+3x-436．因式分解：（1）x2-xy-12y2；（2）（2）a2-6a+9-b237．分解因式（1）8a3b2-12ab3c（2）-3ma3+6ma2-12ma（3）2(x-y)2-x(x-y)（4）3ax2-6axy+3ay2（5）p2-5p-36（6）x5-x3（7）(x-1)(x-2)-6（8）a2-2ab+b2-c238．把下列各式分解因式：（1）4x3-31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2-a4-b4-c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x-9；（5）2a4-a3-6a2-a+2．39．分解因式（2）1-9x 2（3）4x 2-12x +9（4）4x 2y 2-4xy +1（5）p 2-5p -36（6）y 2-7y +12（7）3-6x +3x 2（8）-a +2a 2-a 3（9）m 3-m 2-20m40．分解因式：(x 2+x +1)(x 2+x +2)-12．41．分解因式：(x 2+4x +8)2+3x (x 2+4x +8)+2x 2．42．分解因式：（1）2a (y -z )-3b (z -y )；（2）-x 2+4xy -4y 2；（3）x 2-2（在实数范围内分解因式）；（4）4-12(x -y )+9(x -y )2．43．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x 2+2x -3，解：原式=x 2+2x +1-1-3=(x 2+2x +1)-4=(x +1)2-4=(x +1+2)(x +1-2)=(x +3)(x -1)上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x 2-4x +3（2）4x 2+12x -7．44．下面是某同学对多项式(x -4x +2)(x -4x +6)+4进行因式分解的过程．解：设x -4x =y原式=(y +2)(y +6)+4（第一步）222=y 2+8y +16（第二步）=(y +4)2（第三步）=(x 2-4x +4)2（第四步）请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”)．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（2）请你模仿以上方法尝试对多项式(x -2x )(x -2x +2)+1进行因式分解．45．阅读并解决问题：对于形如x 2+2ax +a 2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x +a )2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax -3a 2就不能直接运用公式了．此时，我们可以这样来处理：22x2+2ax-3a2=(x2+2ax+a2)-a2-3a2=(x+a)2-4a2=(x+a+2a)(x+a-2a)=(x+3a)(x-a)像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2-8a+15；（2）若a+b=6，ab=4，求：①a2+b2；②a4+b4的值；（3）已知x是实数，试比较x2-6x+11与-x2+6x-10的大小，说明理由．11146．小亮在对a4+分解因式时，步骤如下：a4+=a4+a2+-a2（添加a2与-a2，前444三项可利用完全平方公式）1=(a2+)2-a2（写成完全平方式与最后一项又符合平方差公式）211=(a2+a+)(a2-a+)．22请你利用上述方法分解因式4x4+1．47．十字相乘法分解因式：（1）x2+3x+2（2）x2-3x+2（3）x2+2x-3（4）x2-2x-3（5）x2+5x+6（6）x2-5x-6（7）x2+x-6（8）x2-x-6（9）x2-5x-36(10)x2+3x-18(11)2x2-3x+1(12)6x2+5x-6．48．分解因式：(x+1)(x+3)(x+6)(x+8)+9．49．分解因式：（1）x4-7x2+6．（2）x4-5x2-36．（3）4x4-65x2y2+16y4．（4）a6-7a3b3-8b6（5）6a4-5a3-4a3．（6）4a6-37a4b2+9a2b4．50．因式分解：（1）(x+y)4+(x+y)2-20；（2）(x2-2x-2)(x2-2x-9)+6；（3）(x2+4x+3)(x2-12x+35)-105；（4）(x2-6)2-4x(x2-6)-5x2．因式分解50题（配完整解析）参考答案与试题解析一．填空题（共5小题）1．因式分解：-2x2+2x=-2x(x-1)．【解答】解：-2x2+2x=-2x(x-1)，故答案为：-2x(x-1)．2．因式分解：a3+2a=a(a2+2)．【解答】解：a3+2a=a(a2+2)，故答案为a(a2+2)．3．分解因式：8x2-8xy+2y2=2(2x-y)2．【解答】解：原式=2(4x2-4xy+y2)=2(2x-y)2．故答案为：2(2x-y)2．4．分解因式：ab2+a2b=ab(a+b)．【解答】解：原式=ab(a+b)．故答案是：ab(a+b)．5．因式分解2x2y-8y=2y(x+2)(x-2)．【解答】解：2x2y-8y=2y(x2-4)=2y(x+2)(x-2)故答案为：2y(x+2)(x-2)．二．解答题（共45小题）6．分解因式（1）n2(m-2)-n(2-m)（2）(a2+4b2)2-16a2b2．【解答】解：（1）原式=n(m-2)(n+1)；（2）原式=(a2+4b2+4ab)(a2+4b2-4ab)=(a+2b)2(a-2b)2．7．因式分解（1）(2a+b)2-(a+2b)2（2）16x4-8x2y2+y4【解答】解：（1）(2a+b)2-(a+2b)2=(2a+b-a-2b)(2a+b+a+2b)=3(a-b)(a+b)；（2）16x4-8x2y2+y4=(4x2-y2)2=(2x+y)2(2x-y)2．8．已知m-2n=-2，求下列多项式的值：（1）5m-10n+10m2（2）+n2-mn-3．4【解答】解：（1）m-2n=-2，∴原式=5(m-2n)+10=-10+10=0；m-2n=-2，（2）11∴原式=(m2+4n2-4mn)=(m-2n)2-3=1-3=-2．449．因式分解：(x2-3)2+2(3-x2)+1．【解答】解：(x2-3)2+2(3-x2)+1=(x2-3)2-2(x2-3)+1=(x2-3-1)2=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2．10．因式分解：m2(m-4)2+8m(m-4)+16．【解答】解：原式=[m(m-4)]2+2⨯m(m-4)⨯4+42=[m(m-4)+4]2=(m2-4m+4)2=[(m-2)2]2=(m-4)4．11．分解因式：4(a+2)2-9(a-1)2．【解答】解：4(a+2)2-9(a-1)2=[2(a+2)-3(a-1)][2(a+2)+3(a-1)]=(7-a)(5a+1)．12．(x2+4)2-16x2．【解答】解：(x2+4)2-16x2=(x2+4-4x)(x2+4+4x)=(x-2)2(x+2)2．13．因式分解：(x-6x)+18(x-6x)+81．222【解答】解：(x-6x)+18(x-6x)+81222=(x2-6x+9)2=(x-3)4．14．分解因式：（1）x4-2x2+1；（2）a4-8a2b2+16b4；（3）(a2+4)2-16a2；（4）(m2-4m)2+8(m2-4m)+16．【解答】解：（1）原式=(x2-1)2=[(x+1)(x-1)]2=(x+1)2(x-1)2；（2）原式=(a2-4b2)2=[(a+2b)(a-2b)]2=(a+2b)2(a-2b)2；（3）原式=(a2+4-4a)(a2+4+4a)=(a-2)2(a+2)2；（4）原式=(m2-4m+4)2=[(m -2)2]2=(m -2)4．15．分解因式（1）x -4xy +4y （2）4a -12ab +9b （3）a b +2ab +1．【解答】解：（1）x -4xy +4y =(x -2y )；（2）4a -12ab +9b =(2a -3b )；（3）a b +2ab +1=(ab +1)．16．（1）计算：(2x -y +z )(2x -y -z )（2）分解因式：25(a +b )2-16(a -b )2【解答】解：（1）(2x -y +z )(2x -y -z )222222222222222=(2x -y )2-z 2=4x 2+y 2-4xy -z 2；（2）25(a +b )2-16(a -b )2=[5(a +b )-4(a -b )][5(a +b )+4(a -b )]=(a +9b )(9a +b )．17．分解因式：(x +3)2-(x -3)2．【解答】解：(x +3)2-(x -3)2=(x +3-x +3)(x +3+x -3)=12x ．18．(x -5y )2-(x +5y )2【解答】解：(x -5y )2-(x +5y )2=(x -5y +x +5y )(x -5y -x -5y )=-20xy ．19．分解因式：（1）3ax 2-6axy +3ay 2；（2）(3m +2n )2-(2m +3n )2．【解答】解：（1）3ax 2-6axy +3ay 2=3a (x 2-2xy +y 2)=3a (x -y )2；（2）(3m +2n )2-(2m +3n )2=[(3m +2n )-(2m +3n )][(3m +2n )+(2m +3n )]=(m -n )(5m +5n )=5(m -n )(m +n )．20．分解因式：（1）(a -b )(x -y )-(b -a )(x +y )（2）5m (2x -y )2-5mn 2【解答】解：（1）原式=(a -b )(x -y +x +y )=2x (a -b )．（2）原式=5m (2x -y +n )(2x -y -n )．21．分解因式：（1）-3x 2+6xy -3y 2；（2）(a +b )(a -b )+4(b -1)．【解答】解：（1）-3x 2+6xy -3y 2=-3(x 2-2xy +y 2)=-3(x -y )2；（2）(a +b )(a -b )+4(b -1)=a 2-b 2+4b -4=a 2-(b -2)2=(a +b -2)(a -b +2)．22．因式分解（1）9a 2(x -y )+4b 2(y -x )；（2）4a (b -a )-b 2【解答】解：（1）原式=9a 2(x -y )-4b 2(x -y )=(x -y )(3a +2b )(3a -2b )；（2）原式=-(4a 2-4ab +b 2)=-(2a -b )2．23．因式分解：（1）a 4-16；（2）ax 2-4axy +4ay 2．【解答】解：（1）a 4-16=(a 2+4)(a 2-4)=(a 2+4)(a +2)(a -2)；（2）ax 2-4axy +4ay 2=a (x 2-4xy +4y )=a (x -2y )2．24．将下列各式分解因式：（1）-25ax 2+10ax -a （2）4x 2(a -b )+y 2(b -a )【解答】解：（1）原式=-a (25x 2-10x +1)=-a (5x -1)2；（2）原式=4x 2(a -b )-y 2(a -b )=(a -b )(2x +y )(2x -y )．25．分解因式：（1）5x 2+10x +5（2）(a +4)(a -4)+3(a +2)【解答】解：（1）原式=5(x 2+2x +1)=5(x +1)2；（2）原式=a 2-16+3a +6=a 2+3a -10=(a -2)(a +5)．26．因式分解（1）9m 2-25n 214（3）2x 2y -8xy +8y（2）m 2-mn +n 2（4）(y 2-1)2+6(1-y 2)+9【解答】解：（1）9m 2-25n 2=(3m +5n )(3m -5n )；（2）m 2-mn +n 2141=(m-n)2；2（3）2x2y-8xy+8y=2y(x2-4x+4)=2y(x-2)2；（4）(y2-1)2+6(1-y2)+9=[(1-y2)+3]2=(1-y2+3)2．=(4-y2)2=(2+y)2(2-y)2．27．把下列各式因式分解：（1）12x4-6x3-168x2（2）a5(2-3a)+2a3(3a-2)2+a(2-3a)3（3）abc(a3+b3+c3+2abc)+(a3b3+b3c3+c3a3)【解答】解：（1）原式=6x2(2x2-x-28)=6x2(2x+7)(x-4)；（2）原式=a5(2-3a)+2a3(2-3a)2+a(2-3a)3=a(2-3a)[a4+2a2(2-3a)+(2-3a)2]=a(2-3a)(a2+2-3a)2=a(2-3a)(a-1)2(a-2)2；（3）原式=a4bc+a3(b3+c3)+2a2b2c2+abc(b3+c3)+b3c3=bc(a4+2a2bc+b2c2)+a(b3+c3)(a2+bc)=bc(a2+bc)2+a(b3+c3)(a2+bc)=(a2+bc)[bc(a2+bc)+a(b3+c3)]=(a2+bc)[(bca2+ab3)+(b2c2+ac3)]=(a2+bc)[ab(ca+b2)+c2(b2+ac)]=(a2+bc)(b2+ac)(c2+ab)．28．分解因式（1）16-a4（2）y3-6xy2+9x2y（3）(m+n)2-4m(m+n)+4m2（4）9-a2+4ab-4b2【解答】解：（1）原式=(4+a2)(4-a2)=(4+a2)(2+a2)(2-a2)；（2）原式=y(y2-6xy+9x2)=y(y-3x)2；（3）原式=(m+n-2m)2=(n-m)2；（4）原式=9-(a-2b)2=(3-a+2b)(3+a-2b)．29．因式分解（1）-a2-a（2）(x +y )(5m +3n )2-(x +y )(m -n )2（3）(a 2+6a )2+18(a 2+6a )+81（4）x 2-4x -y 2+4．【解答】解：（1）-a 2-a =-a (a +1)（2）(x +y )(5m +3n )2-(x +y )(m -n )2=(x +y )(5m +3n +m -n )(5m +3n -m +n )=(x +y )(6m +2n )(4m +4n )=8(x +y )(3m +n )(m +n )（3）(a 2+6a )2+18(a 2+6a )+81=(a 2+6a +9)2=(a +3)4（4）x 2-4x -y 2+4=(x -2)2-y 2=(x -2+y )(x -2-y )30．把下列各式分解因式：（1）(a 2+a +1)(a 2-6a +1)+12a 2；（2）(2a +5)(a 2-9)(2a -7)-91；12（4）(x 4-4x 2+1)(x 4+3x 2+1)+10x 4；【解答】解：（1）令a 2+1=b ，则原式=(b +a )(b -6a )+12a 2（3）xy (xy +1)+(xy +3)-2(x +y +)-(x +y -1)2；（5）2x 3-x 2z -4x 2y +2xyz +2xy 2-y 2z ．=b 2-5ab -6a 2+12a 2=b 2-5ab +6a 2=(b -2a )(b -3a )=(a 2+1-2a )(a 2+1-3a )=(a -1)2(a 2-3a +1)；（2）原式=[(2a +5)(a -3)][(a +3)(2a -7)]-91=(2a 2-a -15)(2a 2-a -21)-91=(2a 2-a )2-36(2a 2-a )+224=(2a 2-a -28)(2a 2-a -8)=(a -4)(2a +7)(2a 2-a -8)；（3）设x +y =a ，xy =b ，则原式=b (b +1)+(b +3)-2(a +)-(a -1)212=(b 2+2b +1)-a 2=(b +1+a )(b +1-a )=(xy +1+x +y )(xy +1-x -y )；（4）令x 4+1=a ，则原式=(a -4x 2)(a +3x 2)+10x 4=a 2-x 2a -2x 4=(a -2x 2)(a +x 2)=(x 4+1-2x 2)(x 4+1+x 2)=(x +1)2(x -1)2(x 2+x +1)(x 2-x +1)；（5）原式=(2x3-x2z)+(-4x2y+2xyz)+(2xy2-y2z) =x2(2x-z)-2xy(2x-z)+y2(2x-z)=(2x-z)(x2-2xy+y2)=(2x-z)(x-y)2．31．分解因式：（1）12abc-2bc2（2）2a3-12a2+18a（3）9a(x-y)+3b(x-y)（4）(x+y)2+2(x+y)+1（5）x2-1+y2-2xy（6）(a+b)(a-b)+4(b-1)【解答】解：（1）12abc-2bc2=2bc(6a-c)；（2）2a3-12a2+18a=2a(a2-6a+9)=2a(a-3)2；（3）9a(x-y)+3b(x-y)=3(x-y)(3a+b)；（4）(x+y)2+2(x+y)+1=(x+y+1)2；（5）x2-1+y2-2xy=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)；（6）(a+b)(a-b)+4(b-1)=a2-b2+4b-4=a2-(b-2)2=(a-b+2)(a+b-2)．32．将下列各式因式分解：（1）a4-16（2）16(a-b)2-9(a+b)2（3）x2-1+y2-2xy（4）(m+n)2-2(m2-n2)+(m-n)2．（5）x2-5x+6（6）x2-5x-6（7）x2+5x-6（8）x2+5x+6．【解答】解：（1）a4-16=(a2+4)(a2-4)=(a2+4)(a+2)(a-2)；（2）16(a-b)2-9(a+b)2=[4(a-b)+3(a+b)][4(a-b)-3(a+b)]=(4a-4b+3a+3b)(4a-4b-3a-3b)=(7a-b)(a-7b)；（3）x2-1+y2-2xy=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)；（4）(m+n)2-2(m2-n2)+(m-n)2=[(m+n)-(m-n)]2=(m+n-m+n)2=(2n)2=4n2；（5）x2-5x+6=(x-2)(x-3)；（6）x2-5x-6=(x-6)(x+1)；（7）x2+5x-6=(x+6)(x-1)；（8）x2+5x+6=(x+2)(x+3)．33．分解因式（1）-3x3-6x2y-3xy2；（2）(a2+9)2-36a2（3）25m2-(4m-3n)2；（4）(x2-2x)2-2(x2-2x)-3．【解答】解：（1）-3x3-6x2y-3xy2；=-3x(x2+2xy+y2)=-3x(x+y)2；（2）(a2+9)2-36a2=(a2+9+6a)(a2+9-6a)=(a+3)2(a-3)2；（3）25m2-(4m-3n)2=(5m)2-(4m-3n)2，=(5m+4m-3n)(5m-4m+3n)=3(3m-n)(m+3n)；（4）(x2-2x)2-2(x2-2x)-3=(x2-2x-3)(x2-2x+1)=(x-3)(x+1)(x-1)2．34．因式分解：（1）x2-5x-6（2）9a2(x-y)+4b2(y-x)（3）y2-x2+6x-9（4）(a2+4b2)2-16a2b2【解答】解：（1）x2-5x-6=(x-3)(x+2)；（2）9a2(x-y)+4b2(y-x)=(x-y)(9a2-4b2)=(x-y)(3a+2b)(3a-2b)；=y2-(x2-6x+9)=y2-(x-3)2=(y+x-3)(y-x+3)；（4）(a2+4b2)2-16a2b2=(a2+4b2+4ab)(a2+4b2-4ab) =(a+2b)2(a-2b)2．35．把下列多项式分解因式：（1）27xy2-3x（2）12x2+xy+12y2（3）a2-b2-1+2b（4）x2+3x-4【解答】解：（1）27xy2-3x =3x(9y2-1)=3x(3y+1)(3y-1)；（2）12x2+xy+12y2=1(x2+2xy+y2 2)=1(x+y)22；（3）a2-b2-1+2b=a2-(b2-2b+1)=a2-(b-1)2=(a+b-1)(a-b+1)；（4）x2+3x-4=(x+4)(x-1)．36．因式分解：（1）x2-xy-12y2；（2）a2-6a+9-b2【解答】解：（1）x2-xy-12y2，=(x+3y)(x-4y)；（2）a2-6a+9-b2，=(a-3)2-b2，=(a-3+b)(a-3-b)．37．分解因式（1）8a3b2-12ab3c（2）-3ma3+6ma2-12ma（3）2(x-y)2-x(x-y)（4）3ax2-6axy+3ay2（6）x 5-x 3（7）(x -1)(x -2)-6（8）a 2-2ab +b 2-c 2【解答】解：（1）8a 3b 2-12ab 3c =4ab 2(2a 2-3bc )；（2）-3ma 3+6ma 2-12ma =-3ma (a 2-2a +4)=-3ma (a -2)2；（3）2(x -y )2-x (x -y )=(x -y )(2x -2y -x )=(x -y )(x -2y )；（4）3ax 2-6axy +3ay 2=3a (x 2-2xy +y 2)=3a (x -y )2；（5）p 2-5p -36=(p -9)(p +4)；（6）x 5-x 3=x 3(x 2-1)=x 3(x +1)(x -1)；（7）(x -1)(x -2)-6=x 2-3x +2-6=(x -4)(x +1)；（8）a 2-2ab +b 2-c 2=(a -b )2-c 2=(a -b +c )(a -b -c )．38．把下列各式分解因式：（1）4x 3-31x +15；（2）2a 2b 2+2a 2c 2+2b 2c 2-a 4-b 4-c 4；（3）x 5+x +1；（4）x 3+5x 2+3x -9；（5）2a 4-a 3-6a 2-a +2．【解答；（；（5522232】解：（1）4x 3-31x +15=4x 3-x -30x +15=x (2x +1)(2x -1)-15(2x -1)=(2x -1)(2x 2+x -15)=(2x -1)(2x -5)(x +3)2）2a b +2a c +2b c -a -b -c =4a b -(a +b +c +2a b -2a c -2b c )=(2ab )-(a +b -c )=(2ab +a +b -c )(2ab -a -b +c )=(a +b +c )(a +b -c )(c +a -b )(c -a +b )32222）3x +x +1=x -x +x +x +1=x (x -1)+(x +x +1)=x (x -1)(x +x +1)+(x +x +1)=(x +x +1)(x -x 2+1)；（；（4）x 3+5x 2+3x -9=(x 3-x 2)+(6x 2-6x )+(9x -9)=x 2(x -1)+6x (x -1)+9(x -1)=(x -1)(x +3)25）2a -a -6a -a +2=a (2a -1)-(2a -1)(3a +2)=(2a -1)(a -3a -2)=(2a -1)(a +a -a -a -2a -2)=(2a -1)[a (a +1)-a (a +1)-2(a +1)]=(2a -1)(a +1)(a 2-a -2)=(a +1)(a -2)(2a -1)．39．分解因式（1）20a 3x -45ay 2x（2）1-9x 2（3）4x 2-12x +9（4）4x 2y 2-4xy +1（5）p 2-5p -36（6）y 2-7y +12（7）3-6x +3x 2（8）-a +2a 2-a 3（9）m 3-m 2-20m【解答】解：（1）原式=5ax (4a 2-9y 2)=5ax (2a +3y )(2a -3y )；（2）原式=(1+3x )(1-3x )；（3）原式=(2x )2-12x +9=(2x -3)2；（4）原式=(2xy-1)2；（5）原式=(p+4)(p-9)；（6）原式=(y-3)(y-4)；（7）原式=3(x2-2x+1)=3(x-1)2；（8）原式=-a(a2-2a+1)=-a(a-1)2；（9）原式=m(m2-m-20)=m(m+4)(m-5)．40．分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．【解答】解：设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如令x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．故答案为(x-1)(x+2)(x2+x+5)41．分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．【解答】解：设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．42．分解因式：（1）2a(y-z)-3b(z-y)；（2）-x2+4xy-4y2；（3）x2-2（在实数范围内分解因式）；（4）4-12(x-y)+9(x-y)2．【解答】解：（1）原式=2a(y-z)+3b(y-z)=(y-z)(2a+3b)；（2）原式=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2；（3）原式=(x+2)(x-2)；（4）原式=[3(x-y)-2]2=(3x-3y-2)2．43．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x2+2x-3，解：原式=x2+2x+1-1-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x2-4x+3（2）4x2+12x-7．【解答】解：（1）x2-4x+3=x2-4x+4-4+3=(x -2)2-1=(x -2+1)(x -2-1)=(x -1)(x -3)（2）4x 2+12x -7=4x 2+12x +9-9-7=(2x +3)2-16=(2x +3+4)(2x +3-4)=(2x +7)(2x -1)44．下面是某同学对多项式(x -4x +2)(x -4x +6)+4进行因式分解的过程．解：设x -4x =y原式=(y +2)(y +6)+4（第一步）222=y 2+8y +16（第二步）=(y +4)2（第三步）=(x 2-4x +4)2（第四步）请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？不彻底（填“彻底”或“不彻底”)．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（2）请你模仿以上方法尝试对多项式(x -2x )(x -2x +2)+1进行因式分解．【解答】解：（1）（2）设x -2x =y原式=y (y +2)+1222(x 2-4x +4)2=(x -2)4，∴该同学因式分解的结果不彻底．=y 2+2y +1=(y +1)2=(x 2-2x +1)2=(x -1)4．故答案为：不彻底．45．阅读并解决问题：对于形如x 2+2ax +a 2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x +a )2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax -3a 2就不能直接运用公式了．此时，我们可以这样来处理：x 2+2ax -3a 2=(x 2+2ax +a 2)-a 2-3a 2=(x +a )2-4a 2=(x +a +2a )(x +a -2a )=(x +3a )(x -a )像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a 2-8a +15；（2）若a +b =6，ab =4，求：①a 2+b 2；②a 4+b 4的值；（3）已知x 是实数，试比较x 2-6x +11与-x 2+6x -10的大小，说明理由．【解答】解：（1）a 2-8a +15=(a 2-8a +16)-1=(a -4)2-12=(a -3)(a -5)；（2）a +b =6，ab =4，a2+b2=(a+b)2-2ab=36-8=28．a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=282-2⨯16=752．（3）x2-6x+11=(x-3)2+22，-x2+6x-10=-(x-3)2-1-1，∴x2-6x+11>-x2+6x-10．46．小亮在对a4+1114分解因式时，步骤如下：a4+4=a4+a2+4-a2三项可利用完全平方公式）=(a2+12)2-a2（写成完全平方式与最后一项又符合平方差公式）=(a2+a+12)(a2-a+12)．请你利用上述方法分解因式4x4+1．【解答】解：4x4+1=4x4+4x2+1-4x2=(2x2+1)2-4x2=(2x2+2x+1)(2x2-2x+1)．47．十字相乘法分解因式：（1）x2+3x+2（2）x2-3x+2（3）x2+2x-3（4）x2-2x-3（5）x2+5x+6（6）x2-5x-6（7）x2+x-6（8）x2-x-6（9）x2-5x-36(10)x2+3x-18(11)2x2-3x+1(12)6x2+5x-6．【解答】解：（1）x2+3x+2=(x+1)(x+2)；（2）x2-3x+2=(x-1)(x-2)；（3）x2+2x-3=(x+3)(x-1)；（4）x2-2x-3=(x-3)(x+1)；（5）x2+5x+6=(x+3)(x+2)；（6）x2-5x-6=(x-6)(x+1)；（7）x2+x-6=(x+3)(x-2)；a2与-a2，前（添加（8）x2-x-6=(x-3)(x+2)；（9）x2-5x-36=(x-9)(x+4)；(10)x2+3x-18=(x+6)(x-3)；(11)2x2-3x+1=(2x-1)(x-1)；(12)6x2+5x-6=(2x+3)(3x-2)．48．分解因式：(x+1)(x+3)(x+6)(x+8)+9．【解答】解：(x+1)(x+3)(x+6)(x+8)+9=[(x+1)(x+8)][(x+3)(x+6)]+9=(x2+9x+8)(x2+9x+18)+9=(x2+9x)2+26(x2+9x)+153=(x2+9x+9)(x2+9x+17)．49．分解因式：（1）x4-7x2+6．（2）x4-5x2-36．（3）4x4-65x2y2+16y4．（4）a6-7a3b3-8b6（5）6a4-5a3-4a3．（6）4a6-37a4b2+9a2b4．【解答】解：（1）x4-7x2+6=(x2-1)(x2-6)=(x+1)(x-1)(x+6)(x-6)；（2）x4-5x2-36=(x2-9)(x2+4)=(x+3)(x-3)(x2+4)（3）4x4-65x2y2+16y4=(2x2-4y2)2-49x2y2=(2x2-4y2+7xy)(2x2-4y2-7xy)=(2x-1)(2x+1)(1-4y)(1+4y)；（4）a6-7a3b3-8b6=(a3-8b3)(a3+b3)=(a-2b)(a2+2ab+b2)(a+b)(a2-ab+b2)=(a-2b)(a+b)3(a2-ab+b2)；（5）6a4-5a3-4a3=6a4-9a3=3a3(2a-3)；（6）4a6-37a4b2+9a2b4=a2(4a4-37a2b2+9b4)=a2(4a4-12a2b2+9b4-25a2b2)=a2[(2a2-3b2)2-25a2b2]=a2(2a+1)(2a-1)(1-3b)(1+3b)．50．因式分解：（1）(x+y)4+(x+y)2-20；（2）(x2-2x-2)(x2-2x-9)+6；（3）(x2+4x+3)(x2-12x+35)-105；（4）(x2-6)2-4x(x2-6)-5x2．【解答】解：（1）原式=[(x+y)2-4][(x+y)2+5]=(x+y+2)(x+y-2)(x2+y2+2xy+5)；（2）原式=(x2-2x)2-11(x2-2x)+24=(x2-2x-3)(x2-2x-8)=(x-3)(x+1)(x-4)(x+2)；（3）原式=(x+1)(x+3)(x-5)(x-7)-105=(x2-4x-5)(x2-4x-21)-105=(x2-4x)2-26(x2-4x)=(x2-4x)(x2-4x-26)=x(x-4)(x2-4x-26)（4）原式=(x2-6-5x)(x2-6+x)=(x-6)(x+1)(x-2)(x+3)．第21页（共21页）。

因式分解及分式25题精选

1.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形2.分解因式：bx by ay ax -+-51023.分解因式：ay ax y x ++-224.分解因式：abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++5.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a6.分解因式：36152+-a a7.分解因式：101132+-x x8.分解因式2223y xy x +-9.因式分解：2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++10.因式分解：673676234+--+x x x x11.因式分解：4224)1()1()1(-+-++x x x12.分解因式613622-++-+y x y xy x13.如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值。

14.先化简112111122++-⋅--+x x x x x ，再求出x =21时的值.15.已知:222,053n m m n m m n m m n m ---++=-求的值.16.若()0322=++-b a ，求[12(a +b )3(b -a )]3÷[4(a +b )2(a -b )]2的值.17.已知方程0132=+-x x ，求①221x x +; ②2)1(x x +.18.111121212121-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x19. ()()()3223332323223x x xy x xy y x x y ----++-+-的值，其中1,12x y ==-，小明把12x =错写 12x =-，但他的计算结果也是正确的，请你帮他找出原因。

20.某商店销售一种衬衫，4月份的营业额为5000元，为了扩大销售，在5月份将每件衬衫按原价的8折销售，销量比4月份增加了40件，营业额比4月份增加了600元，求4月份每件衬衫的售价。

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分式计算练习二周案序总案序审核签字一.填空： 1.x 时，分式42-x x 有意义；当x时，分式1223+-x x 无意义； 2.当x= 时，分式2152x x --的值为零；当x 时，分式xx --112的值等于零.3.如果ba=2，则2222b a b ab a ++-= 4.分式ab c 32、bc a 3、ac b 25的最简公分母是； 5.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是 .6.已知2009=x 、2010=y ，则()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅+4422y x y x y x ＝ .二.选择： 1.在31x+21y, xy 1 ,a +51 ,—4xy , 2x x , πx 中，分式的个数有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 2.如果把yx y322-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（）A 、扩大5倍B 、不变C 、缩小5倍D 、扩大4倍3.下列各式：()xx x x y x x x 2225,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有（）个。

A 、2 B 、3 C 、4 D 、54.下列判断中，正确的是（）A 、分式的分子中一定含有字母 B 、当B=0时，分式BA 无意义 C 、当A=0时，分式BA 的值为0（A 、B 为整式） D 、分数一定是分式5.下列各式正确的是（）A 、11++=++b a x b x a B 、22xy x y = C 、()0,≠=a ma na m n D 、a m a n m n --= 6.下列各分式中，最简分式是（）A 、()()y x y x +-8534B 、y x x y +-22C 、2222xy y x y x ++D 、()222y x yx +- 7.下列约分正确的是（） A 、313m m m +=+ B 、212y x y x -=-+ C 、123369+=+a b a b D 、()()yx a b y b a x =-- 8.下列约分正确的是( )A 、326x x x = B 、0=++y x y x C 、x xy x y x 12=++ D 、214222=y x xy 9.(更易错题)下列分式中，计算正确的是( )A 、32)(3)(2+=+++a c b a c bB 、b a b a b a +=++122C 、1)()(22-=+-b a b a D 、x y y x xy y x -=---1222 10.若把分式xyyx 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值( )A 、扩大3倍B 、不变C 、缩小3倍D 、缩小6倍 11.下列各式中，从左到右的变形正确的是( ）A 、y x y x y x y x ---=--+-B 、y x y x y x y x +-=--+-C 、yx yx y x y x -+=--+- D 、y x y x y x y x +--=--+-12.若0≠-=y x xy ，则分式=-xy 11 （） A 、xy 1 B 、x y - C 、1 D 、-113. 若x 满足1=xx，则x 应为（）A 、正数 B 、非正数 C 、负数 D 、非负数14.已知0≠x ，xx x 31211++等于( ) A 、x 21 B 、1 C 、x 65 D 、x 61115、(多转单约分求值)已知113x y -=，则55x xy yx xy y+---值为( )A 、72-B 、72C 、27D 、72-三.化简：1.m m -+-3291222. a+2－a -243. 22221106532x yx y y x ÷⋅ 4.ac ac bc c b ab b a -+-++ 5.262--x x ÷4432+--x x x 6.224)2222(x x x x x x -⋅-+-+- 7. 22224421yxy x y x y x y x ++-÷+-- 8.1111-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--x xx 9. m n n n m m m n n m -+-+--210.⎪⎪⎭⎫⎝⎛++÷--ab b a b a b a 22222 11.⎪⎭⎫ ⎝⎛--+÷--13112x x x x 12.（22+--x x x x ）24-÷x x 13. 1⎪⎭⎫⎝⎛⋅÷÷a b b a b a 32492314..()2211n m m n m n -⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+; 15.168422+--x x x x ，其中x =5.分式计算练习一1. 2234xy z ·（-28z y ）等于（） A ．6xyz B ．-23384xy z yz- C ．-6xyz D ．6x 2yz2. 下列各式中，计算结果正确的有（）①;2)1(2223n m mn n m =-∙ ②8b a b a b a 32326)43(-=-÷； ③（;1)()b a b a b a b a +=+∙-⋅+ ④（2232)()()ba b a b a b a =-÷-∙- A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3. 下列公式中是最简分式的是（）A ．21227b aB ．22()a b b a --C ．22x y x y ++D ．22x y x y--4. （2008黄冈市）计算()ab a bb aa+-÷的结果为（） A ．a b b - B ．a b b + C ．a b a - D ．a b a+5. 计算34x x y -+4x y y x +--74yx y-得（）A ．-264x y x y +- B ．264x yx y+- C ．-2 D ．2二计算：（1）2223x y mn ·2254m n xy ÷53xym n ．（2）2216168m m m -++÷428m m -+·22m m -+（3）（-2b a ）2÷（b a -）·（-34b a ）3．（4）21x x --x-1．三、先化简，再求值：1、232282x x x x x +-++÷（2x x -·41x x ++）．2、22)11(yxy y x y y x -÷-++，其中x=-45．其中2-=x ，1=y .3、已知a=25,25-=+b ,4、已知3=a ，2-=b ，求2++b a a b 得值。

求2211()2ab a b a ab b +⋅++的值．第一章《因式分解》练习题一、选择题1. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）（A ）21x x ++ （B ）221x x +- （C ）21x - （D ）269x x -+2、下列式子从左到右变形是因式分解的是（） A ．a 2+4a-21=a （a+4）-21 B ．a 2+4a-21=（a-3）（a+7） C ．（a-3）（a+7）=a 2+4a-21 D ．a 2+4a-21=（a+2）2-25 3、下列因式分解正确的是( ) A ．x 2－y 2= (x －y ) 2B ．a 2+a +1=(a +1) 2C ．xy －x =x (y －1)D ．2x +y = 2(x +y )4、下列因式分解中正确的个数为①()3222x xy x x x y ++=+；②()22442x x x ++=+；③()()22x yx y x y -+=+-。

A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 5、将下列多项式分解因式，结果中不含因式1x -的是（） A ．21x -B ．(2)(2)x x x -+-C ．221x x -+D ．221x x ++6、下列四个多项式中，能因式分解的是（） A ． a 2+1 B ． a 2﹣6a+9C ． x 2+5yD ． x 2﹣5y7、若221142a b a b -=-=，，则a b +的值为（）．（A ）12-（B ）12 （C ）1 （D ）28、把代数式2218x -分解因式，结果正确的是（ )A ．22(9)x- B ．22(3)x -C ．2(3)(3)x x +-D ．2(9)(9)x x +-9. 若代数式x 2+ax 可以分解因式，则常数a 不可以取（） A ．﹣1 B ．0 C.1 D ．2二、填空题10. ab=3，a-2b=5，则a 2b-2ab 2的值是． 11. 当a=9时，代数式a 2+2a+1的值为．12. 81x 2-kxy+49y 2是一个完全平方式，则k 的值为三、计算题 1、因式分解(1)6m －42m 3 (4)－3ab 2－6a 2b －12ab (8)3(a －b ) 2＋6(b －a ) （5）2.34×13.2+0.66×13.2-26.4 (9)x (x －y ) 2－y (y －x ) 2（11）22419b a - （12）33364xy y x - （10）41681x -，（13）22363ay axy ax ++ （14）1)(2)(2++-+b a b a （15）－x 2－ 6x －9 （16）8 (a 2+1)-16a （17）()96++x x （19）()221+x 24x -2.先分解因式，再计算求值：已知.32,52=-=+b a b a 求22205b a -的值3、已知x 、y 是二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-54232y x y x 的解，求代数式x 2-4y 2的值4.证明：若n 为正整数，则22)12()12(--+n n 一定能被8整除。

四.附加题 1、已知x-y=2，求21x 2-xy+21y 22、当x 取何值时，整式222++x x 取得最小值？最小值是多少？八年级数学阶段性测试题一.选择：1.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）（A ）21x x ++ （B ）221x x +- （C ）21x - （D ）269x x -+2.下列因式分解中正确的个数为 ①()3222x xy x x x y ++=+； ②()22442x x x ++=+；③()()22xy x y x y -+=+-。

A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个3.将下列多项式分解因式，结果中不含因式1x -的是（） A ．21x -B ．(2)(2)x x x -+-C ．221x x -+D ．221x x ++4. 若221142a b a b -=-=，，则a b +的值为（）．（A ）12-（B ）12 （C ）1 （D ）25. 下列各式中，计算结果正确的有（）①;2)1(2223n m mn n m =-∙ ②8b a b a b a 32326)43(-=-÷； ③（;1)()b a b a b a b a +=+∙-⋅+ ④（2232)()()ba b a b a b a =-÷-∙- A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6. 下列公式中是最简分式的是（）A ．21227b aB ．22()a b b a --C ．22x y x y ++D ．22x y x y--7.在31x+21y, xy 1 ,a +51 ,—4xy , 2x x , πx 中，分式的个数有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 8.如果把yx y322-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（）A 、扩大5倍B 、不变C 、缩小5倍D 、扩大4倍 9.若0≠-=y x xy ，则分式=-xy 11 （） A 、xy 1 B 、x y - C 、1 D 、-110.下列约分正确的是( )A 、326x x x =B 、0=++y x y xC 、x xy x y x 12=++ D 、214222=y x xy 11.下列各式中，从左到右的变形正确的是( ）A 、y x y x y x y x ---=--+- B 、y x y x y x y x +-=--+- C 、yx yx y x y x -+=--+- D 、y x y x y x y x +--=--+-12.已知0≠x ，xx x 31211++等于( ) A 、x 21 B 、1 C 、x 65 D 、x 611二.填空：1. ab=3，a-2b=5，则a 2b-2ab 2的值是．2.25x 2-kxy+64y 2是一个完全平方式，则k 的值为3.分解因式：8（a-b)2-12(b-a)=4.x 时，分式42-x x 有意义；当x 时，分式x x --112的值等于零.5.分式ab c 32、bc a 3、acb25的最简公分母是；6.已知2014=x 、2015=y ，则()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅+4422y x y x y x ＝ .三、因式分解(1)2m 2－18 (2)－6ab 3－6a 3b+12a 2b 2(3)4a(x －2) 2-2b (2－x )3 （4）21×4.32－4.3×3.3+21×3.32 、（5）41681x -，（6）1)(2)(2++-+b a b a（7）8 (a 2+1)-16a （8）()221+x 24x - 四、计算：1.mm -+-329122 2. a+2－a -24 3.21x x --x-1．4.ac ac bc c b ab b a -+-++ 5.262--x x ÷4432+--x x x 6.1111-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x 7.（-2b a ）2÷（b a -）·（-34b a ）3．8.2223x y mn ·2254m n xy ÷53xym n ． 9. m n nn m m m n n m -+-+--2 10 2216168m m m-++÷428m m -+·22m m -+ 11.（22+--x x x x ）24-÷x x 五、先化简，再求值：22)11(y xy y x y y x -÷-++，其中2-=x ，1=y .。