实际问题一元二次方程的应用(二)
实际问题与一元二次方程(循环问题)
什么是单循环？什么又是双循环？
单循环：每两个队间只进行一场比赛的赛制
例如：甲乙丙三队参加比赛
乙
甲
乙
丙
丙
双循环：每两个队间进行两场比赛的赛制
例如：甲乙丙三队参加比赛 甲
乙 甲
丙
丙 乙
甲 乙
丙
学校要组织一次篮球联赛， 赛制为单循 环形式， 计划安排15 场比赛， 问应邀 请多少个球队参加比赛？
若举办一次足球联赛，赛制为双循环形式， 一共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
变式练习
1、在一个QQ 群里有n 个网友在线，每个 网友都向其他网友发出一条信息，共有20
条信息，则n 为（ C ）
A 、10 B、6 C、5 D、4
这件事为双循环还是单循环？
双循环
变式练习
2、一个小组有若干人，新年互送贺卡若全 组共送了72 张，则这个小组共有多少人？ 这件事为双循环还是单循环？
实际问题与一元二次方程 （二）循环问题
一、列一元二次方程解应用 题的一般步骤
（1）审：找出题中关键信息 （2）设： 设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异； （3）找： 找出等量关系； （4）列： 列出一元二次方程； （5）解： 求出所列方程的解； （6）验： 检验方程的解是否正确，是否符合题意； （7）答： 作答。
第一轮传播：
初始传播源+一轮被传播者=新传播源 第二轮传播：
传播总数=初始传播源+一轮被传播数 +二轮被传播数
传播问题计算公式
1. 有一人患了流感，经过两轮传染后 共有121 人患了流感，每轮传染中平均 一个人传染了几个人？
1 x
2 121
学校要组织一次篮球联赛， 赛制为单循 环形式， 计划安排15 场比赛， 问应邀 请多少个球队参加比赛？
一元二次方程的实际应用
一元二次方程的实际应用一元二次方程是高中数学的重要内容之一，通过求解一元二次方程，我们可以得到方程的解，从而解决一些实际生活中的问题。
在本文中，我们将探讨一些实际应用中使用一元二次方程的案例。
一、物体自由下落物体自由下落是我们日常生活中经常遇到的情境之一。
在没有空气阻力的情况下，物体自由下落的运动可以用一元二次方程来描述。
设一个物体从某个高度h0自由下落，下落的时间为t秒，则根据物体自由下落的公式，我们可以得到：h = h0 - 0.5gt^2其中，h为物体下落的高度，g为重力加速度。
通过将h设为0，即可求解出物体自由下落的时间。
此时，我们可以将方程转化为一元二次方程进行求解：-0.5gt^2 + h0 = 0通过求解出这个一元二次方程，我们就可以知道物体自由下落所需的时间。
二、抛物线的轨迹抛物线是一种常见的曲线形态，其运动轨迹可以用一元二次方程来描述。
在很多实际应用中，抛物线的轨迹被广泛应用。
例如，当我们抛出一个物体，以一定的初速度和角度进行抛射时，物体的轨迹就是一个抛物线。
抛物线的方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，x和y分别代表抛物线上的点的坐标。
通过求解一元二次方程，我们可以确定抛物线的方程中的参数a、b、c的值，从而获得抛物线的具体形状和特征。
这对于工程设计、物体抛射等实际问题具有重要的意义。
三、最大值和最小值问题在许多实际应用中，我们常常需要确定一个函数的最大值或最小值。
而求解函数的最大值或最小值问题，可以转化为求解一元二次方程的实根问题。
考虑一个抛物线函数 y = ax^2 + bx + c，其中a不等于0。
当a大于0时，抛物线开口向上，此时函数的最小值为抛物线的顶点坐标。
当a小于0时，抛物线开口向下，此时函数的最大值为抛物线的顶点坐标。
通过将函数求导，我们可以求解出函数的极值点，进而确定函数的最大值或最小值。
而求解函数的极值点的过程，实际上就是求解一元二次方程的实根。
一元二次方程与实际问题
一元二次方程与实际问题一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a≠0，x是未知数，a、b、c是已知的实数常数。
它在数学中被广泛应用，尤其在解决实际问题时，具有重要的意义。
一元二次方程与实际问题的关联在于它可以描述许多物理、经济、工程和自然科学现象。
下面将介绍一些常见的实际问题，并用一元二次方程解决它们。
1. 自由落体问题：考虑一个物体从高度h自由落下，并以初速度为0的条件下落。
重力以加速度g=9.8m/s²的恒定速度使物体加速下落。
通过运用运动学公式，可以将物体的下落时间t与下落距离h之间的关系表示为：h=gt²/2。
整理得到ht²-2h=0，这是一个一元二次方程。
通过求解该方程，可以得到物体下落的时间和下落的距离。
2. 抛物线轨迹问题：许多物理和运动问题都涉及抛物线轨迹。
例如，一个抛射物体的运动轨迹可以用一元二次方程来描述。
给定抛射角度θ和初速度v，可以得到抛射物体的运动轨迹方程y=x*tanθ - (g*x²) /(2v²*cos²θ)。
这是一个一元二次方程，其中x表示水平方向的距离，y表示竖直方向的高度。
通过解这个方程，可以计算出物体在不同时间和位置的高度。
3. 经济成本问题：一元二次方程也可以用于经济领域的成本分析。
例如，考虑一个企业的总成本函数C(x)=ax²+bx+c，其中x表示生产的数量，a、b、c是已知的实数常数。
通过求解C'(x)=0，即求解一阶导数为零的方程，可以找到企业的最低成本点。
这个点对应的x值就是企业的最优生产数量。
以上只是一些例子，实际应用一元二次方程的问题非常广泛。
通过将实际问题转化为数学模型，应用一元二次方程的解法，可以更好地理解和解决各种现实问题。
一元二次方程的应用(2)
教学过程复习预习1.列一元二次方程解应用题的一般步骤(1)列一元二次方程解决实际问题的关键是由已知条件确定等量关系.(2)列一元二次方程解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量之间的数量关系)；设(直接方法或间接方法设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中分析的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验)；验（检验所求方程的解能否保证满足实际问题中的存在意义）答(写出所求问题答案).2.几何面积问题三角形面积=底乘高的一半；正方形面积=边长的平方；矩形的面积=长乘宽；不规则图形面积要转化为规则的图形面积来求。
二知识讲解考点：列方程解实际问题的三个重要环节：一是全方面审题；二是把分析问题中的数量关系，并列出等量关系式；三是正确求解方程并检验方程的根是否符合实际意义。
例题精析【例题1】【题干】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN 最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．【答案】解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．【解析】考查一元二次方程的几何面积应用问题，已知矩形面积求满足条件的长和宽的优化设计；围墙MN最长可利用25m是解决本题的易错点；矩形周长的长、宽关系是解决本题的关键．【例题2】【题干】某住宅小区在住宅建设时留下一块1798平方米的矩形空地，准备建一个矩形的露天游泳池，设计如图所示，游泳池的长是宽的2倍，在游泳池的前侧留一块5米宽的空地，其它三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带（1）请你计算出游泳池的长和宽。
（2）已知贴1平方米瓷砖需费用50元，若游泳池深3米，现要把池底和池壁（共5个面）都贴上瓷砖，共需要费用多少元？【答案】解：（1）设游泳池的宽为x米，则长为2x米，（2x+2+5+1）(x+2+2+1+1)=1798整理，得：解得：（不合舍去）由得∴游泳池的长为50米，宽为25米。
实际问题与一元二次方程----面积、体积问题
探究3
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中
央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果
ห้องสมุดไป่ตู้
27
要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之
一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设
计四周边衬的宽度? 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中
解法一:设央正的中矩央形的两矩边形之两比边也分为别9:为7 9xcm，7xcm
即
2
x2-10x+30=0
这里a=1,b=－10,c=30,
b2 4ac (10)2 4130 20 0
∴此题无解.
∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.
例2：某校为了美化校园,准备在一块长32米, 宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余 下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在 有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两 种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分 别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.
2)与直角三角形有关的问题：直角三角形两直角 边的平方和等于斜边的平方是
这类问题的等量关系，即用勾股定理列方程。
巩固练习： 如图，一块长方形铁板，长是宽的2倍，
如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形， 然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子， 盒子的容积是3000cm，求铁板的长和宽。
问题 2、如图，在长为 10cm，宽为 8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形 （图中阴影部分）面积是原矩形面积的 80％，求所截去小正 方形的边长？
实际问题与一元二次方程 （二）
实际问题与一元二次方程（二）
面积、体积问题
复习：列方程解应用题有哪些步骤
§17.4一元二次方程的应用 (2)
一、分析：审题找等量关系
二、步骤①设元，②列方程，
③解方程并检验，④写答句．
预设：
生答1：已知量是120米长的铁栅栏米围长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边.未知量是求长方形的两条邻边的长.
生答2：长×宽＝面积
预设：
与第一问类似地解决.
（2）根据题意，得方程
=1800.
整理得 .
解得： .
经检验， 都符合实际意义.
一块长方方形绿地的面积为1200平方米，并且长比宽多10米，那么长和宽各为多少米？
问1：我们通过什么步骤列出方程的？
解：设这块长方形绿地的宽为 米，则长为（ +10）米.
根据题意，得方程
.
整理，得 +10 -1200=0.
即（ -30）( +40)=0.
解得 1=30， 2=-40.
问2：可以直接写答句吗？
当 =30时， =60.
答：长方形的两条邻边的长分别是30米和60米.
预设：
根据题意列出的方程无实数解.
预设：
1800平方米.
同学板演，其他同学独立完成.
师生共同对板演问题进行评价.
预设：
本月产值=上月产值+上月产值×月增长率.
万元
万元
预设：
降低1次后的值是 (1- ),
降低2次后的值是 (1- )2,……
学生由一元一次方程的应用题知识较易理解应用题还要检验实际意义.
学生如果回答不够完整互相补充完成.
感受列方程解应用题的步骤.
强调方程的根是否符合实际意义.
学生口答完成.
若过程不完整学生互相纠正.
也可分小组进行讨论.
这个问题在课堂上可以点到为止，留给学生一个悬念.
一元二次方程的应用2
一元二次方程复习课（二）复习目标：1.能熟练列一元二次方程解增长率问题、面积问题和利润问题；2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
3.体会数学来源于实践，又反过来作用于实践，增强用数学的意识。
重点难点：重点：根据实际问题，寻找相等关系，从而列出方程，解决实际问题；难点：等量关系的寻找；复习过程：一、课前预习：解一元二次方程应用题的一般步骤：（1）审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系；（2）设：设未知数，直接和间接两种设法，因题而异；（3）列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式相等关系中的各个量，即方程；（4）解：求出所列方程的解；（5）检验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；（6）答：写出答案。
二、课上探究：环节一：自主整理1.某工厂1月份的产值是5万元，3月份的产值达到7.2万元，这两个月的产值的平均增长率是多少？2.学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的自行车棚。
一边利用图书馆的后墙（墙长18米），并利用已有总长为25米的铁围栏。
问自行车棚的长和宽各为多少？环节二：交流提升：某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件。
后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加10件。
要获得2160元的利润每件应降价多少元？分析：本题中的等量关系是：一天获得的总利润＝___________________________。
若设每件降价x元，那么每件的利润是____________，每天可售出__________件，每天的利润为______________。
可列方程并求解。
环节三：经验交流：针对上面题目出现的问题，小组内交流一下，解相关类型的题目时应注意些什么？还存在什么疑惑？三、达标测验：1.某工厂1月份生产零件2万个，第一季度共生产零件7.98万个，若每月的增长率都是x，依题意可列方程_________________________________。
《用一元二次方程解决问题(2)》参考课件
学习目标：
会根据具体问题中的数量关系列出一元二次 方程解决有关实际问题中的利润问题，能检验所 得的结果是否符合实际意义。
一、预习尝试：
某商场从厂家以每件80元的价格购进一批衬衫, 若每件的售价为120元，则可卖出200件， 商若场每全件卖部衬一售衫件出售衬这价衫批 降的衬1利元衫润，，是则则多每总少件利？衬润衫是的多利少润？为多少？ 若每件衬衫售价降2元，则每件衬衫的利润为多少？ 若每件衬衫售价降3元，则每件衬衫的利润为多少？
(2)根据:“如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游 费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元”
a.设的x人,比30人多了多少人？（x－30）人 b.降了多少元? 10(x-30)元 c.实际人均费用是多少? [800－10(x－30)]元 5.本题实际意义是:人均旅游费用不得低于500元.
3.这个问题的等量关系是什么?： 首先知道总费用是28000元 即有等量关系“人均费用×人数=28000元”
4.人数可设未知数x人,人均费用呢? (1)根据:“如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元”
则总费用不超过30×800=24000＜28000;而现用 28000元,所以人数应超过30人
课堂练习:
1、某种服装，每件利润为30元时,平均每 天可销售20件，若每件降价1元，则每天可 多售6件。如果每天要盈利1600元，每件 应降价多少元？
2、某商店经销一批小家电,每个小家电成本 40元,经市场预测,定价为50元时,可销售200 个,定价每增加1元,销售量将减少10个,如果 商店进货后全部销售完,赚了2000元,问该小 家电定价是多少?
解: 设这次旅游可以安排x人参加,根据题意得: [800－10(x－30)]·x = 28000
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实际问题一元二次方程的应用（二）
教学目标：掌握利润类、数字类、几何动态类一元二次方程，并嫩根据题意解决这类问题
教学重、难点：能找到等量关系，准确列出方程
典型例题分析：
类型一：利润问题：总利润=单件利润*销量
例1：某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3圆；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
练习：商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元. 据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
例2：某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
练习：
1、爱家超市将进货单价为40元的商品，按50元销售时，能卖出500个，已知该商品每涨1元钱就少卖10个。
为了赚8000元的利润，售价应定为多少元？
2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，经量减少库存，商场决定适当的降低售价，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？
例3：某商户以2元/千克的价格，购进一批小西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该商户决定降价出售，经调查发现，这种小西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外每天的房租等固定成本共24元，该商户要想每天盈利200元，应该将每千克的小西瓜的售价降低多少元？
类型二：数字问题
例1：有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
练习：两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是多少？
例2：一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的十位数字与个位数字对调后，所得的新两位数与原两位数乘积为736，求原两位数。
练习：
1、有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字之和的 3倍刚好等于这个两位数。
求这个两位数。
2、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008，求调换位置后得到的两位数。
3、有一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字的和是8。
如把十位上的数字和个位上的数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数，就得到1855。
求原来的两位数。
类型三：几何动态问题
例1：已知：如图3-9-3所示，在△ABC 中，cm 7cm,5,90==︒=∠BC AB B .点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.（1）如果Q P ,分别从B A ,同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2
？（2）如果Q P ,分别从B A ,同时出发，那么
几秒后，PQ 的长度等于5cm ？（3）在（1）中，△PQB 的面积能否等于7cm 2?说明理由.
练习：如图（a ）、（b ）所示，在△ABC 中∠B=90°，AB=6cm ，BC=8cm ，点P 从点A•开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度运动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度运动．
（1）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过几秒钟，使S △PBQ =8cm 2．
（2）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，并且P 到B 后又继续在BC 边上前进，Q 到C•后又继续在CA
边上前进，经过几秒钟，使△PCQ 的面积等于12.6cm 2．（友情提示：过点Q•作DQ ⊥CB ，垂足为D ，则：DQ CQ AB AC
=） (a)B A
C
Q
P (b)B A C
Q D
P
课后作业：
1、（永州）我市某县为创建省文明卫生城市，计划将城市道路两旁的人行道进行改造，经调查可知，若该工程由甲工程队单独来做恰好在规定时间内完成；若该工程由乙工程队单独完成，则需要的天数是规定时间的2倍，若甲、乙两工程队合作6天后，余下的工程由甲工程队单独来做还需3天完成．
（1）问该县要求完成这项工程规定的时间是多少天？
（2）已知甲工程队做一天需付给工资5万元，乙工程队做一天需付给工资3万元．现该工程由甲、乙两个工程队合作完成，该县准备了工程工资款65万元．请问该县准备的工程工资款是否够用？
2、（广州）为了拉动内需，广东启动“家电下乡”活动．某家电公司销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在启动活动前一个月共售出960台，启动活动后的第一个月销售给农户的Ⅰ型和Ⅱ型冰箱的销量分别比启动活动前一个月增长30%、25%，这两种型号的冰箱共售出1228台．
（1）在启动活动前的一个月，销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为多少台？
（2）若Ⅰ型冰箱每台价格是2298元，Ⅱ型冰箱每台价格是1999元，根据“家电下乡”的有关政策，政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴，问：启动活动后的第一个月销售给农户的1228台Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱，政府共补贴了多少元（结果保留2个有效数字。