探究平行线中的动点问题
平行线动点问题的解题技巧
平行线动点问题的解题技巧平行线动点问题是初中数学中常见的一种几何题型，也是高中数学中的重要考点之一。
这类问题常涉及到平行四边形、三角形等图形，需要运用多种定理和方法进行解题。
本文将从以下几个方面详细介绍平行线动点问题的解题技巧。
一、基本概念在介绍解题技巧之前，我们首先需要了解一些基本概念。
平行线指在同一个平面内不相交的两条直线，它们的斜率相等；动点指随着某种规律不断运动的点。
在平行线动点问题中，我们通常需要确定某个动点在运动过程中所处的位置或满足什么条件时两直线之间的距离最短等。
二、解题思路对于平行线动点问题，我们可以采用以下步骤进行分析和求解：1.画图：根据题目所给条件画出图形，并标出所需求的点或长度。
2.列出已知和未知量：根据图形标注出已知量和未知量，并列出方程或条件式。
3.确定关系式：利用几何定理或代数方法推导出各个量之间的关系式。
4.代入求解：将已知量代入关系式中，求解未知量。
三、常用定理和方法1.平行线的性质：平行线在同一平面内，它们的斜率相等。
2.三角形内角和定理：任何一个三角形的三个内角之和等于180度。
3.全等三角形的性质：两个全等的三角形对应边长相等，对应角度相等。
4.相似三角形的性质：两个相似的三角形对应边长成比例，对应角度相等。
5.勾股定理：直角三角形斜边上的正方形面积等于两腰上各自正方形面积之和。
6.垂线定理：在平面直角坐标系中，点(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离为|Ax+By+C|/√(A²+B²)。
7.向量法求解：通过向量法求解可以简化计算过程。
利用向量叉积可判断两条线段是否相交，在一些特殊情况下可以极大地减少计算时间。
四、实例分析下面我们以一个具体例子来说明平行线动点问题的解题技巧：已知ABCD为矩形，P、Q分别在AB、CD上滑动，并且AP=PQ=QB。
若M为AC与QP交点，求证：BM=2AM。
解题思路：1.画图：如图所示，画出矩形ABCD和动点P、Q的运动轨迹。
人教版七年级下数学拔高专题(一)平行线中的规律探究.docx
人教版七年级下数学 拔高专题(一)平行线中的规律探究教学目标1. 掌握平行线中从一般到特殊的较复杂图形问题中的规律.2. 掌握平行线屮的动点问题.教学过程一、基本模型构建AP.CP 分别为角平分线，ZP 的度数是 90° . 3.ZBAP|： ZBAP 2=ZDCPj ： ZDCP 2= m:n,求ZP|：ZP2.= mx n.常 见 模 型P A BC D图①D图③ B A B P C D图④DB P\D二、拔高探究探究点一：探究平行线中常见模型中的角度关 例1： 1己知如图，AB 〃CD,试解决下歹lj 问题：C (1) (2) (3) (4) Zl + Z2=Zl+Z2+Z3= _______ :Z1+Z2+Z3+Z4二_______ : 试探究 Zl + Z2+Z3+Z4+-+Zn=A _____B E 系N 、 ___ C D解析：(1) VAB^CD, .-.Zl+Z2=180° (两直线平行，同旁内角互补)；(2) 过点 E 作一条直线 EF 平行于 AB, VAB/7CD, VAB//EF, CD/7EF ，•: Zl + ZAEF=180°・・・Z1 + Z2+Z3=36()° ；(3)过点 E 、F 作EG 、FH 平行于 AB, ・.・AB 〃CD, ・.・AB 〃EG 〃FH 〃CD, A Zl + ZAEG=180° , ZGEF+ZEFH=180° , ZHFC+Z4=180° ； AZ1+Z2+ Z3+Z4=540° ；(4) 屮，根据上述规律，显然作(n ・2)条辅助线，运用(ml)次两条直线平行，同旁内角互补.即町得到n 个角的和是 180° (n-1).答案：(1) 180° ； (2) 360° ； (3) 540° ； 180° (n-1).【变式训练】1・(2()15・汉阳区期中)已知：如图，AB 〃CD, E, F 分别是AB,J=LZBAF=2ZEAF, ZCDF=2ZEDF.(1) 判定ZBAE, ZCDE 与ZAED 之间的数最关系，并证明你的结论；(2) 直接写IIUAFD 与ZAEDZ 间的数量关系.解：(1)过点 E 作 EG 〃AB, ・.・AB 〃CD, ・・.AB 〃EG 〃CD,,ZFEC+Z3=180° ,AZAEG=ZBAE, ZDEG=ZCDE,T Z AED= Z AEG+ ZDEG, ZAED=ZBAE+ZCDE ；(2)同(1)可得ZAFD=ZBAF+ZCDF,・.* ZBAF=2ZEAF, ZCDF=2ZEDF, 3 33•: ZBAE+ZCDE=- ZBAF+- ZCDF,ZAED=- ZAFD ・2 22上面四个图中,ZP, ZA,ZB 的等量关系为:①ZP 二ZA+ZC ； ®ZP=ZC-ZA ； ZP 二ZA ・ZC ；④ZA+ZP+ZC 二360° •【教师总结】无论平行线中的何种问题，都可转化到基木模型屮去解决，把复杂的问题分解到简单模型中，问题便迎 刃而解.探究点二探究动态中平行线中的角度关系类型一点分别在两条平行线之间、一侧判断角度之间的关系 例2：如图，已知直线h 〃12,直线13和直线h 、12交于点C 和D, 在C 、D Z 间冇一点P,如果P 点在C 、D Z 间运动时，问ZPAC, ZAPB, ZPBD Z 间的关系是否发生变化.若点P 在C 、D 两 点的外侧运动时（P 点与点C 、D 不重合），试探索ZPAC, ZAPB, ZPBDZ 间的关系又是如何?解：如图①，当P 点在C 、DZ 间运动时，ZAPB 二ZPAC+ZPBD.理由如下:过点P 作PE 〃h ，・・・1】〃12,・・・PE 〃12〃1|, ・・・ZPAC=Z1,ZPBD=Z2, ・・・ZAPB 二Z1+Z2=ZPAC+ZPBD ； 如图②，当点P 在C 、D 两点的外侧运动，且在h 上方时，ZPBD 二ZPAC+ZAPB.理由如下：Th 〃b ，.・.ZPE8ZPBD,・・• ZPEC=ZPAC+ZAPB,・•・ ZPBD 二ZPAC+ZAPB.如图③，当点P 在C 、D 两点的外侧运动,在£下方时，ZPAC 二ZPBD+ZAPB.理由如下：V1|/Z12, A ZPED=ZPAC,•・・ ZPED 二ZPBD+ZAPB, ZPAC=ZPBD+ZAPB.【教师总结】画岀图形，点在两条宜线之间、两侧，归根到基木模型一. 类型二点在平行线上移动例 3：如图，直线 CB 〃OA, ZC=ZOAB=100° , E 、F 在 CB ±，且满足ZFOB=ZAOB,OE 平分 ZCOF.（1） 求ZEOB 的度数；（2） 若平行移动AB,那么ZOBC ： ZOFC 的值是否随Z 发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变,求出这个比值.（3）在平行移动AB 的过程屮，是否存在某种情况，使ZOEC=ZOBA?若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.解：(1)・.・CB 〃OA, ・・・ZAOC=18()o ・ZC=18()o ・l()()°=8()。
初一数学下册动点问题
初一数学下册中的动点问题张文彩初中一年级数学下册中有关几何内容是相交线与平行线，初一上册数学几何内容是点，线，面，体，还有角倍分的问题。
所以在初一阶段有关动点的问题相对简单，很多都与平行线有关，有时与平面直角坐标系结合一起，目的是考察学生的观察能力与思维能力。
下面根据平时的练习与本人的经验对初一数学下册出现的动点问题进行简单的总结，为初二初三年级研究复杂的动点问题打下坚实的基础。
动点在数轴上有规律的运动。
一、平面直角坐标中的动点。
在平面直角坐标系中根据平移的性质：平移前后的线段互相平行且相等，前后的线段就构成了平行四边形的一组对边，经常就会提出平行四边形的面积问题，三角形面积问题，由平行线可以设计一些有关角度之间关系的问题。
例1.如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ． (1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积 (2)在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使S △PAB =S 四边形ABDC ，若存在这样一点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由．(3)在x 轴上是否存在一点F ，使得三角形DFC 的面积是三角形DFB 面积的2倍，若存在请求出点F 的坐标；若不存在请说明理由。
ABDCS 四边形P D CBAOxy（4）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合），设△CDP 与△BOP 的面积和为S ，则S 的取值范围是什么？（5）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合）给出下列结论：解析：（1）根据平移规律：左右平移横变化，左减右加；上下平移纵变化，上加下减。
A （－1，0），向上平移2个单位后得到坐标为：（-1,2），再向右平移1个单位，得到点C （0,2）；B 的坐标分别为（3，0），向上平移2个单位后得到坐标现（3,2），再向右平移1个单位得到点D （4,2）。
平行线 动点问题
第四章动点问题姓名_______________ 1.如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，其中a、b、c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+=0．（1）求a、b、c的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m ，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形ABOP的面积不小于△AOP面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a=+﹣1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．3.在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2）（见图1），且|2a+b+1|+=0（1）求a、b的值；（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=△ABC的面积，求出点M的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上的一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．4如图，已知点A（﹣m，n），B（0，m），且m、n 满足+（n﹣5）2=0，点C在y轴上，将△ABC沿y轴折叠，使点A落在点D处．（1）写出D点坐标并求A、D两点间的距离；（2）若EF平分∠AED，若∠ACF﹣∠AEF=20°，求∠EFB的度数；（3）过点C作QH平行于AB交x轴于点H，点Q在HC的延长线上，AB交x轴于点R，CP、RP分别平分∠BCQ和∠ARX，当点C在y轴上运动时，∠CPR的度数是否发生变化？若不变，求其度数；若变化，求其变化范围．5.在平面直角坐标系中，点A（a，b）是第四象限内一点，AB⊥y轴于B，且B（0，b）是y轴负半轴上一点，b2=16，S△AOB=12．（1）求点A和点B的坐标；（2）如图1，点D为线段OA（端点除外）上某一点，过点D作AO垂线交x轴于E，交直线AB于F，∠EOD、∠AFD的平分线相交于N，求∠ONF的度数．（3）如图2，点D为线段OA（端点除外）上某一点，当点D在线段上运动时，过点D作直线EF交x轴正半轴于E，交直线AB于F，∠EOD，∠AFD的平分线相交于点N．若记∠ODF=α，请用α的式子表示∠ONF的大小，并说明理由．6.如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）2+|a﹣b+6|=0，线段AB交y 轴于F点．（1）求点A、B的坐标．（2）点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图2，求∠AMD的度数．（3）如图3，（也可以利用图1）①求点F的坐标；②点P为坐标轴上一点，若△ABP的三角形和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标．7.已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC=2，过点C作直线l∥PQ，点D在点C的左边且CD=3．（1）直接写出△BCD的面积．（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，求证：∠CEF=∠CFE．（3）如图③，若∠ADC=∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．。
初中数学相交与平行-动点问题含答案
相交与平行-动点问题一．解答题（共20小题）1．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG ＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．2．如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB＝100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ ∥EC交射线CD于点Q，连结CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．（1）若点P，F，G都在点E的右侧．①求∠PCG的度数；②若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ 的度数；若不存在，请说明理由．3．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝______°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB＝120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为______秒．4．如图1，已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F，AB∥CD，EM平分∠BEF，FM平分∠EFD（1）求证：∠EMF＝90°．（2）如图2，若FN平分∠MFD交EM的延长线于点N，且∠BEN与∠EFN的比为4：3，求∠N的度数．（3）如图3，若点H是射线EA之间一动点，FG平分∠HFE，过点G作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．5．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．（1）求证：AB∥DE；（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由．6．已知：∠MON＝48°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°（1）如图1，若AB∥ON，则：①∠ABO的度数是______°；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝______°；③当∠BAD＝∠BDA时，x＝______°．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．7．如图，两条射线AM∥BN，线段CD的两个端点C、D分别在射线BN、AM上，且∠A ＝∠BCD＝108°．E是线段AD上一点（不与点A、D重合），且BD平分∠EBC．（1）求∠ABC的度数．（2）请在图中找出与∠ABC相等的角，并说明理由．（3）若平行移动CD，且AD＞CD，则∠ADB与∠AEB的度数之比是否随着CD位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．8．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动时，∠APB：∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；（3）当点P运动到某处时，∠ACB＝∠ABD，求此时∠ABC的度数．9．已知：如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点，点P在直线AB上运动（不与A、B两点重合）．（1）如图1，当点P在线段AB上运动时，总有：∠CPD＝∠PCA+∠PDB，请说明理由；（2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间有怎样的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间又有怎样的数量关系（只需直接给出结论）？10．如图①，已知直线l1、l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在直线l3上有动点P（点P与点C、D不重合），点A在直线l1上，点B在直线l2上．（1）问题发现：如果点P在C、D之间运动时，且满足∠1+∠3＝∠2，请写出l1与l2之间的位置关系______；（2）拓展探究：如图②如果l1∥l2，点P在直线l1的上方运动时，试猜想∠1+∠2与∠3之间关系并给予证明；（3）问题解决：如果l1∥l2，点P在直线l2的下方运动时，请直接写出∠P AC、∠PBD、∠APB之间的关系．11．已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE＝90°，∠DEO＝30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE＝______．（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD＝∠AOE时，求∠BOD的度数．（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．12．如图①②所示，将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起，像图①②那样放置．（1）若∠BOC＝60°，如图①，猜想∠AOD的度数；（2）若∠BOC＝70°，如图②，猜想∠AOD的度数；（3）猜想∠AOD和∠BOC的关系，并写出理由．13．如图，是我们生活中经常接触的小刀，由刀片和刀柄组成，在刀柄ABCD中，∠A和∠B都是直角，在刀片EFGH中，EF∥GH．转动刀片时会形成∠1、∠2，试判断∠1与∠2的度数和是一个定值吗？若是，请求出∠1与∠2的度数和；若不是，请说明理由14．已知直线a∥b，点A在直线a上，点B、C直线b上，点D在线段BC上．（1）如图，AB平分∠MAD，AC平分∠NAD，DE⊥AC于E，求证：∠1＝∠2；（2）若点F为线段AB上不与A、B重合的一动点，点H在AC上，FQ平分∠AFD交AC于Q，设∠HFQ＝x°，（此时点D为线段BC上不与点B、C重合的任一点），问当α、β，x之间满足怎样的等量关系时，FH∥a？并以此为条件证明FH∥a．15．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转至如图③，当∠CON＝5∠DOM 时，MN与CD相交于点E，请你判断MN与BC的位置关系，并求∠CEN的度数（3）将图①中的三角板OMN绕点O按每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，三角板MON运动几秒后直线MN恰好与直线CD平行．（4）将如图①位置的两块三角板同时绕点O逆时针旋转，速度分别每秒20°和每秒10°，当其中一个三角板回到初始位置时，两块三角板同时停止转动．经过______秒后边OC与边ON互相垂直．（直接写出答案）16．将一副三角板如图所示位置摆放．（1）直接写出∠AOC与∠BOD的大小关系，不需证明；（2）图1中的三角板AOB不动，将三角板COD绕点O旋转至CO∥AB（如图2），判断DO与AB的位置关系，并证明．（3）在（2）的条件下，三角板COD绕点O旋转的过程中，能否使CD⊥AB？若能，求出此时∠AOC的度数；若不能，请说明理由．17．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．（1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？解：由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为______，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为______．（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝______．②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2，与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；此次类推，则∠EPF与∠EQ2018F 满足怎样的数量关系？（直接写出结果）18．如图，已知OM⊥ON，垂足为O，点A、B分别是射线OM、ON上的一点（O点除外）．（1）如图①，射线AC平分∠OAB，是否存在点C，使得BC所在的直线也平分以B为顶点的某一个角α（0°＜α＜180°），若存在，求∠ACB的度数；若不存在，请说明理由；（2）如图②，P为平面上一点（O点除外），∠APB＝90°，且OA≠AP，分别画∠OAP、∠OBP的平分线AD、BE，交BP、OA于点D、E，试简要说明AD∥BE的理由；（3）在（2）的条件下，随着P点在平面内运动，AD、BE的位置关系是否发生变化？请利用图③画图探究，如果不变，直接回答；如果变化，画出图形并直接写出AD、BE 位置关系．19．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC的度数为x，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（1）当x＝19°48′，求∠EOC与∠FOD的度数．（2）当x＝60°，射线OE、OF分别以10°/s，4°/s的速度同时绕点O顺时针转动，求当射线OE与射线OF重合时至少需要多少时间？（3）当x＝60°，射线OE以10°/s的速度绕点O顺时针转动，同时射线OF也以4°/s的速度绕点O逆时针转动，当射线OE转动一周时射线OF也停止转动．射线OE在转动一周的过程中当∠EOF＝90°时，求射线OE转动的时间．20．已知直线AB和CD交于O，∠AOC的度数为x，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（1）当x＝20°时，则∠EOC＝______度；∠FOD＝______度．（2）当x＝60°时，射线OE′从OE开始以10°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求至少经过多少秒射线OE′与射线OF′重合？（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间．相交与平行-动点问题参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．解：（1）如图1，过G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，∵MG⊥NG，∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，∵GK∥AB，AB∥CD，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝α，∵GK∥AB，∠BMG＝30°，∴∠MGK＝∠BMG＝30°，∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，∴∠GMP＝∠BMG＝30°，∴∠BMP＝60°，∵PQ∥AB，∴∠MPQ＝∠BMP＝60°，∵ND平分∠GNP，∴∠DNP＝∠GND＝α，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠QPN＝∠DNP＝α，∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α，∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°；（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，∴∠AME＝2x，∵GK∥AB，∴∠MGK＝∠BMG＝x，∵ET∥AB，∴∠TEM＝∠EMA＝2x，∵CD∥AB∥KG，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝y，∴∠MGN＝x+y，∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，∵ET∥AB∥CD，∴ET∥CD，∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，∵2∠MEN+∠G＝105°，∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，∴x＝25°，∴∠AME＝2x＝50°．2．解：（1）①∵∠CEB＝100°，AB∥CD，∴∠ECQ＝80°，∵∠PCF＝∠PCQ，CG平分∠ECF，∴＝∠ECQ＝40°；②∵AB∥CD∴∠QCG＝∠EGC，∠QCG+∠ECG＝∠ECQ＝80°，∴∠EGC+∠ECG＝80°又∵∠EGC﹣∠ECG＝40°，∴∠EGC＝60°，∠ECG＝20°∴∠ECG＝∠GCF＝20°，∠PCF＝∠PCQ＝（80°﹣40°）＝20°，∵PQ∥CE，∴∠CPQ＝∠ECP＝60°；（2）设∠EGC＝3x，∠EFC＝2x，则∠GCF＝3x﹣2x＝x，①当点G、F在点E的右侧时，则∠ECG＝∠PCF＝∠PCD＝x，∵∠ECD＝80°，∴4x＝80°，解得x＝20°，∴∠CPQ＝3x＝60°；②当点G、F在点E的左侧时，则∠ECG＝∠GCF＝x，∵∠CGF＝180°﹣3x，∠GCQ＝80°+x，∴180°﹣3x＝80°+x，解得x＝25°，∴∠FCQ＝∠ECF+∠ECQ＝50°+80°＝130°，∴，∴∠CPQ＝∠ECP＝65°﹣50°＝15°．3．解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，∴∠BAN＝180°×＝60°，故答案为：60；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜90时，如图1，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD∴2t＝1•（30+t），解得t＝30；②当90＜t＜150时，如图2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA∴∠PBD+∠CAN＝180°∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110，综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）设灯A射线转动时间为t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠CBP＝t，又∵∠ACB＝120°∴∠ACB＝∠CAN+∠CBP＝120°＝180°﹣2t+t，解得：t＝60，此时AC与BC共线，不符合题意，或120＝2t﹣180+t，解得t＝100，如图4中，当∠ACB＝120°时，∵∠ACB＝∠MAC+∠QBC，∴120°＝360°﹣2t+180°﹣t，∴t＝140，综上所述，满足条件的t的值为140或100．故答案为：140或100．4．解：（1）如图1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，∴∠FEM＝∠BEF，∠EFM＝∠DFE，∴∠FEM+∠EFM＝×180°＝90°，∴∠EMF＝90°．（2）如图2中，由题意可以假设：∠BEN＝4x，∠EFN＝3x，∵∠EMF＝90°，∠FEM＝∠MEB＝4x，∴∠EFM＝90°﹣4x，∴NFM＝∠NFD＝3x﹣（90°﹣4x）＝7x﹣90°，∵∠MFE＝∠MFD，∴90°﹣4x＝2（7x﹣90°），∴x＝15°，∴∠MFN＝15°，∴∠N＝90°﹣15°＝75°（3）如图3，∵GQ⊥FM，∴∠GFQ+∠FGQ＝180°﹣90°＝90°（三角形的内角和等于180°）．∴∠GFQ＝90°﹣∠FGQ．∵FG平分∠HFE，FM平分∠EFD，又∵∠GFQ＝∠GFE+∠QFE＝（∠HFE+∠EFD）＝∠HFD，∴∠HFD＝2∠GFQ．又∵AB∥CD，∴∠EHF+∠HFD＝180°，∴∠EHF＝180°﹣∠HFD＝180°﹣2∠GFQ＝180°﹣2（90°﹣∠FGQ）＝2∠FGQ，即无论点H在何处都有∠EHF＝2∠FGQ．5．解：（1）如图1，∵BC⊥AF于点C，∴∠A+∠B＝90°，又∵∠A+∠1＝90°，∴∠B＝∠1，∴AB∥DE．（2）如图2，当点P在A，D之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠BPG+∠EPG＝∠ABP+∠DEP；如图所示，当点P在C，D之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠BPG﹣∠EPG＝∠ABP﹣∠DEP；如图所示，当点P在C，F之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠EPG﹣∠BPG＝∠DEP﹣∠ABP．6．解：（1）如图1，①∵∠MON＝48°，OE平分∠MON，∴∠AOB＝∠BON＝24°，∵AB∥ON，∴∠ABO＝24°；②当∠BAD＝∠ABD时，∠BAD＝24°，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，∴∠OAC＝180°﹣24°×3＝108°；当∠BAD＝∠BDA时，∵∠ABO＝24°，∴∠BAD＝78°，∠AOB＝24°，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，∴∠OAC＝180°﹣24°﹣24°﹣78°＝54°，故答案为：①24°；②108，54；（2）如图2，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角．∵AB⊥OM，∠MON＝48°，OE平分∠MON，∴∠AOB＝24°，∠ABO＝66°，①当AC在AB左侧时：若∠BAD＝∠ABD＝66°，则∠OAC＝90°﹣66°＝24°；若∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣66°）＝57°，则∠OAC＝90°﹣57°＝33°；若∠ADB＝∠ABD＝66°，则∠BAD＝48°，故∠OAC＝90°﹣48°＝42°；②当AC在AB右侧时：∵∠ABE＝114°，且三角形的内角和为180°，∴只有∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣114°）＝33°，则∠OAC＝90°+33°＝123°．综上所述，当x＝24、33、42、123时，△ADB中有两个相等的角．7．解：（1）∵AM∥BN，∴∠A+∠ABC＝180°．∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣108°＝72°．（2）与∠ABC相等的角是∠ADC、∠DCN．∵AM∥BN，∴∠ADC＝∠DCN，∠ADC+∠BCD＝180°．∴∠ADC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣108°＝72°．∴∠DCN＝72°．∴∠ADC＝∠DCN＝∠ABC．（3）不发生变化．∵AM∥BN，∴∠AEB＝∠EBC，∠ADB＝∠DBC．∵BD平分∠EBC，∴∠DBC＝∠EBC，∴∠ADB＝∠AEB，∴＝．8．解：（1）∵AM∥BN，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°，又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝（∠ABP+∠PBN）＝∠ABN＝60°．（2）不变．理由如下：∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，又∵BD平分∠PBN，∴∠ADB＝∠DBN＝∠PBN＝∠APB，即∠APB：∠ADB＝2：1．（3）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，又∵∠ACB＝∠ABD，∴∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝∠CBN﹣∠CBD＝∠DBN，∴∠ABC＝∠CBP＝∠DBP＝∠DBN，∴∠ABC＝∠ABN＝30°．9．解：（1）证明：如图1，过点P作PE∥a，则∠1＝∠CPE．∵a∥b，PE∥a，∴PE∥b，∴∠2＝∠DPE，∴∠3＝∠1+∠2，即∠CPD＝∠PCA+∠PDB；（2）∠CPD＝∠PCA﹣∠PDB．理由：如图2，过点P作PE∥b，则∠2＝∠EPD，∵直线a∥b，∴a∥PE，∴∠1＝∠EPC，∵∠3＝∠EPC﹣∠EPD，∴∠3＝∠1﹣∠2，即∠CPD＝∠PCA﹣∠PDB；（3）∠CPD＝∠PDB﹣∠PCA．证明：如图3，设直线AC与DP交于点F，∵∠PF A是△PCF的外角，∴∠PF A＝∠1+∠3，∵a∥b，∴∠2＝∠PF A，∴∠2＝∠1+∠3，∴∠3＝∠2﹣∠1，即∠CPD＝∠PDB﹣∠PCA．10．证明：（1）如图①，延长BP交AC于E，∵∠2＝∠1+∠3，∠2＝∠1+∠AEP，∴∠3＝∠AEP，∴l1∥l2，故答案为：l1∥l2；（2）如图②所示，当点P在线段DC的延长线上时，∠1+∠2＝∠3，理由是：∵l1∥l2，∴∠CEP＝∠3∵∠CEP＝∠1+∠2，∴∠1+∠2＝∠3；（3）如图③所示，当点P在直线l2的下方运动时，∠APB+∠PBD＝∠P AC．理由：过点P作PF∥l1，∠FP A＝∠1．∵l1∥l2，∴PF∥l2，∴∠FPB＝∠3，∴∠FP A＝∠2+∠FPB＝∠2+∠3；即∠APB+∠PBD＝∠P AC．11．解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，又∵∠BOC＝50°，∴∠COE＝40°；（2）∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOE＝∠COA，∵∠EOD＝90°，∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，∴∠COD＝∠DOB，∴OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）设∠COD＝x°，则∠AOE＝4x°，∵∠DOE＝90°，∠BOC＝50°，∴5x＝40，∴x＝8，即∠COD＝8°∴∠BOD＝58°．（4）如图，分两种情况：在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°，5t＝140，t＝28；当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°，5t＝320，t＝64．所以当t＝28秒或64秒时，OE与直线OC重合．综上所述，t的值为28或64．故答案为：40°．12．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．又∵∠COD＝90°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝30°+90°＝120°．（2）∵∠AOB+∠COD+∠BOC+∠AOD＝360°，∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∠BOC＝70°，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°．（3）猜想：∠AOD+∠BOC＝180°．理由：如图①∵∠AOD＝∠AOC+∠COD＝∠AOC+90°，∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣∠BOD，∠AOC＝∠BOD，∴∠AOD+∠BOC＝180°．13．解：∠1与∠2的度数和是一个定值，∠1+∠2＝90°．如图，过点B作BP∥EF，则∠1＝∠ABP．∵EF∥GH，∴BP∥GH，∴∠2＝∠PBC，∵∠ABP+∠PBC＝90°，∴∠1+∠2＝90°．14．（1）证明：∵a∥b，∴∠2＝∠ABD．∵AB平分∠MAD，AC平分∠NAD，∴∠BAC＝90°．∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴AB∥DE，∴∠ABD＝∠1，∴∠2＝∠1；（2）解：当β﹣α＝4x时，FH∥a．理由：∵a∥b，∴∠α＝∠ABD．∵∠AFD是△BDF的外角，∴∠ABD+∠β＝∠AFD，即α+β＝∠AFD．∵FQ平分∠AFD交AC于Q，∴∠AFQ＝∠DFQ＝（α+β）．∵∠AFQ＝∠AFH+x＝∠DFH﹣x，∴∠DFQ﹣∠AFH＝2x．∵β﹣α＝4x，∴α+β﹣∠AFH＝β﹣α，∴∠AFH＝α，∴FH∥a．15．解：（1）在△CEN中，∠CEN＝180°﹣30°﹣45°＝105°；（2）如图②，∵∠CON＝5∠DOM∴180°﹣∠DOM＝5∠DOM，∴∠DOM＝30°∵∠OMN＝60°，∴MN⊥OD，∴MN∥BC，∴∠CEN＝180°﹣∠DCO＝180°﹣45°＝135°；（3）如图③，MN∥CD时，旋转角为90°﹣（60°﹣45°）＝75°，或270°﹣（60°﹣45°）＝255°，所以，t＝75°÷5°＝15秒，或t＝255°÷5°＝51秒；所以，在旋转的过程中，三角板MON运动15秒或51秒后直线MN恰好与直线CD平行．（4）MN⊥CD时，旋转角的角度差上90°，所以90°÷（20°﹣10°）＝9秒，故答案为：9．16．（1）解：如图1，∠AOC＝∠BOD，理由是：∵∠DOC＝∠AOB＝90°，∴∠DOC﹣∠AOD＝∠AOB﹣∠AOD，∴∠AOC＝∠BOD；（2）如图2，DO⊥AB，证明：∵CO∥AB，∠COD＝90°，∴∠NMD＝∠COD＝90°，∴DO⊥AB；（3）如图3，解：能使CD⊥AB，理由是：∵CD⊥AB，∴∠ANQ＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AQN＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠CQO＝∠AQN＝60°，∵∠C＝45°，∴∠AOC＝180°﹣∠CQO﹣∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．17．解：（1）如图1，过点P作PH∥AB，则∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，故答案为：∠EPF＝∠AEP+∠PFC；同理可得：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；（2）①∠EPF＝60°，则∠EQF＝150°，由（1）知∠PEA+∠PFC＝∠P＝60°，而∠PFC+2β＝180°，∠PEA+2α＝180°，故α+β＝150°＝∠EQF，故答案为150°；②如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，设：∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，则∠P＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2（α+β），∠Q＝α+β，即：∠EPF+2∠EQF＝360°；③同理可得：∠Q1＝（α+β），∠Q2＝（α+β），∠Q2018＝（）2018（α+β），故：∠EPF+22019•∠EQ2018F＝360°．18．解：（1）存在，有两种情况：①当BC平分∠ABO时，如图1，∵∠AOB＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∵AC平分∠BAO，BC平分∠ABO，∴∠BAC＝，∠ABC＝∠ABO，∴∠BAC+∠ABC＝（∠BAO+∠ABO）＝45°，∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°；②如下图，当CB平分∠ABN时，∵∠ABN＝90°+∠BAO，∵AC平分∠BAO，∴2∠ABE＝90°+2∠CAB，∴∠ABE＝45°+∠CAB，∴∠ACB＝∠ABE﹣∠CAB＝45°，综上，∠ACB的度数为45°或135°；（2）如图②，∵∠AOB＝∠P＝90°，∴∠OAP+∠OBP＝180°，∴∠OAP+∠OBP＝90°，∵AD平分∠OAP，BE平分∠OBP，∴∠OAD＝∠OAP＝90°﹣，∠OBE＝∠OBP，∵∠OBE+∠OEB＝90°，∴∠OEB＝90°﹣∠OBE＝90°﹣∠OBP，∴∠OAD＝∠OEB，∴AD∥BE；（3）∵∠AOB＝∠APB＝90°，∴点P一直在以AB为直径的圆上，当P在直径AB的上方时，如图2，有AD∥BE，当P在直径AB的下方时，如图3，有AD⊥BE，理由是：∵∠OAP＝∠OBP，∵AD平分∠OAP，BE平分∠OBP，∴∠P AD＝∠OAP，∠DBE＝∠OBP，∴∠P AD＝∠DBE，∵∠ADP＝∠BDG，∴∠APB＝∠AGB，∴AD⊥BE．19．解：（1）∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝90°，∵∠AOC＝x＝19°48′，∴∠EOC＝90°﹣19°48′＝89°60°﹣19°48′＝70°12′，∠AOD＝180°﹣19°48′＝160°12′，∵OF平分∠AOD，∴∠FOD＝∠AOD＝×160°12′＝80°6′；（2）当x＝60°，∠EOF＝90°+60°＝150°设当射线OE与射线OF重合时至少需要t秒，10t﹣4t＝360﹣150，t＝35，答：当射线OE与射线OF重合时至少需要35秒；（3）设射线OE转动的时间为t秒，由题意得：10t+90+4t＝360﹣150或10t﹣（360﹣150）+4t＝90或360﹣10t＝4t﹣120，t＝或或．答：射线OE转动的时间为t＝秒或秒或秒．20．解：（1）∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝90°，∵∠AOC＝x＝20°，∴∠EOC＝90°﹣20°＝70°，∠AOD＝180°﹣20°＝160°，∵OF平分∠AOD，∴∠FOD＝∠AOD＝＝80°；故答案为：70，80；（2）当x＝60°，∠EOF＝90°+60°＝150°设当射线OE'与射线OF'重合时至少需要t秒，10t+8t＝150，t＝，答：当射线OE'与射线OF'重合时至少需要秒；（3）设射线OE'转动的时间为t秒，由题意得：10t+90+8t＝150或10t+8t＝150+90或360﹣10t＝8t﹣150+90或360﹣10t+360﹣8t+90＝360﹣150，t＝或或或．答：射线OE'转动的时间为秒或秒或秒或秒．。
平行线之间的动点问题
1、(1)光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．(2)光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？(即求MN与水平线的夹角) (3)如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．(1)求证：AB∥CD；(2)如图2，由三角形内角和可知∠E=90°，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系？并证明；(3)如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，①当点Q在射线CD上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．②当点Q 在射线CD的反向延长线上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论，不需说明理由．明；(2)如图2，在(1)的条件下，AB的下方两点E，F满足∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数；(3)如图3，在前面的条件下，若P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP-∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值(1)求点B的坐标；(2)如图1，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1：4两部分，求点P的坐标；(3)如图2，M为x轴负半轴上一点，且∠CBM=∠CMB，N是x轴正半轴上一动点，∠MCN 的平分线CD交BM的延长线于点D，在点N运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．ABD，BE平分∠CBF．(1)直线AD与BC有何位置关系？请说明理由．(2)求∠DBE的度数．(3)若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC=∠ADB？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．6、已知直线l1∥l2，且l3、l4和l1、l2分别交于A、B、C、D四点，点P在直线AB上运动．设∠ADP=∠1，∠DPC=∠2，∠BCP=∠3．(1)如果点P在A、B两点之间时(如图)，探究∠1、∠2、∠3之间的数量关系．(要求说明理由)；(2)此时，若∠1=30°，∠3=40°，求∠2的度数；(3)如果点P在A、B两点外侧时，猜想∠1、∠2、∠3之间的数量关系(点P和A、B不重合)(直接写出结论)．上，且∠C=∠OAB=108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF．(1)请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由；(2)若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由．8、已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：(1)如图①，求证：OB∥AC．(2)如图②，若点E、F在线段BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．则∠EOC的度数等于_____；(在横线上填上答案即可)．(3)在(2)的条件下，若平行移动AC，如图③，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．(4)在(3)的条件下，如果平行移动AC的过程中，若使∠OEB=∠OCA，此时∠OCA度数等于_____．(在横线上填上答案即可)．9、AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ABC，∠ADC的平分线交于点E(不与B，D点重合)．∠ABC=n°，∠ADC=80°．(1)若点B在点A的左侧，求∠BED的度数(用含n的代数式表示)；(2)将(1)中的线段BC沿DC方向平移，当点B移动到点A右侧时，请画出图形并判断∠BED的度数是否改变．若改变，请求出∠BED的度数(用含n的代数式表示)；若不变，请说明理由．。
人教版七年级数学下册第五单元平行线中的动点问题教学设计
为了巩固学生对平行线中动点问题的理解和应用，作业布置将遵循分层设计、适度适量的原则，旨在让学生在课后能够自主复习、深化理解和提升解题能力。
1.基础作业：
-完成课本上相关的练习题，重点是对动点问题的基础知识和基本解题方法的运用。
-选择两道与平行线动点问题相关的题目，要求学生详细写出解题过程，包括问题的分析、模型的建立、方程的列出和求解步骤。
人教版七年级数学下册第五单元平行线中的动点问题教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解平行线的性质，特别是平行线之间的距离概念，并能够在实际情境中运用。
-学生能够识别平行线之间的距离，并运用到几何图形的求解中。
-学生能够运用平行线的性质解决实际问题，例如地图上的最短路径问题。
2.学会使用动点问题的解题方法，通过画图、列方程和求解等步骤，解决与平行线相关的动点问题。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生的耐心和细心，提高学生对数学学习的兴趣。
-学生在学习中体会到解题的快乐，增强学习数学的自信心。
-学生通过解决实际问题，认识到数学与生活的密切联系。
2.培养学生团队合作意识和批判性思维。
-学生在小组合作中学会倾听他人意见，尊重不同解题方法。
-学生敢于质疑，勇于提出不同的观点，发展批判性思维。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：理解平行线中动点问题的解题思路，掌握求解动点问题的方法和步骤。
-学生需要能够从实际问题中抽象出动点模型，并运用几何和代数知识进行求解。
-强调对平行线性质的理解，以及如何将这些性质应用到动点问题的解决中。
2.难点：建立动态问题与静态图形之间的联系，以及如何将动态问题转化为方程求解问题。
平行线中的动点问题
平行线中的动点问题训练 姓名1. 如图1，直线MN 与直线AB 、CD分别交于点E 、F ，∠1与∠2互补． （1）试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH； （3）如图3，在（2）的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ 平分∠EPK，问∠HPQ 的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．2. 已知，直线AB∥CD，线段EF 分别与AB 、CD 相交于点E 、F ．（1）如图1，当∠A=40°，∠C=60°时，求∠APC 的度数； （2）如图2，当点P 在线段EF 上运动时（不包括E 、F 两点），∠A、∠C 与∠APC 之间有什么确定的相等关系？试证明你的结论；（3）当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠A、∠C 与∠APC 之间有什么确定的相等关系？试证明你的结论；3、如图，直线AC ∥BD ，连结AB ，直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点P 落在某个部分时，连结P A 、PB ，构成∠P AC 、∠APB 、∠PBD 三个角.(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°)（1）当动点P 落在第①部分时，试说明∠APB ＝∠P AC ＋∠PBD 成立的理由； （2）当动点P 落在第②部分时，∠APB ＝∠P AC ＋∠PBD 是否成立(直接回答成立或不成立)？（3）当动点P 在第③部分时，全面探究∠P AC 、∠APB 、∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以说明.4、如图，∠ABC ＋∠ACB ＝110°，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB,EF 过点O 与BC 平行，求∠BOC 。
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《探究平行线中的动点问题》教学设计
教学目标：
让学生掌握平行线中的动点问题的解决办法。
教学重点：
平行线中的辅助线的添加
教学难点：
平行线中辅助线的添加
教学准备：
几何画板课件、电子白板设备
课时安排：
１课时
教学过程：
一、复习：
教学要点：由浅入深，复习平行线的性质，两直线平行内错角相等，通过过Ｐ点作ＡＢ的平行线，易证三个角之间的关系。
二、例题讲解：
教学要点：点Ｐ是动点，动点对学生来说是难点，通过使用几何画板动画演示，学生可以看出无论Ｐ点如何运动，但三个角之间始终满足∠APB ＝∠CAP+∠PBD ，然后让学生结合复习题中的提示，添加辅助线，证明猜想。
(2) 若点P 在C 、D 两点的外侧
运动时（点P 与点C 、D 不重合），
试探索∠PAC 、∠APB 、∠PBD
之间的关系又是如何？
教学要点：利用几何画板软件演示P 点在C 、D 两侧时的动画，通过观察学生也能得出三个角之间的关系。
然后证明。
三、作业：
例2:
如图，直线CB//OA,∠C=∠A=120°,E,F 在CB 上，
满足∠FOB=∠AOB,OE 平分∠COF.
(1) 求∠EOB
的度数；(2) 若平行移动AB,
那么∠OBC:∠OFC 的值是否随之发生变化？
若变化，找出变化规律或求出变化范围；
若不变，求出这个比值；作业：
已知，如图，CD//EF,∠1+∠2=∠ABC.
求证：AB//GF.。