变加速运动理论与实践意义初探(1)
浅谈用导数研究变加速运动的方法
浅谈用导数研究变加速运动的方法作者：陈海燕来源：《中学物理·高中》2014年第07期伽利略在研究自由落体运动时遇到了一个问题：速度的变化怎样才算“均匀”?他考虑了两种可能：一种是速度的变化对时间来说是均匀的，另一种是速度的变化对位移来说是均匀的,伽利略猜想前者的运动规律更为简单.然后通过实验与逻辑推理得出速度与时间成正比，即加速度恒定，就是匀变速直线运动.高中物理中还出现了很多变加速直线运动问题，深入研究变加速直线运动问题通常要运用微积分知识，高中数学课并没有教微积分，只介绍了导数，求导就是积分的逆运算.本文将在高中数学范围内利用导数运算讨论三类常见的变加速直线运动问题.1导数的物理意义在数学上，函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数，记做f ′(x)，也是函数f(x)图象在x=x0处的切线的斜率.高中生要掌握基本导数公式、导数的四则运算法则，应用导数求斜率、函数增减性的方法.高中物理中经常研究物理量的变化率，也就是其导数.其中一类是物理量对时间的导数，如位移对时间的一阶导数表示速度；速度对时间的一阶导数表示加速度，那么加速度就是位移对时间的二阶导数.如果速度的变化对时间是均匀的，那么速度对时间的导数是常数；如果速度的变化对位移是均匀的，那么速度对位移的导数是常数.另一类是物理量对位移的导数，如功对位移的导数就是力，电势对位移的导数是场强.高中物理中多处出现了变加速直线运动的问题，在教学上通常要求学生能定性分析这类问题中质点运动的速度或加速度随时间变化的关系，并确定最终的状态.考虑到高中生的数学能力，如果涉及此类问题的定量计算，一般也能采用特殊方法计算特定的物理量，不要求用函数对整个运动过程做详细描述.牛顿力学认为，一个系统的初始状态一旦确定，此后的运动过程就必然确定了.用高中生所学的导数运算也能建立变加速直线运动问题中位移、速度和加速度随时间(或位移)变化的函数关系式.如质点运动的加速度a=kt(k为常数，且k≠0)，因为kt22+b的导数是kt，所以速度v=kt22+b，根据初速度可确定常数b.又因为kt36+bt+c的导数是kt22+b，所以位移x=kt36+bt+c，根据初位移可确定常数c.下面用此方法来分析三类常见的变加速直线运动问题.2加速度a=kv+b(k、b为常数，且k≠0)问题的求解例题1如图1所示，假设质量为250 kg的赛艇在水中航行时受到的总阻力与它的速度成正比，赛艇受恒定的牵引力由静止开始加速，当赛艇速度为v1=5 m/s时加速度为4 m/s2，赛艇能达到的最大速度为v2=10 m/s.求赛艇的牵引力?由于赛艇在水中航行时受到的总阻力与它的速度成正比，可设阻力系数c，再设牵引力为F，可建立方程组：F-cv1=ma；F-cv2=0,解得牵引力F=2000 N，阻力系数c=200 Ns/m.下面研究赛艇运动过程中速度和加速度随时间变化的函数关系.这一问题中赛艇加速度a=F-cvm随速度均匀变化，即加速度a=kv+b，(k、b为常数，k≠0).设速度为时间的函数：v=f(t)，则加速度a=f ′(t)=kf(t)+b.在基本导数公式表中只有函数(sx)′=sxlns (s为常数)，对应k=lns，b=0的情况.所以可设v=k1sk2t+k3，根据边界条件t=0时速度为0，t→∞时v=10 m/s可得k1=-10，k3=10，那么v=-10sk2t+10，再对其求导得加速度a=v′=-10k2sk2tlns，再根据边界条件t=0时加速度为a=Fm=8 m/s2,可得k2=-4/5lns.所以得v=-10s-4t/5lns+10，a=8s-4t/5lns，同样方法可得位移x=25s-4t/5lns2+10t-252.在赛艇加速阶段的某时刻，如果知道位移、速度或加速度中的任意一个量就可以确定常数s，这样赛艇的运动情况就完全清楚了.还有一些物理量的变化规律也满足此类函数，如导体棒在安培力作用下的速度和加速度变化规律，电容器充电时电量随时间的变化规律.3加速度a=kx+b(k、b为常数，且k≠0)问题的求解例题2(第29届全国中学生物理竞赛)设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的均质正方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好接触.已知湖水的密度为ρ；物块边长为b，密度为ρ′,且ρ′我们先来讨论弹簧振子的周期公式.假设一水平弹簧振子模型，小球质量为m，轻弹簧劲度系数为k，振幅为A，如何用导数求简谐振动的周期呢？这一模型中小球的加速度随位移均匀变化，即加速度为a=-kx/m (k、b为常数，且k≠0).设离开平衡位置的位移为时间的函数x=f(t)，则加速度为其二阶导数a=f ″(t)=-kf(t)/m，在基本导数公式中有函数(sx)″=sx和(sinx)″=-sinx，但前者不符合边界条件与周期性.所以可设x=Asin(ωt+φ)，根据边界条件t=0时位移x=A，得φ=π/2，x=Asin(ωt+π/2).得速度x=Aωcos(ωt+π/2)，加速度a=-Aω2sin(ωt+π/2)=-kf(t)/m，得ω=k/m，所以周期T=2πm/k，与振幅无关.单摆的周期公式也可用此推导.例题2中正方体物体的运动与弹簧振子同为简谐振动，等效劲度系数k=F/x=ρb2xg/x=ρb2g，所以振动周期为T=2πρ′b/ρg.此题还有正方体物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下的情况，此处不做讨论.利用高中生熟悉的导数运算研究变加速直线运动的问题，得到了位移、速度和加速度随时间(或位移)变化的关系式，让学生对这类问题的认识从定性上升到了定量.在教学中适时介绍一点导数在物理中的应用有助于学生对物理概念的深刻认识，增强学生应用数学处理物理问题的能力.同时让学生认识了物理与数学的紧密联系，激发了学生学习物理和数学的兴趣.。
浅谈一种重要的变加速直线运动
浅谈一种重要的变加速直线运动作者：姚燕雪来源：《读写算·基础教育研究》2016年第08期【摘要】加速度不断减小的变加速运动是变加速直线运动中比较重要的一种，汽车以恒定的功率起动，雨滴下落，导体棒在磁场中的运动都有涉及该种运动形式。
【关键词】加速度不断减小变加速直线运动汽车恒功率起动雨滴下落导体棒在磁场中的运动在高中物理的学习中，直线运动有三种形式，分别是匀速直线运动、匀变速直线运动、变加速直线运动。
匀速直线运动是最简单的一种运动形式，在初中阶段学生就学习过了。
匀变速直线运动是学生进入高中阶段要学习一种重要的运动形式。
对于匀变速直线运动，学生需要掌握一些基本规律，一些常用的结论。
除此之外，还会涉及v-t图像、s-t图像等等。
对于变加速直线运动中，比较重要的一种是加速度不断减小的变加速运动。
以下就列举高中阶段属于这种运动形式的几个例子。
首先，是在汽车起动中以恒定的功率起动的这种方式。
该种起动方式，汽车的功率恒定，所受的阻力不变，根据P=Fv，刚开始汽车的牵引力较大，比汽车受到的阻力大，则汽车受到的合力F合=F-f，合力的方向与牵引力的方向相同。
根据牛顿第二定律，加速度的方向由合外力的方向决定，即加速度的方向也与牵引力的方向相同。
于是，汽车由静止开始沿牵引力的方向运动起来，汽车加速度的方向与速度的方向相同，所以汽车的速度要进一步增大，由于汽车的功率是恒定的则由P=Fv可知，牵引力将进一步减小，牵引力减小，根据，摩擦力不变，则加速度减小，但只要加速度的方向和速度的方向相同，速度仍要进一步增大，于是又重复刚才的变化过程，直到牵引力减小到和摩擦力相等的时候，此时，加速度为零，则速度不增加，牵引力也不再变化，汽车的速度达到最大。
此后，汽车将以最大的速度做匀速直线运动。
其次，是雨滴下落的例子。
质量为m的雨滴，在下落过程中，受到的空气阻力与速度成正比，即f=kv。
雨滴下落过程中受到两个力的作用，重力和空气阻力，由于阻力与速度成正比，刚开始下落时，雨滴的速度为零，则阻力为零，雨滴受重力的作用向下运动，并开始受到空气阻力的作用，雨滴的速度较小时，受到的重力大于空气阻力，合力F合=mg-f方向向下，加速度的方向与速度的方向相同，雨滴的速度增大，速度增大，摩擦力增大，合力减小，加速度减小，但加速度的方向与速度的方向相同，速度要进一步增大，于是又重复刚才的变化过程，直到当f=mg时，=0，速度不再增大，即速度达到最大。
高中物理变加速模型
1、雨滴下落模型此模型在高中阶段为浅析层次，大学对其研究就非常有深度了。
简单来说雨滴下落受力相当复杂多变，在雨滴速度增加过程中除重力外的浮力、粘滞阻力、压差阻力等均发生变化，而这些变化使其速度最终恒定。
不然，地面将面目全非了。
但是，由于要分析上面那些阻力会用到高等数学的专业知识，高中阶段解决不了。
所以，我们就简化了此问题。
相差不多的说法可以这样：“雨滴下落随速度的增大其受到的合阻力将正比于速度的越高次方”。
在高中物理必修一教材中曾有这一内容的简单介绍。
例1：雨滴下落时所受阻力与雨滴速度有关，雨滴速度越大，所受阻力越大；则雨滴的最终下落速度将如何？其运动为何种运动？此外，雨滴下落速度还与雨滴半径的α次方成正比（1α2），假设一个大雨滴和一个小雨滴从同一云层同时下落，它们都下落，雨滴先到地面；接近地面时谁的速度较小？2、油中球的运动例2：钢球在很深的油槽中由静止开始下落，若油对球的阻力正比于其速率，则球的运动是（）A．先加速后减速最后静止B．一直减速C．先加速后减速直至匀速D．加速度逐渐减小到零此模型类似于雨滴下落模型但是较为简单运动亦为“加速度变小的变加速后的匀速”。
3、蹦极、蹦床问题“蹦极”是一种非常刺激的极限运动。
蹦床则令人开心快乐；然而，其物理原理却如出一辙。
例3：“蹦极”是一种极限运动，人自身所受的重力使其自由下落，被拉伸的橡皮绳又会产生向上的力，把人拉上去，然后人再下落．正是在这上上下下的振荡中，蹦极者体会到惊心动魄的刺激，如图3－1－22所示．设一次蹦极中所用的橡皮绳原长为15 m，质量为50 kg的蹦极者运动到最低点时橡皮绳长为26.5m，当蹦极者停止振荡时橡皮绳长为17.5 m，则蹦极者运动到最低点时受到橡皮绳的拉力为多大？(g取10 m/s2)先来分析其中人的运动变化吧！里面也有一段变加速。
后来还有一段变减速。
整个过程无论是运动、受力、能量均可以有考察的角度!例4蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目。
刍议变力F=kυ作用下的变加速运动
考 的热点 。 因此在教学 中 ， 特别是在 高三复 习的过
程中， 对于这类 问题不应忽 视 。 以下 是笔者对这类 问题 思考 的几个教学实例 ， 大家讨论分析 。 供
２ 变 力 Ｆ： ｋ ＝ ｖ作 用 下 的 变 加 速 运 动 在 各 种 情 ＝
同理 ， 虑下降 过程 ： 考
动， 取重力 加速 度 为 ｇ， ： 求 ① 请定 性 画出某 小球 从 抛 出到落 地过 程 中
水平 和竖 直方 向的 — 图 象？ ２ ０ ｔ （ ０ ９年 高考 江苏 卷第 ４题 ）
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整理为 ：
第 ２ 卷总第 ４３ ９ ０ 期
２１ ０ １年 第 １期 （ 半 月） 上
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两边 同时 积分 ：
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解之 可得 ：
可以让 同学 们从 以下运动 情景 中去体 验 。
１ 从 上抛运 动看变加 速运 动的 特点与 规律
Ｖｏ ９ Ｎｏ ４ ３ Ｌ２ ．０
（ １２ １ Ｓ） ． ０１ ．３ ． ６
物
理
教
学
探
讨
第２ ９卷 总 第 ４ ３期 ０
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｏ Ｐｈ ｓｃ Ｔｅ ｃ ｉ ｇ ｒ ａ ｏ ｆ ｙ ｉｓ ａ ｈｎ
２１ ０ １年 第 １期 （ 半 月） 上
刍 议 变 力 Ｆ 一 作 用 下 的变 加 速 运动
、ｆ ，
图 １
解析 ① 规定竖 直 向上 为正方 向 ，
ｍｇｔ ｌ— Ｚｋ ｖＡｔ＝ ０一 ，２ ， ０，
变速运动教案范文
变速运动教案范文教案标题：变速运动的基本理论与实践教学教案时长：2个课时教学目标：1.了解变速运动的概念和基本理论；2.掌握变速运动的四个基本单元：周期、相位、频率和振幅；3.能够运用学到的知识解决变速运动实际问题；4.培养学生观察、实验和分析问题的能力。
教学准备：1.教学投影仪和电脑；2.教学实验器材：弹簧、滑块、定滑轮、动滑轮等；3.教学实验材料：计时器、测量尺、指南针等。
教学过程：第一课时1.引入（5分钟）教师介绍变速运动的定义：“变速运动是指在运动过程中速度大小和方向都随时间发生变化的运动。
”请学生回顾一下什么是匀速运动和匀加速运动。
2.学习变速运动的基本理论（15分钟）教师投影展示变速运动的周期、相位、频率和振幅的定义和计算方法，并解释其物理意义。
3.实验探究变速运动（25分钟）教师带领学生进行实验，通过调节弹簧的拉伸长度和滑块的质量等因素，观察弹簧振动的变化，并记录数据。
4.讨论分析实验结果（10分钟）教师与学生一起讨论实验结果，引导学生对变速运动的现象和规律进行总结，例如振动幅度与弹簧的拉伸长度、滑块质量的关系等。
第二课时1.复习与预习（10分钟）教师回顾上节课学习的内容，帮助学生回忆和巩固所学知识，同时预告本节课将学习如何解决变速运动实际问题。
2.继续学习变速运动的实际问题（15分钟）教师投影展示实际问题的例子，例如汽车加速度和刹车距离等，让学生思考如何应用所学的变速运动知识解决这些问题。
3.解决实际问题的应用练习（20分钟）教师指导学生完成一些练习题，例如计算一个加速度为2m/s²的汽车从静止到80km/h所需的时间，以及一个刹车距离为30米的汽车的刹车加速度等。
4.总结与评价（10分钟）教师与学生共同总结本节课所学知识，并进行教学评价，了解学生对变速运动的理解和掌握程度，及时反馈学生的学习情况。
拓展延伸：1.组织学生进行小组讨论，让他们在实际生活中寻找和解决变速运动问题的例子，并向全班展示和讨论。
变加速运动的过程分析和瞬时加速度问题高中物理习题
变加速运动的过程分析和瞬时加速度问题高中物理习题合格考达标练1.物体在恒力F1、F2、F3的共同作用下做匀速直线运动,若突然撤去恒力F1,其余力不变,在以后一段时间内,下列说法正确的是()A.速度可能先减小后增大B.速度一定增大C.速度可能不变D.加速度可能增大也可能减小F1后,F2、F3的合力与F1等大反向,但是物体匀速运动方向与F1方向关系未知,所以可能加速,也可能减速,A正确,B、C错误;F1是恒力,F2、F3的合力也是恒力,所以加速度不变,D错误。
2.假设洒水车的牵引力不变且所受阻力与车的重力成正比,未洒水时,车匀速行驶,洒水时它的运动将是()A.做变加速运动B.做初速度不为零的匀加速直线运动C.做匀减速运动D.继续保持匀速直线运动a=合=tB=-kg,洒水时质量m减小,则a变大,所以洒水车做加速度变大的加速运动,故A正确。
3.(多选)如图所示,A、B两球的质量相等,弹簧的质量不计,倾角为θ的光滑斜面固定放置,系统静止时,弹簧与细线均平行于斜面。
在细线被烧断的瞬间,下列说法正确的是(重力加速度为g)()A.两个小球的瞬时加速度方向均沿斜面向下,大小均为g sinθB.B球的受力情况不变,瞬时加速度为零C.A球的瞬时加速度方向沿斜面向下,大小为2g sinθD.弹簧有收缩的趋势,B球的瞬时加速度方向沿斜面向上,A球的瞬时加速度方向沿斜面向下,瞬时加速度大小都不为零F,由平衡条件可知F=mg sinθ,烧断细线的瞬间,弹簧的弹力不变,故B球的受力情况不变,加速度为零,B正确,A、D错误;以A为研究对象,由牛顿第二定律可得F+mg sinθ=maA ,解得aA=2g sinθ,C正确。
4.如图所示,质量相等的三个物体A、B、C,A与天花板之间、B与C之间均用轻弹簧相连,A与B之间用细线相连,当系统静止后,突然剪断A、B间的细线,则此瞬间A、B、C的加速度分别为(取竖直向下为正方向,重力加速度大小为g)()A.-g、2g、0B.-2g、2g、0C.-2g、2g、gD.-2g、g、gB、C整体受力分析,整体受到的重力和细线的拉力T 平衡,故T=2mg,再对物体A受力分析,其受到重力、细线拉力和弹簧的弹力;剪断细线后,三个物体的重力和弹簧的弹力不变,细线的拉力变为零,故物体B受到的合力等于2mg,方向竖直向下,物体A受到的合力为2mg,方向竖直向上,物体C受到的力不变,合力为零,故物体B有方向竖直向下的大小为2g的加速度,物体A具有方向竖直向上的大小为2g的加速度,物体C 的加速度为0,因取竖直向下为正方向,故选项B正确。
高一物理变速直线运动的运用
高一物理变速直线运动的运用1. 引言：变速直线运动是什么？大家好，今天我们来聊聊一个看似简单却又充满趣味的物理话题，那就是变速直线运动！你可能会问，什么是变速直线运动？简单来说，就是物体在直线上运动时，它的速度不是一成不变的，而是随着时间的推移发生变化。
这就好比你骑自行车上坡，感觉越来越累，速度越来越慢；或者你在下坡的时候，风呼啸而过，速度瞬间飙升。
这种感觉，就是变速直线运动给我们的真实体验！这堂课听上去有点枯燥，但实际上它和我们的日常生活息息相关。
2. 变速直线运动的例子2.1 自行车骑行的乐趣想象一下，你骑着自行车在公园里兜风。
起初，你的脚踩得飞快，风在耳边呼啸，那感觉简直爽到飞起！可是一会儿，你就发现前面有个大坡，你的速度立马下降，感觉像是骑进了泥潭。
这里的变化就是变速直线运动的一个典型例子：起伏的地形让你的速度时快时慢，真是让人哭笑不得。
哈哈，感觉像是跟自己的脚下那辆自行车在打仗。
2.2 汽车的加速与减速再来想象一下开车，尤其是在红绿灯前，你一脚油门踩下去，车子呼的一声就冲了出去。
这种加速的感觉可真是让人热血沸腾！但是突然前面停了车，哎呀，急刹车！那一瞬间，车子就像被钉在了地上，速度一下子降到零。
这样的加速和减速就是变速直线运动的经典体现。
这不禁让我想起了“风驰电掣”这个成语，形容速度快得不可思议，真是再合适不过了！3. 变速直线运动的公式3.1 速度的变化那么，变速直线运动有什么公式呢？其实很简单，物体的加速度就是速度的变化量与时间的比值。
公式上可以写成：a = (v u) / t，其中a是加速度，v是最终速度，u是初始速度，t是时间。
听起来有点复杂，但只要你理解了这个意思，就能轻松应对各种题目。
就像我们做数学题，搞懂了公式，后面的步骤就会变得简单多了。
3.2 实际应用在实际应用中，这个公式可是无处不在！比如在运动会上，运动员的起跑、加速、到达终点，都是在进行变速直线运动。
如果我们能根据这个公式计算出每个阶段的加速度，那对于运动员来说，无疑是一个巨大的帮助，能够更好地调整自己的发力节奏，争取在比赛中获得佳绩。
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收稿日期:2002-09-12
作者简介:黄沛天(1940-),男,江西吉安人,教授,主要从事应用力学方面的研究.
文章编号:1000-5862(2003)01-0008-04
变加速运动理论与实践意义初探
黄沛天1, 黄 文2, 胡利云1(1.江西师范大学物理系,江西南昌 330027;2.江西省第二建筑工程公司,江西南昌 330002)
摘要:由力变率导出了加速度能定理,用变加速运动的概念和规律研究了自由落体运动的初始猝变,对
高层建筑的抗风、抗地震设计提出了新思考,讨论了质点的空间曲线运动.
关键词:急动度;猝量;失重;高层建筑;空间曲线运动;变加速动力学
中图分类号:O313;O39 文献标识码:
A
吴大猷先生是物理学界德高望重的老前辈.文献[1]在介绍吴先生的猝量理论的同时,还介绍了吴先生在临终前为筹谋猝量理论讨论会(现已成为遗愿)所表露出的科学激情.为继承吴先生关于猝量理论讨论会之遗愿,我们撰写了此文,希望能进一步引起人们对问题的关注和讨论.尽管这不是当前的学术热点(甚至还有异议[2]),但正如吴先生所指出:“引入猝量的观念,这确实在应用力学中有意义,也可能是三百年来
Newton力学系统中可作补充意义的观念.”[1]这也确是一个有话可说的话题.
1 从急动度到加速度能定理三百多年前建立的牛顿力学框架体系对加速度的变化未给出任何实质性的描述.随着汽车、火车、公路、铁路等人类物质文明的发展,到19世纪中叶,人们才开始关注这类问题,并用急动度(jerk)描写加速度随
时间的变化[3,4].19世纪末,人们在建立Appell方程时,引入了加速度能量S=126Ni=1miri_¨ 2(ri_¨ 为第i个质点的位矢ri_对时间的二阶导数)
[5]
.1981年,文献[4]在思考与急动度(j_=da_/dt)相关的动力学图象时,引入力
变率(
C
_=dF_/dt=mj_).此后,文献[6]、[7]也相继表达了关于力变率(dF_/dt)的想法.1997年,吴大猷先生
建立了猝量方程[1]
J=∫τ0mx…dt=mx¨τ-mx¨0.(1)不难看出,猝量方程正是力变率(
C=mx
…)对时间的积分.
受猝量方程的启发,我们可以求得力变率的另一种积分
∫x・τx・0mx…dx・=∫x¨τ
x¨0
mx…dx¨=12mx¨τ2-12mx¨02.(2)
显然,(2)式右端的两项之差正是物体或质点m的加速度能量增量,倘若引入赝功W
p=∫x・τx・0mx…d
x・,
则
可将(2)式称为物体(或质点)的加速度能定理,即物体(或质点)
的加速度能量增量等于力变率的赝功
.
至此,如果说牛顿运动定律、动量定理、动能定理以及相关的守恒定律共同构造了传统牛顿力学的框架,那么,从急动度到力变率,到猝量方程,从Appell方程到加速度能定理,是否也使变加速动力学略具雏形呢?另外,也有人从分析力学的理论高度分别提出了“仿照出Newton方程导出Lagrange方程,由‘猝量’方程导出相应的Euler-Lagrange方程”[1]和“研究带高阶导数的Lagrange力学”[8]等设想.
第27卷第1期2003年1月 江西师范大学学报(自然科学版)JOURNALOFJIANGXINORMALUNIVERSITYVol.27No.1
Jan.2003再者,从科学哲学的理论高度来看,动力学的核心是揭示物质行为的因果关系.牛顿力学中的力和加速度概念揭示的是动量和速度发生变化的原因,而广义力学概念———力变率和急动度———则揭示了力和加速度发生变化的原因.这是两个不同层面的因果关系.从概念上来说,二者的意义不可相互替代,更不可相互混淆.
2 变加速运动研究的实践意义探讨文献[3]、[4]、[7]、[9]对急动度概念在某些方面的应用已有适当的阐述,现在须进一步思考的问题是:
如何应用变加速运动的概念和规律去继续发掘和寻找被传统牛顿力学所忽视(或丢失)的更多的有实践意义的信息?下面谨以变加速运动的观点尝试发掘并讨论几个具体问题中被牛顿力学丢失的有关信息.
2.1 自由落体运动的初始猝变众所周知,传统牛顿力学简单地把自由落体运动视为从静止开始,竖直向下作加速度a=g的匀加速直线运动.应当指出,这里有一个尚须交代的初始加速度是g还是零的问题.按变加速动力学观点推敲,物体m的下落有一个0～0+Δt瞬间的初始加速度猝变过程.在此瞬间,物体所受合力F(t)是时间t的递增函数F(t)=mg-N(t).(3)该猝变过程实际上是物体的被释放过程:即约束反力N(t)的值从mg减小至零,而F(t)的值则相应地
从零增至mg,过程的力变率可写为C=dF/dt=-dN(t)/dt=mx….(4)若将猝量方程和加速度能定理应用于该猝变过程,可得∫0+Δt0Cdt=∫g0mdx¨=mg-0(5)
和∫g0mx¨dx¨=12mg2-0(6)
显然,(5)式和(6)式对物体在0～0+Δt瞬间的加速度、所受合力以及加速度能量从零分别增至g、mg
和12mg2的过程给出了合理的说明;(4)式则描写了加速度和力的变化快慢.这就不仅捡回了被丢失的自由落体初始猝变的相关信息,也是弥补牛顿力学描写的不足.
人们已经认识到,急动度的大小与人的生理、心理感受相关[3,4,7,10],人体处在自由下落状态时,称为完
全“失重”,在乘坐电梯下降时的“失重”则为部分“失重”.通常认为“失重”的不舒适感来源于力的因素.实践证明,人在乘坐电梯下降时的不舒适感主要存在于初始猝变瞬间,因此,其中的力变率(或急动度)因素也就不可忽视.这是电梯设计安装时必须考虑的问题.而这两种因素导至的不舒适感也值得人们去区分.
2.2 关于高层建筑抗风、抗地震设计的新思考高层建筑是现代物质文明的又一奇葩.建筑物的抗风和抗地震性能则是高层建筑结构设计必须考虑的两个重要指标,为此,各国乃至国际间都制定了相应的设计规范.然而迄今为止,关于高层建筑结构设计中的舒适性和抗震结构设计中的破坏性都是以加速度为思考的依据[11,12].现在随着人们对变加速运动研究的
深入,认识到急动度也可作为对生理感受舒适性和对材料“疲劳”破坏性的一种量度.文献[7]指出,人若处在急动度j>100cm/s3的振动环境中就会感到不舒适;而对于各种材料,过大的急动度相当于一种“柔性碰撞”,循环性的“柔性碰撞”则会导致“疲劳”破坏[7].文献[13]在谈到地震对建筑物的破坏作用时,也提到“地
面位移对时间的三次导数(即加速度的导数)对于对称结构的扭转作用具有较大的影响”.基于这种认识,人们应当深入研究高层建筑在风振与地震中由加速度变化提供的信息.这就向结构工程师提出一个问题:除了加速度之外,急动度是否也应正式成为一种新的思考抗风、抗震的科学依据呢?是加速度(或力)的因素还是急动度(或力变率)因素对人体的舒适性和对材料的破坏性有更大的影响?这也有待人们进一步做出测量研究和比较.
9第1期黄沛天,等: 变加速运动理论与实践意义初探2.3 质点空间曲线运动中的加速度和力的变化信息对于质点的平面曲线运动,尽管它是变加速运动,但由于质点所受的力及其加速度都在该平面内,这时
若将F_=ma_对时间求导数,得到的C
_=mj_(即力变率和急动度)仍在该平面内,因此,似乎没有多少新颖内
容.而对质点的空间曲线运动来说,情况就大不一样了.由于用直角坐标系描写空间曲线运动不够方便,人们大多采用自然坐标系描写,这时牛顿力学给出的内禀方程为[14]
F_=mvτ_+m(v2/ρ)n_+0b_,(7)可见力的副法向分量恒为零(式中的τ_、n_和b_分别为切向、法向和副法向的单位矢量,ρ为曲率半径),而变加速动力学则给出了
C_=dF_/dt=m[d(vτ_)]/dt+m[d(v2/ρ)n_]/dt=mv¨τ_+m[v(v/ρ)]n_+m(2vv/ρ)n_-m(v2ρ/ρ2)n_-m(v3/ρ2)τ_+m(v3/ρσ)b_,(8)这里用了关系式τ_・=(v/ρ)n_和n
_・=-(v/ρ)τ_
+(v/σ)b_,σ为挠率半径.显然,(8)式表明力变率的副法向分量
不为零,它是力的方向变化所必然呈现出的一个动力学项.
比如,有一质量为m带正电荷q的粒子以速度v_射入均匀磁场B_中,设v_与B_的夹角为θ(略小于π/2),
试描绘该粒子的动力学行为(假定忽略辐射效应)
.
众所周知,该粒子将围绕磁场B_的方向,以半径为R=mvsinθ/qB、螺距为h=2πmvcosθ/qB做螺旋线运动.描写其动力学行为的牛顿力学内禀方程为
F_=qv_×B_•m(v2/R)n_,(9)而变加速动力学方程还须加上
C_=dF_/dt•-m(v3/R2)τ_+m(v3/Rσ)b_.(10)这里的挠率半径σ=(R
2
qB/mvcosθ)+(mvcosθ/qB)(可参阅文献[6]关于螺旋线挠率的计算).
显然,(9)式仅给出存在于法向的向心力信息,而(10)式则提供了描写向心力的方向变化的信息C
_
,它以
切向分量和副法向分量存在.而C_的副法向分量的物理意义就在于揭示运动密切面的旋转图象[6],这正是传
统牛顿力学鞭所不及之处,(10)
式也算是捡回了被牛顿力学“丢失”的信息
.
3 结束语从本文所列的参考文献可以初步看到:在力学与实践领域,人们对加速度的变化问题表现出了较多的研究兴趣;而在物理学界却似乎遇到一些冷漠.但变加速运动的广泛存在,终将是物理学必须认真面对的客观事实.我们相信,“关注”将会代替“冷漠”.变加速动力学也将成为力学和物理学的重要组成部分.
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