【精品】初中数学 01勾股定理及其逆定理 讲义+练习题

讲义主题：勾股定理及其逆定理

一：课前纠错与课前回顾

1、作业检查与知识回顾

2、错题分析讲解

（1）

（2）

（3）

···

二、课程内容讲解与课堂练习

题模一：证明

例1.1.1请根据我国古代数学家赵爽的弦图（如图），说明勾股定理．

例1.1.2如图所示，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D，E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a，h，且是关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0的两个实数根，设过D，E，F三点的⊙O的面积为S

⊙O

，矩形PDEF的面积为S

矩形PDEF

．

（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；

（2）求O

PDEF

S

S

矩形

的最小值；

（3）当O

PDEF

S

S

矩形

的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m，n，k的取值是否有关？请说明理由．

【讲透例题】 题模一：证明 例1.1.1 【答案】见解析

【解析】∵△ABC 、△BMD 、△DHE 、△AGE 是全等的四个直角三角形， ∴AE DE BD AB ===，1809090EAG BAC EAG AEG ∠+∠=∠+∠=︒-︒=︒， ∴四边形ABDE 是正方形，

∵90AGE EHD BMD ACB ∠=∠=∠=∠=︒， ∴90HGC ∠=︒，

∵GH HM CM CG b a ====-， ∴四边形GHMC 是正方形， ∴大正方形的面积是2c c c ⨯=，

大正方形的面积也可以是：2

22221

4222

ab b a ab a ab b a b ⨯+-=+-+=+（），

∴222a b c +=，

即在直角三角形中，两直角边a b （、）的平方和等于斜边c （）

的平方．

例1.1.2 【答案】见解析 【解析】 解法一：

（1）据题意，∵a+h=-n m ，ah=k

m

∴所求正方形与矩形的面积之比：

2

()

a h ah +=2

()n

m k m

-=2n mk （1分）

∵n 2-4mk≥0，∴n 2≥4mk ，由ah=k

m

知m ，k 同号， ∴mk ＞0 （2分）

（说明：此处未得出mk ＞0只扣（1分），不再影响下面评分）

∴2n mk ≥4mk mk

=4（3分） 即正方形与矩形的面积之比不小于4．

（2）∵∠FED=90°，∴DF 为⊙O 的直径．

∴⊙O 的面积为：S ⊙O =π(2DF )2=π24DF =4

π(EF 2+DE 2)． （4分）

矩形PDEF 的面积：S 矩形PDEF =EF•DE ． ∴面积之比：

O

PDEF S

S 矩形=4π(

EF DE +DE EF )，设EF

DE

=f ． O

PDEF

S

S 矩形=4

π

(f+

1

f

) =4

π

2

)2

]

=4

π

)2+2

π．（6分）

∵

)2≥0，∴4

π

)2+2π≥

2

π，

，即f=1时（EF=DE ），

O

PDEF

S

S 矩形的最小值为

2

π

（7分） （3）当

O

PDEF

S

S 矩形的值最小时，这时矩形PDEF 的四边相等为正方形．

过B 点过BM ⊥AQ ，M 为垂足，BM 交直线PF 于N 点，设FP=e ，

∵BN ∥FE ，NF ∥BE ，∴BN=EF ，∴BN=FP=e ． 由BC ∥MQ ，得：BM=AG=h ． ∵AQ ∥BC ，PF ∥BC ，∴AQ ∥FP ， ∴△FBP ∽△ABQ ． （8分）

（说明：此处有多种相似关系可用，要同等分步骤评分） ∴FP AQ =BN

BM

，（9分） ∴

e AQ =e

h

，∴AQ=h （10分） ∴AQ=24n n mk

-±-（11分）

∴线段AQ 的长与m ，n ，k 的取值有关． （解题过程叙述基本清楚即可） 【讲透考点】 勾股定理的证明

1．如下图，()22142

ABCD S c a b ab ==-+⨯正方形，所以222a b c +=．

2．如下图，2()()11

2222

ABCD a b a b S ab c +-=

=⨯+梯形，所以222a b c +=． H

G F

E

D

C

B

A

c b a

【相似题练习】

随练1.1勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a 2+b 2=c 2． 证明：连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF=EC=b-a ． ∵S 四边形ADCB =S △ ACD +S △ ABC =12

b 2+12

ab ． 又∵S 四边形ADCB =S △ ADB +S △ DCB =12

c 2+12

a （b-a ） ∴12

b 2+12

ab=12

c 2+12

a （b-a ） ∴a 2+

b 2=

c 2

请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°． 求证：a 2+b 2=c 2

c b

a c

b

a E

D

C B

A