1.3.2_球的表面积和体积_课件
合集下载
1.3.2 球的体积和表面积 公开课一等奖课件
，设球的半径为R，
1.（2012·广东高考）某几何体的三视图如图所示，
它的体积为（ C ）
A.72π B.48π
C.30π
D.24π
【解析】选C. 由三视图可知几何体是由一个半球和 一个倒立的圆锥组成的组合体.
1 1 4 V= π × 32× 4+ × π × 33 = 30π. 3 2 3
2.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它
4 3 π (3R) 2 S V 3 4π(3R) 表 = = 27. = = 9， 所以 4 3 V S表 4πR2 πR 3
答案：9
27
4.已知过球面上三点 A, B, C 的截面和球心的距离为球 半径的一半，且 AB = BC = CA = 2 ，求球的表面积.
【解析】设截面圆心为 O ,连接 OA ,
所以, S球 = S 圆柱侧.
4p R 2 ，
【变式练习】 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a， 顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( B ) A.π C. a2
11 π a2 3
7 B. π a2 3
D.5π a2
【解题提示】这是一个组合体问题，解答此题只需
画出三棱柱的直观图，弄清球心位置求出球的半径
熟练掌握球的体积、表面积公式：
4 3 V = R 3 S = 4R 2
不能忍受批评，就无法尝试新事物。
语文
小魔方站作品 盗版必究
谢谢您下载使用！
更多精彩内容，微信扫描二维码获取
扫描二维码获取更多资源
附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
1.3.2 球(杨晖公开课课件)
O
C1 B1
略 解 ： B1 D1 D中 : Rt ( 2 R ) a ( 2a ) , 得
2 2 2
D
A D1 A1 B1 O B
C
3 R a 2 S 4R 2 3a 2
C1
探究 若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝
a
⑵正方体的外接球直径＝
⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
例题讲解
例4 已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体 积，表面积． 解：如图，设球O半径为R， 截面⊙O′的半径为r，
O A
O
R O O , ABC是 正 三 角 形 ， 2
C
B
2 3 2 3 OA AB r 3 2 3
16 64 S 4R 4 . 9 9
2
R 2 2 3 2 ( ) ( ) , 2 3
O A
O
C
B
课堂小结
1. 球的表面积公式； 2. 球的体积公式；
3. 球的表面积公式与
体积公式的应用.
例题讲解
例2 圆柱的底面直径与高都等于球
的直径. (1) 求球的体积与圆柱体积之比；
(2) 证明球的表面积等于圆柱的
侧面积.
例题讲解
例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。 D A D1 A1 B C
例题讲解
例4.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积， 表面积．
2018年学习球的体积和表面积PPT教材课件
2 2 2 2 2 r2 ＝ R － x 且 πr ＝ π ( R － x )＝ 8π， 2 2 2 2 2 2 2 r2 ＝ R － ( x ＋ 1) 且 πr ＝ π [ R － ( x ＋ 1) ]＝ 5π， 1 1
于是 π(R2－ x2)－ π[R2－(x＋ 1)2]＝ 8π－ 5π，即 R2－ x2－ R2＋ x2＋ 2x＋ 1＝ 3，∴ 2x＝ 2，即 x＝ 1. 又∵ π(R2－ x2)＝ 8π，∴ R2－ 1＝ 8， R2＝ 9，∴ R＝3. 球的表面积为 S＝ 4πR2＝ 4π× 32＝ 36π(平方单位 )．
2 2
2 3 2 6 3 6 3 从而 V 半球＝ πR ＝ π( a) ＝ πa ， V 正方体＝a3. 3 3 2 2 6 3 因此 V 半球∶ V 正方体＝ πa ∶ a3＝ 6π∶ 2. 2
• 【规律方法】 解决与球有关的组合体问 题，可通过画过球心的截面来分析．例如， 底面半径为r，高为h的圆锥内部有一球O， 且球与圆锥的底面和侧面均相切．过球心O 作球的截面，如图所示，则球心是等腰 △ABC的内接圆的圆心，AB和AC均是圆锥 的母线，BC是圆锥底面直径，D是圆锥底 面的圆心．
【解】 解法一：作正方体对角面的截面，如图所 示，设半球的半径为 R，正方体的棱长为 a，那么 CC′ 2a ＝a，OC＝ . 2
在 Rt△C′CO 中，由勾股定理，得 CC′2＋OC2 ＝OC′2， 2a 2 6 2 即 a ＋( ) ＝R ，所以 R＝ a. 2 2
2
2 3 2 6 3 6 3 从而 V 半球＝ πR ＝ π( a) ＝ πa ，V 正方体＝a3. 3 3 2 2 6 3 因此 V 半球∶V 正方体＝ πa ∶a3＝ 6π∶2. 2
• 用同样的方法可得以下结论： • ①长方体的8个顶点在同一个球面上，则长 方体的体对角线是球的直径；球与正方体 的六个面均相切，则球的直径等于正方体 的棱长；球与正方体的 12 条棱均相切，则 球的直径是正方体的面对角线．
《球的表面积和体积》人教版高中数学必修二PPT课件(第1.3.2课时)
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2 2 .
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1: 3 4 .
2、若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为（ A ）
（A）2:1 (B) 2:3 (C) 2:
(D) 2:5
随堂练习
立体图形的内切和外接问题 例4：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比。
初态温度T1＝(273＋27) K＝300 K
由 p1V1 p2V2
T1
T2
V2 =
p1T2 p2T1
V1
6.25 m3
课堂训练
3.如图所示，粗细均匀一端封闭一端开口的U形玻
璃管，当t1＝31 ℃，大气压强p0＝76 cmHg时，
两管水银面相平，这时左管被封闭的气柱长L1＝8
10.9150 1635(朵)
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
新知探究
例3、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ； 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
RO
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4 倍.
3、从微观上说：分子间以及分子和器壁间，除碰撞外无其他作用力，分子本身没有体积，即它 所占据的空间认为都是可以被压缩的空间。
4、从能量上说：理想气体的微观本质是忽略了分子力，没有分子势能，理想气体的内能只有分 子动能。
一、理想气体
一定质量的理想气体的内能仅由温度决定 ,与气体的体积无关.
例1.（多选）关于理想气体的性质，下列说法中正确的是( ABC )
球的体积和表面积 课件
截面，由球的截面性质知，AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截
面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm)． ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(cm)． 设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm. 在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202， 在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2，解得x＝15，
∴R2＝x2＋202＝252，∴R＝25(cm)．
∴S球＝4πR2＝2500π(cm2)． ∴球的表面积为2500π cm2.
(2)当截面在球心的两侧时，如图乙所示为球的轴截面，
由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1、O2分别为两截面圆
的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B. 设球的半径为R.
∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm)． ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(cm)． 设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x)cm.
在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400. 在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49. ∴x2＋400＝(9－x)2＋49， 解得x＝－15(cm)，不合题意，舍去． 综上所述，球的表面积为2500π cm2.
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：由4πR2－4πr2＝48π，2πR＋2πr＝12π，得R－r ＝2.
答案：C
1．球的体积比等于半径的立方比，表面积之 比等于半径的平方比．
2．球体与多面体的组合体的解决关键是作出 以球的轴截面为主的球及多面体的轴截面图，实现空 间几何向平面几何的转化.
练习2.一个球的半径是2，它的表面积是__1_6_π____．
练习3.一个球的表面积变为原来的一半，半径是原来的 __2_2_____倍．
面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm)． ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(cm)． 设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm. 在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202， 在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2，解得x＝15，
∴R2＝x2＋202＝252，∴R＝25(cm)．
∴S球＝4πR2＝2500π(cm2)． ∴球的表面积为2500π cm2.
(2)当截面在球心的两侧时，如图乙所示为球的轴截面，
由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1、O2分别为两截面圆
的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B. 设球的半径为R.
∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm)． ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(cm)． 设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x)cm.
在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400. 在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49. ∴x2＋400＝(9－x)2＋49， 解得x＝－15(cm)，不合题意，舍去． 综上所述，球的表面积为2500π cm2.
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：由4πR2－4πr2＝48π，2πR＋2πr＝12π，得R－r ＝2.
答案：C
1．球的体积比等于半径的立方比，表面积之 比等于半径的平方比．
2．球体与多面体的组合体的解决关键是作出 以球的轴截面为主的球及多面体的轴截面图，实现空 间几何向平面几何的转化.
练习2.一个球的半径是2，它的表面积是__1_6_π____．
练习3.一个球的表面积变为原来的一半，半径是原来的 __2_2_____倍．
人教A版高中数学必修二课件第一章1.3.2球的体积和表面积(共41张PPT)
3
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
课件4：1.3.2 球的体积和表面积
名师指导
1．在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过 作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而 这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等． 2．几个常用结论 (1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方 体的棱长等于球的直径；
名师指导 (2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体 的体对角线长等于球的直径； (3)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱 的高，也等于圆柱底面圆的直径； (4)球与棱锥相切，则可利用 V 棱锥＝31S 底 h＝13S 表 R，求球 的半径 R.
()
A. 92π＋12
B. 92π＋18
C．9π＋42
D．36π＋18
题型探究 【解析】 由三视图可得这个几何体是由上面一个直径 为 3 的球，下面一个底面为正方形且边长为 3，高为 2 的长方体所构成的几何体，则其体积为： V＝V1＋V2＝43×π×323＋3×3×2＝92π＋18. 【答案】 B
【答案】 D
课堂检测
2．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在
一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2
B．6πa2
C．12πa2
D．24πa2
课堂检测
【解析】 设该球的半径为R， ∴(2R)2＝(2a)2＋a2＋a2＝6a2， 即4R2＝6a2. ∴球的表面积为S＝4πR2＝6πa2. 【答案】 B
跟踪训练
1．球的体积是332π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
16π C. 3
64π D. 3
跟踪训练
【解析】 设球的半径为 R， 则由已知得 V＝34πR3＝323π，R＝2. ∴球的表面积 S＝4πR2＝16π. 【答案】 B
高中数学必修二1.3.2《球的体积和表面积》课件
函数即S＝4πR2.
3．求球的表面积和体积关键是求出球的半径，为此常考虑
球的轴截面．
一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面 积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积和体积． [提示] 因为题中并没有说明两个平行截面是在球心的 两侧，还是同侧，因此解题时应分类讨论．
[解] (1)当截面在球心的同侧时，如图所 示为球的轴截面．由球的截面性质，知
AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截 面圆的圆心，则OO1⊥AO1， OO2⊥BO2. 设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7. 同理，π·O1A2＝400π，∴O1A＝20.
设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9. 在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2.解得 x＝15.
设球O的半径为5，一个内接圆台的两底 面半径分别是3和4，求圆台的体积．
[错解] 如图，由球的截面的性质知， 球心到圆台的上、下底面的距离分别为 d1＝ 52－32＝4，d2＝ 52－42＝3. ∴圆台的高为 d1－d2＝h＝4－3＝1. ∴圆台的体积为 V＝13πh(r21＋r22＋r1r2) ＝13×π×1×(32＋42＋3×4)＝337π.
答案：D
探究点三 球的表面积和体积的实际应用
球是非常常见的空间几何体，应用比较广泛， 特别在实际生活中，应用球的表面积和体积公式解 决问题的例子更是普遍．
如图所示，一个圆锥形的空杯 子上放着一个直径为8 cm的半球形的 冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形 杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的 直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋 融化后不会溢出杯子，怎样设计最省 材料？ [提示] 应使半球的体积小于或等于圆锥的体积．可 先设出圆锥的高，再求其侧面积．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
品质来自专业 信赖源于诚信
掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 学生应用数学的能力． 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题．
3
金太阳教育网
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
1.3.2《球的表面积和体积》
1
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
教学目标
重点难点
球的体积
球表面积
退出
2
例题讲解
课堂练习
课堂小结
课堂作业 封底
金太阳教育网
教学目标
掌握球的体积、表面积公式．
1 1 1 1 V S1h1 S2 h2 S3 h3 Sn hn 3 3 3 3
15
金太阳教育网
球的表面积
品质来自专业 信赖源于诚信
第 三 步： 化 为 准 确 和
O
hi
S i
Vi
如果网格分的越细,则: “小锥 体”就越接近小棱锥
那么圆的面积就近似等 于R .
2
6
Hale Waihona Puke 金太阳教育网球的体积
品质来自专业 信赖源于诚信
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式． 分割 求近似和 化为准确和
下面我们就运用上述方 法导出球的体积公式
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
品质来自专业 信赖源于诚信
V半球 V1 V2 Vn
12 2 2 ( n 1)2 [n ] 2 n n
R 3
R 3 1 ( n 1) n ( 2n 1) [n 2 ] n n 6
1 ( n 1)( 2n 1) R [1 2 ] n 6
1 3 R 3
V半球 ?
V圆柱
3 3 R 3
猜测 : V半球
2 4 3 R , 从而V R 3 . 3 3
5
金太阳教育网
球的体积
品质来自专业 信赖源于诚信
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新 拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是 R和R的矩形.
3
10
金太阳教育网
球的体积
V半球 1 1 (1 )( 2 ) n n ] R 3 [1 6
1 0. n
品质来自专业 信赖源于诚信
当n 时,
2 V半 球 R 3 3 4 从 而V R 3 . 3
4 3 定理：半径是 R的球的体积为： V R 3
7
金太阳教育网
球的体积
A A
品质来自专业 信赖源于诚信
O
O
C2
B2
r1 R R,
2
R 2 r2 R ( ) , n
2
2R 2 r3 R ( ) , n
2
8
金太阳教育网
A
球的体积
品质来自专业 信赖源于诚信
ri
O
R ( i 1) n
R
O
第i层“小圆片”下底面的 半径：
ri R R [ ( i 1)]2 , i 1,2 , n. n
2
9
金太阳教育网
球的体积
R ( i 1)]2 , i 1,2, , n n 3 R R i 1 2 2 Vi ri [1 ( ) ], i 1,2 , n n n n ri R2 [
11
金太阳教育网
球的表面积
品质来自专业 信赖源于诚信
球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图 求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法, 是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢?
下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式．
1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块, 每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似 看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近 于甚至等于球的表面积. 2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为 顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大, 越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.
设“小锥体”的体积为 Vi
Si
O
则球的体积为：
Vi
V V1 V2 V3 Vn
14
金太阳教育网
球的表面积
品质来自专业 信赖源于诚信
第 二 步： 求 近 似 和
Si
hi
O O
Vi
1 Vi S i hi 3
由第一步得： V V1 V2 V3 Vn
12
金太阳教育网
球的表面积
品质来自专业 信赖源于诚信
S i
o
o
13
金太阳教育网
球的表面积
品质来自专业 信赖源于诚信
第 一 步： 分 割
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
S1，S2，S3 ,, Sn
O
则球的表面积：
S S1 S2 S3 Sn
重点难点
品质来自专业 信赖源于诚信
教学重点
球的体积公式及应用 球的表面积公式及应用
教学难点
球的表面积公式的推导
球的体积公式的推导
分割 求近似和 化为准确和思想方法
4
金太阳教育网
球的体积
品质来自专业 信赖源于诚信
高等于底面半径的旋转体体积对比
R
V圆锥
hi 的值就趋向于球的半径 R
1 Vi S i R 3 1 1 1 1 V Si R S2 R S3 R Sn R 3 3 3 3
1 1 R( S i S 2 S 3 ... S n ) RS 3 3